close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обобщенная константа Джексона в пространстве $l 2(r)$ с гиперболическим весом.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 5–18
Математика
УДК 517.51
Обобщенная константа Джексона
в пространстве L2(R) с гиперболическим
весом ∗
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Аннотация. Для произвольной последовательности действительных чисел M = {µs }s∈Z с нулевой суммой и абсолютно сходящимся
рядом в пространстве L2 (R, dµ) с гиперболическим весом
dµ = 22ρ |sh t|2α+1 (ch t)2β+1 , α > β > −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1,
определяются величина наилучшего приближения Eσ (f )2,µ
частичными интегралами преобразования Якоби, обобщенный
модуль непрерывности ωM (τ, f )2,µ и обобщенная константа
Джексона DM (σ, τ )2,µ . Вычисление обобщенной константы
Джексона сводится к двойственной экстремальной задаче для
четных целых функций экспоненциального типа. Дается условие ее
√
конечности,
доказывается нижняя оценка DM (σ, τ )2,µ > 1/ ν0 , где
P
ν0 = s∈Z |µs |2 .
Ключевые слова: гармонический анализ Данкля, наилучшее
приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона,
константа Джексона.
1. Определение обобщенной константы Джексона
Работа посвящена исследованию точного неравенства Джексона
с обобщенным модулем непрерывности в пространстве L2 (R) с
гиперболическим весом
∆(t) = 22ρ |sh t|2α+1 (ch t)2β+1 ,
t ∈ R,
(1)
где α > β > −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1.
Точное неравенство Джексона с первым модулем непрерывности в
пространстве L2 (R) с гиперболическим весом имеется в [1].
Отметим, что гиперболический вес |sh t|2α+1 , α = (d − 3)/2, d = 2, 3, . . . ,
получается при сужении пространства L2 (H d−1 ) на гиперболоиде H d−1 в
Rd на подпространство зональных сферических функций [2, гл. X]. Точное
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и
Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
6
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
неравенство Джексона с первым модулем непрерывности в пространстве
L2 (H d−1 ) доказано в [3].
Точным неравенствам Джексона, в том числе и с обобщенным модулем
непрерывности, в пространстве L2 (Rd ) со степенным весом Данкля
посвящены работы [4–15]. Мы во многом следуем этим работам.
Пусть α > β > −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1, t ∈ R, λ ∈ C, Γ(z) — гаммафункция, F (a, b, c; z) = 2 F1 (a, b, c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса,
³ ρ + iλ ρ − iλ
´
(α,β)
ϕλ (t) = ϕλ (t) = F
,
; α + 1; − sh2 t
2
2
— функция Якоби (см. [16–18]).
Функция Якоби является собственной функцией задачи Штурма–
Лиувилля:
´
d
d
d³
ϕλ (t) + (ρ2 + λ2 )∆(t)ϕλ (t) = 0,
ϕλ (0) = 1,
ϕλ (0) = 0.
∆(t)
dt
dt
dt
По t она четная аналитическая на R, а по λ — четная целая функция
экспоненциального типа |t| > 0,
ϕλ (0) = 1,
|ϕλ (t)| 6 1,
λ, t ∈ R.
(2)
Пусть dµ(t) = ∆(t) dt, L2 (R, dµ) — пространство комплексных измеримых
по Лебегу функций f (t) на R с конечной нормой
¶1/2
µZ
2
|f (t)| dµ(t)
< ∞,
kf k2,µ =
R
L2 (R, dσ) — пространство комплексных измеримых по Лебегу функций f (λ)
на R с нормой
µ Z
¶1/2
1
2
kf k2,σ =
|f (λ)| dσ(λ)
< ∞,
4 R
где
dσ(λ) = s(λ)dλ, s(λ) = (2π)−1 |c(λ)|−2 ,
c(λ) =
2ρ−iλ Γ(α + 1)Γ(iλ)
.
Γ((ρ + iλ)/2)Γ((ρ + iλ)/2 − β)
Гармонический анализ в пространстве L2 (R, dµ) можно найти в работе
Опдама [19] (см. также [20]). Он осуществлен с помощью дифференциальноразностного оператора Данкля–Чередника
¡
¢ f (t) − f (−t)
Df (t) = f ′ (t) + (2α + 1) cth t + (2β + 1) th t
− ρf (−t).
2
Гипергеометрическая функция Опдама
Gλ (t) = ϕλ (t) −
∂
1
ϕλ (t)
ρ − iλ ∂t
Обобщенная константа Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом
7
является собственной функцией этого оператора:
DGλ (t) = iλGλ (t).
По λ она целая функция экспоненциального типа |t| > 0 и по t аналитическая
на R,
Gλ (0) = 1,
|Gλ (t)| 6 1, λ, t ∈ R.
Из формулы дифференцирования
d (α,β)
(ρ2 + λ2 ) sh t ch t (α+1,β+1)
ϕλ (t) = −
ϕλ
(t)
dt
2(α + 1)
вытекает, что
(α,β)
Gλ (t) = ϕλ
(t) +
(ρ + iλ) sh t ch t (α+1,β+1)
ϕλ
(t).
2(α + 1)
(3)
Разложение функций из L2 (R, dµ) осуществляется с помощью прямого и
обратного преобразований Фурье–Опдама–Чередника:
Z
F (f )(λ) =
f (t)Gλ (−t) dµ(t),
(4)
F −1 (g)(x) =
1
4
Z
R
³
ρ´
g(λ)Gλ (x) 1 −
dσ(λ).
iλ
R
(5)
Если f ∈ L2 (R, dµ) и обозначить fe(x) = f (−x), то
F (f ), F (fe) ∈ L2 (R, dσ),
F −1 (F (f )) ∈ L2 (R, dµ)
и f (x) = F −1 (F (f ))(x) в среднеквадратичном смысле. При этом справедливо
равенство Парсеваля
Z
Z
¡
¢
1
2
|F (f )(λ)|2 + |F (fe)(λ)|2 dσ(λ).
(6)
|f (x)| dµ =
4 R+
R
Пусть для функции f ∈ L2 (R, dµ)
©
ª
Eσ (f, R)2,µ = inf kf − gk2,µ : g ∈ L2 (R, dµ), supp F (g) ⊂ [−σ, σ]
(7)
— величина ее наилучшего приближения порядка σ > 0. Из аналитичности
Gλ (t) по t вытекает аналитичность на R приближающих функций.
Пусть M = {µs }s∈Z — ненулевая последовательность действительных
чисел, для которой
X
X
µs = 0,
|µs | < ∞.
(8)
s∈Z
s∈Z
Посредством свертки образуем новую четную последовательность
X
νs =
µl+s µl .
l∈Z
(9)
8
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Для нее
ν0 =
X
l∈Z
|µl |2 ,
X
νs = 0,
s∈Z
X
s∈Z
|νs | < ∞.
Определим функцию
ψM (λ, t) =
X
νs ϕsλ (t) = ν0 + 2
∞
X
s=1
s∈Z
νs ϕsλ (t) = ν0 − 2ηM (λ, t),
λ, t ∈ R. (10)
Используя интегральное представление Мелера функции Якоби [18]
Z t
Cα
ϕλ (t) =
Aα,β (x, t) cos (λx) dx,
(11)
∆(t) 0
где
Aα,β (x, t) = 2α+2β+5/2 sh (2t)(ch t)β−α (ch (2t) − ch (2x))α−1/2 ×
³
ch t − ch x ´
Γ(α + 1)
×F α + β, α − β; α + 1/2;
,
> 0, Cα = √
2 ch t
π Γ(α + 1/2)
получим
Z t
X
Cα
Aα,β (x, t)
νs cos (λsx) dx.
ψM (λ, t) =
∆(t) 0
s∈Z
Так как
X
s∈Z
¯2
¯2 ¯
¯
¯
¯X
¯
¯X
¯
¯
¯
¯
µl sin (λlx)¯ > 0,
µl cos (λlx)¯ + ¯
νs cos (λsx) = ¯
¯
¯
¯
¯
l∈Z
l∈Z
то ψM (λ, t) > 0. Для функции ψM (t, y) выполнены также свойства
ψM (λ, t) ∈ Cb (R × R),
ψM (λ, 0) = 0.
Здесь Cb (R × R) — пространство непрерывных ограниченных функций.
Перечисленные свойства ψM (t, y) позволяют для функции f ∈ L2 (R, dµ)
определить обобщенный модуль непрерывности
µ Z
¶1/2
¡
¢
1
2
2
e
ωM (τ, f, R)2,µ = sup
ψM (λ, t) |F (f )(λ)| + |F (f )(λ)| dσ(λ)
.
06t6τ 4 R+
(12)
Нетрудно убедиться, что lim ωM (τ, f, R)2,µ = 0.
τ →0+0
Обобщенная константа Джексона
½
¾
Eσ (f, R)2,µ
DM (σ, τ, R)2,µ = sup
: f ∈ L2 (R, dµ)
ωM (τ, f, R)2,µ
есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
Eσ (f, R)2,µ 6 DωM (τ, f, R)2,µ .
(13)
Обобщенная константа Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом
9
2. Редукция к случаю четных функций
Лемма 1. Если g ∈ L2 (R, dµ), supp F (g) ⊂ [−σ, σ], то supp F (e
g ) ⊂ [−σ, σ].
Доказательство. Пусть g = g1 + ig2 = g1e + g1o + i(g2e + g2o ), где
индексы e, o обозначают четную и нечетную составляющие функции
соответственно. Согласно (3), (4) для |λ| > σ
Z
(α,β)
(g1e + ig2e )ϕλ (t) dµ(t)−
−(c1 + ic2 )
R
Z
(α+1,β+1)
R
(g1o + ig2o ) sh t ch tϕλ
(t) dµ(t) = 0,
где c1 = ρ/(2(α + 1)), c2 = λ/(2(α + 1)). Рассматривая отдельно λ > 0 и λ < 0,
для λ > σ получим систему
Z
Z
(α+1,β+1)
(α,β)
g1o sh t ch tϕλ
(t) dµ(t)±
g1e ϕλ (t) dµ(t) − c1
R
R
Z
(α+1,β+1)
g2o sh t ch tϕλ
(t) dµ(t) = 0,
± c2
R
Z
R
(α,β)
g2e ϕλ (t) dµ(t)
− c1
Z
R
∓ c2
Z
R
(α+1,β+1)
g1o sh t ch tϕλ
(α+1,β+1)
g2o sh t ch tϕλ
(t) dµ(t)−
(x) dµ(t) = 0.
Из нее вытекает, что для λ > σ
Z
Z
Z
(α,β)
(α,β)
(α+1,β+1)
g1e ϕλ (t) dµ(t) =
g2e ϕλ (t) dµ(t) =
g1o sh t ch tϕλ
(t) dµ(t) =
R
R
R
Z
(α+1,β+1)
=
g2o sh t ch tϕλ
(t) dµ(t) = 0.
R
Так как
Z
(α,β)
F (e
g )(λ) = (g1e + ig2e )ϕλ (t) dµ(t)+
R
Z
(α+1,β+1)
(t) dµ(t),
+ (c1 + ic2 ) (g1o + ig2o ) sh t ch tϕλ
R
то supp F (e
g ) ⊂ [−σ, σ]. Лемма доказана.
Лемма 1 имеется в [1]. Мы привели ее доказательство для полноты
изложения.
Из леммы 1 и равенства Парсеваля (6) вытекает следующая лемма.
10
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Лемма 2. Если f ∈ L2 (R, dµ), то
Z
¢
1 ∞¡
2
Eσ (f, R)2,µ =
|F (f )(λ)|2 + |F (fe)(λ)|2 dσ(λ).
4 σ
Пусть L2 (R+ , dµ) — подпространство L2 (R, dµ) четных функций с нормой
µZ
¶1/2
2
kf k2 =
|f (t)| dµ(t)
< ∞.
R+
Введем обозначения:
Jf (λ) =
Z
f (t)ϕλ (t) dµ(t)
R+
— преобразование Якоби,
J
−1
g(t) =
Z
g(λ)ϕλ (t) dσ(λ)
R+
— обратное преобразование Якоби,
©
ª
Eσ (f, R+ )2,µ = inf kf − gk2 : g ∈ L2 (R+ , dµ), supp Jg ⊂ [0, σ]
— величина наилучшего приближения порядка σ,
µZ
¶1/2
ωM (τ, f, R+ )2,µ = sup
ψM (λ, t)|Jf (λ)|2 dσ(λ)
06t6τ
(14)
R+
— обобщенный модуль непрерывности,
½
¾
Eσ (f, R+ )2,µ
DM (σ, τ, R+ )2,µ = sup
: f ∈ L2 (R+ , dµ)
ωM (τ, f, R+ )2,µ
(15)
— обобщенная константа Джексона.
Пусть f ∈ L2 (R+ , dµ), g ∈ L2 (R+ , dσ). В силу (3), (4) функция F (f )(λ)
четная. Согласно (4)–(6) и лемме 2 справедливы следующие соотношения:
Z
R+
F (f )(λ) = 2Jf (λ), F −1 (g)(x) = 2J −1 g(x), f (x) = J −1 (Jf )(x),
Z
Z ∞
|Jf (λ)|2 dσ(λ).
|f (x)|2 dµ(x) =
|Jf (λ)|2 dσ(λ), Eσ2 (f, R+ )2,µ =
R+
σ
(16)
Лемма 3. Для всех σ, τ > 0, произвольной последовательности M (8)
DM (σ, τ, R)2,µ = DM (σ, τ, R+ )2,µ .
Доказательство. Достаточно установить неравенство
DM (σ, τ, R)2,µ 6 DM (σ, τ, R+ )2,µ .
(17)
Обобщенная константа Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом 11
Пусть для произвольной функции f ∈ L2 (R, dµ)
³ |F (f )(λ)|2 + |F (fe)(λ)|2 ´1/2
g(λ) =
.
2
Если f = f1 + if2 , то согласно (3), (4) в обозначениях леммы 1
¶2
¶2 µZ
µZ
(α,β)
(α,β)
2
f2 (t)ϕλ (t) dµ(t) +
f1 (t)ϕλ (t) dµ(t) +
g (λ) =
R
R
½µZ
¶2
(α+1,β+1)
2
2
f1 (t) sh t ch tϕλ
+ (c1 + c2 )
(t) dµ(t) +
+
µZ
R
R
¶2 ¾
,
(α+1,β+1)
f2 (t) sh t ch tϕλ
(t) dµ(t)
поэтому g(λ) — четная функция. Так как из (6)
Z
Z
¡
¢
1
2
|g(λ)| dσ(λ) =
|F (f )(λ)|2 + |F (fe)(λ)|2 dσ(λ) = 2kf k22,µ < ∞,
2 R+
R+
то g ∈ L2 (R+ , dσ).
Рассмотрим четную функцию
Z
h(t) =
g(λ)ϕλ (t) dσ(λ) ∈ L2 (R+ , dµ).
R+
Для нее согласно (14), (16), лемме 2 и (7), (12)
Z ∞
2
|g(λ)|2 dσ(λ) =
Eσ (h, R+ )2 =
σ
Z
¢
1 ∞¡
|F (f )(λ)|2 + |F (fe)(λ)|2 dσ(λ) = 2Eσ2 (f, R)2,µ ,
=
2 σ
Z
2
ψM (λ, t)|g(λ)|2 dσ(λ) =
ωM
(τ, h, R+ )2 = sup
=
1
sup
2 06t6τ
поэтому
Z
R+
06t6τ
R+
¡
¢
2
ψM (λ, t) |F (f )(λ)|2 + |F (fe)(λ)|2 dσ(λ) = 2ωM
(τ, f, R)2,µ ,
Eσ (f, R)2,µ
Eσ (h, R+ )2
=
.
ωM (τ, h, R+ )2
ωM (τ, f, R)2,µ
Отсюда следует неравенство (17). Лемма доказана.
3. Нижняя оценка обобщенной константы Джексона
Для оценки обобщенных констант Джексона (13), (15) снизу будем
использовать лемму В.В. Арестова [21]. Сформулируем ее в удобном для нас
виде.
12
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Лемма 4. (В.В. Арестов). Пусть задана система {ψs (t)}∞
s=1 функций,
непрерывных на [0, τ ] и удовлетворяющих условиям:
(a) ψs (0) = 0, |ψs (t)| 6 K (t ∈ [0, τ ], s ∈ N);
(b) для любого δ ∈ (0, τ ] выполняется равенство
lim max ψs (t) = ν0 .
s→∞ δ6t6τ
Тогда для любого ε > 0 найдется функция
F (t) =
∞
X
ρs ψs (t),
∞
X
ρs > 0,
s=1
s=1
такая, что
ρs = 1,
F (t) 6 ν0 + ε,
t ∈ [0, τ ].
Согласно лемме 3 в дальнейшем будем работать с константой Джексона
(14). Нам также понадобятся асимптотики весовой функции s(λ) и функции
Якоби из [22]. При |λ| → ∞ равномерно по t > 0
¡
¢−2 2α+1 ¡
¢
s(λ) = 2ρ+α Γ(α + 1)
λ
1 + O(|λ|−1 ) ,
(18)
¡ −1
¢´
(2/π)1/2 ³
t|Im λ|
−1
ϕλ (t) =
cos
(λt
−
a
)
+
e
O
|λt|
+
|λ|
.
(19)
α
(∆(t)s(λ))1/2
Теорема 1. Если σ, τ > 0, M — произвольной последовательности (8),
то
1
DM (σ, τ, R+ )2,µ > √ .
ν0
(20)
Доказательство. Согласно (14), (16)
2
DM
(σ, τ, R+ )2,µ
=
sup
f ∈L2 (R+ , dµ)
sup
R∞
σ
R∞
06t6τ σ




|Jf (λ)|2 dσ(λ)
ψM
>
(λ, t)|Jf (λ)|2 dσ(λ)



∞

X
1
,
> sup
:
ρ
>
0,
ρ
=
1
s
s
∞
P




s=0
 sup

ψs (t)ρs
06t6τ s=0
где
1
ψs (t) =
ηs
σ+s+1
Z
ψM (λ, t) dσ(λ),
dσ(λ).
σ+s
σ+s
Согласно (2), (10) имеем
X
|ψs (t)| 6
|νl | = K,
l∈Z
ηs =
σ+s+1
Z
ψs (t) = ψM (ys (t), t),
ys (t) ∈ (s, s + 1).
(21)
Обобщенная константа Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом 13
В силу (18), (19) равномерно по 0 < δ 6 t 6 τ
1
.
λα+1/2
|ϕλ (t)| ≪
(22)
Применяя (10), (22), получим равномерно по 0 < δ 6 t 6 τ
|ηM (λ, t)| 6 2
∞
X
s=1
1
|νs ||ϕsλ (t)| ≪
λα+1/2
∞
X
1
|νs |
≪ α+1/2 ,
α+1/2
s
λ
s=1
поэтому из свойства lims→∞ ys (t) = ∞ и условия α > −1/2 (см. (1))
lim max ψs (t) = ν0 .
s→∞ δ6t6τ
По лемме В.В. Арестова из (21) получаем оценку (20) для обобщенной
константы Джексона DM (σ, τ, R+ )2,µ . Теорема доказана.
4. Двойственная запись обобщенной константы Джексона
Пусть τ > 0, S + [0, τ ] — множество неубывающих на отрезке [0, τ ] функций
(мер) ν(t), для которых ν(τ ) − ν(0) = 1,
¾
½
Z τ
ϕλ (t) dν(t) : ν ∈ S + [0, τ ]
(23)
Kτ = f (λ) =
0
— класс четных положительно определенных целых функций экспоненциального
типа не выше τ , для f ∈ Kτ
Z τ
∞
X
νs f (sλ) =
ηM (λ, t) dν(t),
(24)
FM (λ, f ) = −
0
s=1
ΓM (σ, τ ) = inf sup FM (λ, f ) =
f ∈Kτ λ>σ
inf
sup
ν∈S + [0,τ ] λ>σ
Z
τ
ηM (λ, t) dν(t).
(25)
0
Теорема 2. Для всех σ, τ > 0, произвольной последовательности M (8)
2
DM
(σ, τ, R+ )2,µ =
1
.
ν0 − 2 ΓM (σ, τ )
Существуют мера ν ∗ ∈ S + [0, τ ] и функция f ∗ ∈ Kτ , для которых
Z τ
ηM (λ, t) dν ∗ (t) = sup FM (λ, f ∗ ).
ΓM (σ, τ ) = sup
λ>σ
λ>σ
0
Доказательство. Имеем
2
DM
(σ, τ, R+ )2,µ
=
sup
f ∈L2 (R+ , dµ)
sup
R∞
σ
R∞
06t6τ σ
|Jf (λ)|2 dσ(λ)
ψM (λ, t)|Jf (λ)|2 dσ(λ)
.
14
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Если
L+
1
½
Z
= f ∈ L1 (R+, dσ) : f (λ) > 0, supp f ⊂ [σ, ∞),
∞
σ
то
−2
DM
(σ, τ, R+ )2,µ
= inf
sup
f ∈L+
1 06t6τ
Множество функций
½
Z
H = g(t) =
Z∞
ψM (λ, t)f (λ) dσ(λ).
σ
∞
σ
¾
f (λ) dσ(λ) = 1 ,
ψM (λ, t)f (λ) dσ(λ) : f ∈
L+
1
¾
−2
является выпуклым подмножеством в C[0, τ ] и величина DM
(σ, τ, R+ )2,µ
равна величине наилучшего приближения нуля в C[0, τ ] выпуклым
множеством H. По теореме двойственности [23] и в силу неотрицательности
функций из H
Z τ
Z τ
−2
g(t)dν ∗ (t)
(26)
g(t)dν(t) = inf
(σ, τ, R+ )2,µ = sup inf
DM
ν∈S + [0,τ ] g∈H
g∈H
0
0
для некоторой меры ν ∗ ∈ S + [0, τ ].
Покажем, что для любой меры ν ∈ S + [0, τ ]
Z τ
Z τ
ψM (λ, t) dν(t).
g(t)dν(t) = inf
inf
g∈H
λ>σ
0
Действительно, для любой g ∈ H
Z τZ
Z τ
g(t)dν(t) =
=
Z
σ
0
∞
f (λ)
Z
0
(27)
0
∞
ψM (λ, t)f (λ) dσ(λ)dν(t) =
σ
τ
ψM (λ, t) dν(t)dσ(λ) > inf
λ>σ
0
Z
τ
ψM (λ, t) dν(t).
0
С другой стороны, если RB(λ, ε) = {x ∈ R+ : |λ − x| 6 ε}, то для λ > σ из
τ
непрерывности функции 0 ψM (λ, t) dν(t) по λ
Z τ
Z
Z τ
1
g(t)dν(t) 6 inf R
inf
ψM (λ, t) dν(t)dσ(λ) 6
g∈H 0
0<ε<ε(λ) B(λ,ε) dσ(λ) B(λ,ε) 0
Z
Z τ
Z τ
1
ψM (λ, t) dν(t)dσ(λ) =
ψM (λ, t) dν(t),
6 lim R
ε→0+0
0
B(λ,ε) dσ(λ) B(λ,ε) 0
поэтому
inf
g∈H
Z
τ
0
Равенство (27) доказано.
g(t)dν(t) 6 inf
λ>σ
Z
0
τ
ψM (λ, t) dν(t).
Обобщенная константа Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом 15
Согласно (23) – (27)
−2
DM
(σ, τ, R+ )2,µ
=
= ν0 − 2
=
sup
inf
ν∈S + [0,τ ] λ>σ
µ
Z
inf ν0 − 2
sup
ν∈S + [0,τ ] λ>σ
inf
sup
ν∈S + [0,τ ] λ>σ
0
Z
λ>σ
0
τ
ψM (λ, t) dν(t) =
0
¶
ηM (λ, t) dν(t) =
ηM (λ, t) dν(t) = ν0 − 2 ΓM (σ, τ ),
0
λ>σ
= ν0 − 2 sup
τ
τ
−2
DM
(σ, τ, R+ )2,µ = inf
Z
τ
Z
Z
τ
ψM (λ, t) dν ∗ (t) =
(28)
0
ηM (λ, t) dν ∗ (t) = ν0 − 2 sup FM (λ, f ∗ ),
λ>σ
где
∗
f (λ) =
Z
τ
ϕλ (t) dν ∗ (t).
0
Теорема доказана.
5. Конечность обобщенной константы Джексона
Рассмотрим непрерывную функцию
X
βM (t) =
µs eist , t ∈ R.
s∈Z
Для нее определим величину
©
ª
rM = max r > 0 : βM |[−r,r] = 0 .
Отметим, что для ненулевой последовательности M rM ∈ [0, π) и для
любого r ∈ [0, π) найдется последовательность M , для которой rM = r. В
частности, rM = 0, если у последовательности M конечное число ненулевых
членов.
Теорема 3. Обобщенная константа Джексона DM (σ, τ, R+ )2,µ (13) —
конечна тогда и только тогда, когда
σ τ > rM .
Доказательство. Интегральное представление (11)
записано в виде
Z 1
tCα
ϕλ (t) =
Aα,β (xt, t)eiλxt dx.
2∆(t) −1
может
быть
16
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Отсюда и из (9), (10)
tCα
ψM (λ, t) =
2∆(t)
Z
1
−1
Aα,β (xt, t)
X
νs eisλxt dx =
s∈Z
¯
¯2
¯X
¯
1
tCα
¯
¯
Aα,β (xt, t) ¯
µs eisλxt ¯ dx =
=
¯
¯
2∆(t) −1
s∈Z
Z 1
tCα
Aα,β (xt, t)|β(λxt)|2 dx.
=
2∆(t) −1
Z
(29)
Пусть σ τ 6 rM . Из (29) ψM (σ, t) = 0 при 0 6 t 6 τ . Пользуясь (28),
получим
Z τ
−2
ψM (λ, t) dν ∗ (t) = 0, DM (σ, τ, R+ )2,µ = ∞.
DM (σ, τ, R+ )2,µ = inf
λ>σ
0
Пусть σ τ > rM . Из (29) ψM (λ, τ ) > 0 при λ > σ. Так как
limλ→∞ ψM (λ, τ ) = ν0 (см. доказательство теоремы 1), то ψM (λ, τ ) > c > 0
при λ > σ. Тогда для любой функции f ∈ L2 (R+ , dµ)
Z ∞
2
|Jf (λ)|2 dσ(λ) 6
Eσ (f )2,µ =
σ
Z ∞
2
ψM (λ, τ )|Jf (λ)|2 dσ(λ) 6 c−1 ωM
(τ, f )2,µ .
6 c−1
σ
Это неравенство показывает, что DM (σ, τ )2,µ < ∞. Теорема доказана.
Список литературы
1. Вепринцев Р. А., Горбачев Д. В., Иванов В. И. Оптимальный аргумент в
неравенстве Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом //
Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун.
науч. конф. Тула: ТулГУ, 2014. С. 24–28.
2. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. М.:
Наука, 1991.
3. Горбачев Д. В., Пискорж М. С. Точное неравенство Джексона в L2 на
гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998.
Т. 4. Вып. 1. С. 54–58.
4. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых
пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26–44.
5. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и
константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные
науки. 2011. Вып.2. С.29–58.
6. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2 (Rd ) со
степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т.88. №1. С.148–151.
7. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве
L2 (Rd ) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.180–192.
Обобщенная константа Джексона в пространстве L2 (R) с гиперболическим весом 17
8. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона
в пространстве L2 (Rd ) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т.94. №3.
С.338–348.
9. Иванов А.В., Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенная константа Джексона
в пространстве L2 (Rd ) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013.
Вып.3. С.74–90.
10. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в
пространствах L2 со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки.
2012. Вып.2. С.114–123.
11. Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона в
пространстве L2 (Rd ) с весом Данкля // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20.
№ 1. С. 109–118.
12. Горбачев Д.В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном
L2 -неравенстве Джексона – Стечкина // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20.
№ 1. С. 83–91.
13. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальный аргумент в обобщенном неравенстве
Джексона в пространстве L2 (Rd ) с весом Данкля и обобщенная задача Логана
// Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып.1. С. 22–36.
14. Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона – Стечкина в
пространстве L2 (Rd ) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014.
Вып.1. С. 63–82.
15. Иванов В.И., Иванов А.В. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона –
Стечкина в L2 (Rd ) с весом Данкля // Матем. заметки. 2014. Т.96. №5. С.674–686.
16. Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. V. 11. P. 245–262.
17. Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H. Jacobi functions: The addition formula and
the positivity of dual // Ark. Mat. 1979. V. 17. P. 139–151.
18. Koornwinder T. A new proof of a Paley–Wiener type theorem for the Jacobi
transform // Ark. Mat. 1975. V. 13. P. 145–159.
19. Opdam E. M. Harmonic analysis for certain representations of graded Hecke algebras
// Acta. Math. 1995. V. 175. № 1. P. P. 75–121.
20. Anker J.-PH., Ayadi F., Sifi M. Opdam’s hypergeometric functions: product formula and convolution structure in dimension 1 // Adv. Pure Appl. Math. 2012. V. 3.
№ 1. P. 11–44.
21. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов.
Математика. 1995. №8. С.13–20.
22. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по
нулям функций Якоби // Современные проблемы математики, механики,
информатики: матер. Междун. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2014. С. 31–37.
23. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.
320 с.
Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав.
кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский
государственный институт.
18
В. И. Иванов, Д. В. Знаменская, О. И. Смирнов
Знаменская Дарья Вячеславовна, магистрант, кафедра прикладной
математики и информатики, Тульский государственный институт.
Смирнов Олег Игоревич (so.2@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра
прикладной математики и информатики, Тульский государственный
институт.
Generalized Jackson constant in L2 (R)-space with hyperbolic
weight
V. I. Ivanov, D. V. Znamenskay, O. I. Smirnov
Abstract. For the sequence of real numbers M = {µs }s∈Z with zero sum
and absolutely convergent series in the space L2 (R, dµ) with hyperbolic weight
dµ = 22ρ |sh t|2α+1 (ch t)2β+1 , α > β > −1/2, α > −1/2, ρ = α + β + 1, the value
of the best approximation Eσ (f )2,µ by partial integrals of Jacobi transform,
generalized modulus of continuity ωM (τ, f )2,µ and generalized Jackson constant
DM (σ, τ )2,µ are defined. Calculation of the generalized Jackson constant is reduced to dual extreme problem for even entire functions of exponential type. The
√
condition ofP
its finiteness is given. The lower estimation DM (σ, τ )2,µ > 1/ ν0 ,
where ν0 = s∈Z |µs |2 is proved.
Keywords: Dunkl harmonic analysis, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant.
Ivanov Valerii (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and
computer science, Tula State University.
Znamenskaya Darya, undergraduate, department of applied mathematics and
computer science, Tula State University.
Smirnov Oleg (so.2@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer
science, Tula State University.
Поступила 21.09.2014
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
202 Кб
Теги
джексон, пространство, обобщенные, весов, константин, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа