close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (537)
УДК 517.926
А.В. ЛАСУНСКИЙ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ ОДНОГО
КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для решения задачи об устойчивости по первому приближению А.М. Ляпуновым был предложен метод характеристических показателей. Этот показатель оценивает изменение модуля
функции на плюс бесконечности по сравнению с функциями exp ( t). Для уточнения поведения
функции на бесконечности в качестве шкалы роста в [1] предложено рассматривать двупараметрическое семейство функций tm exp (t) и введено понятие характеристической степени. С
целью дальнейшего уточнения поведения функции f (t) на бесконечности в [2] введено понятие
характеристического вектора (0 ; 1 ; : : : ; k ), первыми двумя компонентами которого являются
характеристический показатель 0 и характеристическая степень 1 соответственно; в качестве
шкалы роста предложено рассматривать семейство функций
lnk;k 1 t lnk;k;21 t : : : ln2 3 t ln2 t t1 exp (0 t) :
Здесь lnm t = ln (lnm;1 t), ln1 t = ln t. Дальнейшее развитие эта теория нашла в работах [2]{[6].
Рассмотрим вещественную линейную систему
dx = A (t) x;
dt
(1)
где x 2 Rn , A (t) | кусочно-непрерывная и ограниченная на [t0 ; +1) матрица. Одной из основных задач первого метода Ляпунова является оценка изменения характеристических показателей (и других показателей) линейной системы при различного рода возмущениях.
Напомним основные понятия и определения, которыми будем пользоваться.
Пусть x (t) 6= 0 | произвольная функция, определенная при t t0 , x (t) 2 Rn , n 1, и
существуют конечные верхние пределы
1 ln kx (t)k ; = lim 1 ln (kx (t)k exp (; t)) ;
0 = t!lim
1
0
+1 t
t!+1 ln t
1 ln kx (t)k exp (; t) t;1 ::: ln;k;1 t ; k = 2; : : : ; m;
k = t!lim
0
k;2
+1 ln t
k
где ln0 t = t, ln1 t = ln t, lnj t = ln (lnj;1 t), j = 1; : : : ; m, тогда вектор (m) = (m) (x) = (0 ; : : : ; m )
называется [2] характеристическим вектором m-го порядка функции x (t). Число t0 выбираем
достаточно большим, чтобы обеспечить существование lnm t.
Множество f(m) g характеристических векторов решений системы (1) упорядочим по следующему правилу. Пусть (1m) = (01 ; : : : ; m1 ), (2m) = (02 ; : : : ; m2 ), тогда (1m) (2m) , если
существует такое значение j , что j2 > j1 , но i1 = i2 для i = 0; 1; : : : ; j ; 1.
Наряду с системой (1) рассмотрим возмущенную линейную систему
dz = (A (t) + Q (t)) z;
dt
10
(2)
где Q (t) | кусочно-непрерывная матрица при t t0 такая, что
kQ (t)k < mQ; 1
i=0
m
lni t
:
Пусть
(nm) | характеристические векторы системы (1), а (1m) (nm) | характеристические векторы системы (2).
Характеристические векторы (i m) называются устойчивыми (m-го порядка) относительно
линейных возмущений [3], если для любого " > 0 существует > 0 такое, что при < имеем
ji = ji ; j = 0; 1; : : : ; m ; 1; i = 1; : : : ; n;
и jmi ; mi j ", i = 1; : : : ; n.
Рассмотрим систему
( )
1
dz = ;AT (t) z;
dt
(3)
сопряженную к (1). Пусть 1(m) n(m) | характеристические векторы m-го порядка системы (3). Система (1) называется правильной m-го порядка [2], если (im) + i (m) = , i = 1; : : : ; n,
где = (0; : : : ; 0).
m+1
Из последнего определения следует, что если система (1) правильна m-го порядка, то она
правильна и любого меньшего порядка. Как известно [2], [6], для правильности m-го порядка
линейной системы, правильной (m;1)-го порядка, необходимо и достаточно равенство нулю
меры неправильности m-го порядка
Z t
1
(0)
(m;1)
(m)
Sp A ( ) d ; S t ; ; S
lnm;1 t ;
m = S ; t!lim
+1 lnm t
t0
n
P
где S (j) = jk , j = 0; 1; : : : ; m. При m = 1 этот критерий принят за определение вполне
k=1
правильной [1] (правильной первого порядка) линейной системы (1).
Заметим, что если X (t) | фундаментальная матрица системы (1), то (X ;1 (t))T | фундаментальная матрица сопряженной системы (3) (напр., [7], с. 11).
Теорема 1. Если у системы (1), правильной m-го порядка, существует базис решений
X (t) = fx1 (t) ; : : : ; xn (t)g, для которого
G (X )
> 0;
(4)
kx1 (t)k2 : : : kxn (t)k2
1 kxi (t)k
(5)
k kx (t)k k; i > j; i; j = 1; : : : ; n;
то система
(1)
j
имеет
рядка. Здесь через
n-кратный характеристический
вектор, который устойчив
G (x) обозначен определитель Грама решений из базиса X (t).
m-го по-
Из неравенства (5) следует, что характеристические векторы любого порядка решений из базиса X (t) совпадают. Пока мы не можем утверждать, что характеристические векторы нетривиальных решений системы (1) совпадают, т.к. про нормальность базиса X (t)
пока ничего неизвестно. Как показано в [8], условие (4) является необходимым и достаточным
условием диагонализуемости системы (1). Преобразование x = L (t) y с матрицей
L (t) = kxx1 ((tt))k ; : : : ; kxxn ((tt))k
(6)
1
n
Доказательство.
11
является ляпуновским ([7], сс. 73, 182). Это преобразование приводит систему (1) к диагональному виду
dy = diag d ln kx (t)k ; : : : ; d ln kx (t)k y:
n
dt
dt
dt
(7)
1
Последняя система имеет базис
(t) = diag [kx1 (t)k ; : : : ; kxn (t)k] ;
который всегда нормален. Так как при ляпуновских преобразованиях характеристические векторы не меняются, то характеристические векторы всех нетривиальных решений системы (1)
совпадают.
Применив преобразование z = L (t) к системе (2), получим
d = diag d ln kx (t)k ; : : : ; d ln kx (t)k + L; QL:
(8)
n
dt
dt
dt
. По методу вариации для системы (8) найдем
Обозначив Qe (t) = L; QL, имеем Qe (t) < mQ;C
1
1
1
1
(t) = (t)
откуда
i=0
it
ln
;1 (t0 ) (t0 ) +
;1 (t) (t) = ;1 (t0 ) (t0 ) +
Z
t
t0
Z
t
;1 (u) Qe (u) (u) du
t0
;
;1 (u) Qe (u) (u) ;1 (u) (u) du:
Переходя к нормам и обозначив Q = ;1 Qe , получим
;1 (t) (t) ;1 (t0 ) (t0 ) +
t Z
t0
Q (u) ; (u) (u) du:
1
Используя лемму Гронуолла{Беллмана ([7], с. 231), запишем оценку
;1 (t) (t) ;1 (t0 ) (t0 ) exp
t Z
t0
Q (u) du:
(9)
Учитывая диагональность матрицы (t) и неравенство (5), имеем
Q (t) < mQ;S ;
lni t
(10)
1
i=0
где S | некоторая постоянная.
Пусть i (t), i = 1; : : : ; n, | компоненты вектора (t), тогда из неравенства (9) имеем
ji (t)j ;1 (t) (t) ;1 (t ) (t ) exp Z t Q (u) du
0
0
kxi (t)k
t0
или
ji (t)j kxi (t)k
Из неравенства (11) следует
1)
(
1)
(
12
1)
t t0
m; (i (t)) m; (kxi (t)k) + m;
(
Z
;1 (t0 ) (t0 ) exp
Q (u) du:
(11)
exp
Z
t t0
Q (u) du :
Так как
1 Z t du = lim lnm t ; lnm t0 = 0; k = 0; 1; : : : ; m ; 1;
lim
;1
t!+1 lnk t t0 mQ
t!+1
lnk t
lni u
i=0
то из оценки (10) следует
m;1)
(
exp
Z
t t0
Q (u) du = (0; : : : ; 0):
m
(12)
Как уже отмечено, характеристические векторы любого порядка решений из базиса X (t) совпадают, поэтому, обозначив (m;1) (kxi (t)k) = (m;1) , i = 1; : : : ; n, получим (m;1) (i (t)) (m;1) ,
откуда
(13)
(m;1) ( (t)) (m;1) :
Оценку снизу докажем с помощью перехода к сопряженным системам. Система (3), сопряженная к системе (1), в вещественном случае преобразованием z = (LT (t));1 y, где L (t) из (6),
приводится к системе ([9], с. 244{245)
dy = diag d ln 1 ; : : : ; d ln 1 y;
dt
dt kx1 (t)k
dt kxn (t)k
сопряженной к системе (7). Последняя система имеет нормальный базис
;1 (t) = diag kx 1(t)k ; : : : ; kx 1(t)k :
1
n
В силу правильности m-го порядка системы (1) и инвариантности этого понятия относительно
ляпуновских преобразований имеем
(m) kx 1(t)k = ;(m) (kxi (t)k) = ;(m) ; i = 1; 2; : : : ; n:
i
Система
dz = ; ;AT (t) + QT (t) z;
dt
сопряженная к возмущенной системе (2), преобразованием z = (LT (t));1 приводится к системе
d = diag d ln 1 ; : : : ; d ln 1 + ;L;1 (;Q) LT ;
dt
dt kx1 (t)k
dt kxn (t)k
сопряженной к системе (8). Для произвольного решения (t) этой системы получаем оценку
(m;1) ( (t)) (m;1) kx 1(t)k ;
i
аналогичную оценке (13). В силу правильности m-го порядка системы (1)
1
(m;1)
(m;1)
(kxi (t)k) = ;(m;1) ;
kxi (t)k = ;
и поэтому
;(m;1) ( (t)) (m;1):
(14)
Возмущенная система (8) не обязана быть правильной, поэтому можем написать только
(m;1) ( (t)) + (m;1) ( (t)) :
(15)
Из соотношений (14) и (15) следует
(m;1) ( (t)) ; (m;1) ( (t)) (m;1) ; т. е. (m;1) ( (t)) (m;1):
13
С учетом (13) получаем
m; ( (t)) = m; :
(16)
В соответствии с определением устойчивости характеристических векторов m-го порядка
осталось сравнить последние компоненты m ( (t)) характеристических векторов m-го порядка решений (t) системы (8), а значит, и системы (2), и последнюю компоненту m кратного
характеристического вектора m-го порядка системы (1).
Из неравенства (11) следует
(
1)
(
m) (i (t)) (m) + (m)
exp
(
Поэтому
m) ( (t)) (m) + (m)
(
Так как (m;1) ( (t)) = (m;1) , (m;1) exp
Rt t0
exp
1)
Z
t t0
t0
Q (u) du :
t Z
Q (u) du :
Q (u) du = , то с учетом неравенства (10) имеем
m ( (t)) m + S:
Переходя к сопряженным системам с учетом правильности m-го порядка системы (1), получим
m ( (t)) ;m + S;
откуда
m ( (t)) ;m ( (t)) m ; S: Обсудим условия теоремы 1 и утверждение этой теоремы.
Рассмотрим сначала условие (4). Это условие введено в [8] и является необходимым и достаточным условием диагонализуемости системы (1). Геометрическую интерпретацию условия
(4) можно проследить, например, в работе [10], а также в ([7], с. 73{74). Пусть x1 (t) ; : : : ; xn (t)
| линейно независимые решения системы (1).
Пространство решений Ln системы (1) представимо в виде
Ln = L1 L2 Ln;
где Li | линейная оболочка вектора xi (t). Обозначим Mk = L1 Lk , k = 1; : : : ; n, и
k (t) = \ (Mk (t) ; Lk+1 (t)) = x2Mkinf
\ (x; y) | угол между подпространствами Mk (t) и
; y2Lk+1
Lk+1 (t), k = 1; 2; : : : ; n ; 1. Имеем G (X ) = (det X (t))2 = kx1 (t)k2 : : : kxn (t)k2 sin2 1 : : : sin2 n;1.
Условие (4) равносильно отделенности от нуля sin2 i > 0, i = 1; : : : ; n ; 1.
Рассмотримh теперь условие i(5) теоремы 1. Диагональная система (7) имеет матрицу Коши
kxi(t)k . Из условия (5) следует, что
Y (t; s) = diag kkxx11((st))kk ; : : : ; kkxxnn((st))kk с нормой kY (t; s)k = max
i kxi (s)k
центральные показатели и ! системы (7), а значит, и системы (1) совпадают. Устойчивость
кратного характеристического показателя (показателя нулевого порядка) следует из теоремы
Былова{Изобова{Миллионщикова [11].
Условие (5) теоремы 1 можно ослабить. Предположим, что для некоторого m 2 Z + справедливо неравенство
1 lim 1 Z t 1 kxi ( )k d K; i > j:
(17)
K t!+1 lnm t t0 mQ;1 ln kxj ( )k
p
p=0
Ясно, что из условия (5) следует (17). Однако уже при m = 0 существуют функции, частное
которых не ограничено, и, тем не менее, это частное имеет конечное интегральное среднее ([12],
пример 5.1, с. 65{66).
14
Лемма. Пусть функции
тельно. Если
f (t) и g (t) имеют строгие показатели до m-го порядка включи-
1 lim 1 Z t 1 jf ( )j d K;
K t!+1 lnm t t0 mQ;1 ln jg ( )j
p
p=0
m-го порядка f (t) и g (t) совпадают.
Доказательство. Пусть = ( ; ; : : : ; m ) и = ( ; ; : : : ; m ) | характеристические
векторы m-го порядка функций f (t) и g (t) соответственно. Пусть существует такое k, что
i = i , i = 0; 1; : : : ; k ; 1, и для определенности k > k . Имеем
то характеристические векторы
0
1
0
1
k = t!lim1 ln1 t ln jf (t)j exp (; t) t;1 : : : ln;k;k;1 t ;
+
k
0
2
k = t!lim1 ln1 t ln jg (t)j exp (; t) t;1 : : : ln;k;k;1 t :
+
0
k
2
Пусть " = k ;3 k . Для этого " > 0 по определению предела для достаточно больших t
exp ((k ; ") lnk t) < jf (t)j exp (;0 t) t;1 : : : ln;k;2k;1 t < exp ((k + ") lnk t) ;
exp ((k ; ") lnk t) < jg (t)j exp (;0 t) t;1 : : : ln;k;2k;1 t < exp ((k + ") lnk t) ;
откуда fg((tt)) > exp (" lnk t) = (lnk;1 t)" , t > T . Из последнего неравенства следует
1 Z t 1 jf ( )j d > lim 1 Z t (lnk;1 )" d lim
;1
;1
t!+1 lnm t t0 mQ
t!+1 lnm t T mQ
lnp jg ( )j
lnp p=0
p=0
1 Z t (lnm;1 )" d = lim 1 Z lnm t exp ("u)du = +1:
t!lim
mQ
;1
+1 ln t T
t!+1 lnm t lnm T
m
ln p=0
Теорема 2. Если система
p
(1) правильна m-го порядка и у нее существует базис решений,
(4) и (17), то система (1) имеет n-кратный характери-
для которого выполнены неравенства
стический вектор
m-го порядка, который устойчив m-го порядка.
Доказательство. Отметим, что спектр характеристических векторов системы (1) совпадает
со спектром диагональной системы (7). Пусть система (1) правильна m-го порядка, тогда в силу
леммы из условия (17) следует, что система (1) имеет n-кратный характеристический вектор mго порядка. Повторим доказательство теоремы 1 до неравенства (11) включительно, не проводя
оценку (10) нормы матрицы Q (t). Так как
Z t
1
1 kxi ( )k d = 0; k = 1; 2; : : : ; m ; 1;
lim
;1
t!+1 lnk t t0 mQ
lnp kxj ( )k
p=0
что вытекает из неравенства (17), то соотношение (12) остается справедливым и в условиях теоремы 2. Повторяя доказательство теоремы 1, приходим к равенству (16). Далее из соотношений
(11), (16) и (17) следует
m ( (t)) m + S:
Оценку снизу получаем, как в теореме 1, переходом к сопряженным системам.
15
Литература
1. Демидович Б.П. Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова правильных систем // Матем. сб. { 1965. { Т. 66. { Є 3. { С. 344{353.
2. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и ее приложения к изучению
асимптотического поведения решений дифференциальных систем. I // Дифференц. уравнения. { 1967. { Т. 3. { Є 3. { С. 446{467.
3. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и ее приложения к изучению
асимптотического поведения решений дифференциальных систем. II // Дифференц. уравнения. { 1967. { Т. 3. { Є 10. { С. 1656{1672.
4. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и приводимые m-го порядка системы // Дифференц. уравнения. { 1969. { Т. 5. { Є 6. { С. 1055{1067.
5. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических элементов и ее применение к изучению
устойчивости решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. { 1983. {
Т. 19. { Є 6. { С. 1093{1094.
6. Азамов А. Применение характеристических показателей m-го порядка к изучению асимптотической устойчивости // Дифференц. уравнения. { 1971. { Т. 7. { Є 11. { С. 2086{2090.
7. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. { СПб.:
Изд-во Санкт-Петербургск. ун-та, 1992. { 240 с.
8. Былов Б.Ф. О приведении линейной системы к блочно-треугольному виду // Дифференц.
уравнения. { 1987. { Т. 23. { Є 12. { С. 2027{2031.
9. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова.
{ М.: Наука, 1966. { 576 с.
10. Виноград Р.Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных
систем // УМН. { 1954. { Т. 9. { Є 2. { С. 129{136.
11. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. { 1969. { Т. 5. { Є 10.
{ С. 1794{1803.
12. Ласунский А.В. Характеристики роста решений линейных систем и их зависимость от
параметров: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Ленинград, 1987. { 101 с.
Новгородский государственный
Поступила
университет
первый вариант
22:11:2004
13:12:2005
окончательный вариант
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
149 Кб
Теги
уравнения, характеристических, дифференциальной, система, одного, векторов, линейный, класс, устойчивость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа