Об условиях понижения порядка линейных уравнений со старшими частными производными.

И З В Е С Т И Я
В Ы С Ш И Х
2007
У Ч Е Б Н Ы Х
З А В Е Д Е Н И Й
МАТЕМАТИКА
Є 6 (541)
УДК 517.956
О.А. КОЩЕЕВА
ОБ УСЛОВИЯХ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СО СТАРШИМИ ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Речь идет об уравнениях вида
X
m1
u m ;:::;mn x
(
где
x
x ; : : : ; xn
= (
1
)( ) +
1
i1 =0
1 +
mn
+
a i ;:::;in x u i ;:::;in x
in =0
( 1
) | точки некоторой области
u i ;:::;in x
| целые неотрицательные числа,
m
mn X
)(
( 1
)
D
(
)
)(
( 1
fx;
) =
(
)
евклидова пространства,
h P1
mn i
@ i1 ++in u(x) , m
P
@x1 i1 :::@xn in
i1 =0 in =0
) =
.
(1)
=
mk ik k
,
,
P
;n
r
= 1
,
i1 ++in r;1
,
=
Уравнения (1) встречаются в приложениях: фильтрация жидкости в пористых средах [1],
поглощение почвенной влаги корнями растений ([2], с. 262), интегральные представления преобразований дифференциальных операторов ([3], с. 5{13), теория аппроксимации и отображений ([4], сс. 63, 109) и др. Обзор многих результатов имеется в монографии [5]. В данной статье
приводятся условия на коэффициенты в (1), обеспечивающие возможность понижения порядка
уравнения. При этом не будем писать в уравнении аргумент
(
X
m1
x ; : : : ; t; : : : ; xn
i ; : : : ; k; : : : ; in
( 1
k
X
i1 =0 ij =0
(i1 ;:::;ij ;1 ;k;ij +1 ;:::;in )
a
mn X
и будем использовать обозначения
x ; : : : ; xj; ; t; xj ; : : : ; xn ;
i ; : : : ; ij; ; k; ij ; : : : ; in ;
) = (
1
x
1
1
) = ( 1
1
X
m1
=
in =0
i1 =0
(i1 ;:::;k;:::;in )
= a
;
)
+1
mX
j;1
)
+1
mX
j+1
k
X
ij;1 =0 ij =0 ij+1 =0
u i ;:::;ij; ;k;ij
( 1
1
+1
;:::;in )
=
mn X
in =0
;
u i ;:::;k;:::;in :
( 1
)
1. Сначала найдем условия, позволяющие представить (1) в виде системы двух уравнений,
одно из которых содержит дифференцирование искомой функции лишь по одной независимой
переменной.
Теорема 1. Пусть при некотором
нения удовлетворяют условиям
тождества
j
(1
jn
f 2 C D ik
mj >
; mk , k
) таком, что
@ ij a(i1 i;:::;in ) ,
@xjj
),
(
= 0
1, коэффициенты урав-
; n.
= 1
Если выполнены
mX
j;
mj ;ij
i;ij
a i ;:::;in ; Cmij j @ mj ;ij a i ;:::;mj ;:::;in ;
a m ;:::;i;:::;mn Ciij @ i;ij a i ;:::;mj ;:::;in ;
@xj
@xj
i ij
1
( 1
)
( 1
)
(
)
1
( 1
)
0
(2)
=
ik
; mk , k 6 j , ij
= 0
=
; mj ; , i ij; ij
= 0
1
вид
u m ;:::; ;:::;mn
(
1
0
1+
X
m1
) +
i1 =0
+
1+
in < r ; mj
+1 +
mX
j;1 mX
j+1
ij;1 =0 ij+1 =0
45
+
mn X
in =0
, то уравнение (1) принимает
a i ;:::;mj ;:::;in u i ;:::; ;:::;in
( 1
)
( 1
0
) =
v;
v является решением уравнения
где функция
mX
j ;1
@ mj v
@xmj j
+
ij
a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v f:
@xj
(
ij =0
)
1
=
(3)
Доказательство. Преобразуем (1) с помощью правила Лейбница следующим образом:
@ mj u
@xmj j m ;:::; ;:::;mn
(
0
1
) +
m1
X
i1 =0
ij;1 =0 ij+1 =0
m1
mX
j ;1
X
+
;
mX
j;1 mX
j+1
X
m1
i1 =0
mn
X
in =0
m
n X
ij;1 =0 ij+1 =0
i ;:::;0;:::;in )
+
( 1
a i ;:::;in u i ;:::;in ;
( 1
)
i1 =0
ij =0
in =0
mX
j;1 mX
j+1
mn mX
j ;1
X
a i ;:::;mj ;:::;in )u
( 1
in =0 ij =0
( 1
)
mj ;ij
Cmij j @ mj ;ij a i ;:::;mj ;:::;in u i ;:::;in
@xj
( 1
)
( 1
) =
f:
Если ввести функцию
v u m ;:::; ;:::;mn
=
(
1
0
) +
m1
X
i1 =0
mX
j;1 mX
j+1
ij;1 =0 ij+1 =0
mn
X
in =0
a i ;:::;mj ;:::;in u i ;:::; ;:::;in ;
( 1
)
( 1
0
(4)
)
то уравнение (1) запишется в виде
@ mj v
@xmj j
X
m1
+
i1 =0
mX
j;1 mX
j+1
ij;1 =0 ij+1 =0
mn mX
j ;1 X
in =0 ij =0
a i ;:::;in ) ; Cmij j
( 1
@ mj ;ij a i ;:::;mj ;:::;in u
i ;:::;in
@xmj j ;ij
( 1
mX
j ;1
+
ij =0
)
( 1
a m ;:::;ij ;:::;mn u m ;:::;ij ;:::;mn
(
)
1
(
1
) +
) =
f:
(5)
Из (4) находим
u m ;:::;ij ;:::;mn
(
1
mX
m
j; mX
j
mn X
@ ij v ; X
i ;:::;mj ;:::;in u
a
i ;:::; ;:::;in
@xijj
i
ij ;
ij
in
mX
ij
m
j; mX
j
mn X
i ;i
X
@ ij v ; X
i @ j a i ;:::;mj ;:::;in u
C
i ;:::;i;:::;in :
i
j ij ;i
@xijj
@xj
i
ij;
ij
in
i
1
1
) =
+1
( 1
1 =0
1 =0
+1 =0
1
1
)
( 1
0
)
=
=0
+1
( 1
=
1 =0
1 =0
+1 =0
=0
)
( 1
)
=0
Подставив это выражение в (5), получим
@ mj v
@xmj j
mX
j ;1
+
+
;
ij =0
m1
X
ij
a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v
@xj
(
)
1
mX
j;1 mX
j+1
+
mn
X
mj ;1 X
i1 =0 ij;1 =0 ij+1 =0 in =0
mX
ij X
mX
j ;1 X
m1
j;1 mX
j+1
ij =0 i=0 i1 =0
ij;1 =0 ij+1 =0
mj ;ij
a i ;:::;in ; Cmij j @ mj ;ij a i ;:::;mj ;:::;in u i ;:::;in ;
@xj
ij
mn
ij ;i
X
a m ;:::;ij ;:::;mn Ciij @ ij ;i a i ;:::;mj ;:::;in u i ;:::;i;:::;in
@xj
in
( 1
)
( 1
)
( 1
)
=0
(
)
1
( 1
=0
)
( 1
) =
f:
В последней сумме поменяем порядок суммирования и переобозначим индексы суммирования:
mX
ij
j ;1 X
ij =0 i=0
aij ; i
mX
j ;1 mX
j ;1
=
i=0 ij =i
46
aij ; i
mX
j ;1 mX
j ;1
=
ij =0 i=ij
ai; ij :
Тогда уравнение (5) (а значит, и (1)) запишется в виде
@ mj v
@xmj j
mX
j ;1
+
ij =0
+
ij
a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v
@xj
(
)
1
m1
X
i1 =0
mX
j;1 mX
j+1
+
ij;1 =0 ij+1 =0
mj ;1 X
mn
X
mj ;ij
a i ;:::;in ; Cmij j @ mj ;ij a i ;:::;mj ;:::;in ;
@xj
in
ij
mX
;
j
i;ij
@
i
j
m
;:::;i;:::;m
i
;:::;m
;:::;i
n
j
n
; a
Ci i;ij a
u i ;:::;i;:::;in
@xj
i ij
v
u
xj
=0
( 1
( 1
)
)
=0
1
(
)
1
( 1
)
( 1
) =
=
Очевидно, если выполняются условия (2), то для функции
Если (3) решается в квадратурах, то для функции
отсутствует дифференцирование по переменной
понижен на
mj
получим уравнение (3).
получим уравнение (4), в котором
, т. е. порядок исходного уравнения будет
единиц.
j
: : : mn
Количество тождеств в условиях (2) для фиксированного
Всего имеется
n
N
m
= [(
1 + 1)
: : : mj;
(
1 + 1)(
mj
f:
+1 + 1)
(
равно
+ 1)
; mj :
1]
вариантов тождеств вида (2). При этом в каждом случае порядок уравнения
будет понижен на соответствующее значение
mj
.
Таким образом, при выполнении тождеств (3) задача понижения порядка уравнения в частных производных сводится к задаче отыскания решения уравнения высшего порядка с дифференцированием лишь по одной из переменных. Теория обыкновенных линейных дифференциальных уравнений не переносится дословно на случай (3). В частности, теорема о том, что
вронскиан
mj
решений или тождественно равен нулю, или в нуль не обращается, уже не имеет
2
1 = exp( 1 2 ),
2 = exp( 1 2 ) уравне3
+ 2
= 0, вронскиан которых равен
2 ( 2 + 1)
1
v
места. Действительно, достаточно рассмотреть решения
ния
@2
@x21 v ; x
@
@x
x
v xv
W x ;x
(
1
2) =
x x ;
2( 2
1) exp[
xx v
x x
2(
xx
x :
2 + 1) 1 ]
Этот пример приведен в [6], там же предложена некоторая модификация указанной общей теории, делающая ее пригодной и для (3). Для нас же основным является вопрос о разрешимости
(3) в квадратурах.
2. Будем искать условия разрешимости, предполагая, что
@ ij a m ;:::;ij ;:::;mn 2 C D ; i
; mj ; :
j
@xijj
Пусть существует такая функция c c x ; : : : ; xj ; ; xj
; : : : ; xn , что коэф(
Теорема 2.
)
1
(
)
= 0
(
1
1
(6)
1
+1
)
фициенты уравнения (3) удовлетворяют (6) и имеют вид
причем
k k x ; : : : ; xn
(
1
@ mmj ;;iij k
j j
a(m1 ;:::;ij ;:::;mn) Cmij j @xj k
) =
c
hZ
exp
Z
a(m1 ;:::;mj ;1;:::;mn ) dx
j
mj
где
mj
=
As As x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn , s
(
1
1
+1
)
; mj ;
= 0
47
k
2
(7)
. Тогда решение (3) дается формулой
Z
)
; mj ; ;
= 0
i
kf dx
j :{z: : dx}j
|
(
v
; ij
+
mP
j ;1
xs As
s=0 j
;
1, | произвольные непрерывные функции.
(8)
Доказательство. Действительно, умножим обе части уравнения (3) на функцию
k x ; : : : ; xn
(
1
@ mj v
k @x
mj
j
mX
j ;1
+
ij =0
ij
ka m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v kf:
@xj
(
)
1
=
=
(9)
Выражение, стоящее в левой части уравнения (9), является точной производной порядка
переменной
xj
от функции
kv
)
1
(
Отсюда
Z
по
при условиях
= 0
которые в силу (7) имеют место. Если
Положим
mj
mj ;ij
ka m ;:::;ij ;:::;mn Cmij j @ mj ;ij k; ij ; mj ; ;
@xj
ij mj ;
ka m ;:::;mj ; ;:::;mn mj @x@ k:
j
(
В качестве
k
):
=
(
1
1
1, то это тождество примет вид
1
1
a m ;:::;mj ; ;:::;mn dx
j
mj
1
)
= ln
)
jkj x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn :
+
(
1
1
)
+1
можно, очевидно, взять любую непрерывную функцию.
x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn ; c x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn
(
1
1
)
+1
ln
(
1
следует
k c x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn
=
(
1
1
+1
1
+1
), отсюда, в частности,
a m ;:::;mj ; ;:::;mn dx ;
j
mj
Z
(
) exp
1
1
)
что совпадает с предположением теоремы. Таким образом, уравнение (9) при условиях (7) принимает вид
@ mmjj (kv ) = kf .
@xj
mj
Проинтегрировав его
xj
раз по переменной
, получим (8).
Теорема 3. Если коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условиям (6) и выполняются тождества
mj ; ;ij
a m ;:::;ij ;:::;mn Cmij j ; @ mj ; ;ij a m ;:::;mj ; ;:::;mn ; ij ; mj ; ;
@xj
то его решение v находится из уравнения
j;
@ v a m ;:::;mj ; ;:::;mn v Z Z f dx : : : dx mX
xsj As;
j {z }j
|
@xj
s
(
1
)
1
1
(
1
1
1
)
= 0
2
(10)
2
+
где
(
1
1
)
As As x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn , s
(
1
1
)
+1
+
=
; mj ;
= 0
mj ;1
(11)
=0
2, | произвольные непрерывные функции.
Доказательство. Убедиться в справедливости этого утверждения можно на основе тождеств
mX
j ;1
ij =0
mj ; ;
ij
a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v @ mj ; a m ;:::;mj ; ;:::;mn v ;
@xj
@xj
(
1
)
1
(
1
1
1
)
выполняющихся при условиях (10). Это следует из соотношений
@ mj ; ;a m ;:::;mj ; ;:::;mn v
@xmj j ;
1
1
(
1
1
)
mX
j ;1
=
ij =0
mj ; ;ij
ij
Cmij j ; @ mj ; ;ij a m ;:::;mj ; ;:::;mn @ ij v:
@xj
@xj
1
1
(
1
1
При выполнении условий (10) уравнение (3) примет вид
@ mj v @ mj ; ;a m ;:::;mj ; ;:::;mn v f
@xmj j @xmj j ;
1
+
1
(
1
48
1
)
=
1
)
или, что то же самое,
@ mj ; @ v a m ;:::;mj ; ;:::;mn v f:
@xmj j ; @xj
mj ;
xj
1
(
+
1
Проинтегрировав это уравнение
1
1
)
=
1 раз по переменной
, получим утверждение теоремы.
Очевидно, линейное дифференциальное уравнение (11) решается в квадратурах.
Теорема 4. Если коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условиям (6) и выполняются тождества
mjX
;t;1
@ a m ;:::;k
; k Ckt t @x
k
j
k
(
k=1
1)
(
+
1
t;:::;mn ) 0;
; mj ; ;
t
+
= 0
2
то его решение находится из уравнения (11).
Доказательство может быть построено на идее последовательного понижения порядка рассматриваемого уравнения на единицу с привлечением метода математической индукции. Перепишем уравнение (3) в виде
@ mj v
@xmj j
mX
j ;1
+
ij =1
ij
a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v a m ;:::; ;:::;mn v f:
@xj
(
)
1
(
+
0
1
)
=
Учитывая, что
ij
a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v
@xj
(
)
1
=
@ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij ; v ; @ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij ; v; i ;
j
@xj
@xj
@xijj ;
@xijj ;
(
1
)
1
(
1
1
)
1
1
1
перепишем его
@ mj v
@xmj j
mX
j ;1 +
ij =1
@ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij ; v ; @ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij ; v a m ;:::; ;:::;mn v f:
@xj
@xj
@xijj ;
@xijj ;
ij ij
(
1
)
1
(
1
Сделав замену индекса суммирования
на
1
)
1
+
1
(
1
0
)
=
+ 1 и совершив некоторые очевидные преобра-
зования, представим его следующим образом:
@ @ mj ; v
@xj @xmj j ;
mX
j ;2
1
1
+
ij =0
a m ;:::;ij
(
1
+1
;:::;mn )
j;
@ ij v ; mX
@ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v ;
i
j
@xj
@xijj
ij @xj
; @x@ a m ;:::; ;:::;mn v a m ;:::; ;:::;mn v f:
j
2
(
+1
1
)
=1
(
1
1
)
+
(
1
0
)
=
Далее, учитывая
@ a m ;:::;ij
@xj
(
1
;:::;mn )
+1
@ ij v
@xijj
=
@ @ a m ;:::;ij
@xj @xj
(
1
+1
;:::;mn )
@ ij ; v ;
@xijj ;
@ a m ;:::;ij
; @x
j
1
1
2
(
2
1
+1
;:::;mn )
@ ij ; v; i ;
j
@xijj ;
1
1
1
запишем его в виде
@ @ mj ; v
@xj @xmj j ;
mX
j ;2
1
1
+
ij =0
j;
@ ij v ; mX
@ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v
@xijj ij @xj
@xijj
mX
j;
@ a m ;:::;ij ;:::;mn @ ij v
@xijj
ij @xj
@ a m ;:::; ;:::;mn ; @ a m ;:::; ;:::;mn a m ;:::; ;:::;mn v f:
@xj
@xj
3
a m1 ;:::;ij +1;:::;mn)
(
(
3
2
2
(
2
=1
2
(
+2
)
+
=0
+
+
1
1
2
+2
1
)
49
)
(
+
1
1
)
+
(
1
0
)
=
(12)
Затем, применяя ко второй строке (12) только что изложенный прием, получим некоторый
аналог (12). Продолжая эту процедуру, окончательно получим
@ @ mj ; v
@xj @xmj j ;
mX
j ;2
1
1
+
@ ij v @xijj
mjX
; ;k k;
@ a m ;:::;ij k;:::;mn @ ij v : : :
; k
@xkj ;
@xijj
ij
j;
k
mj ;
ij mX
@
@
m
;:::;m
;
;:::;m
k @ a m ;:::;ij
m
j
n
j
v
;
;
a
@xkj
@xmj j ;
@xijj
k
ij =0
a m ;:::;ij
(
1
+1
;:::;mn )
+
1
+(
1
1)
1)
+
1
)
+
+
1
2
+(
(
1
=0
+
(
2
1
1
)
+
(
(
1)
1
;:::;mn ) v = f
+1
=0
или
@ @ mj ; v
@xj @xmj j ;
mX
;1;k
j ;1 mjX
1
1
+
ij =0
k=1
;
(
k;1
1)
@ k; a m ;:::;ij
@xkj ;
1
(
1
1
k;:::;mn )
+
@ ij v
@xijj
+
mX
j ;1
+
k=0
@ a m ;:::;k;:::;mn v f:
; k @x
k
j
k
(
(
1)
)
1
=
Изменим порядок суммирования в двойной сумме
@ @ mj ; v
@xj @xmj j ;
mX
;1;ij
j ;2 mjX
1
1
+
ij =0
k=1
k;1
;
(
1)
@ k; a m ;:::;ij
@xkj ;
1
1
(
1
@ ij v
@xijj
k;:::;mn )
+
mX
j ;1
+
k=0
(
+
@ a m ;:::;k;:::;mn v f:
; k @x
k
j
k
(
1)
)
1
=
(13)
Таким образом, при выполнении тождества
mX
j ;1
k=0
@ a m ;:::;k;:::;mn ; k @x
k
j
k
(
(
1)
)
1
0
(14)
порядок уравнения понижается на единицу путем интегрирования (13) по переменной
@ mj ; v
@xmj j ;
mX
;1;ij
j ;2 mjX
1
1
где
+
ij =0
k=1
c c x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn
k k
1
1(
1
1
декса суммирования
@ mj ; v
@xmj j ;
+1
на
k;1
1)
+
ij =0
@ k; a m ;:::;ij
@xkj ;
1
(
1
1
+
k;:::;mn )
@ ij v
@xijj
Z
=
:
f dxj c ;
+
1
) | произвольная непрерывная функция. Сделав замену ин-
+ 1, имеем
mX
;ij ;2
j ;2 mjX
1
1
;
(
xj
k=0
k
(;1)
@ k a m ;:::;ij
@xkj
(
1
k ;:::;mn )
+ +1
@ ij v
@xijj
Z
=
f dxj c :
+
(15)
1
Порядок уравнения понижен на единицу. Выясним, как будет выглядеть условие понижения
порядка на единицу для уравнения (15), играющее роль (14). Обозначим
Коэффициент уравнения при производной порядка
mjX
;ij ;2
l=0
@ a m ;:::;ij
; l @x
l
j
l
(
ij
1)
(
50
1
имеет вид
l ;:::;mn ) :
+ +1
f
1
Z
=
f dxj
+
c
1.
Записывая условие (14) для (15), получим
mX
j ;2
k
(;1)
k=0
или
;k;
l
@ k mjX
l @ a m ;:::;k
;
@xkj l
@xlj
2
(
(
1)
1
l ;:::;mn )
+ +1
=0
mX
;k;2
j ;2 mjX
k=0
l=0
k+l
+
=
+
1)
Сделаем замену индекса суммирования
mX
j ;2 mX
j ;2
k=0
(
r=k
0
@ k l a m ;:::;k l ;:::;mn :
@xkj l
r k l
@ r a m ;:::;r ;:::;mn ; r @x
r
j
;
(
(
+
(
1)
+ +1
1
+1
1
)
)
0
0
или
mX
j ;2
(
k=0
@ a m ;:::;k
; k @x
k
j
k
k
+ 1)(
(
1)
1
+1
;:::;mn )
:
0
(16)
При выполнении этого тождества получим уравнение, аналогичное (15), порядок которого равен
mj ;
2,
mX
;3;ij
j ;3 mjX
@ mj ; v
@xmj j ;
2
+
2
ij =0
k=0
ij ;k;
l
@ k mj ;X
l @ a m ;:::;ij
;
@xkj
@xlj
l
3
k
(;1)
(
(
1)
1
k l ;:::;mn )
+ + +2
=0
@ ij v
@xijj
=
Z
f dxj c ;
=
где
c c x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn
2
2(
1
1
+1
+
1
2
) | произвольная непрерывная функция. Преобразовав ле-
вую часть этого уравнения, запишем его в форме
@ mj ; v
@xmj j ;
mX
;3;ij mj ;X
ij ;k;3
j ;3 mjX
2
2
+
ij =0
k=0
@ k l a m ;:::;ij
@xkj l
r k l
@ r a m ;:::;ij r
; r @x
r
j
;
(
l=0
Сделаем замену индекса суммирования
@ mj ; v
@xmj j ;
mX
;3;ij mjX
;ij ;3
j ;3 mjX
2
2
+
ij =0
k=0
r=k
+
k+l
1)
+
=
(
(
1
k l ;:::;mn )
+ + +2
@ ij v
@xijj
Z
=
f dxj c :
+
1
2
+
(
1)
;:::;mn )
+ +2
1
@ ij v
@xijj
Z
=
f dxj c :
1
+
2
Учитывая, что
mjX
;ij ;3
r=k
@ a m ;:::;ij
; r @x
r
j
r
(
(
1)
1
r ;:::;mn )
+ +2
= (
k
@ a m ;:::;ij
; k @x
k
j
k
+ 1)(
(
1)
1
k ;:::;mn ) ;
+ +2
последнее соотношение запишем в форме
@ mj ; v
@xmj j ;
mX
;3;ij
j ;3 mjX
2
2
Обозначим
f
Z
2 =
+
ij =0
k=0
f dxj c ft
1
+
2,
k
(
@ a m ;:::;ij
; k @x
k
j
k
+ 1)(
Z
=
1)
(
1
ft; dxj ct t +
1
,
k ;:::;mn )
+ +2
@ ij v
@xijj
Z
=
f dxj c :
1
+
2
2. Для дальнейших рассуждений будем
использовать равенство
nX
+1
k=1
kk
(
+ 1)
::: k i
(
+ ) =
n
(
+ 1)
::: n i
i
(
+ 2
51
+
+ 2)
; n; i 2 N;
(17)
которое нетрудно доказать индукцией по
ni
,
. Уравнение, порядок которого понижен на
t
единиц
при помощи изложенного метода, будет иметь вид
@ mj ;t v
@xmj j ;t
mjX
;t;1 mj ;X
ij ;t;1
+
ij =0
(
k=0
k (k + 1) : : : (k + t ; 1)
;
t;
1)
(
@ k a m ;:::;ij
@xkj
(
1)!
k t;:::;mn )
+ +
1
@ ij v
@xijj
=
Z
=
ftdxj ;
(18)
а соответствующее условие, достаточное для понижения порядка этого уравнения на единицу,
задается равенством
mjX
;t;1
;
(
k=0
1)
k (k + 1)(k + 2) : : : (k + t)
t
!
@ k a m ;:::;k
@xkj
(
1
t;:::;mn ) 0:
+
(19)
t
Для доказательства этого опять используем метод математической индукции. При
= 1
утверждение справедливо, т. к. уравнение (18) совпадает с (15), а условие (19) | с тождеством
(16). Условие понижения порядка уравнения (18) на единицу, аналогичное (16), примет вид
mjX
;t;1
k=0
или
@
; k @x
k
j
k
(
mj ;k;t;1
X
1)
l=0
mjX
;t;1 mj ;X
k;t;1
k=0
(
;
(
l=0
l (l + 1) : : : (l + t ; 1)
;
k=0
r=k
(
(
1)!
=
+
+
t;
1)
(
(
+
r (r ; k + 1) : : : (r ; k + t ; 1)
;
(
1)!
1
0
k t;:::;mn ) 0:
+ +
@ r a m ;:::;r
@xrj
(
k t;:::;mn )
+ +
1
@ k l a m ;:::;l
@xkj l
t;
r k l
(
@ l a m ;:::;l
@xlj
1)!
k+l (l + 1) : : : (l + t ; 1)
1)
Сделаем замену индекса суммирования
mjX
;t;1 mjX
;t;1
t;
1)
1
t;:::;mn )
:
t;:::;mn )
:
+
0
Изменим порядок суммирования
mjX
;t;1 X
r (r ; k + 1) : : : (r ; k + t ; 1) r=0
t;
k=0
(
1)!
@ a m ;:::;r
; r @x
r
j
r
(
(
1)
1
+
0
Используя формулу (17), вычислим
r
X
r;k
(
+ 1)
k=0
::: r ;k t ;
t;
(
(
+
1)!
1)
=
r
(
+ 1)
::: r t ;
(
+
1) +
r
(
+ 1)
+ 1
t;
::: r t ;
t t;
(
=
:::
::: t ;
2
(
1)
1)!
(
(
+
1)(
r t
+
1)!
)
=
(
r
=
+ 1)
::: r t :
t
(
+
)
!
Тогда условие понижения порядка совпадет с (19). Выясним вид уравнения, в соответствии с
(15), порядок которого понижен на
@ mj ;t; v
@xmj j ;t;
mjX
;t;2 mj ;X
t;ij ;2
1
1
+
ij =0
k=0
k
(;1)
t
+ 1,
j ;k;t;
@ k mj ;iX
l l
;
k
@xj
l
@ l a m ;:::;ij k
@x
l
j
2
(
1)
(
+ 1)
(
=0
(
52
1
::: l t ; t;
i
;:::;mn @ j v
@xijj
l t
+ + + +1
( +
1)
1)!
)
=
Z
ftdxj ct ;
+
+1
ct ct x ; : : : ; xj; ; xj ; : : : ; xn
;t; mj ;X
t;ij ; mj ;iX
j ;k;t;
@ mj ;t; v mjX
;
@xmj j ;t;
ij
k
l
где
+1 (
+1
1
1
2
1
1
),
+1
2
+
(
=0
k+l (l + 1) : : : (l + t ; 1)
2
=0
t;
@ k l a m ;:::;ij k
@x
k l
j
1)
(
=0
1)!
+
(
+
l t;:::;mn )
+ + +
1
@ ij v f :
t
@xijj
=
+1
r k l
mj ;X
t;ij ; mj ;iX
j ;k;t;
@ k l a m ;:::;ij k l t ;:::;mn
; k l l :t: ;: l t ; @x
k l
j
k
l
mj ;X
t;ij ; mj ;X
ij ;t;
@ r a m ;:::;ij r t ;:::;mn
; r r ; k :t: ;: r ; k t ; @x
r
j
r
k
mj ;X
t;ij ; X
r r;k
r
::: r ; k t ;
r @ a m ;:::;ij r t ;:::;mn
;
t;
@xrj
r
k
mj ;X
t;ij ;
r
: : : r t ; r @ r a m ;:::;ij r t ;:::;mn :
t
@xrj
r
t
;t; mj ;X
t;ij ;
: : : k t @ k a m ;:::;ij k t ;:::;mn @ ij v f :
@ mj ;t; v mjX
k k
;
t
t
@xkj
@xmj j ;t;
@xijj
ij
k
t
t
t mj ;
Сделаем замену индекса суммирования
2
2
(
=0
1)
+ ( + 1)
=
(
(
=0
2
2
=
(
+
2
(
=
=0
+
1)
+ 1)
(
(
+ 1)
(
(
=0
(
+
=0
=0
и изменим порядок суммирования, тогда
1)!
(
1)
+
+
+
1)
2
(
=
(
2
2
+
1
(
=0
1)
(
(
(
+
)
=
+ + +1
1
)
+ + +1
1
(
!
(
1)
)
=
=
+ + +1
1
)
+ 1, есть
+ 1)
(
+
)
(
+ + +1
1
)
=
!
=0
Оно соответствует (18), где вместо
(
1)
+ 1)
=0
1
1)
)
1)!
1)!
Уравнение, порядок которого понижен на
+ + + +1
1
взято
+ 1. При
=
+1
1 получим линейное уравнение
первой степени
@ v a m ;:::;mj ; ;:::;mn v
@xj
(
+
1
1
)
Z
=
mX
j ;2
Z
f dx
j :{z: : dx}j
|
+
mj ;1
s=0
xsj As;
разрешимое в квадратурах. Таким образом, для того чтобы решить уравнение с помощью данного метода, достаточно выполнения следующих условий:
mX
j ;1
k=0
mjX
;t;1
k=0
;
(
1)
@ a m ;:::;k;:::;mn ;
; k @x
k
j
k
(
(
1)
k (k + 1) : : : (k + t)
@ k a m ;:::;k
@xkj
(
t
!
)
1
1
0
t;:::;mn ) 0;
+
t
= 1
; mj ; :
2
Компактнее оба эти условия записываются в виде
mjX
;t;1
k=1
(
@ a m ;:::;k
; k Ckt t @x
k
j
k
1)
+
(
1
t;:::;mn ) 0;
+
t
; mj ; : = 0
2
3. Применяя изложенные рассуждения к конкретным уравнениям вида (1), получим условия
их разрешимости в квадратурах. Например, для уравнения пятого порядка
u
(3 2) +
a u
(3 1)
(3 1) +
a
(3 0)
u
a u
a u
(3 0) +
+
(2 2)
(2 0)
a u
a u
(2 2) +
(2 0) +
(1 2)
(1 1)
a u
a u
(1 2) +
(1 1) +
(0 2)
(1 0)
a u
a u
(0 2) +
(1 0) +
(2 1)
(0 1)
(2 1) +
(0 1) +
a
(0 0)
u
(0 0) =
f
(20)
применение теорем 2{4 приводит к двенадцати наборам тождеств, при выполнении любого из
которых уравнение (20) решается в квадратурах.
53
Литература
1. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникаю-
щих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. { 1982. { Т. 18. { Є 4. { С. 689{699.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. | М.: Высш. шк., 1995. { 301 с.
3. Фаге М.К., Нагнибида Н.И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифферен-
циальных операторов. { Новосибирск: Наука, 1987. { 280 с.
4. Бондаренко Б.А.
Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений
уравнений в частных производных. { Ташкент: ФАН, 1987. { 146 с.
5. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными про-
изводными. { Казань: Казанск. матем. об-во, 2001. { 226 с.
6. Жегалов В. И. Об одной системе уравнений смешанного типа высшего порядка // Изв.
вузов. Математика. { 1975. | Є 6. { С. 25{35.
Казанский государственный
Поступила
университет
05.09.2005
54