close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об условиях применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям независимых случайных величин.

код для вставкиСкачать
УДК 519.214
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 4
ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ УСИЛЕННОГО ЗАКОНА
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН∗
В. М. Корчевский
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, valery_ko@list.ru
1. Введение. Классическая теорема Колмогорова [1] об усиленном законе больших
чисел утверждает, что если X1 , X2 , . . . — последовательность независимых случайных
величин с конечными дисперсиями и
∞
DXn
< ∞,
n2
n=1
(1)
то имеет место соотношение
Sn − ESn
→0
n
п.н.,
(2)
где Sn = X1 + . . . + Xn . Если условие (1) не выполнено, то соотношение (2) может
не иметь места. Условие (1) будем называть условием Колмогорова. Показано [2], что
при некоторых дополнительных предположениях условие Колмогорова достаточно для
применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям неотрицательных случайных величин без каких-либо предположений о независимости.
Классическая теорема Маркова (см., например, [3]) утверждает, что если
X1 , X2 , . . . — произвольная последовательность случайных величин с конечными дисперсиями и
(3)
DSn = o(n2 ) (n → ∞),
то (Sn − ESn )/n → 0 по вероятности. Условие (3) будем называть условием Маркова.
Как показано В. В. Петровым [4], некоторое усиление условия Маркова приводит к усиленному закону больших чисел в форме (2).
Следуя Петрову [4, гл. 9], будем использовать обозначение Ψc для множества функций ψ(x) таких, что каждая
ψ(x) положительна и не убывает в области x > x0 при
некотором x0 и ряд
1/(nψ(n)) сходится. Здесь
f (n) означает суммирование по
всем целым положительным n, для которых значения f (n) определены и положительны. Значение x0 не предполагается одним и тем же для различных функций ψ(x). Если
в этом определении заменим слово «сходится» словом «расходится», то мы получим
определение класса функций Ψd . Примерами функций класса Ψc являются функции
xδ и (log x)1+δ при любом δ > 0. Функции log x и log log x принадлежат классу Ψd .
Теорема Петрова [4, гл. 9, теорема 26] утверждает, что если X1 , X2 , . . . — последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями и
2 n
DSn = O
(4)
для некоторой функции ψ ∈ Ψc ,
ψ(n)
∗ Работа
c
32
выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00314-а).
В. М. Корчевский, 2010
то имеет место соотношение (2). Условие (4) будем называть условием Петрова. Это
условие нельзя ослабить, потребовав вместо него выполнение содержащегося в (4) равенства для некоторой функции ψ ∈ Ψd . Как показано в [4], для любой функции ψ ∈ Ψd
такой, что n/ψ(n) не убывает в области n > n0 при некотором n0 , существует последовательность независимых случайных величин X1 , X2 , . . . с конечными дисперсиями,
для которой DSn = O(n2 /ψ(n)), но соотношение (2) не имеет места. В [5] показано,
что при некоторых дополнительных предположениях условие Петрова достаточно для
применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям случайных величин без каких-либо предположений о независимости.
Условия (3) и (4) имеют суммарный характер, в отличие от условия (1), для проверки выполнения которого требуется информация о дисперсиях индивидуальных случайных величин из рассматриваемой последовательности.
Если случайные величины X1 , X2 , . . . независимы, то условие Петрова равносильно
условию
2 n
n
DXk = O
(5)
для некоторой функции ψ ∈ Ψc .
ψ(n)
k=1
Нашей целью является исследование связи между условиями (1) и (5).
2. Результаты. Пусть b1 , b2 , . . . — последовательность положительных чисел. Нас
интересует связь между условиями
∞
bn
< ∞,
n2
n=1
n
k=1
n2
bk = O
ψ(n)
(6)
для некоторой функции ψ ∈ Ψc .
(7)
Лемма. Пусть b1 , b2 , . . . — последовательность положительных чисел. Для того
чтобы было выполнено соотношение (6), необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная функция f (n), n = 0, 1, 2, . . ., такая, что
f (n) → ∞ (n → ∞),
∞
1
< ∞,
nf
(n)
n=1
n
k=1
bk =
n2
.
f (n)
(8)
(9)
(10)
Доказательство. Сначала докажем достаточность. Пусть существует положительная функция f (n), n = 0, 1, 2, . . ., такая, что выполнены соотношения (8), (9) и (10).
Из соотношения (10) следует, что
bn =
(n − 1)2
n2
−
.
f (n) f (n − 1)
Имеем
33
∞
∞
bn
=
n2 n=1
n=1
n2
f (n)
=
(n−1)2
f (n−1)
n2
−
∞
(
n=1
=
1
2
1
1
−
+
−
) = T1 + T2 − T3 ,
f (n) f (n − 1) nf (n − 1) n2 f (n − 1)
где
T1 =
∞
(
n=1
T2 =
T3 =
(11)
1
1
−
),
f (n) f (n − 1)
∞
2
,
nf (n − 1)
n=1
∞
n=1
1
n2 f (n
− 1)
.
Из (8) и (9) следует, что все три ряда T1 , T2 и T3 сходятся, поэтому имеет место (6).
Теперь докажем необходимость. Пусть выполнено условие (6). Определим функцию
f (n) равенствами
n2
(n 1), f (0) = 1.
(12)
f (n) = n
k=1 bk
Таким образом, f (n) — положительная функция такая, что выполнено равенство (10).
Из (6) и леммы Кронекера (см., например, [4]) получаем соотношение (8). Учитывая (6),
(8), (10) и (11), приходим к утверждению о сходимости рядов T1 , T3 и T2 . Отсюда
следует (9). Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть b1 , b2 , . . . — последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (7). Тогда имеет место соотношение (6).
Доказательство. Определим функцию f (n) равенствами (12). Эта положительная функция удовлетворяет равенству (10). Из (7) и (10) следует, что
2 n
n2
ψ(n)
=O
= O(1)
(n → ∞).
,
f (n)
ψ(n)
f (n)
Отсюда следуют (8) и (9). Таким образом, соотношение (6) выполнено в силу леммы.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть b1 , b2 , . . . — последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (6), и f (n) — функция, определенная равенствами (12). Если существует неубывающая функция ψ0 (x) такая, что
ψ0 (n) f (n)
(n → ∞),
(13)
то ψ0 (x) принадлежит классу Ψc и
n
k=1
34
bk = O
n2
.
ψ0 (n)
(14)
Доказательство. В силу леммы функция f (n) положительна и удовлетворяет соотношениям (8), (9) и (10). Из (9) и (13) следует, что 1/(nψ0 (n)) < ∞, таким образом,
n
функция ψ0 (x) принадлежит классу Ψc . Из (12) и (13) следует (14). Теорема 2 доказана.
Литература
1. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.
2. Etemadi N. On the law of large numbers for non-negative random variables // J. Multivariate
Analysis. 1983. Vol. 13. P. 187–193.
3. Petrov V. V. Limit theorems of probability theory. Oxford: Clarendon Press, 1995.
4. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.
5. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для последовательности неотрицательных случайных величин // Теор. вероятн. и примен. 2008. Т. 53. № 2. С. 379–382.
Статья поступила в редакцию 18 марта 2010 г.
35
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа