close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об условиях разрешимости системы линейных диофантовых уравнений в простых числах.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (532)
УДК 511.328
И.А. АЛЛАКОВ
ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
Рассмотрим систему линейных уравнений
bi = ai1 p1 + ai2 p2 + + aim pm ; i = 1; 2; : : : ; s;
(1)
где b1 ; b2 ; : : : ; bs | натуральные числа, ai1 ; ai2 ; : : : ; aim | целые коэффициенты, а p1 ; p2 ; : : : ; pm |
неизвестные простые числа. В [1] при m 2s +1, где изучалась разрешимость этой системы при
некоторых дополнительных условиях, получена асимптотическая формула для числа решений
системы (1). А при s < m 2s до сих пор не только не получена асимптотическая формула,
но даже не установлено существование решений для произвольного набора натуральных чисел
b1; b2 ; : : : ; bs .
В [2] для системы (1) при s = 2, m = 3 оценивалось количество пар (b1 ; b2 ), 1 b1 ; b2 X ,
для которых система (1) неразрешима в простых числах, т. е. количество элементов в множестве
E2 (X ) = f(b1 ; b2 ) j 1 b1; b2 X , bi = ai1 p1 + ai2 p2 + ai3 p3 , i = 1; 2g. При этом для достаточно
больших X получена степенная оценка
card E2 (X ) X 2;" ;
(2)
где " | абсолютная, эффективно вычисляемая, положительная малая постоянная.
Полагая s = n, m = n + 1, из (1) получим систему уравнений
bi = ai1 p1 + ai2 p2 + + ai;n+1 pn+1 ; i = 1; 2; : : : ; n;
(3)
состоящую из n уравнений с n + 1 простыми переменными. Для удобства обозначим
3
2a
1i a1i a1in
6a
a a 7
Ai i :::in = 664 2..i 2..i . . 2..in 775 ; i i :::in = det(Ai i :::in );
. .
.
.
1
2
1
2
1 2
1 2
1 2
ani ani anin
1
2
где 1 i1 ; i2 ; : : : ; in n + 1; i i :::in; b | определитель матрицы Ai i :::in; b , полученной из
матрицы Ai i :::in заменой in -го столбца столбцом свободных членов bi системы (3). Используем
также обозначения i = 12:::i;1;i+1;:::n+1 , bik | определитель n-порядка, полученный из i
заменой элементов k-го столбца столбцом свободных членов bi системы (3).
Для того чтобы избежать тривиальности и вырожденности, налагаем на коэффициенты aij
условия
1 2 : : : n+1 6= 0; (1 ; 2 ; : : : ; n+1 ) = 1:
(4)
Как обычно, разрешимость системы (1) зависит от следующих двух условий (см. [2]; [3],
гл. 5).
A) Для любого простого p системе уравнений
ai1 l1 + ai2 l2 + + ai;n+1 ln+1 bi (mod p); i = 1; 2; : : : ; n;
(5)
удовлетворяют некоторые целые числа l1 ; l2 ; : : : ; ln+1 с условием 1 l1 ; l2 ; : : : ; ln+1 p ; 1.
1 2
1
1 2
1 2
10
1
B) Для некоторых положительных вещественных чисел y1 ; y2 ; : : : ; yn+1 справедливы равенства
ai1 y1 + ai2 y2 + + ai;n+1 yn+1 = bi ; i = 1; 2; : : : ; n:
Для любого достаточно большого X через U (X ) обозначим множество векторов b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ),
которые удовлетворяют условиям A), B) и 1 b1 ; b2 ; : : : ; bn X . Пусть
B = maxf3jaij jg; 1 i n; 1 j n + 1:
Условия A) и B) являются необходимыми при оценке сингулярного ряда и сингулярного
интеграла, возникающих в задаче о разрешимости системы уравнений (3) в простых числах.
Поэтому при исследовании разрешимости системы (3) в простых числах рассматриваются только те b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ), которые содержатся в U (X ) (см. [2], [3]). В связи с этим возникает
вопрос: какова мощность множества U (X )?
В данной работе показано, что множество U (X ) содержит достаточно много элементов, а
именно доказана
Теорема. Если для некоторых положительных вещественных чисел y1 ; y2 ; : : : ; yn+1 выполняются неравенства
ai1 y1 + ai2 y2 + + ai;n+1 yn+1 > 0; i = 1; 2; : : : ; n;
(6)
то справедлива оценка
card U (X ) X n (B 2(n;1) (2n;1)+n ln ln B );1 :
Для сравнения отметим, что ранее при n = 2 в [2] была получена оценка
card U (X ) X 2 (B 2 ln ln B );2 :
(7)
О численных уточнениях значений констант в оценках (2) и (7) см. [4], [5].
Для доказательства приведем леммы. Пусть
P aij (i = 1; n; j = 1; n + 1) удовлетворяют условиям теоремы. Для любого целого q 1 через (q) обозначим
суммирование по всем l1 ; l2 ; : : : ; ln+1 ,
P
удовлетворяющим условиям 1 lj q, (lj ; q) = 1,
aij lj bi (mod q), i = 1; n.
1j n+1
Положим
X
N (q) = (q) 1:
(8)
2
Следующая лемма дает критерий для проверки выполнения условий (5).
Лемма 1. Для любого простого p > n + 1 равенство N (p) = 0 выполняется тогда и только
тогда, когда существует такое i, 1 i n + 1, что j j :::jn 0 (mod p) всякий раз, когда
j1 ; j2 ; : : : ; jn 2 f1; 2; : : : ; n + 1; bg n fig.
Доказательство. В случае n = 2 лемма совпадает с утверждением 3.1 работы [2]. Рассмотрим случай n > 2. В силу (4), не уменьшая общности, можем предполагать, что n+1 6
0 (mod p), где p > n + 1 | фиксированное простое число.
Для удобства сначала рассмотрим случай n = 3. Покажем, что N (p) = 0 тогда и только
тогда, когда существуют такие i, 1 i 4, что j j j 0 (mod p) всякий раз, когда j1 ; j2 ; j3 2
f1; 2; 3; 4; bgnfig. Иначе говоря, N (p) = 0 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно
из следующих условий:
i = 1; j1 ; j2 ; j3 2 f2; 3; 4; bg; 234 23b 24b 34b 0 (mod p);
i = 2; j1 ; j2 ; j3 2 f1; 3; 4; bg; 134 13b 14b 34b 0 (mod p);
i = 3; j1 ; j2 ; j3 2 f1; 2; 4; bg; 124 12b 14b 24b 0 (mod p);
i = 4; j1; j2 ; j3 2 f1; 2; 3; bg; 123 12b 13b 23b 0 (mod p):
1 2
1 2 3
11
В силу условий (4) можем предполагать, что 123 6 0 (mod p), где p 5 | фиксированное
простое число. Система сравнений
X
aij lj bi (mod p); i = 1; 2; 3;
1j 4
эквивалентна
123 l1 b23 ; 423 l4 23b ; 234 l4 (mod p);
123 l2 1b3 ; 143 l4 ;13b + 134 l4 (mod p);
123 l3 12b ; 124 l4 12b ; 124 l4 (mod p):
Так как 123 ;231 (mod p), то
213 l1 = 234 l4 ; 23b (mod p);
123 l2 = 134 l4 ; 13b (mod p);
213 l3 = 124 l4 ; 12b (mod p):
Следовательно, N (p) = 0, если полином
P (z) = (234 z ; 23b )(134 z ; 13b)(123 z ; 12b )z
является нулевым полиномом над областью целостности Zp (z ). Поскольку p 5 и deg P (z ) = 4,
то все коэффициенты этого полинома должны делиться на p, а для этого необходимо выполнение одного из следующих сравнений: 234 23b 0 (mod p), 134 13b 0 (mod p),
124 12b 0 (mod p). Пусть 234 23b 0 (mod p). Остальные случаи рассматриваются
аналогично. Так как по предположению 123 6 0 (mod p), то p 6 n (a1i ; a2i ; a3i ), i = 1; 2; 3. Поэтому
из 234 0 (mod p) и 23b 0 (mod p) следует 24b 34b 0 (mod p).
Действительно, имеем
234 = a14 A14 + a24 A24 + a34 A34 0 (mod p);
23b = b1 A14 + b2 A24 + b3 A34 0 (mod p);
24b = b1 (a22 a34 ; a24 a32 ) ; b2 (a12 a34 ; a14 a32 ) + b3 (a12 a24 ; a14 a22 );
Ai4 | алгебраическое дополнение элемента ai4 . Можно считать, что хотя бы одно из A14 , A24,
A34 отлично от нуля (иначе было бы 123 = 0). Пусть A14 6= 0, тогда
a14 (;a24A24 ; a34A34 )A;141 (mod p); b1 (;b2 A24 ; b3 A34 )A;141 (mod p)
и 24b ;b2 a34 (a22 A24 + a12 A14 + a32 A34 )+ b3 a24 (a32 A34 + a12 A14 + a22 A24 ) 0 (mod p). Аналогично
34b b1 (a23 a34 ; a24 a33 ) ; b2 (a13 a34 ; a14 a33 ) + b3 (a13 a24 ; a14 a23 ) ;b2 a34 (a23 A24 + a13 A14 +
a33 A34 ) + b3 a24(a13 A14 + a33A34 + a23A24 ) 0 (mod p). Так как 123 6 0 (mod p), а следовательно,
p 6 n (a1i ; a2i ; a3i ), то из ij j ik k 0 (mod p) следует j k k j j k j k k j j k 0
(mod p). Таким образом, в случае n = 3 лемма доказана.
Пусть теперь n > 3. В этом случае система сравнений
X
aij lj bi (mod p); i = 1; 2; : : : ; n;
1 2
эквивалентна системе
1 2
1 1 2
1j n+1
n+1 l1 bn+1;1 ; nn+1
+1;1 ln+1 (mod p);
b
n
n+1 l2 n+1;2 ; n+1
+1;2 ln+1 (mod p);
::::::::::::::::::::::::::::::
n+1 ln bn+1;n ; nn+1
+1;n ln+1 (mod p):
12
1 2 1
2 1 2
1 2 2
Следовательно, N (p) = 0, если полином
P (z ) =
n
Y
(bn+1;j ; nn+1
+1;j z )z
j =1
является нулевым полиномом над областью целостности Zp [z ], т. е. P (l) 0 (mod p) для всех l,
т. к. deg P (z ) = n + 1 < p, то это может случиться тогда и только тогда, когда
bn+1;j nn+1
+1;j 0 (mod p)
хотя бы для одного j = 1; 2; : : : ; n. В силу n+1 6 0 (mod p) это означает, что
j j :::jn; ;n+1 j j :::jn; b 0 (mod p) и j j :::jn; ;n+1;b 0 (mod p)
для всех j1 ; j2 ; : : : ; jn;1 2 f1; 2; : : : ; ng. Поскольку n+1 6 0 (mod p), то p 6 n (a1i ; a2i ; : : : ; ani ) при
i = 1; 2; : : : ; n и тогда из
ij j :::jn; ik k :::kn; 0 (mod p)
следует
jk k :::kn; : : : jn; k k :::kn; 0 (mod p):
(9)
В (9) входят все определители n-го порядка, которые можно образовать, используя столбцы
с номерами j1 ; j2 ; : : : ; jn;1 , k1 ; k2 ; : : : ; kn;1 . Таким образом, лемма 1 доказана.
n
Лемма 2. Пусть (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) | фиксированное значение b в кубе [1; m] , для которого
N (p) > 0 при всех p. Тогда существуют не менее чем N1 ,
N1 X n(mn B 2(n;1) (2n;1) );1 ;
(10)
значений (z1 ; z2 ; : : : ; zn ), удовлетворяющих условиям
nX
+1
1 zi X; zi bi (mod m);
aij yj = zi ; i = 1; n;
1 2
1
1 2
1
1 2
1 2
1 2
1
1 2
1
2
1
1 1 2
1
2
j =1
где y1 ; y2 ; : : : ; yn+1 | некоторые положительные действительные числа.
Доказательство. Решая систему уравнений
n
X
aij yj = zi ; i = 1; n;
j =1
относительно y2 ; y3 ; : : : ; yn+1 , находим
y2 = 1 (;112 y1 + z12);
1
yn+1 = 1 (;11;n+1 y1 + z1;n+1 ):
1
(11)
Если необходимо, переобозначив индексы j коэффициентов aij , можем предположить, что
;112 > 0; : : : ; ;11;n+1 > 0:
Если 1 > 0, то система (11) разрешима в положительных вещественных числах yj , а это
означает, что условие B) выполняется для любого вещественного b1 ; b2 ; : : : ; bn . Поэтому в этом
случае (10) очевидно выполняется.
Теперь рассмотрим случай 1 < 0. В этом случае система (11) будет иметь положительные
решения y1 ; y2 ; : : : ; yn+1 , если
z12 < 0; z13 < 0; : : : ; z1;n+1 < 0:
13
Обозначив xi = zzi , i = 2; 3; : : : ; n, последние условия можно записать в виде системы линейных
неравенств относительно x2 ; x3 ; : : : ; xn > 0:
z1A11 + z2 A21 + + zn An1 < 0;
z1A12 + z2 A22 + + zn An2 < 0;
1
z1A1n + z2 A2n + + znAnn < 0
или
A21x2 + + An1 xn < ;A11 ;
A22x2 + + An2 xn < ;A12 ;
A2nx2 + + Annxn < ;A1n:
Условия (6) теоремы гарантируют, что множество решений однородных неравенств непусто
и, следовательно, можем считать, что U1 < x2 ; : : : ; xn < U2 , где 0 U1 < a(n; B ), и
1
n (n;1) :
(12)
a2(n; B ) < U2 ; U1 < a(n; B ); a(n; B ) = [(n ; 1)!] B
Пусть z1 b1 (mod m) | фиксированное число, тогда Ai | количество zi , удовлетворяющих
условиям
(13)
1 zi X; zi bi (mod m); U1 < zi z1;1 < U2 ; i = 1; n;
можно записать в виде
Ai = minfzi (U2 ; U1)m;1 ; (X ; z1U1 )m;1 g + O(1):
(14)
Действительно, из (13) находим U1 z1 < zi < U2 z1 , zi = bi + mt, m;1 (U1 z1 ; bi ) < t < (U2 z1 ; bi )m;1 .
Отсюда количество t и, следовательно, количество zi , удовлетворяющих условиям (13), равно
U z U z 1
2 1
1 1
;
; " = (U ; U )z ; " :
(15)
2
2
2
m
m
m 2 1 1
С другой стороны, zi X , zi bi (mod m), поэтому t m;1 (X ; bi ) и количество zi , удовле-
творяющих условиям (13), равно
X ; b U z ; b i; 1 1
i ; " = 1 (X ; U z ) ; " ;
(16)
3
1 1
3
m
m
m
где "2 и "3 равно единице или нулю в зависимости от того, является ли m;1 (U2 ; U1 )z1 и m;1 (X ;
U1 z1 ) целым или нет. Из (15) и (16) следует (14).
В силу (12) при z1 X (2U1 );1 (z1 X=2a(n; B )2 ) из (14) находим
Ai minfz1 B ;2(n;1) m;1; X (2m);1 g ; O(1) z1 (B 2(n;1) m);1 ; O(1); если X > 2z1 B ;2(n;1) :
Собирая такие оценки для всех i = 2; 3; : : : ; n, получим
A = A2A3 : : : An [z1 (B 2(n;1) m);1 ; O(1)]n;1 :
Теперь суммируя по всем z1 , удовлетворяющим условиям z1 b1 (mod m) и 1 z1 X=2a(n; B )2 ,
убедимся, что
X
N1 fz1 (B 2(n;1) m);1 ; O(1)gn;1 :
2
2
2
2
z1
14
2
Разлагая выражение, стоящее под суммой, по формуле бинома Ньютона, а затем суммируя по
z1 каждый член отдельно, находим
n;1
X n;1
X
t N1 (mB 2(n;1) );n+1
z1n;1 (mB 2(mn;1) )n;1
;b
z X=2a(n;B )
t a Xn;B
m
z b (mod m)
; b1 n Xn
Xn
B 2(n1;1) 2aX
(n; B )2 m
mnB 2(n;1) +2n(n;1) B 2(n;1) (2n;1) mn :
Таким образом, лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы. По определению U (X ) количество векторов b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) 2
U (X ) определяется двумя условиями A) и B). Сначала рассмотрим условие A). В силу (8)
достаточно определить количество b, для которых выполняется N (p) > 0 для всех p. Пусть
p1 ; p2 ; : : : ; ps | все простые числа, не превосходящие n + 1. Тогда N (pi ) > 0 (i = 1; 2; : : : ; s), если
b1; b2 ; : : : ; bn лежат в некотором подходяще выбранном классе вычетов по модулю m1 = p1 p2 : : : ps ,
например, когда bi ai1 + + ai;n+1 (mod m1 ), i = 1; 2; : : : ; n ((l1 ; l2 ; : : : ; ln+1 ) (1; 1; : : : ; 1)).
Для p > n + 1, применяем лемму 1. Сначала, если p 6 n 1 2 : : : n+1 , то независимо от значений b1 ; b2 ; : : : ; bn лемма 1 означает, что N (p) > 0. Во-вторых, ввиду (4) можем полагать, что
q1(1) ; q2(1) ; : : : ; qu(1) | это те простые числа, большие n + 1, которые делят точно один из определителей j , j = 1; 2; : : : ; n + 1; q1(2) ; q2(2) ; : : : ; qu(2) | те делители, которые делят точно два из них, и
т. д., q1(n); q2(n) ; : : : ; qu(nn) | те делители, которые делят точно n из них.
Рассмотрим q = q1(1) и пусть q n n+1 , q 6 n 1 2 : : : n . В силу (9), если q n bn+1;n , то q n b1;n+1 ,
q n b2;n+1 ; : : : ; q n bn;n+1. Поэтому N (p) = 0 тогда и только тогда, когда q n bn+1;n . Сравнению
bn+1;n 0 (mod q) удовлетворяют точно qn;1 значений b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ). Действительно, фиксируем b3 ; b4 ; : : : ; bn , тогда существуют q пар (b1 ; b2 ), которые удовлетворяют указанному сравнению. Учитывая, что 1 b3 ; b4 ; : : : ; bn q получим qn;2 q = qn;1 значений b. Поэтому для каждого
оставшегося qn ; qn;1 = '(qn ) значений b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) имеем q 6 n bn+1;n и, следовательно,
N (p) > 0.
Пусть теперь q = q1(2) и q n (n+1 ; n ), q 6 n 1 2 : : : n;1 . Следовательно, q n bn+1;n .
Так как q 6 n 1 2 : : : n;1 , то можем полагать, что q 6 n (a1j ; a2j ; : : : ; anj ) (j = n; n + 1). При
j = n имеем f1; 2; : : : ; n; n + 1; bg n fng = f1; 2; : : : ; n ; 1; n + 1; bg. Если
12:::n;1;n+1 12:::n;1;b 23:::n;1;n+1;b 13:::n;1;n+1;b 123:::n;2;n+1;b 0 (mod q);
то N (q) = 0. Согласно условию n = 12:::n;1;n+2 0 и bn;n+1 = 12:::n;1;b 0 (mod q). Поэтому
(N (q) = 0) , (23:::n;1;n+1;b 13:::n;1;n+1;b 123:::n;2;n+1;b 0 (mod q)):
Каждое из этих сравнений имеет qn;1 решений относительно b1 ; b2 ; : : : ; bn по модулю q. Следовательно, количество решений этой системы не больше qn;1 . Аналогично при j = n + 1 получим
систему, состоящую из n ; 1 сравнений
23:::n;1;n;b 0; 134:::n;1;n;b 0; : : : ; 12:::n;2;n;b 0 (mod q):
Количество решений этой системы не больше qn;1 . Следовательно, N (q) > 0 для не менее чем
qn ; 2qn;1 значений b = (b1; b2 ; : : : ; bn ) по модулю q.
Аналогично находим, что N (q) > 0 для
q = q1(3) ; qn ; 3qn;1 (j = n ; 1; n; n + 1);
q = q1(4) ; qn ; 4qn;1 (j = n ; 2; n ; 1; n; n + 1);
2
2
2
1
1
2 (
1
2
1
)2
3
1
2
q = q1(n); qn ; nqn;1 (j = 2; 3; : : : ; n; n + 1)
соответственно значений b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) по модулю q.
15
2
2
Пусть m = m1 q1(1) : : : qu(1) q1(2) : : : qu(2) : : : q1(n) : : : qu(nn) . Из сказанного выше заключаем, что существуют по крайней мере
u
u
un
Y
Y
Y
(qj(1) )n;1 '(qj(1) ) ((qj(2) )n ; 2(qj(2) )n;1 ) : : : ((qj(nn) )n ; n(qj(nn) )n;1 )
(17)
1
2
1
j1 =1
2
1
1
2
j2 =1
2
jn =1
значений b = (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) по модулю m, для которых N (p) > 0 для всех простых p.
Теперь рассмотрим условие B). Пусть (b1 ; b2 ; : : : ; bn ) | фиксированное значение b в кубе
[1; m]n , для которого N (p) > 0 при всех p. Тогда в силу (17) и (10) из определения U (X ) получим
m n Y
u
u
un
Y
(1) (1) ;1 Y
(2)
card U (X ) N1 n
'(qj )(qj )
(1 ; 2=qj ) : : : (1 ; n=qj(nn) ):
1
2
1
j1 =1
1
2
j2 =1
jn =1
Учитывая, что 1 ; nqj;1 n;1(1 ; qj;1 ) для любого n 1, имеем
n Y
u
u
Y
1 :::
card U (X ) N1 mm
'(qj(1) )(qj(1) );1 21 1 ; (2)
1 j =1
qj
j =1
;1
n u
n
Y : : : n1 1 ; (1n) N1 mm
ln ln mm :
1
2
1
1
1
2
2
jn =1
(n + 1)(n+1)= ln(n+1) ,
1
1
qjn
m m1 j1 2 : : : n+1 j B n(n+1), то
Так как m1 = p1 p2 : : : ps (n + 1)s card U (X ) X n (B 2(n;1) (2n;1)+n ln ln B );1 , что и требовалось доказать.
В заключение автор выражает благодарность за полезные обсуждения профессорам А.Ф. Лаврику и М.И. Исраилову.
2
Литература
1. Wu Fang. On the solutions of the systems of linear equations with prime variables // Acta Math.
Sinica. { 1957. { V. 7. { P. 102{121.
2. Liu M.C., Tsang K.M. On pairs of linear equations in three prime variables and application to
Goldbach's problem // J. reine angew. Math. { 1989. { V. 399. { P. 109{136.
3. Хуа-Ло-Ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. { М.: Мир,
1964. { 188 с.
4. Аллаков И.А. О разрешимости пары линейных уравнений с тремя простыми переменными
// Узб. матем. журн. { 1993. { Є 1. { С. 26{34.
5. Allakov I.A., Israilov M.I. About simultaneous representation of two natural numbers by sum of
three primes // Lect. of The Third Internat. Workshop of Comput. Algebra in Scien. Comput.
Springer. CASC { 2000. { P. 13{20.
Термезский государственный
университет
Поступила
21.02.2003
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
20
Размер файла
159 Кб
Теги
условия, уравнения, разрешимости, простые, система, линейный, диофантовые, числа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа