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2014, ? 2, c. 61?68
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
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?????? ????????? ??? ????????? ??????????? ??????? ????????? ??????? ? ???????????????????? ????? ????????????? ?????? ?? 2009?2013 ??., ?????????? 14?87.21.0363.
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(a, b), (a, b) ? H;
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(a, b) = fq (a, b) = fq (a, 0) + fq (0, b) = 0.
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(3) cochar(g + h) ? cochar(g) ? cochar(h) ??? ???? g, h ? G,
(4) ???? ? : G ? H ? ???????????, ?? cocharG (g) ? cocharH (?(g)) ??? ???? g ? G,
(5) ??????? ????????? ??? Z ???????? ?????? G ????? ?????? ??????.
?????? G ?????????? ???????? ???????, ???? ??? ?? ???????? ????????? ?????????????
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64
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cochar(h) ? cochar(x) ? cochar(y) ?, ?????????????,
h ? {g ? G | cochar(g) ? cochar(x) ? cochar(y)} .
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cochar(h) ? cochar(x) ? cochar(h) ? cochar(y).
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E(G)x ? E(G)y = {g ? G | cochar(g) ? cochar(x) ? cochar(y)} .
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65
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cochar(h) ? cochar(x) ? cochar(y).
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cochar(x) ? cochar(y) = cochar(x). ?????????? ? ? E(G) ?????, ???
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(E(G)x + E(G)y) ? E(G)z =
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E(G)x ? E(G)z + E(G)y ? E(G)z =
= {g ? G | cochar(g) ? (cochar(x) ? cochar(z)) ? (cochar(y) ? cochar(z))} .
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(E(G)x + E(G)y) ? E(G)z = E(G)x ? E(G)z + E(G)y ? E(G)z.
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(2) E(A) ? ??????????? ??????????? ??????,
(3) E(A) ? ????????????? ??????,
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Ai , ??? ?????? ?????????? Ai ?????? ??????????????? ? ?????? G,
(4) A = G =
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Aij , Aij ? Aik ? E(Aij ) ? ???? (i = 1, n, j, k = 1, ni ).
j=1
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??????????? ?? ??????? ?(q ? f )(s ? a) = qs ? f (a) ??? ???? q, s ? Q, f ? ME(A) (A), a ? A.
????? q1 , q2 , s ? Q, f1 , f2 ? ME(A) (A). ?????
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s
t
? (m1 f1 (a) + m2 f2 (a)) =
s
t
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s
t
? m2 f2 (a) =
= q1 s ? f1 (a) + q2 s ? f2 (a) = ?(q1 ? f1 )(s ? a) + ?(q2 ? f2 )(s ? a)
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?????,
?((q1 ? f1 )(q2 ? f2 ))(s ? a) = ?(q1 q2 ? f1 f2 )(s ? a) = q1 q2 s ? f1 f2 (a) =
= ?(q1 ? f1 )?(q2 ? f2 )(s ? a).
????? ????, ? ????????? ???????.
???????, ??? ????? ?????? ME(A) (A) ??????? ? ????? ?????? Q ? ME(A) (A) ??? ????????? ?????????????? f ? ME(A) (A) ? 1 ? f ? Q ? ME(A) (A).
?????????? ??????????? ???????? ?????
67
???? E(A)-?????? Q ? A ??????????, ?? ??? ???? a1 , a2 ? A ? f ? ME(A) (A) ?????
?(1 ? f )(1 ? (a1 + a2 )) = ?(1 ? f )(1 ? a1 + 1 ? a2 ) =
= ?(1 ? f )(1 ? a1 ) + ?(1 ? f )(1 ? a2 ) = 1 ? f (a1 ) + 1 ? f (a2 ).
? ?????? ???????,
?(1 ? f )(1 ? (a1 + a2 )) = 1 ? f (a1 + a2 ).
????? ???????, ???????? f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ).
???????, ??? ? ??????, ????? A ? ???????????? ?????? ??? ???????? ????????? ?????
(?.?. A ? ??????? ??????????? E(A)-??????) ? ?????? E(A) ????????????, ?? ????? ?????
????????? Q ? ME(A) (A) = ME(A) (Q ? A). ?????? ???? ??????? ?? ????, ??? ?????? A
???? ??????????? ????? ?????? ?????????????????? ?????? ???????????? ????? ([9], ??????? 11.4) ? ??????? ?????????? [3]. ? ???? ???????? E(A)-?????? Q ? A ??????????, ?
?????????????, ?????????????. ???????? ([9], ????? 8.4), ???????
Q ? ME(A) (A) = Q ? C(E(A)) = EE(A) (Q ? A) = ME(A) (Q ? A).
? ???????????? ??????? 4 ???????????
??????? 5. ????? A ? ?????? ??? ???????? ????????? ?????, ??????????? ?? ????? ?????????????. ?????? A ?????????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??? ni > 1 ???, ???? nk = 1,
?? ?????? Ak ???????? ???????????? ?????? ???????????? ???????.
??????????????. ?????????????. ???????????, ??? ????????? nk = 1 ??????????? ???
?????????? k ? {1, . . . , n} ? ?????? Ak ?? ???????? ????????????. ????? ??? ????? ??????????? ??????????? pf i-????????? H. ?????????? ????????? ?(x) = h ??? ????????? ? ? E(Ak ), x ? Ak , h ? H. ??? ??? E(Ak ) ? ????, ?? ??1 ? E(Ak ). ??? ??????????
m ? N ????? m??1 ? E(Ak ). ?????????????, mx = m??1 h ? H, x ? H, ????????? H
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f : Ak ? Ak ?? ???????
a, x ? Ak ;
f (a) =
0, x ? Ak \ H.
????? 0 = x ? H, y ? Ak \ H. ????? f (x + y) = 0 = x = f (x) + f (y). ????????? Ai ??????
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? ???????? ?????????? ????? 1 ?????? ????? ?????????. ???? A ? ?????-E-????????
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??????????? ?????? ??????????, ?? ?????? A ??????????.
????? ?????????? ?.?. ????????? ?? ?????????? ??????, ?.?. ?????? ?? ???????? ? ?????? ?????? ? ???????? ??????????.
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??. ????? ???????????, ?. 1, ???. 1, 119991, ?. ??????, ??????,
e-mail: chistyakovds@yandex.ru
D.S. Chistyakov
Homogeneous mappings of Abelian groups
Abstract. In this paper we study Abelian groups whose homogeneous map to other Abelian groups
represents a homomorphism. We consider these groups as modules over the ring of integers and
over their endomorphism ring. We also study related issues.
Keywords: Abelian group, homogeneous map, near-ring.
D.S. Chistyakov
Doctorant, Chair of Algebra,
Moscow Pedagogical State University,
1 Malaya Pirogovskaya str., Bld. 1, Moscow, 119991 Russia,
e-mail: chistyakovds@yandex.ru
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