close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Однолистность решения внешней обратной краевой задачи по параметрам x y.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (489)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.544
Н.Р. АБУБАКИРОВ
ОДНОЛИСТНОСТЬ РЕШЕНИЯ ВНЕШНЕЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ ПО ПАРАМЕТРАМ
x, y
В статье [1] было построено решение внешней обратной краевой задачи (ОКЗ) по параметрам
x, y. Целью данной работы является получение достаточных условий однолистности, однако для
этого придется несколько изменить постановку задачи по сравнению с [1].
Требуется найти в плоскости комплексного переменного z = x + iy контур @Dz = Lz = L1z [ L2z
и функцию w(z ), аналитическую в области Dz , 1 2 Dz , по краевому условию
w = '1 (x) + i 1(x); 0 x l; на L1z ;
(1)
w = '2 (y) + i 2(y); 0 y l; на L2z :
Будем считать, что заданные однозначные функции определяют в плоскости w замкнутый
жордановый контур Lw , являющийся границей односвязной конечной области Dw = w(Dz ),
@Dw = Lw = L1w [ L2w . Предполагаем также, что точка w0 = w(1) фиксируется заранее ([2],
с. 17). После отображения Dw на единичный круг E = fj j < 1g, которое переводит w0 в 0, а
точки стыка дуг L1w и L2w | в точки eiA и eiB , причем 0 < A < , B = 2 ; A , для нахождения
функции z ( ), аналитической в E за исключением полюса в нуле, получаем краевую задачу
Гильберта
Re z (ei ) = x( ); A B ;
(2)
Im z (ei ) = y( ); 0 A ; B 2;
где x( ), y( ) | известные монотонные функции, которые считаем гельдеровыми. Обозначим
класс всех функций '1 , 1 , '2 , 2 , удовлетворяющих всем перечисленным условиям, через K .
Здесь возможны два случая: x( ) убывает, y( ) возрастает или наоборот. Для определенности
будем считать, что имеет место первый случай.
Аналогично [1] определяется решение задачи (2) в виде
1 Z 2 c() ei + C
(3)
z( ) = ;iF0 ( ) 2
jF0 (ei )j ei ; d + iB0 + C ; ;
0
где C = A + iB | неопределенная константа,
Z 2 c()
1
B0 = 2
ctg 2 d ; 2B;
i
j
F
(
e
)
j
0
8 0
>
>
<;y( ); 2 [0; A ];
c( ) = >;x( ); 2 (A ; B );
>
: y( ); 2 [ ; 2];
B
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
грант Є 02-01-00914.
72
iA 1=2
iB 1=2
F0( ) = ;i ( ; e ) ;(1; e )
| решение однородной задачи (2). Если ввести обозначение
Z 2 c()
1
; d;
I ( ) = 2
ctg
i
jF0 (e )j
2
0
то после перехода к пределу при ! ei формула (3) примет вид
(4)
z(ei ) = ;iF0 (ei ) jFc((ei) )j ; i(I ( ) ; I (0)) + i(2A sin + 2B (cos ; 1)) :
0
Достаточным условием однолистности функции z ( ) является выполнение следующих неравенств:
Im z (ei ) Re z (ei ); 2 [0; A ) [ (B ; 2);
(5)
i
i
Im z (e ) Re z (e ); 2 (A ; B ):
(6)
Это равносильно тому, что в плоскости z дуга L1z лежит ниже прямой y = x, а дуга L2z |
выше этой прямой. Следовательно, эти дуги не пересекаются, кроме того L1z и L2z не имеют
самопересечений в силу монотонности функций x( ) и y( ).
C использованием формулы (4) условия (5), (6) можно записать в следующем виде (считаем
для простоты F0 (ei ) = F0 ( )):
2AF0 ( ) sin + 2BF0 ( )(cos ; 1) + F0 ( )(I (0) ; I ( )) ; y( ) 0;
(7)
2 [0; A ) [ (B ; 2);
2AF0 ( ) sin + 2BF0 ( )(cos ; 1) + F0 ( )(I (0) ; I ( )) ; x( ) 0;
(8)
2 (A; B ):
Для исследования полученных условий воспользуемся методом, предложенным в [3]. Введем
обозначения
M1 ( ) = F0 ( )(I (0) ; I ( )) ; y( ); M2 ( ) = F0 ( )(I (0) ; I ( )) ; x( )
и заметим, что M1 (A ) = M2 (A ) = ;l, M1 (B ) = M2 (B ) = 0. Соотношение
2AF0 ( ) sin + 2BF0 ( )(cos ; 1) + M1 ( ) = 0
при фиксированном представляет собой уравнение прямой в плоскости OAB . Приведем его к
нормальному уравнению прямой, разделив на
q
2jF0 ( )j sin2 + (cos ; 1)2 = 4jF0 ( )j sin =2
и заметив, что F0 ( ) < 0 при 2 (0; A ), а F0 ( ) > 0 при 2 (B ; 2). Тогда получим
)
;A cos 2 + B sin 2 + 4jF (M )1j(sin
=2 = 0; 2 [0; A );
0
)
A cos 2 ; B sin 2 + 4jF (M )1j(sin
=2 = 0; 2 [B ; 2):
0
Следовательно, область P1 точек (A; B ), удовлетворяющих неравенству (7), лежит внутри
угла, образованного прямыми ;A cos 2A + B sin 2A ; l1 = 0 и A cos 2B ; B sin 2B = 0 и содержащего
положительную полуось OA, l1 = l=(4jF0 (A )j sin A =2) > 0. При этом часть границы области P1
лежит на указанных прямых.
73
Аналогичное исследование неравенства (8) приводит к тому, что область P2 точек (A; B ),
удовлетворяющих условию (7), лежит внутри угла, образованного прямыми A cos 2A ; B sin 2A ;
l1 = 0 и A cos 2B ; B sin 2B = 0 и содержащего положительную полуось OB . При этом часть
границы области P2 лежит на указанных прямых.
Следовательно, пересечение областей P1 и P2 непусто и представляет собой множество P ,
лежащее между прямыми ;A cos 2A + B sin 2A ; l1 = 0 и A cos 2B ; B sin 2B ; l1 = 0. Приведенная
схема рассуждений показывает, что верна
Теорема. Решение (3) внешней ОКЗ (1) при любых функциях '1 ,
1 , '2 , 2 из класса K
будет однолистным, если C = A + iB лежит в области P .
Отметим, что из этого результата можно получить утверждение статьи [3], где рассматривалась внешняя ОКЗ по параметру x = Re z . Хотя в [3] в качестве вспомогательной области в
плоскости взята внешность единичного круга, на исследование однолистности решения это не
влияет.
К ОКЗ (1) приводятся некоторые задачи механики, поэтому полученный результат может
оказаться полезным для однолистной разрешимости этих задач.
В заключение автор выражает благодарность проф. Л.А. Аксентьеву за полезные замечания
и внимание к работе.
Литература
1. Абубакиров Н.Р., Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Внешняя обратная краевая задача при комбинировании двух параметров из декартовых координат и полярного угла // Изв. вузов.
Математика. { 2001. { Є 10. { С. 3{10.
2. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. { 2-е изд. { Казань:
Изд-во Казанск. ун-та, 1965. { 333 с.
3. Салимов Р.Б. Внешние обратные краевые задачи для случая, когда граничные значения заданы в функции декартовой координаты x // Учен. зап. Казанск. ун-та. - Казань, 1957. {
Т. 117. { Є 9. { С. 60{64.
Казанский государственный университет
Поступила
24.06.2002
74
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
115 Кб
Теги
внешней, решение, обратное, однолистность, краевой, задачи, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа