close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости по первому приближению одной нестационарной системы с запаздыванием.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 2, c. 34–42
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0017
Б.Г. ГРЕБЕНЩИКОВ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
ОДНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Аннотация. В работе изучена проблема экспоненциальной устойчивости нелинейной системы
дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, при этом правая часть одной из
подсистем содержит множитель et . Получены достаточные условия устойчивости по первому
приближению.
Ключевые слова: неустойчивость, асимптотическая устойчивость, экспоненциальная оценка,
первое приближение.
УДК: 517.977
Abstract. We study the exponential stability of a nonlinear system of differential equations with
constant delay such that the right-hand side of one of its subsystems contains the multiplier et .
We obtain a sufficient condition for the first-approximation stability of this system.
Keywords: instability, asymptotic stability, exponential estimation, first approximation.
Рассматривается следующая нелинейная система с постоянным запаздыванием:
dx(t)/dt = A1 x(t) + A2 x(t − τ ) + B1 y(t) + B2 y(t − τ )+
+ f 1 (t, x(t), x(t − τ )) + f 2 (t, y(t), y(t − τ )),
dy(t)/dt = et [A3 x(t) + A4 x(t − τ )x(t − τ ) + B3 y(t) + B4 y(t − τ )+
(1)
+ f 3 (et , x(t), x(t − τ )) + f 4 (et , y(t), y(t − τ ))], t ≥ t0 , τ = const, τ > 0.
Здесь Ak , Bk (k = 1, 2, 3, 4) — постоянные матрицы размерности m×m, x(t), y(t) — m-мерные
вектор-функции времени (аргумента) t, f j (t, x(t), x(t − τ )), f l (t, y(t), y(t − τ )) (j = 1, 3;
l = 2, 4) — нелинейные вектор-функции, для которых справедливы условия f j (t, 0, 0) = 0,
f l (et , 0, 0) = 0, удовлетворяющие в окрестности начала координат следующим оценкам:
t
δ1 (s)ds ≤ ε1 ,
f j (t, x(t), x(t − τ )) ≤ δ1 (t)[x(t) + x(t − τ )],
t−1
(2)
t
l t
t
δ2 (s)ds ≤ ε2 ,
f (e , y(t), y(t − τ )) ≤ δ2 (e )[y(t) + y(t − τ )],
t−1
(
ε1 и ε2 — достаточно малые положительные числа). Норму вектора w = {wj }() (здесь wj
m
— компоненты вектора w) определим равенством w =
|wj |. Норму матрицы D = {dij }
j=1
Поступила 28.02.2011
34
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
35
(i, j = 1, . . . , m) определим в соответствии с нормой вектора ([1], c. 12), именно,
|dij |.
D = max
j
i
Рассмотрим линейную однородную “невозмущенную” систему (систему первого приближения)
dx0 (t)/dt = A1 x0 (t) + A2 x0 (t − τ ) + B1 y 0 (t) + B2 y 0 (t − τ ),
dy 0 (t)/dt = et [A3 x0 (t) + A4 x0 (t − τ ) + B3 y 0 (t) + B4 y 0 (t − τ )], t ≥ t0 > 0.
(3)
Полагаем, что корни λ характеристического уравнения
|A1 + A2 e−λτ − λE| = 0
(4)
имеют отрицательную вещественную часть, т. е. справедливо неравенство
Re λ < −β1 , β1 = const, β1 > 0.
(5)
Кроме того, считаем, что собственные числа ν матрицы B3 имеют отрицательную вещественную часть, т. е.
(6)
Re ν < −β2 , β2 = const, β2 > 0.
Наконец, полагаем, что корни p характеристического уравнения
−1 B1 + B2 e−pτ | = 0
(7)
|B3 + B4 e−pτ − A3 + A4 e−pτ A1 + A2 e−pτ − pE
удовлетворяют неравенству
Re p < −β3 , β3 = const, β3 > 0.
(8)
В работе [2] с использованием преобразования Лапласа решений невозмущенной системы (3)
x0 (t, φ1 (η)); y 0 (t, φ2 (η)) показано, что при выполнении неравенств (5), (6), (8) решение этой
системы (определенное начальной вектор-функцией φ() (η) = {φ1 (η), φ2 (η)} : x(η) = φ1 (η),
y(η) = φ2 (η), η ∈ [t0 − τ, t0 ], значок () означает транспонирование вектора) экспоненциально устойчиво ([1], с. 168). Именно, для него справедлива экспоненциальная оценка
x0 (t) + y 0 (t) ≤ M0 e−β0 (t−t0 ) [sup φ1 (η) + sup φ2 (η)], t ≥ t0 ,
η
η
M0 = const, M0 > 1, β0 = min{β1 , β3 } − ε
(9)
(β0 > 0 при достаточно малом положительном ε).
Расположение нулей характеристического уравнения (7) достаточно подробно исследовано в работе [3]. В частности, показано, что корни этого уравнения расположены левее некоторой вертикальной прямой Re p = β, β = const, β > 0. Расстояние между любыми корнями
уравнения (7) в области Re p ≤ β строго больше нуля, при этом в области Re p ≤ β отсутствуют предельные точки корней данного характеристического уравнения. Полюсы векторфункций X(p), Y (p) — изображений по Лапласу ([4], c. 11) вектор-функций x0 (t, φ1 (η)),
y 0 (t, φ2 (η)) — определяются корнями характеристических уравнений (4) и (7). При этом
для данных мероморфных вектор-функций X(p), Y (p) в тех точках области Re p ≤ β, где
они являются аналитическими, справедливо асимптотическое представление, аналогичное
соответствующему свойству квазиполиномов ([4], c. 460). Вследствие этого в работе [3] показано, что при наличии корней p : Re p > 0 решение системы (3) неустойчиво (этот факт
устанавливается также с использованием преобразования Лапласа решений системы (3)).
Таким образом, достаточные условия (8) являются довольно точными. Отметим, что при
нахождении корней (7) в конкретных случаях можно достаточно эффективно использовать
пакет прикладных программ MATHCAD.
36
Б.Г. ГРЕБЕНЩИКОВ
Определим теперь решение исходной (возмущенной) системы (1) той же самой векторфункцией φ(η) (полагаем [sup φ1 (η + sup φ2 (η)] < δ0 , δ0 — достаточно малое положиη
η
тельное число).
Теорема. При выполнении неравенств (2), (5), (6), (8) решение “возмущенной” системы
(1) экспоненциально устойчиво при достаточно малых величинах ε1 , ε2 и δ0 .
Доказательство. Чтобы лучше понять особенности исходной системы, перейдем от системы
(1) — конечной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием на бесконечном
промежутке времени — к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
заданной на конечном промежутке времени [0, τ ], полагая xn+1 (t) = x(t0 + nτ + t), yn+1 (t) =
r (t, x
r
y(t0 +nτ +t), fn+1
n+1 (t), xn (t)) = f (t0 +nτ +t, x(t0 +nτ +t), x(t0 +(n−1)τ +t)) (r = 1, 3);
k (et , y
k t0 +nτ +t , y(t + nτ + t), y(t + (n − 1)τ + t)) (k = 2, 4), t ∈ [0, τ ].
fn+1
n+1 (t), yn (t)) = f (e
0
0
Получаем совокупность двух подсистем m-го порядка
dxn+1 (t)/dt = A1 xn+1 (t) + A2 xn (t) + B1 yn+1 (t) + B2 yn (t)+
1
2
(t, xn+1 (t), xn (t)) + fn+1
(t, yn+1 (t), yn (t)),
+ fn+1
(10)
t
εn dyn+1 (t)/dt = e [A3 xn+1 (t) + A4 xn (t) + B3 yn+1 (t) + B4 yn (t)+
3
4
(et , xn+1 (t), xn (t)) + fn+1
(et , yn+1 (t), yn (t))],
+ fn+1
(11)
0 ≤ t ≤ τ, εn = e−(t0 +nτ ) , x0 (t) = φ1 (t − σ), y0 = φ2 (t − σ),
для которой справедливы граничные условия
xn+1 (0) = xn (τ ), yn+1 (0) = yn (τ ).
Таким образом, нахождение решения системы (1) сведено к последовательному интегрированию “дифференциально-разностной” системы в пространстве непрерывных векторфункций, заданных на отрезке [0, τ ]. Отметим некоторые свойства подсистемы (11). Ввиду
того, что εn → 0 при n → ∞, подсистема (4) является сингулярно возмущенной [2], [3]. Следовательно, совокупность решений системы (10), (11) можно рассматривать как систему,
содержащую медленные (xn (t)) и быстрые (yn (t)) переменные.
Невозмущенная (линейная) система (3) подобным образом сводится к счетной дифференциально-разностной системе вида
0
(t) + B2 yn0 (t),
dx0n+1 (t)/dt = A1 x0n+1 (t) + A2 x0n (t) + B1 yn+1
0
(t)/dt
εn dyn+1
t
=e
[A3 x0n+1 (t)
+
A4 x0n (t)
+
0
B3 yn+1
(t)
+
B4 yn0 (t)]
(12)
(13)
с аналогичными граничными условиями
0
(0) = yn0 (τ ).
x0n+1 (0) = x0n (τ ), yn+1
Если определить норму вектор-функции z(t), t ∈ [0, τ ], в виде
z(t)τ = max z(t),
0≤t≤τ
то линейное пространство непрерывных вектор-функций на отрезке [0, τ ] будет пространством Банаха ([5], c. 124). Обозначим его C2m [0, τ ]. В этом пространстве решение “невозмущенной” (линейной) системы (12), (13) можно представить в операторном виде
0
0
0
(t), yn0 (t)
xn (t), yn+1
xn+1 (t)
,
0 (t) = Tn y 0 (t), x0
0
yn+1
n
n+1 (t), xn (t)
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
37
где линейный оператор сдвига Tn определен следующим образом:
⎧
t
t
⎪
⎪
⎪
(τ
)
+
U
(t
−
s)A
u
(s)ds
+
U (t − s) (B1 vn+1 (s) + B2 vn (s)) ds;
U
(t)u
n
2
n
⎪
1
⎪
⎨
0
0
Tn
t
=
Tn =
B3 (εn )−1 (et −1) v (τ ) + eB2 (εn )−1 (et −es ) es (ε )−1 (B v (s)+
Tn2
e
⎪
n
n
4 n
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎩
+A3 un+1 (s) + A4 un (s))ds.
Здесь U (t − s) — фундаментальная матрица решений однородной системы
dun+1 /dt = A1 un+1 (t) + A2 un (t), 0 ≤ t ≤ τ, un+1 (0) = un (τ ),
при этом (ввиду неравенства (5)) справедлива оценка
U (t − s) ≤ M1 e−β1 (t−s) , M1 = const, M1 > 0.
(14)
Свойства оператора сдвига Tn подробно изложены в работах [6], [7], в частности, доказана
его равномерная ограниченность, именно, Tn ≤ M . Из неравенства (9) для произведения
операторов Tj следует оценка
n
()
n
−τ
Tj w0 (s)
≤ M0 q x0 (t)τ +y0 (t)τ , w0 (t) = {x0 (t), y0 (t)}, q = e , 0 < q < 1. (15)
j=0
Будем теперь исследовать решение “возмущенной” системы (10), (11) по шагам. Записывая
решение данной системы в интегральной форме (в форме Коши), считая неоднородностями
нелинейные “возмущающие” члены ([1], c. 162), представим ее решение также в операторном
виде
0
0 (t), y 0 (t)
xn (t), yn+1
n
xn+1 (t)
+
= Tn
yn+1 (t)
yn0 (t), x0n+1 (t), x0n (t)
1
2 (t, y
fn+1 (t, xn+1 (t), xn (t)), fn+1
n+1 (t), yn (t))
. (16)
+ In
3 (et , x
4
t
fn+1
n+1 (t), xn (t)), fn+1 (e , yn+1 (t), yn (t))
Здесь In — нелинейный интегральный оператор, определенный следующим образом:
1 1
2 (t, y
In (fn+1 (t, xn+1 (t), xn (t)), fn+1
n+1 (t), yn (t)))
,
In =
3 (et , x
4
t
In2 (fn+1
n+1 (t), xn (t)), fn+1 (e , yn+1 (t), yn (t)))
где
1
2
(t, xn+1 (t), xn (t)), fn+1
(t, yn+1 (t), yn (t))) =
In1 (fn+1
t
t
1
2
U (t − s)fn+1
(s, xn+1 (s), xn (s))ds +
U (t − s)fn+1
(s, yn+1 (s), yn (s))ds,
=
0
0
3
4
(et , xn+1 (t), xn (t)), fn+1
(et , yn+1 (t), yn (t))) =
In2 (fn+1
t
−1 t
s
3
eB2 (εn ) (e −e ) es (εn )−1 fn+1
(es , xn+1 (s), xn (s))ds+
=
0
t
−1 t
s
4
eB2 (εn ) (e −e ) es (εn )−1 fn+1
(es , yn+1 (s), yn (s))ds.
+
0
Оценим теперь норму данного нелинейного оператора In . Пусть
0
n+1 (t) = xn+1 (t) − x0n+1 (t), vn+1 (t) = yn+1 (t) − yn+1
(t).
x0n (t) = xn (t), yn (t) = yn0 (t), u
38
Б.Г. ГРЕБЕНЩИКОВ
Рассмотрим первое из соотношений (16). Учитывая оценки (2), (14), получаем цепь неравенств
un+1 (t) ≤
t
0
1
2
M1 e−β1 (t−s) [fn+1
(s, xn+1 (s), xn (s)) + fn+1
(s, yn+1 (s), yn (s))]ds ≤
t
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)[xn+1 (s) + xn (s) + yn+1 (s) + yn (s)]ds,
≤
0
откуда
un+1 (t) ≤
t
0
t
+
0
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)un+1 (s)ds +
t
0
t
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)x0n+1 (s)ds+
0
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)
vn+1 (s)ds +
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)yn+1
(s)ds+
0
t
+
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)[xn (s) + yn (s)]ds. (17)
0
Ввиду равномерной ограниченности оператора Tn имеем оценки
max x0n+1 (t) ≤ M [max xn (t) + max yn (t)],
t
t
0
(t)
max yn+1
t
t
≤ M [max xn (t) + max yn (t)].
t
t
(t) = un+1 (t)eβ1 t , получаем
Умножив обе части неравенства (17) на eβ1 t и обозначив pn+1
1
из (17) неравенство
(t)
pn+1
1
t
≤
0
t
n+1
0
M1 δ1 (s)p1 (s)ds +
M1 eβ1 s δ1 (s)[x0n+1 (s) + yn+1
(s)]ds+
0
t
t
β1 s M1 e δ1 (s)
vn+1 (s)ds +
M1 eβ1 s δ1 (s)[xn (s) + yn (s)]ds.
+
0
0
Так как eβ1 s δ1 (s) не является монотонно убывающей функцией, то, используя лемму Беллмана–Гронуолла ([4], c. 72), из последнего неравенства получаем оценку
(t) ≤
pn+1
1
t
0
M1 eβ1 s δ1 (s)[x0n+1 (s) + yn+1
(s)]ds+
0
t
t
β1 s M1 e δ1 (s)
vn+1 (s)ds +
M1 eβ1 s δ1 (s)[xn (s) + yn (s)]ds+
+
0
0
t
0
M1 eβ4 s δ1 (s)[x0n+1 (s) + yn+1
(s)]ds+
+
0
t
t
M1 eβ4 s δ1 (s)
vn+1 (s)ds +
M1 eβ4 s δ1 (s)[xn (s) + yn (s)]ds.
+
0
0
Здесь β4 = β1 − M1 ε1 . Предполагаем величину ε1 настолько малой, что справедливо неравенство
β4 > 0.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
39
Возвращаясь к переменной un+1 (t), получаем оценку
t
0
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)[x0n+1 (s) + yn+1
(s)]ds+
un+1 (t) ≤
0
t
t
−β1 (t−s) M1 e
vn+1 (s)ds +
M1 e−β1 (t−s) δ1 (s)[xn (s) + yn (s)]ds+
δ1 (s)
+
0
0
t
0
M1 e−β4 (t−s) δ1 (s)[x0n+1 (s) + yn+1
(s)]ds+
+
0
t
t
−β4 (t−s) M1 e
vn+1 (s)ds +
M1 e−β4 (t−s) δ1 (s)[xn (s) + yn (s)]ds. (18)
δ1 (s)
+
0
0
Рассмотрим теперь второе равенство из соотношений (16). Записывая решение в интегральной форме (считая неоднородностью нелинейные члены), учитывая неравенства (2) и (6),
аналогично выводу неравенства (17) получаем оценку
t
vn+1 (t) ≤
−1
M2 e−β2 εn
(et −es ) s −1 e εn δ2 (es )
vn+1 (s)ds
0
×
0
s
es ε−1
n δ2 (e )xn+1 (s)ds
+
0
t
+
−1
M2 e−β2 εn
(et −es )
×
0
t
+
−1
M2 e−β2 εn
(et −es ) s −1 e εn δ2 (es )
un+1 (s)ds+
0
t
t
s
−β2 ε−1
n (e −e )
s 0
M2 e
es ε−1
n δ2 (e )yn+1 (s)ds+
t
−1 t
s
s
M2 e−β2 εn (e −e ) es ε−1
+
n δ2 (e )×
0
× [xn (s) + yn (s)]ds, M2 = const, M2 > 1.
Если в правую часть данного неравенства подставить вместо un+1 оценку (18), то члены,
vn+1 (r), 0 < r ≤ s ≤ t, будут иметь вид
содержащие величины vn+1 (s), t
−1 t
s
s vn+1 (s)ds,
M2 e−β2 εn (e −e ) es ε−1
n δ2 (e )
0
t
−1
M2 e−β2 εn
(et −es ) s −1 e εn δ2 (es )×
0
s
×
M1 e−β1 (s−r) δ1 (r)
vn+1 (r)dr
0
t
+
M1 e−β4 (s−r) δ1 (r)
vn+1 (r)dr
. (19)
0
Рассмотрим последний член. Внутренние интегралы (в квадратных скобках) можно оценить
следующим образом:
1) τ > 1, тогда 1 ≤ r + k + ϑ ≤ s, k — натуральное число, ϑ = const, 0 < ϑ < 1, и имеем
цепь неравенств
s
0
M1 e−βi (s−r) δ1 (r)
vn+1 (r)dr
−βi s
< M1 e
sup vn+1 (r)
0≤r≤s
≤ ε1 M1
k+1
e
n=1
eβi
eβi −1
r+n+1
βi (r+n)
δ1 (r)dr ≤
r+n
sup vn+1 (r), i = 1, 4; (20)
0≤r≤s
40
Б.Г. ГРЕБЕНЩИКОВ
2) если τ ≤ 1, то имеем оценку
s
e−βi (s−r) vn+1 (r)dr ≤ M1 sup vn+1 (r), i = 1, 4.
M1
0≤r≤s
0
И в том, и в другом случае получаем, что данные интегралы не превосходят величины
O(ε1 )
vn+1 (r).
sup
(21)
0≤r≤s≤τ
vn+1 (r), где
Таким образом, последний член в соотношении (19) (содержащий vn+1 (s), 0 < r ≤ s ≤ t) является величиной более высокого порядка малости, чем величина
t
−1 t
s
M2
e−β2 εn (e −e ) es ε−1 δ2 (es )
vn+1 (s)ds.
n
0
Ввиду этого в первом приближении получаем для vn+1 (t) неравенство
vn+1 (t) <
t
−1 t
s
s vn+1 (s)ds
M2 e−β2 εn (e −e ) es ε−1
n δ2 (e )
0
t
+
−1
M2 e−β2 εn
(et −es ) s −1
e εn ×
0
0
M2 e−β2
es δ2 (es ) x0n+1 (s) + yn+1
(s) ds+
× δ2 (es )[xn (s) + yn (s)]ds +
0
s
t
t
s
0
M2 e−β2 (e −e ) es δ2 (es )
M1 e−β1 (s−r) δ1 (r) x0n+1 (r) + yn+1
(r) dr+
+
0
0
s
s
−β1 (s−r) M1 e
M1 e−β4 (s−r) δ1 (r)×
δ1 (r)[xn (r) + yn (r)]dr +
+
0
0
s
0
(r) dr +
M1 e−β4 (s−r) δ1 (r)[xn (r) + yn (r)]dr ds. (22)
× x0n+1 (r) + yn+1
t
(et −es )
0
(Если рассматривать более точное неравенство, то в правой части появятся члены вида (19),
t
имеющие более высокий порядок малости.) Умножив обе части (22) на eβ2 e εn , обозначив
−1 t
(t) = vn+1 (t)eβ2 εn e εn , получаем из (22) неравенство
pn+1
2
(t)
pn+1
2
t
<
0
M2 pn+1
(s)es δ2 (es )ds
2
t
−1 s
e
M2 eβ2 εn
+
0
es δ2 (es )[xn (s) + yn (s)+
t
−1 s
e
es δ2 (es )×
0
s
s
−β1 (s−r) 0
0
M1 e
M1 e−β1 (s−r) δ1 (r)×
δ1 (r) xn+1 (r) + yn+1 (r) dr +
×
0
0
s
0
M1 e−β4 (s−r) δ1 (r)[x0n+1 (r) + yn+1
(r)]dr+
× [xn (r) + yn (r)]dr +
0
s
−β4 (s−r) M1 e
δ1 (r)[xn (r) + yn (r)]dr ds. (23)
+
0
(s)]ds +
+ x0n+1 (s) + yn+1
M2 eβ2 εn
0
Ввиду того, что выражение в фигурных скобках есть величина O(ε1 ) sup [xn (ϑ)+yn (ϑ)]
0≤ϑ<τ
(это можно доказать аналогично выводу оценки (21)), в первом приближении для величины
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
41
pn+1
(t) из (23) получаем неравенство
2
t
t
−1 s
n+1
s
s
(t)
<
M
p
(s)e
(e
)ds
+
M2 eβ2 εn e es δ2 (es )[xn (s)+
δ
pn+1
2 2
2
2
0
0
0
(s)]ds
+ yn (s) + x0n+1 (s) + yn+1
или
(t)
pn+1
2
t
<
0
0
M2 pn+1
(s)es δ2 (es )ds + Fn+1 (t, xn (ϑ), yn (ϑ), x0n+1 (ϑ), yn+1
(ϑ)), 0 < ϑ ≤ τ. (24)
2
0
(ϑ)) не зависит от pn+1
(t).
Очевидно, функция Fn+1 (t, xn (ϑ), yn (ϑ), x0n+1 (ϑ), yn+1
2
Вновь применяя лемму Беллмана–Гронуолла, аналогично выводу (18) получаем из неравенства (24) оценку
0
pn+1
(t) < Fn+1 (t, xn (ϑ), yn (ϑ), x0n+1 (ϑ), yn+1
(ϑ))+
2
t
t r
r
0
Fn+1 (s, xn (ϑ), yn (ϑ), x0n+1 (ϑ), yn+1
(ϑ))eM2 s e δ2 (e )dr ds.
+
0
Поскольку
M2
t
er δ2 (er )dr < M2 ε2 (et − es ),
s
0
(ϑ)) < M2 (1 + M )εn ε2 [xn τ + yn (t)τ ],
Fn+1 (t, xn (ϑ), yn (ϑ), x0n+1 (ϑ), yn+1
то аналогично выводу неравенства (18) получаем оценку
vn+1 (t) ≤ ε2 M2 (1 + M )[1/β2 + 1/β5 ][xn τ + yn (t)τ ], β5 = β2 − M2 ε2 .
(25)
(Здесь β5 > 0 при достаточно малом ε2 .) Справедлива также оценка
t
eβr δ1 (r)dr < ε1 eβ (eβt − eβs )(eβ − 1)−1
s
(доказывается аналогично выводу неравенства (20)). Используя данную оценку и соотношение (25), из (18) получаем (учитывая, что члены, содержащие vn+1 (t), имеют более
высокий порядок малости)
β1
eβ4
e
+ β4
[xn τ + yn (t)τ ].
(26)
un+1 (t) ≤ ε1 M1 (1 + M ) β1
e −1 e −1
Из неравенств (25), (26) следует: найдется такая постоянная L > 1, что для нелинейного
интегрального оператора In (n = 0, 1, 2, . . . ) справедлива оценка
In ≤ Lε, ε = max εj , j = 1, 2.
j
(27)
Рассматривая теперь решение возмущенной системы (16) (записанное в операторном виде),
на первом шаге имеем равенство
w1,ε (t) = T0 (w0 (s)) + I0 (w1,ε (s), w0 (s)).
Далее, на втором шаге
w2,ε (t) = T1 (w1,ε (s)) + I1 (w2,ε (s), w1,ε (s))
и т. д. Здесь wn,ε (t) = {xn (t), yn (t)} .
42
Б.Г. ГРЕБЕНЩИКОВ
Используя формулу вариации постоянных ([6], c. 23), запишем решение возмущенной однородной системы на любом шаге. Имеем равенство
wn+1,ε (t) = Tn Tn−1 . . . T1 T0 (w0 (s)) + Tn Tn−1 . . . T1 I0 (w1,ε (s), w0 (s))+
+ Tn Tn−1 . . . T2 I1 (w2,ε (s), w1,ε (s)) + · · · + In (wn+1,ε (s), wn,ε (s)). (28)
Учитывая (15) и (27), получаем из (28) неравенство
wn+1,ε (t) < M0 q n w0 (t) + LM0 ε q n−1 w0 (s) + q n−2 w1,ε (t) + · · · + wn,ε (t) .
Обозначив un = q −n wn,ε (t)τ , получаем из последнего неравенства соотношение
M0
+ LM0 ε
≤
uk ,
q
n
un+1
k=0
отсюда ([6], c. 40)
M0
+ LM0 ε u0 .
q
Возвращаясь к переменной wn,ε (t)τ , из последнего неравенства получаем оценку
un+1 ≤ (1 + LM0 ε)n
wn,ε (t)τ ≤ M0 (1 + qLε)(q + LM0 εq)n w0 (t)τ .
Экспоненциальная оценка достигается при
ε<
1−q
.
qLM0
Литература
[1] Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости (Наука, М., 1967).
[2] Гребенщиков Б.Г. Асимптотическое поведение решений одной системы с линейным запаздыванием,
Изв. РАН. Теория и системы управления, № 2, 29–34 (2008).
[3] Гребенщиков Б.Г., Новиков С.И. О неустойчивости системы с линейным запаздыванием, приводимой
к сингулярно возмущенной системе, Изв. вузов. Матем., № 2, 3–13 (2010).
[4] Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения (Мир, M., 1967).
[5] Канторович Л.В., Акилов Г.П.Функциональный анализ (Наука, М., 1977).
[6] Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем (Мир, М., 1971).
[7] Гребенщиков Б.Г. О существовании асимптотически периодического решения одной системы с запаздыванием, Изв. Уральск. гос. ун-та. Матем. и механ. Вып. 5 (26), 44–54 (2003).
Б.Г. Гребенщиков
доцент, кафедра прикладной математики,
Уральский федеральный университет,
ул. Мира, д. 19, г. Екатеринбург, 620002, Россия
B.G. Grebenshchikov
Associate Professor, Chair of Applied Mathematics,
Ural Federal University,
19 Mira str., Ekaterinburg, 620002 Russia
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
170 Кб
Теги
приближение, система, одной, устойчивость, первом, запаздыванием, нестационарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа