close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об усреднении слабо-нелинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (520)
УДК 517.95
О.А. МАТЕВОСЯН, И.В. ФИЛИМОНОВА
ОБ УСРЕДНЕНИИ СЛАБО-НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
ОПЕРАТОРОВ В ПЕРФОРИРОВАННОМ ЦИЛИНДРЕ
Изучению вопросов теории усреднения для перфорированных областей посвящено много работ (см. [1]{[3]), в которых на поведение решений при приближении к дырам ставятся какие-либо
ограничения, например, граничные условия. Однако для усреднения решений уравнений с достаточно сильным нелинейным поглощением такие ограничения не нужны. Подобная ситуация
была обнаружена и в теории устранения особенностей. В связи с этим отметим работы [4]{[7].
Вопросы усреднения полулинейных эллиптических задач в перфорированных областях были
изучены в работах [8], [9] с использованием оценки Кондратьева{Ландиса ([10], x 1, п. 3).
В данной работе для слабо-нелинейного дивергентного параболического уравнения второго
порядка с младшим членом, растущим по неизвестной функции степенным образом, доказывается, что последовательность решений в перфорированном цилиндре стремится к решению
в неперфорированном цилиндре, если радиусы выброшенных цилиндров стремятся к нулю со
скоростью, зависящей от показателя степени в младшем члене. Доказательства теорем данной
работы основываются на аналогичной оценке решения полулинейного парабoлического уравнения через расстояние от точки до границы области в соответствующей метрике, полученной в
работе [11].
Будем пользоваться следующими обозначениями:
x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn ; n > 2; u = (u1 ; : : : ; un ); ux = (ux1 ; : : : ; uxn );
j2
jux =
n
X
i=1
(uxi )2 ; ut = @u=@t; 0 t < T < 1;
S
Rn | произвольное открытое подмножество Rn с границей @ , = @ | замыкание
; Q = (0; T ) | цилиндр в пространстве точек (x; t) 2 Rn+1 , x 2 , t 2 [0; T ], 0 < T < 1;
S (Q) = @ [0; T ] | боковая поверхность цилиндра Q Rn+1 ; ;(Q) = S (Q) [ 0 (
) |
параболическая граница цилиндра Q Rn+1 , где t (
) = ftg 8t 2 [0; T ];
Q(x0 ; t0 ; R; T ) = B (x0 ; R) [t0 ; t0 + T ] | цилиндр в Rn+1 радиуса R и высоты T , где B (x0; R) =
fx 2 Rn : jx ; x0 j Rg | замкнутый шар в Rn радиуса R с центром в точке x0;
C (Q) | совокупность непрерывных в Q функций;
Lp;r (Q) | пространство, состоящее из всех измеримых на Q функций с конечной нормой
ku; Lp;r (Q)k =
Z
T Z
0
ju(x; t)jp dx
r=p
dt
1=r
; p 1; r 1;
Lp;r (Q) будем обозначать через Lp (Q) и норму k ; Lp;r (Q)k через k ; Lp (Q)k при p = r; Wp1;1(Q)
| пространство Соболева, состоящее из элементов Lp (Q), имеющих обобщенные производные
по x и по t с нормой ku; Wp1;1 (Q)k = ku; Lp (Q)k + kux ; Lp (Q)k + kut ; Lp (Q)k;
Wp1;0(Q) | пространство Соболева, состоящее из элементов Lp (Q), имеющих обобщенные
производные по x с нормой ku; Wp1;0 (Q)k = ku; Lp (Q)k + kux ; Lp (Q)k.
29
Пусть L, L | операторы вида
n
X
@
@;
@
a
(
x
)
;
L
L
;
L
ij
@xj
@t
i;j =1 @xi
где (x; t) = (x1 ; : : : ; xn ; t) 2 Rn+1 , коэффициенты aij (x) : Rn ! R1 | ограниченные измеримые
функции такие, что aij (x) aji (x) для всех x 2 Rn , и выполняются условия
;1jj2 n
X
aij (x)i j jj2 ; = const > 0;
i;j =1
n
P
= (1 ; : : : ; n ) 2 Rn , j j2 = i2 .
i=1
(1)
для всех Будем изучать решение задачи
Lu(x; t) = f (x; t; u(x; t)); (x; t) 2 Q = (0; T );
(2)
u(x; t) = '(x; t);
(x; t) 2 ;(Q) = S (Q) [ 0 (
);
(3)
где '(x; t) 2 W21;1 (Q), а функция f (x; t; u) : Rn+1 R1 ! R1 предполагается измеримой и такой,
что композиция f (x; t; u(x; t)) является измеримой локально ограниченной функцией переменных (x; t) при любой функции u(x; t) 2 W21;1(Q) \ C (Q).
T
1 ;1
Определение 1. Функция u(x; t) 2 W2;loc (Q)
C (Q) называется обобщенным решением за0
дачи (2), (3), если для любой функции (x; t) 2 W 12;0 (Q) она удовлетворяет интегральному
соотношению
n Z
X
i;j =1 Q
aij (x)uxj
xi dx dt +
Z
Q
ut(x; t) (x; t)dx dt +
Z
Q
f (x; t; u) (x; t)dx dt = 0
(4)
и при любой функции (x; t) 2 C 1(Q), равной нулю в окрестности T (
), выполнено включение
0
(x; t)(u(x; t) ; '(x; t)) 2W21;1 (Q).
Вопросы разрешимости, а также единственности решения задачи (2), (3) изучены в ([12],
гл. V, x 6, с. 524).
1. Пусть в области Q лежат m цилиндров вида Q(yk;" ; 0; R" ; T ) с центрами в точках yk;"
одинакового радиуса R" и высотами T , " = m;1 | малый параметр, m | натуральное число;
k = 1; : : : ; m. Будем предполагать, что расстояние между
центрами этих шаров не меньше,
m
S
чем 4R" . Положим Q" = Q n Q(R" ; T ), где Q(R" ; T ) = Q(yk;" ; 0; R" ; T ).
k=1
Пусть u" (x; t) { решение задачи
Lu"(x; t) = a(x)ju" (x; t)j;1 u" (x; t); (x; t) 2 Q";
(5)
u" (x; t) = '(x; t);
(x; t) 2 S (Q);
(6)
u"(x; 0) = u0(x);
x 2 ;
(7)
где a(x) | ограниченная измеримая функция, a(x) a0 = const > 0, '(x) 2 W21;1 (Q" ).
T
1;1
Определение 2. Функция u" (x; t) 2 W2;loc (Q" )
C (Q") называется обобщенным решением
0 1;0
задачи (5){(7), если для любой функции (x; t) 2 W 2 (Q" ) она удовлетворяет интегральному
соотношению
n Z
X
i;j =1 Q"
aij (x)uxj
xi dx dt +
Z
Q"
ut (x; t) (x; t)dx dt +
30
Z
Q"
a(x)ju" (x; t)j;1 u" (x; t) (x; t)dx dt = 0;
принимает значение u0 (x) при t = 0 и при любой функции (x; t) 2 C 1 (Q), равной нулю в
0
окрестностях Q(R" ; T ) и T (
), выполнено включение (x; t)(u" (x; t) ; '(x; t)) 2 W 12;1 (Q" ).
Для задачи (5){(7) не выполняются, вообще говоря, теоремы единственности, т. к. на границах дырок перфорированной области Q" не заданы никакие граничные условия. Покажем,
что при некоторых условиях предел решений задачи (5){(7) будет существовать, причем этот
предел не зависит от выбора последовательности u" (x; t); здесь u" (x; t) | любое решение задачи
(5){(7).
Пусть u(x; t) | решение следующей задачи:
Lu(x; t) = a(x)ju(x; t)j;1 u(x; t); (x; t) 2 Q;
(8)
u(x; t) = '(x; t);
(x; t) 2 S (Q);
(9)
u(x; 0) = u0(x);
x 2 :
(10)
n
Теорема 1. Пусть >
n;2 и
R" " при " ! 0; где > (n ;2);1; n :
(11)
Тогда решение задачи (5){(7) стремится к решению задачи (8){(10) в следующем смысле : для
любого положительного постоянного d
sup ju" (x; t) ; u(x; t)j ! 0 при " ! 0;
(12)
где
x2
";d ; t2[0;T ]
";d = fx 2 : dist(x; @B (yk;" ; R" )) > d; k = 1; : : : ; mg:
Отметим, что при этом общий объем дырок Vol[Q(R" ; T )] стремится к нулю при " ! 0.
Следствие 1. Если в перфорированной области Q" существует множество, отделенное от
всех дырок фиксированной постоянной, то на этом множестве сходимость будет равномерной.
Лемма 1. Для любых a; b 2 R и > 1 имеет место неравенство
;1
jaj
a ; jbj;1 b C ja ; bj = C ja ; bj;1 ja ; bj;
где C | некоторая положительная постоянная, зависящая от , но не зависящая от a и b.
Доказательство теоремы 1. Доказательство проводится так же, как в работах [8], [9] для
эллиптических операторов. Для разности w" (x; t) = u" (x; t) ; u(x; t) имеем
Lw"(x; t) ; a(x)(ju" (x; t)j;1 u"(x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t)) = 0:
Умножим это равенство на sgn w" (x; t) и применим лемму 1, тогда
0 = sgn w" (x; t)Lw" (x; t) ; a(x)ju" (x; t)j;1 u" (x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t) sgn w"(x; t)Lw" (x; t) ; C a0 ju"(x; t) ; u(x; t)j = sgn w"(x; t)Lw" (x; t) ; C a0jw" (x; t)j ; (x; t) 2 Q" :
Таким образом, функция w" (x; t) удовлетворяет неравенству
sgn w" (x; t)Lw" (x; t) ; b0 jw" (x; t)j 0; (x; t) 2 Q" ;
(13)
с граничным условием
w" (x; t) = 0; (x; t) 2 S (Q) = @ [0; T ];
(14)
и с нулевым начальным условием
w"(x; 0) = 0; x 2 ;
(15)
здесь b0 = C a0 .
31
Согласно теореме 8.2 работы [11] для решений полулинейных параболических уравнений
вида (8) имеет место оценка
1
jw" (x; t)j C ; min(R2; T ) 1; ;
где R, T | соответственно радиус и высота цилиндра, в котором определено решение u(x; t)
уравнения (8). Так как коэффициенты оператора не зависят от t, то из последней оценки можно исключить зависимость от T , поскольку w(x; t) обращается в нуль при t = 0. Действительно,
w(x; t) всегда можно считать решением в достаточно высоком цилиндре фиксированного радиуса, если доопределить w(x; t) нулем при t < 0. Следовательно,
1
jw" (x; t)j C ; min(R2; 0) 1; = CR 1;2 :
(16)
Аналогично работе [10] эту оценку можно получить и для решений неравенств вида (13).
Буквой C здесь и далее будем обозначать любую положительную постоянную, не зависящую
от x, t и ".
Предположим, что u" (x; t) не стремится к u(x; t) в смысле (12) при " ! 0. Тогда найдется
положительная постоянная C0 такая, что для любого "0 = m;0 1 существуют " = m;1 < "0 и
(x" ; t) 2 ";d [0; T ] такие, что jw" (x" ; t)j > C0 , т. е. w" (x" ; t) > C0 либо w" (x" ; t) < ;C0 . Будем
считать, что первый случай реализуется при различных " бесконечно много раз (для второго
случая w" (x" ; t) < ;C0 рассмотрение аналогично).
Обозначим через ;(x; x0 ) фундаментальное решение оператора L, имеющее особенность в
точке x0 , т. е. L;(x) = (x0 ). Известно [13], что такое фундаментальное решение существует и
удовлетворяет неравенствам
C1jx ; x0j2;n ;(x; x0 ) C2 jx ; x0j2;n ;
(17)
где положительные постоянные C1 и C2 зависят от из условия (1).
Положим
m
X
g (x) = 1 ;(x ; y ):
(18)
"
Рассмотрим функцию
k;"
m k=1
v" (x; t) = w"(x; t) ; h" (x);
где h" (x) = C20 gg""((xx")) . Тогда выполняется v" (x" ; t) = C20 > 0.
(19)
Покажем, используя принцип максимума, что это невозможно. Согласно (16) на границах
цилиндров Q(yk;" ; 0; 2R" ; T ) = B (yk;" ; 2R" ) [0; T ], коаксиальных с Q(yk;" ; 0; R" ; T ) = B (yk;" ; R" ) [0; T ], выполнено неравенство
2
jw" (x; t)j < CR"1; :
(20)
Из нижней оценки (17) сделаем заключение, что на границах шаров B (yk;" ; 2R" ) имеет место
g" (x) > C10 "R"2;n ;
(21)
0
2
;
n
где C1 = 2 C1 . При этом из (11) следует
2
R"1; = o("R"2;n ) при " ! 0:
(22)
Таким образом, получаем, что при > n;n 2 для выполнения (22) необходимо, чтобы
> (n;2);1;n .
Так как точка x" 2 ";d , то g" (x" ; ) < Cd2;n . Поэтому в силу (22) на границах цилиндров
Q(yk;" ; 0; 2R" ; T ) будет выполнено неравенство w" (x; t) < g" (x), т. е. выполнено v" (x; t) < 0. При
(x; t) 2 @ [0; T ] согласно (14) и (18) имеем w" (x; t) = 0, g" (x) 0 и поэтому v" (x; t) 0 при
(x; t) 2 S (Q). При t = 0 имеем w" (x; t) = 0, v" (x; t) 0. Кроме того, из оценок (16), (17) с учетом
32
определения (18) следует, что w" (x; t) ! 0 и g" (x) ! 0 при jxj ! 1. Таким образом, из принципа
максимума заключаем, что v" (x; t) 0 на параболической границе ;(Q).
Определим множество D f(x; t) 2 " [0; T ] : v" (x; t) > 0g 6= ;. Обозначим через D0
компоненту связности множества D, содержащую точку (x" ; t).
Покажем, что Lv" (x; t) > 0 при (x; t) 2 D. Действительно, по определению множества D
u" (x; t) ; u(x; t) = w" (x; t) > h" (x) > 0, т. е. u"(x; t) > u(x; t) при (x; t) 2 D. Тогда
Lv"(x; t) = L(u" (x; t) ; u(x; t)) ; Lh" (x) = a(x);ju"(x; t)j;1 u" (x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t) > 0:
(23)
Поскольку v" (x" ; t) > 0 согласно (19), v" (x; t) < 0 при x 2 @ (Q(2R" ; T )), v" (x; 0) < 0 и v" (x; t) ! 0
при jxj ! 1, то функция v" (x; t) достигает локального максимума во внутренней точке области
D0 , что с учетом (23) противоречит принципу максимума для функции v" (x; t).
Следовательно, наше предположение неверно, т. е. u" (x; t) стремится к u(x; t) в смысле (12)
при " ! 0.
Для объема шара радиуса R в пространстве Rn выполнено равенство Vol[B (0; R)] = n Rn,
где постоянная n | объем единичного шара в Rn , зависит только от n. Оценим общий объем
дырок:
m
[
k=1
;
Q(yk;" ; 0; R" ; T ) m Vol[Q(0; 0; R" ; T )] = TnmR"n = o " (n;2)2;n ! 0 при " ! 0:
2. Будем теперь предполагать, что расстояние между центрами этих шаров не менее, чем
8R " .
m
S
Положим Q(4R" ; T ) = Q(yk;" ; 0; 4R" ; T ).
k=1
Лемма 2
(oбобщенное неравенство Юнга). Пусть a; b; > 0, 0 < < 1. Тогда
ab a 1 + 1 ; b 1;1 :
; 1;
В частности, при = 12 имеем 2ab a2 + b2 .
1
Теорема 2. При любом > 1 и R" = O (" ) при " ! 0, где >
n;2 , выполнено
Z
j 5 (u" (x; t) ; u(x; t))j2 + ju" (x; t) ; u(x; t)j+1 dx dt ! 0 при " ! 0:
1 + ju" (x; t) ; u(x; t)j2
QnQ(4R" ;T )
Доказательство.
Рассмотрим функцию " (x) 2 C 1 (
) такую, что 0 " (x) 1, x 2 ,
8
m
<1; x 2 n [ B (yk;" ; 4R" );
" (x) = :
m k=1
0; x 2 k[=1 B (yk;" ; 2R" );
j 5 " (x)j < CR
" , x 2 ; здесь C
зависит от области и не зависит от ".
Рассмотрим функцию
(
(x; t) = "p (x)(u" (x; t) ; u(x; t));
(24)
q
где ( ) = ; q;1 j j 1; q > ;1 таков, что > nn+2
;2 ; отметим, что такое q можно подобрать
j j ; j j > 1;
+q )
при любом > 1, p = p(q) > 2 | решение уравнения p = (p;2)(
1+q , т. е.
+ q;
p = 2 ;
(25)
1
33
требуемое неравенство p > 2 выполнено при требуемом условии на q > ;1. Отметим также, что
функцию (x; t) можно подставлять в интегральное тождество из определения обобщенного
решения, т. к. она принадлежит классу W21;0(Q" ) в силу правила цепного дифференцирования
([14], с. 151) и обращается в нуль на границе области Q" , на границе области Q за счет того, что
разница u" (x; t) ; u(x; t) обращается в нуль на @Q, а на границе дырок за счет множителя "p (x).
Отметим также, что поскольку на всех дырках этот множитель равен нулю, в интегральном
тождестве мы можем в качестве области интегрирования писать Q.
Как и в доказательстве теоремы 1, обозначим w" (x; t) = u" (x; t) ; u(x; t). Для уравнения
Lw (x; t) ; @w" (x; t) = a(x)(ju (x; t)j;1 u (x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t))
"
"
@t
"
запишем интегральное тождество, взяв в качестве пробной функции (x; t) из (24), получим
Z X
n
Q
@ a (x) @w" (x; t) ; @w" (x; t) (x; t)dx dt =
ij
@xj
@t
i;j =1 @xi
=
Z
;
Q
a(x) ju"(x; t)j;1 u" (x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t) (x; t)dx dt: (26)
Обозначим Q1 = f(x; t) 2 Q : ju" (x; t) ; u(x; t)j 1g Q и Q2 = f(x; t) 2 Q :
ju" (x; t) ; u(x; t)j > 1g Q.
Оценим правую часть равенства (26), используя лемму 1 при a = u" (x; t), b = u(x; t),
Z
Q
;
a(x) ju" (x; t)j;1 u" (x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t) (x; t)dx dt =
=
+
Z
Q2
Z
Q1
a(x)(ju" (x; t)j;1 u" (x; t) ; ju(x; t)j;1 u(x; t))w" (x; t)"p (x)dx dt +
a(x)(ju" (x; t)j;1 u" (x; t) ; u(x; t);1 u(x; t))jw" (x; t)jq;1 w" (x; t)"p (x)dx dt a0C
Z
Q1
jw" (x; t)j+1 "p(x)dx dt + a0C
Z
Q2
jw" (x; t)j+q "p(x)dx dt: (27)
После тождественных преобразований и интегрирования по частям в левой части равенства (26)
получим
Z
n
X
J +J +J +J ;
a (x) @w" (x; t) @w" (x; t) p (x)dx dt ;
1
2
3
4
ij
@xj
@xi "
" (x; t) w (x; t)p p;1 (x) @" (x) dx dt ;
;
aij (x) @w@x
"
"
@xi
Q1 i;j =1
j
Z
n
X
" (x; t) q jw (x; t)jq;1 @w" (x; t) p (x)dx dt ;
;
aij (x) @w@x
"
@xi "
Q2 i;j =1
j
Z
n
X
" (x; t) jw (x; t)jq;1 w (x; t)p p;1 (x) @" (x) dx dt:
;
aij (x) @w@x
"
"
"
@xi
Q2 i;j =1
j
Q1 i;j =1
Z
n
X
Оценим первое и третье слагаемые правой части тождества (28), учитывая (1),
Z
J ; 1 j 5 w (x; t)j2 p(x)dx dt;
"
"
ZQ1
J3 ; q j 5 w" (x; t)j2 jw" (x; t)jq;1 "p(x)dx:
Q2
1
34
(28)
(29)
(30)
Для оценки второго и четвертого слагаемых правой части тождества (28)
используется
нера2 jw" (x;t)j
2
p
p
1
венство Юнга при = 2 , a = j 5 w" (x; t)j, b = j 5 " (x)j. Выбирая = " (x) и = q" (x) при
каждом (x; t), соответственно получаем
J2 p
Z
j 5 w" (x; t)jj 5 "(x)j"p;1(x)dx dt Q1
(x) j 5 w (x; t)j2 + p2 j 5 (x)j2 dx dt =
"p;1(x) 2"p
"
"
2
2" (x)
Q1
Z
Z
= 21 j 5 w" (x; t)j2 "p (x)dxdt + C4 j 5 " (x)j2 "p;2 (x)dx dt;
p
J4 p
Z
Q1
Z
Q2
(31)
Q1
j 5 w" (x; t)jj 5 "(x)jjw" (x; t)jq "p;1(x) 2
" (x)
2 + p jw" (x; t)j j 5 (x)j2 dx dt =
j
5
w
(
x;
t
)
j
"p;1(x)jw" (x; t)jq 2pq
"
"
2 jw" (x; t)j
2q" (x)
Q2
Z
Z
= 2q j 5 w" (x; t)j2 jw" (x; t)jq;1 "p(x)dx + C5 j 5 " (x)j2 jw" (x; t)jq+1 "p;2 (x)dx dt;
p
Z
Q2
p2 3
Q2
(32)
p2 3
где C4 = 2 , C5 = 2q .
Теперь оценим второе слагаемое правой части неравенства (32). Полагая в неравенстве Юнга
a = jw" (x; t)jq+1 "p;2 (x), b = j 5 " (x)j2 при = 1++qq и выбрав = a20CC5 , с учетом (25) получаем
C5
Z
Q2
j 5 "(x)j2 jw" (x; t)jq+1 "p;2(x)dx dt a0C
Z
2
;
q+1
;
Q2
jw" (x; t)j+q "p(x)dx dt + C6
Z
Q2
j 5 "(x)jp dx dt;
(33)
+q
q+1
q ) ;1 C ;1 .
где C6 = C5 ;+1q a20CC5 1++qq ;1 = ;+1q a02(1+
5
C (+q)
Рассмотрим теперь член, содержащий производные по t. Для этого заметим, что функция
( ), входящая в определение (x; t), обладает первообразной
(
1 2
1;
1( ) = 2 1 j; jq+1 ; jj jj > 1:
q+1
Действительно,
1 j jq+1 = 1 2 (j j2 q+12 ) = 1 (j j2 ) (j j2 ) q;2 1 = 1 (j j2 ) q;2 1 = ( ):
2
q+1
2
2q+1
Поэтому член, содержащий производные по t, можем записать в виде
Z
Z
; @w" (x; t) (x; t)dx dt = ; @w" (x; t) (w (x; t))p (x)dx dt =
@t
Q
=;
"
"
@t
@ ( (w (x; t))p (x))dx dt = ; Z ( (w (x; t))p (x))T dx 0: (34)
1 "
"
"
0
@t 1 "
Q
Z
Q
1 (x; t)"p (x)
Последнее выполняется, поскольку
положительно и обращается в нуль при t = 0.
Учитывая равенства (26), (28) и оценки (29){(34), имеем
Z
Z @w
(
x;
t
)
"
(x; t) dx dt Lw (x; t) (x; t)dx dt Lw (x; t) (x; t) ;
"
@t
Q
Z
Z
; 21 j 5 w"(x; t)j2 "p(x)dx dt ; 2q j 5 w"(x; t)j2 jw"(x; t)jq;1 "p(x)dx dt +
Q1
Q2
Z
Z
Z
+ C4 j 5 " (x)j2 "p;2(x)dx dt + a02C jw" (x; t)j+q "p(x)dx dt + C6 j 5 " (x)jp dx dt: (35)
Q
"
Q1
Q2
Q2
35
Объединяя (26), (27) и (35), получаем
Z
; 21
+ C4
Z
Q1
Q1
j 5 w" (x; t)j2 "p(x)dx dt ; 2q
Z
j 5 "(x)j2 "p;2(x)dx dt + a02C
a0 C
Z
Q1
Q2
Z
j 5 w" (x; t)j2 jw" (x; t)jq;1 "p(x)dx dt +
Q2
jw" (x; t)j+q "p(x)dx dt + C6
jw" (x; t)j+1 "p(x)dx dt + a0C
Z
Z
Q2
Q2
j 5 "(x)j2 ;+q1 dx dt jw" (x; t)j+q "p(x)dx dt:
После элементарных преобразований получаем
C4
Z
Q1
Z
j 5 "(x)j2 "p;2(x)dx dt + C6
+
j 5 "(x)jp dx dt Q2
Z
Z
1
+1
p
a0C jw" (x; t)j " (x)dx dt + 2 j 5 w" (x; t)j2 "p(x)dx dt +
Q1
Q2
a0C Z jw (x; t)j+q p(x)dx dt + q Z j 5 w (x; t)j2 jw (x; t)jq;1 p(x)dx dt "
"
"
"
2 Q2 "
2 Q2
Z
Z
j 5 w"(x; t)j2 p(x)dx dt )j+1 p (x)dx dt + C
C7 1jw+"j(wx; (tx;
8
"
"
Q 1 + jw" (x; t)j2
Q
" t)j2
Z
j 5 w" (x; t)j2 + jw" (x; t)j+1 dx dt;
C9
1 + jw" (x; t)j2
QnQ(4R" ;T )
(36)
где C7 = a02C , C8 = min 21 ; 2q , C9 = minfC7 ; C8 g.
Предпоследнее неравенство получено из следующего утверждения. Если 0 a 1, то выполнено неравенство 1 1+1a2 ; если же a > 1, то выполнено aq;1 > a12 > 1+1a2 при q > ;1.
Теперь докажем, что
Z
Q1
j 5 "(x)j2 "p;2(x)dx dt ! 0 при " ! 0
(37)
и
Z
Q2
j 5 "(x)jp dx dt ! 0 при " ! 0:
(38)
Действительно, т. к. p > 2, то
Z
Q1
j 5 "(x)j2 "p;2(x)dx dt Z
Q
2
j 5 "(x)j2 dx dt C10 mR"n R1 = O(";1+(n;2) ) ! 0
"
при " ! 0, если только > n;1 2 , где C10 = TC
2 n 2n ;
Z
Q2
j 5 "
(x)jp dx dt Z
Q
j 5 "
(x)jp dx dt C
n
11 mR"
+q
1
R"
p
= C11 ";1 R"n;p = O(";1+(n;p) ) ! 0
при " ! 0, т. к. > n;1 p > n;1 2 ; здесь C11 = TC
2 ;1 n 2n , n | объем единичного n-мерного шара.
Из (36), (37) и (38) следует справедливость теоремы 2.
36
Литература
1. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymtotic analysis for periodic structures. {
Amsterdam: North-Holland, 1978. { 700 p.
2. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. { М.:
Физматлит, 1993. { 464 c.
3. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. {
Киев: Наук. думка, 1974. { 280 c.
4. Brezis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equation involving measures as initial conditions // J.
Math. Pures Appl. { 1983. { V. 62. { Є 1. { P. 73{97.
5. Brezis H., Peletier L.A., Terman D. A very singular solutions of the heat equation with absorption
// Arch. Ration. Mech. Anal. { 1986. { V. 95. { Є 3. { P. 185{209.
6. Kamin S., Peletier L.A. Singular solutions of the heat equation with absorption // Proc. Amer.
Math. Society. { 1985. { V. 95. { Є 2. { P. 205{210.
7. Ильин А.М., Олейник О.А., Калашников А.С. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. { 1962. { Т. 17. { Є 3. { С. 3{146.
8. Матевосян О.А., Пикулин С.В. Об усреднении слабонелинейных дивергентных эллиптических операторов в перфорированном кубе // Матем. заметки. { 2000. { Т. 68. { Є 3. { С. 390{
398.
9. Матевосян О.А., Пикулин С.В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в
перфорированных областях // Матем. сб. { 2002. { Т. 193. { Є 3. { С. 101{114.
10. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. О качественных свойствах решений одного нелинейного
уравнения второго порядка // Матем. сб. { 1988. { Т. 135. { Є 3. { С. 346{360.
11. Чистяков В.В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка // Тр. семинара И.Г. Петровского. { 1991. { Вып. 15. { С. 70-107.
12. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. { М.: Наука, 1967. { 736 c.
13. Littman W., Stampacchia G., Weinberger B. Regular points for elliptic equations with
discontinuous coecients // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. Ser. 3. { 1963. { V. 17. { Є 1{2.
{ P. 43{77.
14. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. { М.: Наука, 1989. { 464 c.
Московский государственный
университет
Поступила
30.06.2003
37
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
205 Кб
Теги
нелинейные, усреднения, цилиндр, оператора, слабое, перфорирование, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа