close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости одной нечеткой дискретной системы.

код для вставкиСкачать
УДК 517.11
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ НЕЧЕТКОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
И.И. Терновых, Т.М. Леденева
В данной статье рассматривается устойчивость нечеткой дискретной системы, проводится анализ устойчивости
в зависимости от вида матрицы отношений
Ключевые слова: устойчивость,
α -устойчивость, нечеткая система, функция принадлежности
Введение . Пусть X ,Y – конечные множества, X = n, Y = m . Рассматривая их в качестве универсальных, определим нечеткие подмножества A и B , тогда их декартово произведение A × B представляет собой нечеткое
отношение. Кроме того, его произвольное
подмножество R ⊆ A × B также является нечетким отношением. В прикладных задачах
нечеткое отношение R может иметь достаточно сложную структуру, обусловленную его
интерпретацией. Например, в рамках методики
нечеткого моделирования [1] нечеткое отношение R формализует базу правил, при этом
если в базе содержится единственное правило,
то R = A → B ; если правил несколько
{( A
k
→ Bk )}k =1,s , то R является результатом
их агрегирования, т.е.
R = Agg ( A1 → B1 ,..., As → Bs ) .
В задаче лингвистической аппроксимации
под нечеткой системой подразумевается система
U⇒ {
R ⇒V ,
База правил
на вход которой поступает некоторое нечеткое
множество U , а на выходе на основе базы
правил формируется нечеткое множество V ,
при этом понятие импликации интерпретируется достаточно широко [2].
Формально нечеткая система представляется выражением
(1)
U o R =V ,
где U ,V – нечеткие подмножества некоторых
универсальных множеств, R – нечеткое отношение, o – операция композиции (всевозможные варианты данной операции рассматривались в [3]).
Выражение (1) при известных U ( R ) ,V и
неизвестном R (U ) также называется реляци-
Терновых Ирина Ивановна – ВГУ, аспирант, тел. (473)
220-827-66
Леденева Татьяна Михайловна – ВГТУ, д-р техн. наук,
профессор, тел. (473) 243-77-18
онным уравнением. В терминах функции принадлежности его можно записать в виде
max min {µU ( x ) ,µ R ( x, y )} = µV ( y ) , y ∈ Y .
x∈X
Большое значение для приложений имеет
понятие устойчивости выражения (1), которое
позволяет говорить об устойчивости соответствующей нечеткой системы. Рассмотрим устойчивость нечеткого уравнения (1) на основе
обобщения четкого варианта [4].
Пусть P ( X ) , P (Y ) – семейства четких
подмножеств X и Y соответственно, F (Y ) –
множество возможных выходных значений в
Y (осуществимых выходов). Рассмотрим множества U ∈ P ( X ) , V ∈ P (Y ) и отношение
R : P ( X ) → P (Y ) . Будем считать, что систе-
ма (1) устойчива по отношению к семейству
входов P ( X ) , если для каждого множества
U ∈ P ( X ) выполняется соотношение
U o R ∩ Y − F (Y )  = ∅ .
(2)
Иными словами, система (1) обладает свойством устойчивости по отношению к P ( X ) ,
если
для
U ∈P(X )
каждого входного значения
множество U o R не содержит не-
осуществимых выходных значений.
Теперь рассмотрим обобщение данного определения на нечеткий случай.
Нечеткая система (1) α -устойчива по отношению
к
нечеткому
множеству
U ∈ P ( X ) и некоторому подмножеству осуществимых выходов F (Y ) ⊂ Y , если для каждого
элемента
y j ∈ Y − F (Y ) выполнено
µV ( y j ) ≤ α , где U o R = V .
Пусть для некоторого входного значения
имеет функцию
принадлежности такую, что система (1) не является α -устойчивой по отношению к множеству F (Y ) . Это означает, что для системы
U выходное множество
U o R = V найдется точка
y0 ∈ Y − F (Y ) та-
кая, что µV ( y0 ) > α . Но эта ситуация не ис-
вует некоторый элемент y j ∈ Y − F (Y ) , та-
ключает устойчивости для некоторого другого
значения α 1 .
1. Необходимое и достаточное условие
для – устойчивости системы (1)
Пусть нечеткое отношение R определяется
следующим образом R = A → B = A × B , т.е.
кой, что µ B y j > α . Но тогда, согласно (2),
{
}
rij = min µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) , где xi ∈ X , y j ∈ Y ,
i = 1,n , j = 1,m . Тогда выходные значения из
множества y j ∈ V , связанные с входными
элементами множества
следующим образом:
xi ∈ U , представим
{
}
µV ( y j ) = max min µU ( xi ) ,µ R ( xi , y j ) =
i =1,n
{
{
}}
= max min µU ( xi ) ,min µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) =
i =1,n
{
}
= min max {µU ( xi ) ,µ A ( xi )} ,µ B ( y j ) .
i =1,n
Из данного соотношения следует, что
µV y j ≤ µ B y j для всех j = 1,m , а, следо-
( )
( )
( )
max min {µU ( xi ) ,µ A ( xi )} ≤ α должно
быть
i =1,n
выполнено для любого элемента из множества
при
этом
если
A⊂U ,
то
U,
min {µU ( xi ) ,µ A ( xi )} = µ A ( xi ) ,
и,
следова-
тельно, max {µ A ( xi )} ≤ α , что и требовалось
i =1,n
показать.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть в системе (1)
R = A → B и система α -устойчива, тогда для
заданного подмножества Q ⊂ X выполняется
условие:
max min {µU ( xi ) ,µ A ( xi )} ≤ α для
i =1,n
( )
любого подмножества U ⊆ Q или µ B y j ≤ α
для любого y j ∈ Y − F (Y ) .
Из сформулированных выше утверждений
имеем:
1. Если для каждого элемента y j ∈ Y − F (Y )
вательно, V ⊆ B , т.е. множество выходных
значений должно содержаться в B .
Зададим множество F (Y ) ⊂ Y и предста-
выполняется неравенство µ B y j ≤ α , то
вим µV y j ≤ α для y j ∈ Y − F (Y ) следую-
P ( X ) определено на X .
( )
щим образом:
{
}
= min max {µU ( xi ) ,µ A ( xi )} ,µ B ( y j ) ≤ α . (3)
i =1,n
( )
Q = P ( X ) , где нечеткое множество
2. Если существует элемент y j ∈ Y − F (Y ) ,
( )
такой что µ B y j > α , то
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если система (1) α -устойчива
по отношению к некоторому множеству
U ⊂ X , то min {µ A ( xi )} ≤ α или µ B y j ≤ α .
µ ( x ) ∈ [0,1] ,при µ A ( xi ) ≤ α
: U i
µU ( xi ) ≤ α , иначе

не содержится в F ( X ) .
Доказательство. Предположим, что система (1) α -устойчива и min {µ A ( xi )} > α . Дока-
Y = {1,2,3,4,5} . Зададим нечеткие подмноже-
( )
i =1,n
( )
i =1,n

Q = U




Рассмотрим пример. Пусть X = {1,2,3,4} ,
жем, что µ B y j ≤ α для всех элементов
ства
y j ∈ Y − F (Y ) . Для A можно выбрать такое
множество U ⊂ X , которое включает A , т.е.
µU ( xi ) > µ A ( xi ) для всех xi . Тогда
B = {(1 / 0 ) ,( 2 / 0.2) ,( 3 / 0.3) ,( 4 / 0.7 ) ,( 5 / 1)} .
max min {µU ( xi ) ,µ A ( xi )} = max {µ A ( xi )} > α .
i =1,n
i =1,n
Но неравенство (2) выполнится только, если
для всех элементов y j ∈ Y − F (Y ) имеет место
µ B ( y j ) ≤ α . С другой стороны, пусть сущест-
A = {( 1 / 1) ,( 2 / 0.8 ) ,( 3 / 0.3 ) ,( 4 / 0 )} ,
Пусть F (Y ) = {1,2,3} , Y − F (Y ) = {4,5} ,
0 0.2 0.3 0.7 1 
0 0.2 0.3 0.7 0.8 
.
R = A→ B = 
0 0.2 0.3 0.3 0.3 


0
0 
0 0 0
Определим нечеткое подмножество Q , для
которого система (1) имеет 0.3-устойчивость.
Так как условие 1) не выполняется, то на основе условия 2) получим следующее множество:
Q = {U : µU ( x1 ) ≤ 0.3, µU ( x2 ) ≤ 0.3 ,
µU ( x3 ) ∈ [0,1] , µU ( x4 ) ∈ [0,1]} .
Возьмем, например,
U = {( 1 / 0.1) ,( 2 / 0.2 ) ,( 3 / 0.8 ) ,( 4 / 0.1)}∈ Q ,
тогда
U o R = {(1 / 0) ,( 2 / 0.2) ,( 3 / 0.3) ,( 4 / 0.3) ,( 5 / 0.3)}
удовлетворяет 0.3-устойчивости.
2. Свойство хорошего отображения
В системе (1) предполагается, что отношение R представляет собой импликацию, которая, по сути, соответствует единственному
продукционному правилу.
Рассмотрим правило вида
R = ( if Athen B else C ) = ( A → B) ∨ ( ¬A → C ) ,
тогда элементы матрицы R определяются
следующим образом:
rij = µ A ( xi ) ∧ µ B y j ∨ (1 − µ A ( xi ) ) ∧ µ C y j ,
( )
( )
где i = 1,n, j = 1,m .
Заметим, что в определении нечеткого отношения R не любые множества A,B,C являются подходящими. Рассмотрим следующий
пример:
Пусть X = {1,2,3,4} , Y = {1,2,3,4,5} ,
A = {( 1 / 1) ,( 2 / 0.6 ) ,( 3 / 0.3 ) ,( 4 / 0 )} ,
B = {(1 / 0) ,( 2 / 0.2) ,( 3 / 0.4) ,( 4 / 0.7 ) ,( 5 / 1)}
C = {(1 / 1) ,( 2 / 0.8) ,( 3 / 0.6 ) ,( 4 / 0.3) ,( 5 / 0)} .
Отношение R будет иметь вид
 0 0.2
 0.4 0.4
R=
0.7 0.7

 1 0.8
1 
0.4 0.6 0.6 
.
0.6 0.3 0.3 

0.6 0.3 0 
0.4 0.7
Вычислим
Заметим, что свойство хорошего отображения матрицы R зависит от вида нечетких множеств Ai и Bi . Выясним, какими свойствами
должны обладать множества Ai и Bi для того,
чтобы отношение R обладало свойством хорошего отображения.
Утверждение 1. Пусть матрица нечеткого
отношения формализует продукционное правило вида R = if A then B else C . Тогда
µ Ao R ( y j ) = µ B ( y j ) при условии, что
µ C ( y j ) ≤ µ B ( y j ) ≤ max µ A ( xi ) .
i
Доказательство. Очевидно, что
µ A ( xi ) ≥ min {1 − µ A ( xi ) ,µ A ( xi )} . Объединяя
( )
( )
это с предположением µ C y j ≤ µ B y j , получим следующее:
{
}
{
}
min µA ( xi ) ,µB ( yj ) ≥ min 1−µA ( xi ) ,µA ( xi ) ,µC ( yj ) .
Заметим, что
{
}
µ Ao R ( y j ) = max min µ A ( xi ) ,µ R ( xi , y j ) ,
i
откуда после преобразований
{
}
µR ( xi ,y j ) = max 1 − µA ( xi ) ,µB ( y j ) ,µA ( xi ) ,µC ( y j ) .
Принимая во внимание предыдущее неравенство, получим
{
}
µ Ao R ( y j ) = max min µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) , но это
i
( )
( )
означает, что µ Ao R y j = µ B y j .
Данное равенство следует из предположе-
( )
ния, что µ B y j ≤ max µ A ( xi ) .
В
i
рассмотренном
выше
примере
µ B ( y j ) ≤ max µ A ( xi ) верно для любого y j , и
i
выполнено следующее: µ C ( y4 ) ≤ µ B ( y4 ) ,
µC ( y5 ) ≤ µB ( y5 ) ,
µ Ao R ( y4 ) = µB ( y4 ) ,
µ Ao R ( y5 ) = µ B ( y5 ) , µ Ao R ( y3 ) = µ B ( y3 ) ,
Ao R = {(1/ 0.4) ,( 2 / 0.4) ,( 3 / 0.4) ,( 4 / 0.7) ,( 5 / 1)} ,
но µ C ( y3 ) ≥ µ B ( y3 ) .
при этом A o R ≠ B . Кроме того, ¬Ao R ≠ C .
Если база правил содержит s правил и применяется агрегирование с помощью связки or
( ∨ ) , то матрица R имеет следующий вид
Утверждение 2. Пусть дана матрица нечеткого отношения R = if A then B else C . Тогда
R = ( A1 → B1 ) ∧ ... ∧ ( As → Bs ) .
Будем говорить, что матрица R обладает
свойством хорошего отображения, если для
каждого i = 1,s выполняется Ai o R = Bi .
µ ¬Ao R ( y j ) = µ C ( y j )
при
условии,
что
µ C ( y j ) ≤ max {µ ¬A ( xi )} и µ B ( y j ) ≤ µ C ( y j ) .
i
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству Утверждения 1.
Пример, рассмотренный выше, также иллюстрирует этот случай. Заметим, что
µ B ( y1 ) ≤ µ C ( y1 ) , µB ( y2 ) ≤ µ B ( y3 ) = µC ( y3 ) ,
что
обусловливает
µ ¬Ao R ( y j ) = µ C ( y j )
выполнение
для j = 1,2,3 .
равенств
На основе этих двух утверждений можно
сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть A1 ,..., As − нечеткие множества, определенные на множестве X , такие,
s
∑µ ( x ) = 1
что
i =1
Ai
для любого x ; B1 ,...,Bs −
нечеткие множества, определенные на множестве Y . Пусть нечеткое отношение R задано
следующим образом:
R = ( A1 → B1 ) or ...or ( As → Bs ) .
( )
( )
Тогда µ Ak o R y j = µ Bk y j , если для неко-
k ∈ {1,...,s} и
торых
некоторых
j ∈ {1,...,m} выполнено
( )
( )
µ ¬Ao R ( y j ) = µ C ( y j ) легко убедиться, что матрица R обладает свойством хорошего отображения.
Справедливо следующее
Утверждение 3. Пусть дана матрица нечеткого отношения R = if A then B else C . Если
выполняются соотношения
µ B y j ≤ max {µ A ( xi )} , µ B y j < µ C y j ,
( )
( ) ( )
µ ( y ) ≥ max {µ ( x ) ,1 − µ ( x )} ,
то µ ( y ) = µ ( y ) .
i
B
j
A
i
Ao R
j
i
B
A
i
j
Доказательство. Рассмотрим y j ∈ Y . Если
µ B ( y j ) ≥ µ C ( y j ) , то, как доказано в Утвер-
( )
( )
ждении 1, выполняется µ Ao R y j = µ B y j .
µ Bk ( y j ) ≤ max µ Ak ( xi ) и
для
i
l ≠ k µ Bk ( y j ) ≥ µ Bl ( y j ) .
Доказательство этой теоремы аналогично
доказательству Утверждения 1. Конечно,
µ Ak ( xi ) ≥ min µ Ak ( xi ) ,µ Al ( xi ) для l ≠ k .
{
}
Второе предположение дает следующее неравенство:
{
Проверяя выполнение равенств A o R = B и
¬A o R = C или иначе µ Ao R y j = µ B y j и
}}
( )
( )
Если же µ B y j < µ C y j , тогда, используя
неравенство µ A ( xi ) ≥ min {1 − µ A ( xi ) ,µ A ( xi )} ,
получим
{
}
min µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) ≥ min {1 − µ A ( xi ) ,µ A ( xi )} ,
и тогда выполнится
{
}
min µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) ≥
{
{
}
}
min µAk ( xi ) ,µBk ( yj ) ≥ min µAk ( xi ) ,µAl ( xi ) ,µBl ( yj ) .
≥ min 1 − min µ A ( xi ) ,µ c ( y j ) ,µ A ( xi ) .
Учитывая определение R , на основе утверждений получим
µ Ao R ( y j ) = max min µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) =
{
{
}
µ Ak o R ( y j ) = max min µ Ak ( xi ) ,µ Bk ( y j ) =
{
i
}
Таким образом, мы получили достаточное
условие для уравнения µ Ak o R y j = µ Bk y j
( )
( )
для некоторого элемента y j ∈ Y . Если это равенство выполняется для любого элемента
y j ∈ Y , то матрица нечеткого отношения R
обладает свойством хорошего отображения.
Рассмотрим пример.
A = {( 1 / 1) ,( 2 / 0.6 ) ,( 3 / 0.3 ) ,( 4 / 0 )} ,
B = {(1 / 0.4) ,( 2 / 0.4) ,( 3 / 0.4) ,( 4 / 0.7 ) ,( 5 / 0.1)}
C = {(1 / 1) ,( 2 / 0.8) ,( 3 / 0.6 ) ,( 4 / 0.4) ,( 5 / 0.4)} .
Отношение R будет иметь вид
 0 0.4
 0.4 0.4
R=
0.7 0.7

 1 0.8
0.4 0.7 1 
0.4 0.6 0.6  .

0.6 0.4 0.4 

0.6 0.4 0.4 
{
i
{
}
}
= min max µ A ( xi ) ,µ B ( y j ) = µ B ( y j ) .
= min max µ Ak ( xi ) ,µ Bk ( y j ) = µ Bk ( y j ) .
i
Таким образом,
i
Обобщение Утверждения 3 позволяет получить следующую теорему.
Теорема 4. Пусть задано нечеткое отношение R = ( A1 → B1 ) or ...or ( As → Bs ) . Тогда
( )
( )
равенство µ Ak o R y j = µ Bk y j выполняется,
если
имеют
место
соотношения
µ Bk y j = max µ Ak ( xi ) , µ Bk y j > µ Bl y j ,
( )
{
} ( ) ( )
( y ) ≥ max min {µ ( x ) ,µ ( x )} для неi
µ Bk
j
Ak
i
i
Al
i
которого k ≠ l и j ∈ {1,...,m} .
Доказательство. Из Утверждения 3 мы получили важное неравенство
µ Bk y j ≥ max min µ Ak ( xi ) ,1 − µ Ak ( xi ) ,
( )
i
{
}
правая часть которого равна нулю, если множество Ak является четким множеством, и
достигает максимума, если µ Ak ( xi ) = 0.5 для
некоторого множества Ak .
Степенью нечеткости множества A , определенного на универсальном множестве X ,
называется величина
ρ ( A) = max {µ A ( x ) ,1 − µ A ( x )}∈ [0,0.5 ] .
x∈X
Теорема 5. Пусть A1 ,..., As − нечеткие множества, определенные на множестве X , такие,
s
что
∑µ ( x ) = 1 для любого
Ai
i =1
x ; B1 ,...,Bs −
нечеткие множества, определенные на множестве Y . Пусть R = ( A1 → B1 ) or ...or ( As → Bs ) ,
( )
( )
тогда µ Ak o R y j = µ Bk y j , если для некото-
k ∈ {1,...,s} и
рых
j ∈ {1,...,m} выполнено
µ Bk ( y j ) ≤ max µ Ak ( xi ) , для l ≠ k имеет место
i
µ Bk ( y j ) < µ Bl ( y j ) ,
неравенство
а
также
ρ ( Ak ) ≤ ρ ( Bk ) для всех k ∈ {1,...,s} .
Доказательство. Докажем, что неравенство
ρ ( Ak ) ≤ ρ ( Bk ) применимо к неравенству
{
}
µ Bk ( y j ) ≥ max µ Ak ( xi ) ,µ A j ( xi ) . Очевидно,
i
( )
что если µ Bk y j ≥ ρ ( Bk ) ≥ ρ ( Ak ) , то
µ Bk ( y j ) = ρ ( Ak ) . В результате получим
1 − µ Bk ( y j ) = 1 − ρ ( Ak ) =
{
}
1 − max µ Ak ( xi ) ,1 − µ Ak ( xi ) =
{
i
}
min 1 − µ Ak ( xi ) ,µ Ak ( xi ) .
i
Рассмотрим пару множеств Ak и Al и предположим, что для них выполняется соотношение
µ Ak ( x ) ≤ 1 − µ Al ( x ) , тогда получим следующее неравенство:
{
min max {1 − µ
}
min max 1 − µ Ak ( xi ) ,µ Al ( xi ) ≤
i
i
(
Ak
( xi ) ,1 − µ A ( xi )} =
{
l
})
1 − min 1 − max µ Ak ( xi ) ,µ Al ( xi ) =
i
( {
})
max min µ Ak ( xi ) ,µ Al ( xi ) .
i
Таким образом, выполнено неравенство
( {
})
1 − µ Bk ( y j ) ≤ 1 − max min µ Ak ( xi ) ,µ Al ( xi ) ,
i
которое эквивалентно неравенству
( {
})
µ Bk ( y j ) ≥ max min µ Ak ( xi ) ,µ Al ( xi ) , но это
i
достаточное условие теоремы.
Таким образом, матрица нечеткого отношения R обладает свойством хорошего отображения, если степень нечеткости матрицы Bk не
меньше чем степень нечеткости матрицы Ak ,
( )
( )
исключая случай, когда µ Bk y j > µ Bl y j для
k ≠ l . В этом случае нет ограничений на матрицы Ak , Bk для обеспечения свойства хорошего отображения матрицы R .
Заключение. Являясь универсальными аппроксиматорами, нечеткие системы получают
все более широкое распространение в технических и иных прикладных областях. Исключительное значение как для практики, так и для
развития теории играет свойство устойчивости
нечетких систем. В данной статье рассматривается один из вариантов определения устойчивости, который «базируется» на свойствах
«хорошего» отображения. Развитие данного
подхода в дальнейшем предполагает рассмотрение сложной матрицы R .
Литература
1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление /
А. Пегат. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. –
798 с.
2. Леденева Т.М. О нечетких импликациях, полученных обобщением булевой функции / Т.М. Леденева,
А.С. Грибовский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2003. №
2. С. 189-196.
3. Леденева Т.М. Обработка нечеткой информации /
Т.М. Леденева. – Воронеж : Воронежский государственный университет, 2006. – 233 с.
4. Kania A.A., Kiszka J.B. On Stability of Formal
Fuzziness Systems // Information Sciences, 1980. № 22. –
Pp. 51-68.
5. Леденева Т.М. Системы искусственного интеллекта
и принятия решений. учеб. пособие для студентов вузов,
обучающихся по направлению "Информатика и вычисл.
техника" / Т. М. Леденева, С. Л. Подвальный, В. И. Васильев ; Федер. агентство по образованию, Гос. образоват. учреждение высш. проф. образования "Уфим. гос.
авиац. техн. ун-т", Воронеж. гос. техн. ун-т. Уфа, 2005.
Воронежский государственный университет
Воронежский государственный технический университет
ABOUT STABILITY OF ONE DISCRETE FUZZY SYSTEM
I.I. Ternovykh, T.M. Ledeneva
The article is devoted to the problem of stability of discrete fuzzy system. It is performed the stability in dependence of
fuzzy relation matrix
Key words: stability,
sability, fuzzy system, membership function
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
166 Кб
Теги
нечеткой, дискретное, система, одной, устойчивость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа