close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДВУСТОРОННИМ ЗАВИХРЕНИЕМ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ПОРЯДКА 12 =< < 1.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 11, c. 67–71
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Краткое сообщение
Р.Б. САЛИМОВ, П.Л. ШАБАЛИН
ОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА С РАЗРЫВНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДВУСТОРОННИМ ЗАВИХРЕНИЕМ
НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ПОРЯДКА 1/2 ≤ ρ < 1
Аннотация. Рассмотрена однородная задача Гильберта для полуплоскости со счетным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов краевого условия и двусторонним завихрением на бесконечности. В случае, когда индекс задачи имеет степенную особенность
порядка ρ, 1/2 ≤ ρ < 1, получены формулы общего решения и исследована разрешимость.
Ключевые слова: краевая задача Гильберта, завихрение на бесконечности, целые функции.
УДК: 517.54
Вначале рассмотрим однородную задачу Гильберта для полуплоскости с непрерывными
по Гёльдеру на любом конечном интервале вещественной оси коэффициентами, краевое
условие которой
a(t) Re F (t) − b(t) Im F (t) = 0
(1)
перепишем в виде
Re[e−iν(t) F (t)] = 0.
Будем считать, что функция ν(t) = arg[a(t) − ib(t)] имеет представление вида
t > 0;
ν − tρ + ν(t),
ν(t) =
+
ρ
ν |t| + ν(t), t < 0,
(2)
(3)
(ν − )2 + (ν + )2 = 0, где ν − , ν + , ρ — постоянные, 0 < ρ < 1, ν(t) ∈ HL (µ) — функция, непрерывная всюду на L, включая бесконечно удаленную точку, и удовлетворяющая условию
Гёльдера с показателем µ, 0 < µ ≤ 1, на всем контуре L, включая бесконечно удаленную
точку. Н.В. Говоров назвал асимптотическое поведение вида (3) завихрением на бесконечности порядка ρ ([1], c. 114).
Впервые формулу общего решения задачи в близкой постановке вывел в 1974 г. И. Е. Сандрыгайло [2], который получил предварительные результаты о разрешимости задачи в классе ограниченных функций с экспоненциальным убыванием на бесконечности. Полную картину разрешимости задачи получили Р.Б. Салимов и П.Л. Шабалин для ρ < 1/2 в 2003 г. в
классе ограниченных функций в работе [3].
Поступила 17.06.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 11-01-00762-a, № 12-01-00636-a).
67
68
Р.Б. САЛИМОВ, П.Л. ШАБАЛИН
Общее решение задачи можно представить [4] формулой
F (z) = iAeΓ(z) exp{ileiα z ρ }Φ(z),
(4)
в которой Φ(z) — произвольная целая функция порядка ρΦ ≤ ρ, принимающая на L действительные значения и при ρΦ = ρ удовлетворяющая неравенству
−
⎧
ν cos(πρ) − ν + ρ
⎪
⎪
t ,
t > 0;
⎨C exp
sin(πρ)
−
(5)
|Φ(t)| ≤
⎪
ν − ν + cos(πρ) κ+
⎪
⎩C exp
|t|
, t < 0.
sin(πρ)
Степенную в силу (3) особенность функции ν(t) в бесконечно удаленной точке мы реализовали при помощи аналитической функции P (z) + iQ(z) = leiα r ρ eiθρ , с надлежащим
образом подобранными числами l, α.
Теорема 1. Пусть 1/2 ≤ ρ < 1. Тогда
a) если ν − < 0 либо ν + > 0, то однородная краевая задача (1) в классе ограниченных
функций не имеет нетривиальных решений,
b) если ν − ≥ 0, ν + ≤ 0, то однородная краевая задача (1) имеет в классе ограниченных
функций бесконечное множество решений, определяемых формулой (4), в которой Φ(z) —
произвольная целая функция порядка ρ, принимающая на L действительные значения и
удовлетворяющая неравенству (5), в случае когда выполнены условия
ν − cos(πρ) − ν + < 0;
ν − cos(πρ) − ν + > 0;
либо
ν − − ν + cos(πρ) < 0
ν − − ν + cos(πρ) > 0
и Φ(z) — произвольная целая функция порядка ρΦ , ρΦ ≤ ρ, принимающая на L действительные значения и при ρΦ = ρ удовлетворяющая неравенству (5), если выполнены условия
ν − cos(πρ) − ν + ≥ 0;
ν − cos(πρ) − ν + > 0;
либо
ν − − ν + cos(πρ) ≥ 0
ν − − ν + cos(πρ) > 0.
Доказательства п. a) и необходимости условия в п. b) теоремы 1 приведены в [3]. Для
завершения обоснования теоремы 1 осталось доказать существование целых функций Φ(z)
порядка ρΦ = ρ, удовлетворяющих условию зеркальной симметрии и ограничениям (5) при
выполнении условий b) теоремы. Это доказательство основано на конструктивных построениях примеров целых функций с заявленными свойствами. Основой таких конструкций
служит функция
∞ z
z
1−
1
−
,
Φ0 (z) =
rk eiθ0
rk e−iθ0
k=1
1/ρ
, 0 ≤ θ0 ≤ π, определяется,
в которой последовательность нулей rk = (2k − 1)/(2∆0 )
как в работе ([1], c. 127). На вещественной оси функция ln Φ0 (z) принимает действительные
значения с асимптотическим [3] при |t| → ∞ поведением
⎧
∆0 π2 cos (θ0 − π)ρ ρ
⎪
⎪
t , t > 0;
⎨
sin(πρ)
ln Φ0 (t) = o(|t|ρ ) +
⎪
∆ π2 cos(θ0 ρ) ρ
⎪
⎩ 0
|t| ,
t < 0.
sin(πρ)
ОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
69
Наличие двух свободных параметров ∆0 , θ0 , позволяет обеспечить выполнение условий (5)
для построенной целой функции порядка ρ.
Теперь рассмотрим задачу (1) в случае, когда коэффициенты краевого условия имеют
разрывы первого рода в точках tk > 0, t−k < 0 двух монотонно сходящихся к +∞ и −∞
последовательностей. Как и в ([5], c. 108) при построении ν(t) ветви будем выбирать так,
чтобы число δj = ν(tj + 0) − ν(tj − 0) удовлетворяло условию 0 ≤ δj < 2π, j = ±1, ±2, . . . .
Обозначим βj = [δj /π], κj = δj /π−βj и, считая, что точки разрыва удовлетворяют условиям
∞
1
< ∞,
tk
k=1
∞
k=1
1
< ∞,
−t−k
введем функции ([5], c. 109)
P+ (z) =
∞ k=1
z
1−
tk
κk
,
P− (z) =
∞ k=1
1−
z
κ−k
t−k
,
скачки аргумента которых в точках t±k отличаются только знаком от величин соответственно κ±k π. Поэтому функция ϕ(t) = ν(t) − β(t)π + arg P+ (t) + arg P− (t) непрерывна на любом конечном интервале вещественной оси, здесь β(t) — кусочно-постоянная целочисленная
функция, имеющая в точках t±k разрывы β±k оответственно. Кроме знакоположительных
∞
∞
κk ,
κ−k , которые будем считать расходящимися, особенность индекса создает
рядов
k=1
k=1
еще и двустороннее завихрение на бесконечности, в связи с представлением (3) для функции
ϕ(t), в котором (ν − )2 + (ν + )2 = 0, где ν − , ν + , ρ — постоянные, 0 < ρ < 1, ν(t) ∈ HL (µ).
На считающие функции
⎧
⎧
⎪
⎪
0,
0
≤
x
<
−t
0 < x < t1 ;
;
−1
⎪
⎪
⎨
⎨0,
k−1
k−1
∗
∗
n+ (x) =
n− (x) =
⎪
⎪
κ−j , −t−k+1 ≤ x < −t−k ,
κj , tk−1 ≤ x < tk ,
⎪
⎪
⎩
⎩
j=1
j=1
налагаем ограничения роста
n∗+ (x) = xκ+ [∆+ + o(1)],
n∗− (x) = xκ− [∆− + o(1)],
(6)
0 < κ+ < 1, 0 < κ− < 1, ∆+ > 0, ∆− > 0. Условия (6) гарантируют ([5], c. 114) представления
κ−
−iπκ + κ +
z / sin(πκ+ ) I+ (z)
P+ (z) = eπ∆+ e
e
,
P− (z) = eπ∆− z / sin(πκ− ) eI− (z) ,
+∞ ∗
+∞ n∗ (τ ) − ∆ τ κ−
n+ (τ ) − ∆+ τ κ+
−
−
dτ, I− (z) = z
dτ,
I+ (z) = −z
τ (τ − z)
τ (τ + z)
0
0
причем I+ (reiθ ) = o(r κ+ ), r → +∞, δ < θ < 2π − δ, I− (reiθ ) = o(r κ− ), r → +∞, −π + δ <
θ < π + δ.
Решение однородной задачи (2) в классе B∗ аналитических функций F (z), для которых
произведение |F (z)|eRe I+ (z) eRe I− (z) является функцией, ограниченной в области D, представлено формулой общего решения ([5], c. 138)
F (z) = −ieΓ(z) ei[P (z)+iQ(z)] Φ(z)[P+ (z)P− (z)]−1 .
(7)
70
Р.Б. САЛИМОВ, П.Л. ШАБАЛИН
Здесь Φ(z) — произвольная целая функция порядка ρΦ ≤ τ , τ = max{ρ, κ+ , κ − }, принимающая на L вещественные значения, удовлетворяющие неравенству
−
π∆− κ−
ν cos(πρ) − ν + ρ π∆+ cos(κ+ π) κ+
, t > 0,
(8)
t +
t +
t
|Φ(t)| ≤ C exp
sin(πρ)
sin(πκ+ )
sin(πκ− )
−
ν − ν + cos(πρ) ρ π∆+ |t|κ+
π∆− cos(κ− π) κ−
|Φ(t)| ≤ C exp
|t| +
+
|t|
, t < 0.
(9)
sin(πρ)
sin(πκ+ )
sin(πκ− )
Полное исследование картины разрешимости в случае, когда завихрение на бесконечности имеет порядок τ < 1/2 в классе функций B∗ , проведено в работе [6].
Теперь рассмотрим случай, когда порядок завихрения на бесконечности τ удовлетворяет
неравенству 1/2 ≤ τ < 1. Доказаны необходимые и достаточные условия существования
и единственности решения, в терминах введенных характеристик особенностей коэффициентов описано множество решений, в целом образующее полную картину разрешимости
задачи (1) в классе B∗ .
Теорема 2. Пусть ρ > max{κ+ , κ− }, 1/2 ≤ ρ < 1. Тогда
a) если ν − < 0 либо ν + > 0, то однородная краевая задача (2) не имеет нетривиальных
решений в классе B∗ ;
b) если ν − ≥ 0, ν + ≤ 0, то однородная краевая задача (2) имеет в классе B∗ бесконечное множество решений, определяемых формулой (7), в которой Φ(z) — произвольная
целая функция порядка ρ, принимающая на L вещественные значения и удовлетворяющая
неравенствам (8), (9), если выполнены условия
ν − cos(πρ) − ν + < 0;
ν − cos(πρ) − ν + > 0;
либо
ν − − ν + cos(πρ) < 0
ν − − ν + cos(πρ) > 0
и, наконец, Φ(z) — произвольная целая функция порядка ρΦ , ρΦ ≤ ρ, принимающая на
L вещественные значения и при ρΦ = ρ удовлетворяющая неравенствам (8), (9), если
выполнены условия
ν − cos(πρ) − ν + ≥ 0;
ν − cos(πρ) − ν + > 0;
либо
ν − − ν + cos(πρ) ≥ 0
ν − − ν + cos(πρ) > 0.
Доказательство основано на свойстве индикатора функции, который не может иметь отрицательных значений в двух точках θ1 и θ2 , если θ1 −θ2 = π/ρ, ([7], c. 84) и конструктивных
построениях примеров целых функций с заявленными свойствами.
Аналогично разобраны случаи, когда κ+ = κ− = ρ, 1/2 ≤ ρ < 1; ρ < κ+ = κ− , 1/2 ≤
κ+ < 1; κ+ > max{ρ, κ− }, 1/2 ≤ κ+ < 1.
Литература
[1] Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом (Наука, М., 1986).
[2] Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости, Изв. АН
БССР. Сер. физ.-матем. наук, № 6, 16–23 (1974).
[3] Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом, Матем. заметки
73 (5), 724–734 (2003).
[4] Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи
Гильберта с бесконечным индексом, Изв. вузов. Матем., № 4, 76–79 (2001).
[5] Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения (Изд-во Казанск. матем. о-ва, Казань, 2005).
ОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
71
[6] Salimov R. and Shabalin P. The Riemann–Hilbert boundary value problem with a countable set of coefficient
discontinuities and two-side curling at infinity of order less than 1/2, Operator Theory: Advances and
Applications (Springer Basel AG, 2012), vol. 221, p. 571–585.
[7] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций (Гостехиздат, М., 1956).
Р.Б. Салимов
профессор, заведующий кафедрой высшей математики,
Казанский государственный архитектурно-строительный университет,
ул. Зеленая, д. 1, г. Казань, 420043, Россия,
e-mail: salimov@5354.ru
П.Л. Шабалин
доцент, кафедра высшей математики,
Казанский государственный архитектурно-строительный университет,
ул. Зеленая, д. 1, г. Казань, 420043, Россия,
e-mail: pavel.shabalin@mail.ru
R.B. Salimov and P.L. Shabalin
A homogeneous Hilbert problem with discontinuous coefficients and two-side curling at
infinity of order 1/2 ≤ ρ < 1
Abstract. We study a homogeneous Riemann–Hilbert boundary value problem in the upper half of
the complex plane with a countable set of coefficient discontinuities and two-side curling at infinity.
We obtain a general solution in the case when the problem index has a power singularity of order
ρ, 1/2 ≤ ρ < 1, and study the solvability conditions.
Keywords: Riemann–Hilbert boundary value problem, curling at infinity, entire functions.
R.B. Salimov
Professor, Head of the Chair of Higher Mathematics,
Kazan State University of Architecture and Engineering,
1 Zelyonaya str., Kazan, 420043 Russia,
e-mail: salimov@5354.ru
P.L. Shabalin
Associate Professor, Chair of Higher Mathematics,
Kazan State University of Architecture and Engineering,
1 Zelyonaya str., Kazan, 420043 Russia,
e-mail: pavel.shabalin@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
164 Кб
Теги
однородные, гильберта, двусторонние, бесконечности, коэффициента, разрывных, задачи, порядке, завихрений
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа