close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об эквивалентном определении непрерывной дифференцируемости.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. №2(36)
УДК 517.5
c А. С. Демышев, В. И. Родионов
rodionov@uni.udm.ru
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ
НЕПРЕРЫВНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
Ключевые слова: непрерывно дифференцируемая функция, предел
по множеству, репер, симплекс.
Abstract. Concept of S-differentiable function of some variables are defined. Necessary and sufficient conditions of S-differentiability are proved.
Пусть Ω0 ⊆ Rn — непустое открытое множество, а множество
Ω таково, что Ω0 ⊆ Ω ⊆ Ω0 . Произвольной функции f : Ω → R
→ Rn ,
поставим в соответствие векторную функцию F : Ωn+1
∗
действующую по следующему правилу:
−1 


∆x11 . . . ∆x1n
∆f1
(1)
...   ... .
F (x0 , x1 , . . . , xn ) =  . . . . . .
∆xn1 . . . ∆xnn
∆fn
состоит из тех наборов hx0 , x1 , . . . , xn i из
Множество Ωn+1
∗
прямого произведения Ωn+1 , что векторы ∆x1 , . . . , ∆xn (где
∆xi =
˙ xi − x0 ) образуют ортогональный репер с началом в точке x0 и выпуклая оболочка точек x0 , x1 , . . . , xn принадлежит
Ω . Невырожденная матрица ∆x =
˙ col (∆x1 , . . . , ∆xn ) приращений аргументов состоит из элементов ∆xij =
˙ xij − x0j , а столбец
∆f приращений функции состоит из чисел ∆fi =
˙ f (xi ) − f (x0 ) .
−1
Таким образом, F = (∆x) ∆f и легко показать, что непрерывность функции f влечет непрерывность функции F . Элементы
hx0 , x1 , . . . , xn i ∈ Ωn+1
будем называть симплексами.
∗
39
В силу ортогональности векторов ∆x1 , . . . , ∆xn справедливо
n
Q
∆x · ∆x⊤ = diag (k∆x1 k2 , . . . , k∆xn k2 ) и det ∆x =
k∆xi k,
i=1
где ∆x⊤ — транспонированная к ∆x матрица. Действительно,
n
P
элементы произведения имеют вид
∆xik ∆xjk = (∆xi , ∆xj ) =
k=1
= k∆xi k2 δij . В частности, для обратной матрицы справедливо
−1
1
∆x
= ∆x⊤ · diag
, . . . , k∆x1 k2 .
(2)
2
k∆x1 k
n
О п р е д е л е н и е 1. Функция f : Ω → R называется Sдифференцируемой (или дифференцируемой в себе), если для любого x ∈ Ω существует конечный предел
lim ∗ F (x0 , x1 , . . . , xn ),
(3)
где символ «∗» означает, что предел вычисляется по всем та, что x0 → x, x1 → x ,
ким симплексам hx0 , x1 , . . . , xn i ∈ Ωn+1
∗
. . . , xn → x. Другими словами, число g(x) есть предел (3), если для любого ε > 0 существует окрестность Ux такая, что
kF (x0 , x1 , . . . , xn ) − g(x)k < ε для любых x0 , x1 , . . . , xn ∈ Ω ∩ Ux
таких, что hx0 , x1 , . . . , xn i ∈ Ωn+1
. Заметим еще, что (3) — это
∗
n+1
предел по множеству Ω∗ , а точка (x, x, . . . , x) ∈ Ωn+1 — точка
прикосновения этого множества.
Л е м м а 1. Если f : Ω0 → R есть функция S-дифференцируемая, то для любого x ∈ Ω0 существует grad f (x) и
lim∗ F (x0 , x1 , . . . , xn ) = grad f (x).
(4)
Существование предела (3) влечет существование предела
lim ∗∗ F (x0 , x1 , . .. , xn ) (и их равенство), вычисленного по подмно
жеству Ωn+1
˙ hx0 , x1 , . . . , xn i ∈ (Ω0 )n+1
: ∆xij = 0 п i 6= j ,
∗
0 ∗∗ =
когда x0 → x, x1 → x, . . . , xn → x . В этом случае необходимо
∆xii 6= 0 при всех i = 1, . . . , n , а для функции (1) справедливо
f (xn )−f (x0 ) )−f (x0 )
. Поэтому
,
.
.
.
,
F (x0 , x1 , . . . , xn ) = col f (x1∆x
∆xnn
11
f (xn )−f (x0 ) )−f (x0 )
,
,
.
.
.
,
lim ∗ F (x0 , x1 , . . . , xn ) = lim ∗∗∗ col f (x1∆x
∆xnn
11
40
где последний предел вычисляется по подмножеству Ωn+1
˙
0 ∗∗∗ =
n+1
=
˙ hx0 , x1 , . . . , xn i ∈ Ω0 ∗∗ : x0 = x при x1 → x, . . . , xn → x .
Но это и означает, что существует grad f (x) и справедливо (4).
Функция f : Ω0 → R называется непрерывно дифференцируемой, если для любого x ∈ Ω0 существует grad f (x) и функция grad f (·) : Ω0 → Rn непрерывна. Непрерывная функция
f : Ω → R называется гладкой, если сужение f : Ω0 → R
непрерывно дифференцируемо и существует непрерывная функция g : Ω → Rn такая, что grad f (x) = g(x) для всех x ∈ Ω0 .
Т е о р е м а 1. Для того чтобы непрерывная функция f : Ω →
R была S-дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы
она была гладкой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Предел (3) порождает функцию g : Ω → Rn , g(x) =
˙ lim ∗ F (x0 , x1 , . . . , xn ) . Пусть
x ∈ Ω и ε > 0 . Существует окрестность Ux такая, что
kF (x0 , x1 , . . . , xn ) − g(x)k < ε для любых x0 , x1 , . . . , xn ∈ Ω ∩ Ux
таких, что hx0 , x1 , . . . , xn i ∈ Ωn+1
. Для любого y ∈ Ω ∩ Ux суще∗
ствует окрестность Uy такая, что kF (y0 , y1 , . . . , yn )−g(y)k < ε для
любых y0 , y1 , . . . , yn ∈ Ω ∩ Ux ∩ Uy , что hy0 , y1 , . . . , yn i ∈ Ωn+1
. Но
∗
для этих симплексов выполнено kF (y0 , y1 , . . . , yn ) − g(x)k < ε , поэтому kg(y) − g(x)k < 2ε для любого y ∈ Ω ∩ Ux , следовательно,
g — непрерывная функция. Согласно лемме 1 g(x) = grad f (x)
для всех x ∈ Ω0 , поэтому f — гладкая функция.
Достаточность. Зафиксируем x ∈ Ω и последовательность
n+1 такую, что lim xk = x
{ hxk0 , xk1 , . . . , xkn i }∞
i
k=1 симплексов из Ω∗
k
для всех i = 0, 1, . . . , n . Зафиксируем ε > 0 . Так как f непрерывна, то F тоже непрерывна, поэтому существует последовательность { hy0k , y1k , . . . , ynk i }∞
k=1 симплексов такая, что
conv hy0k , y1k , . . . , ynk i ⊂ Int conv hxk0 , xk1 , . . . , xkn i ⊂ Ω0
и kF (y0k , y1k , . . . , ynk ) − F (xk0 , xk1 , . . . , xkn )k < ε . Очевидно, yik → x
k
при любом i , а множество A =
˙ {x, y01 , y02 , . . . , y0k , . . .} компактно.
41
Пусть ∆yik =
˙ yik − y0k и ∆fik =
˙ f (yik ) − f (y0k ) . Поскольку f —
гладкая, то f : Ω0 → R непрерывно дифференцируема. Следовательно, существует функция λ = λ(ξ, η) , (ξ, η) ∈ Rn × Rn , такая,
что λ → 0 при k η k → 0 равномерно по всем ξ ∈ A и
∆fik = grad f (y0k ), ∆yik + λ(y0k , ∆yik ) k∆yik k
для всех допустимых i и k . Согласно (2) справедлива цепочка
−1
F (y0k , y1k , . . . , ynk ) = ∆y k
· col ∆f1k , . . . , ∆fnk = grad f (y0k )+
−1
· col λ(y0k , ∆y1k ) k∆y1k k, . . . , λ(y0k , ∆ynk ) k∆ynk k =
λ(y k , ∆y k )
λ(y0k , ∆ynk ) 1
0
= g(y0k ) + (∆y k )⊤ · col
,
.
.
.
,
k∆ynk k
k∆y1k k
+ ∆y k
(заметим, что в силу гладкости f существует непрерывная функция g : Ω → Rn такая, что grad f (y) = g(y) для всех y ∈ Ω0 ).
Следовательно, если σ k =
˙ F (y0k , y1k , . . . , ynn ) − g(y0k ) , то
n
n
X
k
k
X
∆yi1
∆yin
k
k
λ(y0k , ∆yik )
σ k = col
λ(y
,
∆y
)
.
,
.
.
.
,
0
i
kk
kk k∆y
k∆y
i
i
i=1
i=1
Поскольку λ ⇉ 0 , то существует шар Bδ (0) радиуса δ > 0
такой, что |λ(ξ, η)| < ε для любых (ξ, η) ∈ A × Bδ (0) .
Существует N1 такое, что kyik − xk <
δ
2
для любых k > N1
и i = 0, 1, . . . , n . В частности, k∆yik k < δ , то есть
поэтому |λ(y0k , ∆yik )| < ε , а σ k < n3/2 ε для любого
∆yik ∈ Bδ (0) ,
k > N1 .
В силу непрерывности функции g существует N2 такое, что
kg(y0k ) − g(x)k < ε , следовательно, для всех k > max {N1 , N2 }
имеет место оценка kF (xk0 , xk1 , . . . , xkn ) − g(x)k < (2 + n3/2 ) ε .
С л е д с т в и е 1. Для того чтобы функция f : Ω0 → R была
S-дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы она была
непрерывно дифференцируемой.
42
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
90 Кб
Теги
непрерывного, дифференцируемость, эквивалентность, определение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа