close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обращение интегральных операторов методом операторных тождеств.

код для вставкиСкачать
УДК 517.983
ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ МЕТОДОМ
ОПЕРАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ
Е.А. Аршава
Харьковский государственный технический университет строительства и архитектуры,
ул.Сумская, 40, 61002, г. Харьков, Украина, e-mail: elarshava@mail.ru
Аннотация. Изучается задача обращения некоторых классов интегральных операторов методом операторных тождеств, доказывается конечномерность соответствующих коммутационных
операторов и исследуется структура обратного оператора. Полученные результаты используются
при решении задачи фильтрации и прогноза нестационарных случайных процессов и сигналов.
Исследуется уравнение со специальной правой частью, к которому сводится решение ряда
задач астрофизики, теории переноса излучения.
Ключевые слова: операторные тождества, обратный оператор, обобщенные коммутационные соотношения.
1
Введение
Метод операторных тождеств был впервые применен В.А. Амбарцумяном при изучении
проблем астрофизики [1]. Затем В.В. Соболев [2] , В.В. Иванов [3] применили коммутационные соотношения для решения интегральных уравнений, которые возникают в задачах
переноса излучения и рассеивания света.
В этих работах использовалась связь интегрального оператора с разностным ядром и
оператора дифференцирования, т.е. в коммутационном соотношении присутствовал неограниченный оператор. Такой подход приводил к существенным трудностям при построении
общей математической теории.
Наиболее весомый вклад в разработку представленной тематики сделал Л.А. Сахнович [4]. Было предложено вместо оператора дифференцирования использовать несамосопряженный оператор интегрирования. При этом Л.А. Сахновичем рассматривался класс
уравнений вида
Zω
d
Sf =
S(x − t)f (t)dt = ϕ(x),
(1)
dx
0
который является наиболее общим классом уравнений с разностным ядром. Это дало возможность Л.А. Сахновичу с единой точки зрения исследовать различные виды уравнений
с разностным ядром как первого, так и второго рода.
Основная идея метода состоит в доказательстве конечномерности соответствующего
интегрального оператора. В этом случае обратный оператор к данному интегральному
оператору строится при помощи функций, которые определяют вырожденность коммутационного оператора.
В работах И.И. Кальмушевского, А.Б. Нерсесяна, А.Л. Сахновича и др. Метод операторных тождеств использовался при изучении систем интегральных уравнений с разностным ядром, сумматорных уравнений с матрицей коэффициентов Тёплица, двумерных
интегральных уравнений.
19
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
2
№13(68). Выпуск 17/2 2009
Построение обратного оператора
Рассмотрим задачу обращения оператора вида
Sf = Lx (α)
Zω
S(x, t)f (t)dt
(2)
0
с ядром S(x, t) = 0, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных
производных гиперболического типа
(Lx (α) − Lt (α))S(x, t) = 0,
Lx (α) =
∂
∂2
+α ,
2
∂x
∂x
α = α 6= 0,
(3)
Можно доказать, что для любого ограниченного оператора вида (2) с ядром, которое
удовлетворяет условиям (3), имеют место соотношения:
(A0 S −
SA∗0 )f
=
Zω 0
где
1 − e−αt
1 − e−αx
M2 (x) + M3 (t) +
M4 (t) f (t)dt,
M1 (x) +
α
α
(4)
M1 (x) = S(x, 0),
M2 (x) = S ′ (x, 0),
A0 = L−1
x (α),
M3 (t) = −S(0, t),
M4 (t) = −S ′ (0, t),
f (t) ∈ L2 (0, ω).
Если оператор S имеет ограниченный обратный T , тогда верно представление:
(T A0 − A∗0 T )f =
Zω
R(x, t)f (t)dt,
0
4
P
где R(x, t) =
Pi∗ (t)Qi (x), кроме того, для Pi (t)Qi (x), (i = 1, 4) выполняются соотношения
i=1
вида:
−αt
S ∗ P1 = 1,
S ∗ P2 = M3∗ (t),
S ∗ P3 = M4∗ (t),
S ∗ P4 = 1−eα ,
(5)
−αx
SQ1 = M1 (x),
SQ2 = 1,
SQ3 = 1−eα ,
SQ4 = M2 (x).
Если оператор S ограничен вместе со своим обратным оператором T и существуют
функции Pi (t), Qi (x), (i = 1, 4), которые удовлетворяют соотношениям (5), тогда для оператора T = S −1 имеет место интегральное представление:
T f = Lx (α)
Zω
f (t)Lt (−α)Φ(x, t)dt,
0
где Φ(x, t) выражается через ядро оператора R = (T A0 − A∗0 T ), f (t) ∈ L2 (0, ω).
Полученные результаты перенесены на случай обобщенных функций вида:
f (x) = γδ(x) + βδ(ω − x) + g(x), g(x) ∈ L2 (0, ω), δ(x) − дельта-функция Дирака.
Е.А. Аршава. Обращение интегральных операторов ...
3
20
Решение задачи фильтрации нестационарных случайных процессов
В качестве примера рассмотрим интегральный оператор
SG =
Zω
K(x, t)G(t, τ )dt,
(6)
0
−α(x+t)
где K(x, t) = g(x−t)e 2 +f (x+t) - корреляционная функция случайного входного процесса, τ фиксированный параметр. Интегральные операторы такого вида встречаются при
решении задачи фильтрации нестационарного случайного сигнала на конечном интервале
[5]. Оператор (6) можно записать в виде
SG =
−α(x+t)
d
d2
+α
2
dx
dx
Zω
S(x, t)G(t, τ )dt,
0
где S(x, t) = g1 (x − t)e 2 + f1 (x + t) - ядро оператора S.
−α(x+t)
(x+t)
−(ν+ α
−ν|x−t|
2)
2
Пусть S(x, t) = sign(x−t)
+
e
. Тогда
e
e
ν
1 −(ν+ α )x
2
e
M1 (x) = S(x, 0) = 1 +
,
ν
α
α −(ν+ α )x
2
M2 (x) = S ′ (x, 0) = −1 −
,
−ν−
e
2ν
2
α
1
M3 (t) = −S(0, t) =
− 1 e−(ν+ 2 )t ,
ν
α −(ν+ α2 )t
α
′
−ν−
e
M4 (t) = −S (0, t) = 1 +
.
2ν
2
Решая уравнения (5) в классе функций f (x) = γδ(x) + βδ(ω − x) + g(x), где g(x) ∈ L2 (0, ω),
получаем
ν αt
2ν
ν
1
2ν
P1 (t) = e +
−
δ(t) +
eαω δ(ω − t),
α
α(ν − 1) α − 2ν α + 2ν
α(2ν − α)
4
4ν
α
α
P2 (t) = 2
δ(t),
P3 (t) =
1+
−ν −
δ(t),
α − 4ν 2
(ν − 1)(4ν 2 − α2 )
2ν
2
ν αt 2ν
1
eαω
ν
8ν 2 (ν + 1)
P4 (t) = 2 e + 2
−
δ(ω − t) + 2 + 2 2
δ(t),
α
α
α + 2ν α − 2ν
α
α (α − 4ν 2 )(ν − 1)
4
Q1 (t) = 2
δ(t),
4ν − α2
ν αt
2ν
1
1
2ν
Q2 (t) = − e −
+
δ(t) +
eαω δ(ω − t),
α
α(ν + 1) α + 2ν α − 2ν
α(α − 2ν)
αω
ν αt 2ν
e
1
ν
8ν 2 (ν − 1)
Q3 (t) = − 2 e + 2
−
δ(ω − t) − 2 + 2 2
δ(t),
α
α
α − 2ν α + 2ν
α
α (4ν − α2 )(ν + 1)
4ν
α
α
Q4 (t) =
−1
−
−
ν
−
δ(t).
(ν + 1)(4ν 2 − α2 )
2ν
2
21
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
4
№13(68). Выпуск 17/2 2009
Уравнение со специальной правой частью
На основе полученных результатов рассмотрим уравнение со специальной правой частью,
которое играет существенную роль в астрофизике, теории переноса излучения
Sf = eiλx ,
где S оператор вида (2).
−αx
Легко доказать, что если функции M1 (x), M2 (x), x, 1−eα и 1, где M1 (x), M2 (x) определены формулами (5), принадлежат области значений оператора S −RS , тогда RS плотно
в L2 (0, ω).
Пусть
SLm = xm−1 , (m = 1, ∞).
(7)
Покажем, что существуют функции Lm , которые удовлетворяют соотношениям (7). Полагая в (4) сначала, f = α1 Lm , а потом f = m1 Lm+1 и складывая полученные результаты,
имеем:
 ω
Z
m+1
x
1 − eα(x−t) 1
1

=S
Lm + Lm+1 dt+
αm(m + 1)
α
α
m
x
+
Zω 0
+
Zω
Zω
1
1
1 − e−αt 1
1
Lm + Lm+1 dt · N1 (x) +
Lm + Lm+1 dt · N2 (x)+
α
m
α
α
m
M3 (t)
0
0
1
1
Lm + Lm+1 dt · N3 (x) +
α
m
Zω
M4 (t)
0
где функции Ni (x), (i = 1, 4), такие, что
1
1
Lm + Lm+1 dt · N4 (x) ,
α
m
SN1 = M1 (x), SN2 = M2 (x), SN3 = 1, SN4 =
Эти функции существуют, т.к. M1 (x), M2 (x), 1,
Следовательно,
Lm+2
=
m(m + 1)
Zω
x
+
Zω
0

1−e−αx
α
1 − e−αx
.
α
из RS .
Zω n
o
o
1 − eα(x−t) n
α
α
Lm + Lm+1 dt +
Lm + Lm+1 dt · N1 (x)+
α
m
m
0
Zω
o
n
o
1 − e−αt n
α
α
Lm + Lm+1 dt · N2 (x) + M3 (t) Lm + Lm+1 dt · N3 (x)+
α
m
m
0
+
Zω
0
o
n
α
M4 (t) Lm + Lm+1 dt · N4 (x).
m
(8)
По условию существуют L1 (x) = N3 (x), L2 (x) = S −1 x. Соотношения (8) определяют все
последующие члены последовательности Lm (x). Таким образом, xm ∈ RS при (m = 0, ∞).
Е.А. Аршава. Обращение интегральных операторов ...
22
Пусть существуют такие функции Ni ∈ L2 (0, ω), (i = 1, 4), что выполняются равенства:
SN1 = M1 (x), SN2 = M2 (x), SN3 = 1, SN4 =
1 − e−αx
.
α
(9)
Тогда верны соотношения:
1 − e−αt ∗
S M̂1 = 1, S M̂2 =
, S M̂3 = M3 (t), S ∗ M̂4 = M4 (t),
α
∗
∗
где
M̂1 (t) = N3 (ω − t),
M̂3 (t) =
M̂2 (t) = N4 (t),
1 − eα(ω−t)
1 − eαω
N2 (t),
+ N1 (ω − t) −
α
α
M̂4 (t) = −αN1 (ω − t) − N2 (ω − t) − αN1 (t) − 1.
Если оператор S является ограниченным и существуют функции Ni ∈ ∈ L2 (0; ω), (i =
1, 4), удовлетворяющие равенствам (9), тогда имеют место следующее представление:
SB(x, λ) = eiλx ,
где
iλα − λ2
B(x, λ) = u(x, λ) +
α + 2iλ
Zx
0
u(t, λ) · eiλ(t−x) + e(α+iλ)(x−t) dt,
u(x, λ) = a(λ)N1 (x) + b(λ)N2 (x) + c(λ)N3 (x) + d(λ)N4 (x),
Zω
Zω
a(λ) = eiλt iλα − λ2 N3 (ω − t)dt, b(λ) = eiλt iλα − λ2 N4 (t)dt,
0
c(λ) =
0
Zω
iλt
e
iλα − λ
0
d(λ) =
Zω
0
5
2
1 − eα(ω−t)
1 − eαω
+ N1 (ω − t) −
N2 (t) dt,
α
α
eiλt iλα − λ2 (−αN1 (ω − t) − N2 (ω − t) − αN1 (t) − 1) dt.
Обобщенные коммутационные соотношения
Рассмотрим задачу обращения оператора S вида
d
Sf = e−x
dx
Zω
e−t S(x, t)f (t)dt.
(10)
0
Пусть операторы R и T определены следующим образом
Rf = f (x) − 2
Zx
0
sh(x − t)f (t)dt,
T f = f (x) − 2
Zω
x
ex−t f (t)dt,
23
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
№13(68). Выпуск 17/2 2009
а ядро оператора (10) удовлетворяет уравнению
2
∂
∂
∂
−2
+
− 2I S(x, t) = 0
∂x2
∂x ∂t
Если предположить, что S(x, t) = ex+3t S̃(x, t), тогда для конечномерности оператора
S − RST достаточно, чтобы S̃(x, t) удовлетворяло уравнению
2
∂
∂
+
S̃(x, t) = 0.
∂x2 ∂t
Легко доказать, что имеют место соотношения:
(S − RST )f =
Zω
(K1 (x)L1 (t) + K2 (x)L2 (t)) f (t)dt,
0
где K1 (x) = 4shx, K2 (x) = −2shx, L1 (t) = e−t
Rt
S(0, ξ)dξ, L2 (t) = S(0, t).
0
Используя изложенный подход, можно рассмотреть случай оператора
S − RSR∗ .
Тогда


Zω
Zω
(S − RSR∗ )f = Sf (x) − RS f (x) − et−x f (t)dt + ex−t f (t)dt =
x

Zω
d
e−t S(x, t) eξ−t f (ξ)dξdt +
dx
0
t

Zω
Zω
Zω
−x d
−t
t−ξ
+e
e S(x, t) e f (ξ)dξdt = (O1(x)H1 (t) + O2 (x)H2 (t))f (t)dt,
dx
= Sf (x) − R Sf (x) − e−x
0
где
x
Zω
t
0
O1 (x) = −2shx,
O2 (x) = −4shx,
Rt
H1 (t) = e−t S(0, t), H2 (t) = sh(t − ξ)e−ξ S(0, ξ)dξ,
0
а ядро S(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
2
∂
∂2
∂
∂
+
−2
+
− 2I S(x, t) = 0.
∂x2 ∂t2
∂x ∂t
Для оператора Q = S −1 , если он существует и ограничен, верно равенство:
∗
(Q − R QR)f =
где
Zω
(G1 (x)П1∗ (t) + G2 (x)П2∗ (t))f (t)dt,
0
S(R∗ )−1 G1 = −2shx, S(R∗ )−1 G2 = −4shx,
Rt
RS ∗ П1∗ = S(0, t),
RS ∗ П2∗ = sh(t − ξ)e−ξ S(0, ξ)dξ.
0
Е.А. Аршава. Обращение интегральных операторов ...
24
Найдем общий вид обратного оператора Q. Пусть
d
Qf = e−x
dx
Zω
e−t Q(x, t)f (t)dt,
(11)
0
а ядро Q(x, t) удовлетворяет условию Q(ω, t) = 0.
Тогда

Zω
Zω
∂
∂
T QRf = e−x−t Q(x, t) − e−x−t
Q(x, ξ)dξ + 2e−x−t Q(x, t)+
∂x
∂x
0
t
+e−x+t
Zω
t
−x−t
−2e
∂
e−2ξ Q(x, ξ)dξ − 4ex−t
∂x
Zω
x−t
Q(x, ξ)dξ + 4e
t
+ 2e−x+t
Zω
t
Zω
Zω
x
−2ξ
e
x
e−2ξ Q(x, ξ)dξ − 4ex+t
Введем оператор
Q1 f =
Zω
Zω
Zω
Q(ξ, τ )dτ dξ+
t
e−2ξ
x
Q(ξ, t)e−2ξ dξ−
Zω
t

e−2τ Q(ξ, τ )dτ dξ  f (t)dt.
Φ(x, t)f (t)dt,
0
где
∂
Φ(x, t) = e−x−t Q(x, t) − e−x−t
∂x
Zω
∂
Q(x, ξ)dξ + 2e−x−t Q(x, t)+
∂x
t
−x+t
+e
Zω
e
t
−x−t
−2e
−2ξ
Zω
∂
Q(x, ξ)dξ − 4ex−t
∂x
Q(x, ξ)dξ + 4e
t
+2e−x+t
Zω
t
x−t
Zω
e−2ξ Q(x, ξ)dξ − 4ex+t
Zω
x
−2ξ
e
x
Zω
Q(ξ, t)e−2ξ dξ−
Zω
Q(ξ, τ )dτ dξ+
Zω
e−2τ Q(ξ, τ )dτ dξ.
t
e−2ξ
x
t
То есть Q1 f = T QRf . В этом случае
(Q1 − T Q1 R)f = T DRf = Cf =
Zω
0
C(x, t)f (t)dt,
(12)
25
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
где ядро
∂
C(x, t) = e−x−t D(x, t) − e−x−t
∂x
Zω
№13(68). Выпуск 17/2 2009
∂
D(x, ξ)dξ + 2e−x−t D(x, t)+
∂x
t
−x+t
+e
Zω
−2ξ
e
t
−x−t
−2e
Zω
∂
D(x, ξ)dξ − 4ex−t
∂x
x−t
D(x, ξ)dξ + 4e
t
+2e−x+t
Zω
t
Zω
Zω
x
−2ξ
e
x
e−2ξ D(x, ξ)dξ − 4ex+t
Zω
D(ξ, t)e−2ξ dξ−
Zω
D(ξ, τ )dτ dξ+
Zω
e−2τ D(ξ, τ )dτ dξ.
t
e−2ξ
x
(13)
t
С другой стороны
Cf = (Q1 − T Q1 R)f =

Zω
0

Φ(x, t)f (t)dt − T Q1 · f (x) −
Zx
ex−t f (t)dt+
0
 ω
Z
Zx
Zω
t−x
+ e f (t)dt = Φ(x, t)f (t)dt − T ·  Φ(x, t)f (t)dt−
0
−
0
Zω
Φ(x, t)
0
Zt
0
et−ξ f (ξ)dξdt +
0
Zω
Φ(x, t)
0
Zt
0

eξ−t f (ξ)dξdt =

Zω Zω
Zω
Zω
ξ−t
t−ξ
=  e Φ(x, ξ)dξ − e Φ(x, ξ)dξ − 2 ex−ξ Φ(ξ, t)dξ+
0
+ 2ex−t
t
Zω
t
e−ξ
x
Zω
x
eτ Φ(ξ, τ )dτ dξ − 2ex+t
Zω
e−ξ
t
x
t
Следовательно,
C(x, t) =
Zω
eξ−t Φ(x, ξ)dξ −
t
+2ex−t
Zω
x
e−ξ
Zω
Zω
e−τ Φ(ξ, τ )dτ dξ  f (t)dt.
et−ξ Φ(x, ξ)dξ − 2
t
Zω
t
eτ Φ(ξ, τ )dτ dξ − 2ex+t

Zω
ex−ξ Φ(ξ, t)dξ+
x
Zω
x
e−ξ
Zω
e−τ Φ(ξ, τ )dτ dξ.
t
Дифференцирование полученного равенства приводит к уравнению
2
2
∂
∂
∂
∂
2
+
− 4I Φ(x, t) =
−I
− I C(x, t).
∂t2 ∂x
∂t2
∂x
(14)
Е.А. Аршава. Обращение интегральных операторов ...
26
Применяя соотношения (11)-(14), можно восстановить обратный оператор.
Пусть задан ограниченный в L2 (0, ω) оператор S вида (2).
Оператор Ãf = A20 f , где
Zx
1 − eα(ξ−x)
A0 f =
f (ξ)dξ.
α
(15)
0
Выясним, при каких условиях оператор ÃS − S Ã∗ представляет собой конечномерный
оператор. Учитывая (15), получаем
Ãf =
Zt
0
∗
à f =
1 + eα(ξ−t)
(t − ξ)
f (ξ)dξ + 2
α2
Zω
t
Zt
eα(ξ−t) − 1
f (ξ)dξ,
α3
Zω
eα(t−ξ) − 1
f (ξ)dξ.
α3
0
1 + eα(t−ξ)
f (ξ)dξ + 2
(ξ − t)
α2
t
Тогда имеет место соотношение
(ÃS − S Ã∗ )f =
Zω
(N1 (t)M1 (τ ) + N2 (t)M2 (τ ))f (τ )dτ,
0
где
M1 (τ ) = S ′ (0, τ ),
M2 (τ ) = S(0, τ ),
t
2
1 − e−αt
t
−αt
−αt
(1
+
e
)
+
(1
−
e
),
N
(t)
=
−
− ,
2
2
3
2
α
α
α
α
при этом ядро интегрального оператора должно удовлетворять уравнению
"
2 2
2 #
∂2
∂
∂
∂
+α
−
+α
S(t, τ ) = 0.
∂τ 2
∂τ
∂t2
∂t
N1 (t) = −
Если у оператора S вида (2) существует ограниченный обратный T , то он удовлетворяет соотношению
∗
(T Ã − Ã T )f =
Zω
(Q1 (t)P1∗ (τ ) + Q2 (t)P2∗ (τ ))f (τ )dτ,
0
где
S ∗ P1 = M1∗ ,
S ∗ P2 = M2∗ ,
SQ1 = N1 ,
SQ2 = N2 .
Рассмотрим аналогичную задачу для оператора ÃS − SB, когда
Ãf =
Zt
1 + eα(ξ−t)
(t − ξ)
f (ξ)dξ + 2
α2
0
Zt
eα(ξ−t) − 1
f (ξ)dξ,
α3
0
Bf =
Zt
0
1 − eα(ξ−t)
f (ξ)dξ.
α
27
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
№13(68). Выпуск 17/2 2009
В этом случае получаем
(ÃS − SB)f =
Zω
(N1 (t)M1 (τ ) + N2 (t)M2 (τ ))f (τ )dτ,
0
где
M1 (τ ) = S ′ (0, τ ),
M2 (τ ) = S(0, τ ),
t
2
1 − e−αt
t
−αt
−αt
(1
+
e
)
+
(1
−
e
),
N
(t)
=
− ,
2
2
3
2
α
α
α
α
при этом ядро интегрального оператора должно удовлетворять уравнению
"
2 2
#
∂
∂
∂
∂2
+α
−
−α
S(t, τ ) = 0.
∂t2
∂t
∂τ 2
∂τ
N1 (t) = −
Обратный оператор T к оператору S вида (2) удовлетворяет соотношению
(T Ã − BT ) =
Zω
R(t, τ )f (τ )dτ,
0
где
R(t, τ ) = Q1 (t)P1∗ (τ ) + Q2 (t)P2∗ (τ ),
S ∗ P1 = M1∗ ,
S ∗ P2 = M2∗ ,
Пусть
Tf =
причем
Zω
F (ω, 0) = 0,
d2
d
+α
2
dx
dx
SQ1 = N1 ,
Zω
SQ2 = N2 .
F (x, t)f (t)dt,
0
|F (x + ∆x, t) − F (x, t)|2 dt ≤ kT k2 |∆x| .
0
Можно показать, что
BT Ãf =
Zω
0
Zω 1 − e−αx ′
−αx
f (t)
−
F (0, ξ) + F (x, ξ) − e F (0, ξ) ×
α
t
1 + eα(t−ξ)
eα(t−ξ) − 1
× (ξ − t)
+2·
dξdt.
α2
α3
Обозначим через T1 f =
Rω
G(x, t)f (t)dt, где
0
Zω 1 − e−αx ′
−αx
G(x, t) =
−
F (0, ξ) + F (x, ξ) − e F (0, ξ) ×
α
t
(16)
Е.А. Аршава. Обращение интегральных операторов ...
28
1 + eα(t−ξ)
eα(t−ξ) − 1
× (ξ − t)
+2·
dξdt,
α2
α3
G(x, ω) = 0.
Тогда T1 f = BT Ãf
и T1 Ã − BT1 = H,
Hf = BRÃf =
Rω
(17)
H(x, t)f (t)dt,
0
Zω 1 − e−αx ′
−αx
H(x, t) =
−
R (0, ξ) + R(x, ξ) − e R(0, ξ) ×
α
t
eα(t−ξ) − 1
1 + eα(t−ξ)
× (ξ − t)
+2·
dξ.
α2
α3
(18)
Так как
(T1 Ã − BT1 )f =
Zω
Zω
f (t)
0
t
−
Zω
0
1 + eα(t−ξ)
eα(t−ξ) − 1
G(x, ξ) (ξ − t)
+2·
dξdt−
α2
α3
f (t)
Zx
G(ξ, t)
1 − eα(ξ−x)
dξdt,
α
0
имеет место уравнение
Zω
t
1 + eα(t−ξ)
eα(t−ξ) − 1
G(x, ξ) (ξ − t)
+2·
dξ−
α2
α3
−
Zx
G(ξ, t)
1 − eα(ξ−x)
dξ = H(x, t).
α
0
Дифференцируя последнее уравнение по x и по t, получаем
∂
∂2
−
α
∂t2
∂t
2 ∂2
∂
−
α
∂x2
∂x
H(x, t) =
∂2
∂
−
α
∂x2
∂x
G(x, t).
(19)
Таким образом, с помощью формул (16)-(19) можно получить представление для обратного оператора T .
6
Выводы и перспективы дальнейших исследований
Метод операторных тождеств является современным математическим аппаратом для исследования многих теоретических и прикладных задач теории линейных операторов. Представляет интерес рассмотреть задачу обращения интегрального оператора на основе двух
операторных тождеств. В этом случае в качестве интегрального оператора имеет смысл
рассматривать ограниченный оператор в L2 (U), где
U = {x; 0 < x1 < ω1 , 0 < x2 < ω2 } − прямоугольник на плоскости,
29
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
№13(68). Выпуск 17/2 2009
вида
∂ ∂
Sf =
∂xk ∂xj
Z
V (x, t)f (t)dt, x = (x, t), t = (t1 , t2 ), V (x, t) ∈ L2 (u), ∀x ∈ U.
U
Такое представление для оператора верно при k = 1, j = 2; k = 2, j = 1.
Рассматриваются операторы
Zx1
Â1 f = (t1 − x1 )f (t1 , x2 )dt1 ,
Zω1
Â1 f = (x1 − t1 )f (t1 , x2 )dt1 ,
Zx2
Â2 f = (t2 − x2 )f (x1 , t2 )dt2 ,
Zω2
Â2 f = (x2 − t2 )f (x1 , t2 )dt2 ,
0
0
то есть Â1 = A21 , Â2 = A22 , где A1 f = i
Rx1
x1
x2
f (t1 , x2 )dt1 , A2 f = i
0
Rx2
f (x1 , t2 )dt2 .
0
Литература
1. В.А. Амбарцумян. Научные труды. - Ереван, 1960.,
2. В.В. Соболев. Рассеяние света в атмосферах планет. - М.: Наука. 1972.
3. В.В. Иванов. Перенос излучения и спектры небесных тел. - М.: Наука. 1969.
4. Л.А. Сахнович. Уравнение с разностным ядром на конечном отрезке. // Успехи
математических наук. - М.,1980. - Т.35, Вып. 4 (214). С. 69-129.
5. В.С.Пугачев. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. - М.: ГТТИ, 1957.
THE INVERSING OF INTEGRAL OPERATORS BY THE METHOD
OF OPERATOR IDENTITIES
E.A. Arshava
Kharkiv State Technical University of Civil Engineering and Architecture,
Sumskaya str., 40, Kharkiv, 61002, Ukraine, e-mail: elarshava@mail.ru
Abstract. The problem of integral operator’s inversing on the finite interval, whose kernel satisfies
to the differential equation in the particular of a hyperbolic type, is studied by the operator identities
method. The generalized commutations relations are investigated and the sufficient conditions of the
finite-dimensionness of the corresponding commutation operator are obtained.
The equation with a special right part to which the decision of some problems of astrophysics is
reduced, theories of carry of radiation is investigated.
Keywords: operator identities, inverse operator, generalized commutation relations.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
202 Кб
Теги
методов, интегральная, обращение, оператора, операторное, тождества
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа