close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА С p-ПОДОБНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 2, c. 9–16
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
Б.Е. КАНГУЖИН, Д.Б. НУРАХМЕТОВ, Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА С δ-ПОДОБНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
Аннотация. В гильбертовом пространстве изучен оператор Лапласа в проколотой области.
Получен аналог формулы Грина и класс самосопряженных расширений. Также исследован
некоторый класс корректных задач.
Ключевые слова: оператор Лапласа, проколотая область, аналог формулы Грина, самосопряженное расширение, корректно поставленная задача.
УДК: 517.95
1. Введение
В физических работах (например, [1]) была поставлена задача об исследовании оператора
λk δ(x − xk ),
(1)
−∆ +
k∈N
где δ(x − xk ), k ∈ N, — дельта-функции Дирака, которые имеют точечные носители. Изучению свойств одномерного аналога посвящено множество работ (например, [2]–[5]). Свойства и приложения операторов вида (1) были исследованы в работах [6]–[9]. В статье [10]
дано описание корректно разрешимых краевых задач для оператора Лапласа в проколотом круге. Главной целью данной статьи является описание самосопряженных расширений
оператора Лапласа в проколотой области.
Рассмотрим дифференциальное выражение (с оператором Лапласа)
∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y
в области Ω0 := Ω \ {M0 }, где Ω — односвязная область с достаточно гладкой границей ∂Ω в
R2 , а M0 = (x0 , y0 ) – внутренняя фиксированная точка области Ω. Перейдем от выражения
∆u к оператору в пространстве L2 (Ω).
Обозначим через D совокупность всех функций
∆u :=
h(x, y) = h1 (x, y) + αG(x, y, x0 , y0 ), (x, y) ∈ Ω0 ,
где α ∈ R, h1 ∈ D = {h1 ∈ W22 (Ω), h1 |∂Ω = 0}. Здесь и далее G = G(x, y, x0 , y0 ) — функция
Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа ([11], с. 49; [9]).
Обозначим
Π0δ = {(x, y) : −δ ≤ x − x0 ≤ δ, −δ ≤ y − y0 ≤ δ}.
Поступила 12.10.2012
Работа выполнена при частичной поддержке грантового финансирования научно-технических
программ и проектов Комитетом науки МОН Республики Казахстан, грант 0732/ГФ, 2012–2014 гг.
9
10
Б.Е. КАНГУЖИН, Д.Б. НУРАХМЕТОВ, Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ
Для h ∈ D введем функционал
x0 +δ ∂h(ξ, y0 + δ) ∂h(ξ, y0 − δ)
1
lim
−
dξ+
α(h) =
2 δ→+0 x0 −δ
∂η
∂η
y0 +δ ∂h(x0 + δ, η) ∂h(x0 − δ, η)
+
−
dη. (2)
∂ξ
∂ξ
y0 −δ
Заметим, что для h ∈ C 1 (Ω) получим α(h) = 0.
Из [10] следует
Лемма 1. Для функции G(x, y, x0 , y0 ) выполняется соотношение
α(G(x, y, x0 , y0 )) = 1.
Из определения и в силу леммы 1 для произвольных u, v ∈ D имеем
u(x, y) = u0 (x, y) + α(u)G(x, y, x0 , y0 ),
v(x, y) = v0 (x, y) + α(v)G(x, y, x0 , y0 ),
lim u0 (x, y) существует и значение функции
где u0 , v0 ∈ D. Так как u0 (x, y) ∈ D, то предел x→x
0
y→y0
u0 (x, y) в точке M0 будем понимать как
lim [u(x, y) − α(u)G(x, y, x0 , y0 )] .
u0 (x0 , y0 ) = x→x
0
y→y0
С дифференциальным выражением ∆u свяжем оператор LM , определенный равенством
LM u = −∆u, (x, y) ∈ Ω0 ,
на u ∈ D, D(LM ) ≡ D. Оператор Lm определим как сужение LM на область
D(Lm ) = {u | u ∈ D, ξ − (u) = 0, ξ + (u) = 0},
где ξ − (u) := 2α(u), ξ + (u) := u0 (x0 , y0 ). Через R(Lm ) обозначим область значений оператора
Lm . Требуется выписать класс самосопряженных расширений оператора Lm .
2. Класс самосопряженных задач
Теорема 1 (аналог формулы Грина). Пусть u, v ∈ D. Тогда
LM u, v = u, LM v + ξ − (u)ξ + (v) − ξ − (v)ξ + (u).
Доказательство. Так как ∆x,y G = 0 в области Ω0 , то для произвольных u, v ∈ D
(∆u(x, y)v(x, y) − u(x, y)∆v(x, y))dx dy =
−
Ω0
∂v
∂v0
∂u
∂u0
v−u
ds = lim
v0 − u0
ds+
= lim
δ→+0 ∂Π0 ∂n
δ→+0 ∂Π0
∂n
∂n
∂n
δ
δ
∂v0
∂u0
∂G
∂G
v0 − G
ds − αv lim
u0 − G
ds.
+ αu lim
δ→+0 ∂Π0
δ→+0 ∂Π0
∂n
∂n
∂n
∂n
δ
δ
Поскольку u0 , v0 ∈ W22 (Ω), то
lim
δ→+0
∂Π0δ
∂v0
∂u0
v0 − u0
∂n
∂n
ds = 0.
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА С δ-ПОДОБНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
11
В дальнейшем понадобится
Лемма 2. Для произвольного v0 ∈ W22 (Ω)
∂v0
∂G
v0 − G
ds = 2v0 (x0 , y0 ).
lim
δ→+0 ∂Π0
∂n
∂n
δ
Доказательство. Применяя несложные преобразования и пользуясь тем, что v0 ∈ W22 (Ω),
вычислим
∂v0
∂G
v0 − G
ds =
lim
δ→+0 ∂Π0
∂n
∂n
δ
y0 +δ
v0 (x0 + δ, y) − v0 (x0 , y0 ) ∂G(x0 + δ, y, x0 , y0 )
δ
dy+
= lim
δ→+0 y0 −δ
δ
∂x
y0 +δ
v0 (x0 , y0 ) − v0 (x0 − δ, y) ∂G(x0 − δ, y, x0 , y0 )
δ
dy+
+ lim
δ→+0 y0 −δ
δ
∂x
y0 +δ
∂G(x0 + δ, y, x0 , y0 ) ∂G(x0 − δ, y, x0 , y0 )
−
dy+
v0 (x0 , y0 )
+ lim
δ→+0 y0 −δ
∂x
∂x
x0 +δ
v0 (x, y0 + δ) − v0 (x0 , y0 ) ∂G(x, y0 + δ, x0 , y0 )
δ
dx+
+ lim
δ→+0 x0 −δ
δ
∂y
x0 +δ
v0 (x0 , y0 ) − v0 (x, y0 − δ) ∂G(x, y0 − δ, x0 , y0 )
δ
dx+
+ lim
δ→+0 x0 −δ
δ
∂y
x0 +δ
∂G(x, y0 + δ, x0 , y0 ) ∂G(x, y0 − δ, x0 , y0 )
−
dx−
v0 (x0 , y0 )
+ lim
δ→+0 x0 −δ
∂y
∂y
y0 +δ ∂v0 (x0 +δ,y) ∂v0 (x0 ,y0 )
−
∂x
∂x
δG(x0 + δ, y, x0 , y0 )dy−
− lim
δ→+0 y0 −δ
δ
y0 +δ ∂v0 (x0 ,y0 ) ∂v0 (x0 −δ,y)
−
∂x
∂x
δG(x0 − δ, y, x0 , y0 )dy−
− lim
δ→+0 y0 −δ
δ
y0 +δ
∂v0 (x0 , y0 )
(G(x0 + δ, y, x0 , y0 ) − G(x0 − δ, y, x0 , y0 )) dy−
− lim
δ→+0 y0 −δ
∂x
x0 +δ ∂v0 (x,y0 +δ) − ∂v0 (x0 ,y0 )
∂y
∂y
δG(x, y0 + δ, x0 , y0 )dx−
− lim
δ→+0 x0 −δ
δ
x0 +δ ∂v0 (x0 ,y0 ) − ∂v0 (x,y0 −δ)
∂y
∂y
δG(x, y0 − δ, x0 , y0 )dx−
− lim
δ→+0 x0 −δ
δ
x0 +δ
∂v0 (x0 , y0 )
(G(x, y0 + δ, x0 , y0 ) − G(x, y0 − δ, x0 , y0 )) dx =
− lim
δ→+0 x0 −δ
∂y
= 2α(G(x, y, x0 , y0 ))v0 (x0 , y0 ).
Отсюда в силу леммы 1 получим требуемое.
Из лемм 1, 2 следует справедливость теоремы 1.
12
Б.Е. КАНГУЖИН, Д.Б. НУРАХМЕТОВ, Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ
Лемма 3. Уравнение Lm u = f имеет решение u ∈ D(Lm ) тогда и только тогда, когда
найдется такое f ∈ L2 (Ω), что f, v = 0 для любого v ∈ Ker LM , т. е.
R(Lm ) ⊕ Ker LM = L2 (Ω).
Доказательство. Пусть f ∈ R(Lm ). Тогда для произвольного v ∈ Ker LM в силу аналога
формулы Лагранжа имеем
f, v = Lm u, v = u, LM v = 0.
Пусть теперь найдется такое f ∈ L2 (Ω), что для любого v ∈ Ker LM
f, v = 0.
Несложно убедиться в том, что G(x, y, x0 , y0 ) ∈ Ker LM . Поэтому для функций
G(x, y, ξ, η)f (ξ, η)dξ dη
u0 (x, y) =
Ω
выполнены следующие включения и равенства:
u0 ∈ D,
−∆u0 (x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ Ω0 ,
u0 (x0 , y0 ) = f, G = 0,
α(u0 ) = 0.
Значит, u0 ∈ D(Lm ).
Лемма 4. D(Lm ) плотно в L2 (Ω).
Доказательство. Пусть функция g ∈ L2 (Ω) ортогональна линеалу D(Lm ). Найдем функцию v — произвольное решение уравнения LM v = g. Тогда для любого u ∈ D(Lm ) имеем
0 = u, g = u, LM v = Lm u, v.
В силу леммы 3 выполнено v ∈ Ker LM . Поэтому g = LM v = 0.
Теорема 2. Оператор Lθ , введенный следующим образом:
−∆u = f, (x, y) ∈ Ω0 ,
для u ∈ D, с условием
(3)
θ1 ξ − (u) = θ2 ξ + (u),
является самосопряженным расширением оператора Lm в пространстве D, где θ = (θ1 , θ2 ),
θ1 , θ2 — некоторые вещественные числа и θ12 + θ22 = 0.
Доказательство. Так как для любых u, v ∈ D(Lm )
Lm u, v = u, Lm v,
то по определению [12] Lm — эрмитов оператор. В силу леммы 4 Lm — симметрический
оператор. Таким образом, для того чтобы оператор Lθ был самосопряженным оператором,
достаточно равенства
(4)
D(Lθ ) = D(L∗θ ).
Заметим, что D(Lθ ) = {u ∈ D | θ1 ξ − (u) − θ2 ξ + (u) = 0}. Из условия теоремы следует, что
хотя бы одно из чисел θ1 , θ2 не равно нулю. Не нарушая общности, предположим θ1 = 0.
Тогда условие (3) запишем в виде
ξ − (u) = µξ + (u),
(5)
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА С δ-ПОДОБНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
13
где µ = θ2 /θ1 . Для произвольных u ∈ D(Lθ ) и v ∈ D с учетом условия (5) имеем
−∆u, v = u, −∆v + ξ − (u)ξ + (v) − ξ − (v)ξ + (u) =
= u, −∆v + µξ + (u)ξ + (v) − ξ − (v)ξ + (u) =
= u, −∆v + [µξ + (v) − ξ − (v)]ξ + (u).
Так как достаточно много функций u ∈ D(Lθ ), для которых ξ + (u) = 0, то µξ + (v)−ξ − (v) = 0.
Отсюда следует, что v ∈ D(Lθ ), т. е. справедливо равенство (4).
3. Абстрактный оператор и его резольвента
В пространстве L2 (Ω) введем оператор
LK u := −∆u, (x, y) ∈ Ω0 ,
на u ∈ D с условием
(6)
K(x, y)(−∆u0 )(x, y)dx dy = 0,
α(u) +
(7)
Ω
где K(x, y) ∈ L2 (Ω). По определению скалярной производной
K(x, y)(−∆u0 )(x, y)dx dy =: K, −∆u0 .
Ω
В дальнейшем удобно рассмотреть LK как возмущенный оператор L0 , который соответствует оператору Лапласа с граничным условием Дирихле.
Теорема 3. Резольвента оператора LK представима в виде
Rλ f = Rλ0 f + K, L0 Rλ̄0 f LK Rλ G,
(8)
где Rλ = (LK − λI)−1 , Rλ0 = (L0 − λI)−1 .
Доказательство. Функция u = Rλ f является решением уравнения
−∆u = λu + f, (x, y) ∈ Ω0 , u ∈ D,
(9)
с условием (7).
Подействуем на (8) выражением (9) в области Ω0 . Получим
f = (LK − λI)(LK − λI)−1 f =
= (L0 − λI)(L0 − λI)−1 f + K, L0 Rλ0 f (LK − λI)(G + λRλ G) =
= f − λK, L0 Rλ0 f G + λK, L0 Rλ0 f G = f.
Теперь проверим условие (7):
0 = −K, L0 Rλ0 f + K, L0 Rλ0 f (1 + 0) = 0.
Лемма 5. Для резольвенты оператора LK имеет место формула
Rλ f = Rλ0 f +
которая эквивалентна формуле (8).
K, L0 Rλ0 f L0 Rλ0 G
1 − λK, L0 Rλ0 G
,
14
Б.Е. КАНГУЖИН, Д.Б. НУРАХМЕТОВ, Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ
Доказательство. Несложным преобразованием получим
LK Rλ G = (LK − λI + λI)Rλ G = G + λRλ G.
(10)
С учетом (10) из формулы (8) имеем
Rλ f = Rλ0 f + K, L0 Rλ0 f (G + λRλ G).
(11)
Действуя на равенство (11) дифференциальным выражением −∆ в области Ω0 , придем к
LK Rλ f = L0 Rλ0 f + K, L0 Rλ0 f (0 + λLK Rλ G).
(12)
Подставив в формуле (12) функцию G вместо f , получим
LK Rλ G = L0 Rλ0 G + K, L0 Rλ0 G(0 + λLK Rλ G).
Отсюда находим
LK Rλ G =
L0 Rλ0 G
.
1 − λK, L0 Rλ0 G
Подставим найденное в формулу (8):
Rλ f = Rλ0 f + K, L0 Rλ0 f LK Rλ G = Rλ0 f +
K, L0 Rλ0 f L0 Rλ0 G
1 − λK, L0 Rλ0 G
.
Предложение 1. Пусть θ1 = 0 и K(x, y) = −µG(x, y, x0 , y0 ), где µ = θ2 /θ1 . Тогда операторы LK и Lθ равны.
По аналогии с LK можно исследовать свойства оператора
LB u := −∆u, (x, y) ∈ Ω0 ,
на u ∈ D с условием
(13)
u0 (x0 , y0 ) +
B(x, y)(−∆u0 )(x, y)dx dy = 0,
(14)
Ω
где B(x, y) ∈ L2 (Ω).
Из работ М.О. Отелбаева [13], [14] следует
Предложение 2. Задачи (6)–(7) и (13)–(14) описывают все корректно поставленные задачи для лапласиана на D в проколотой области Ω0 .
Предложение 3. Множество операторов {Lθ |θ = (θ1 , θ2 ), θ12 + θ22 = 0; θi ∈ R, i = 1, 2}
исчерпывает все самосопряженные задачи для оператора Лапласа на D в области Ω0 .
Отметим, что резольвентные представления вида (8) операторов с интегральными граничными условиями были получены в [15] для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков, а в [16] — для бигармонического оператора.
Литература
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория (Наука, М., 1969).
[2] Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами, Матем.
заметки 66 (6), 897–912 (1999).
[3] Kostenko A.S., Malamud M.M. 1-D Schrödinger operators with local point interactions on a discrete set, J.
Different. Equat. 249, 253–304 (2010).
[4] Головатый Ю.Д., Манько С.С. Точные модели для операторов Шредингера с δ -подобными потенциалами, Укр. матем. вестн. 6 (2), 173–207 (2009).
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА С δ-ПОДОБНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
15
[5] Голощапова Н.И., Заставный В.П., Маламуд М.М. Положительно определенные функции и спектральные свойства оператора Шредингера с точечными взаимодействиями, Матем. заметки 90 (1), 151–156
(2011).
[6] Павлов Б.С. Теория расширений и явно решаемые модели, УМН 42 (6), 99–131 (1987).
[7] Минеев В.С. Физика самосопряженных расширений: одномерная задача рассеяния для кулоновского
потенциала, Теор. и матем. физика 140 (2), 310–328 (2004).
[8] Шондин Ю.Г. Возмущения на тонких множествах высокой коразмерности эллиптических операторов и теория расширений в пространстве с индефинитной метрикой, Зап. научн. семин. ПОМИ 222,
246–292 (1995).
[9] Зубок Д.А., Попов И.Ю. Два физических приложения оператора Лапласа, возмущенного на множестве нулевой меры, Теор. и матем. физика 119 (2), 295–307 (1999).
[10] Кангужин Б.Е., Анияров А.А. Корректные задачи для оператора Лапласа в проколотой области, Матем. заметки 89 (6), 856–867 (2011).
[11] Бицадзе А.В. Уравнения математической физики (Наука, М., 1976).
[12] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (Наука, М., 1969).
[13] Отелбаев М.О., Шыныбеков А.Н. О корректных задачах типа Бицадзе–Самарского, ДАН СССР, № 4,
815–819 (1982).
[14] Отелбаев М.О., Кокебаев Б.К., Шыныбеков А.Н. К вопросам расширения и сужения операторов, ДАН
СССР, № 6, 1307–1311 (1983).
[15] Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б., Токмагамбетов Н.Е. Аппроксимативные свойства системы корневых функций, порождаемые корректно разрешимыми краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков, Уфимский матем. журнал 3 (3), 80–92 (2011).
[16] Берикханова Г.Е., Кангужин Б.Е. Резольвенты конечномерных возмущенных корректных задач для
бигармонического оператора, Уфимский матем. журнал 2 (1), 17–34 (2010).
Б.Е. Кангужин
профессор, кафедра фундаментальной математики,
Казахский национальный университет им. аль-Фараби,
пр. аль-Фараби, д. 71, г. Алматы, 500040, Республика Казахстан,
e-mail: kanbalta@mail.ru
Д.Б. Нурахметов
преподаватель, кафедра фундаментальной математики,
Казахский национальный университет им. аль-Фараби,
пр. аль-Фараби, д. 71, г. Алматы, 500040, Республика Казахстан,
e-mail: daulet_arg@mail.ru
Н.Е. Токмагамбетов
научный сотрудник
РГП “Институт математики и математического моделирования” МОН РК,
ул. Шевченко, д. 28, г. Алматы, 500012, Республика Казахстан,
e-mail: niyaz.tokmagambetov@gmail.com
B.E. Kanguzhin, D.B. Nurakhmetov, and N.E. Tokmagambetov
Laplace operator with δ-like potentials
Abstract. We study the Laplace operator in a punctured domain in a Hilbert space. We obtain
an analog of the Green formula and a class of self-adjoint extensions of the Laplacian. We also
investigater a certain class of well-posed problems.
16
Б.Е. КАНГУЖИН, Д.Б. НУРАХМЕТОВ, Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ
Keywords: Laplace operator, punctured domain, analog of the Green formula, self-adjoint extension, well-posed problem.
B.E. Kanguzhin
Professor, Chair of Fundamental Mathematics,
al-Farabi Kazakh National University,
71 al-Farabi Ave., Almaty, 500040 Republic of Kazakhstan,
e-mail: kanbalta@mail.ru
D.B. Nurakhmetov
Lecturer, Chair of Fundamental Mathematics,
al-Farabi Kazakh National University,
71 al-Farabi Ave., Almaty, 500040 Republic of Kazakhstan,
e-mail: daulet_arg@mail.ru
N.E. Tokmagambetov
Researcher, Institute of Mathematics and Mathematical Modelling MES RK,
28 Shevchenko str., Almaty, 500012 Republic of Kazakhstan,
e-mail: niyaz.tokmagambetov@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
190 Кб
Теги
оператора, подобными, лапласа, потенциалами
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа