close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Операторы преобразований и их применение для решения задач о структуре волнового и температурного полей в кусочно-однородном полупространстве.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (532)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.44
Т.В. ЕЛИСЕЕВА
ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О СТРУКТУРЕ ВОЛНОВОГО И ТЕМПЕРАТУРНОГО
ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
В работе применяется метод операторов преобразований для решения некоторых краевых
задач кусочно-однородных структур. Показана возможность применения данного метода для
решения обобщенных задач Дирихле с неоднородными граничными условиями для уравнения
Лапласа, уравнений теплопроводности и колебаний для кусочно-однородной полуплоскости.
Актуальность метода операторов преобразования в том, что он позволяет получить решение
в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: последовательные приближения с помощью отражения от двух экранов. Вид, в котором получено решение, позволяет
написать удобные вычислительные алгоритмы.
1. Операторы преобразований
Пусть функция ub = ub(x; y) принадлежит пространству Соболева W2k (D) (в задачах I, II, IV
k = 1, в задаче III k = 2), а функция u = u(x; y ) | пространству W22 (D1 ), где D = f(x; y ) j x 2
(0; +1); y 2 (;1; +1)g, D1 = f(x; y) j x 2 (0; l) [ (l; +1); y 2 (;1; +1)g.
I. Пусть функция u = u(x; y) удовлетворяет граничному условию
b(0; y )
u(0; y ) = u
и условиям сопряжения
u; (l; y ) = u+ (l; y );
k
@u+
@u;
(
l; y ) =
(l; y);
@x
@x
k > 0;
где u; (l; y), u+ (l; y), @u@x; (l; y), @u@x (l; y) | предельные значения функции u = u(x; y) и ее производных при x = l слева и справа соответственно [1].
Представление для функции u = u(x; y) ищется в виде
(
b(x; y ) + bS [u
b(x; y )];
au
0 < x < l;
u(x; y ) =
b(x; y );
cu
x > l;
где S [ub(x; y)] = ub(2l ; x; y) | оператор отражения относительно точки сопряжения, a, b, c |
операторы, которые определяются из граничных условий и условий сопряжения.
Получен оператор пребразования : ub(x; y) ! u(x; y)
8
1 1 ; k i X
>
1
;
k
>
>
b
b
>
<
1 + k u(x + 2li; y) ; 1 + k u(2l ; x + 2li; y) ; 0 < x < l;
i
=0
u(x; y ) =
1 1 ; k i
>
2
k X
>
>
b
>
:
1 + k i=0 1 + k u(x + 2li; y); x > l:
+
79
Так как ub = ub(x; y) | ограниченная функция, и 11+;kk < 1, то полученные ряды сходятся
абсолютно, равномерно.
II. Пусть функция u = u(x; y) удовлетворяет граничному условию
u(0; y ) = 0
и условиям сопряжения
u; (l; y ) ; u+ (l; y )
= ub(0; y);
k
@u;
@u+
(
l; y ) =
(l; y);
@x
@x
где k 2 (0; 1) [ (1; +1).
Построен оператор преобразования : ub(x; y) ! u(x; y)
8
1 1 ; k i
X
>
1
1
>
>
b(l ; x; y ) ;
u
>
>
>
1
+
k
1
;
k i=1 1 + k
>
>
>
<
1
;
k
ub(x ; l + 2li; y) ; 1 + k ub(l ; x + 2li; y) ; 0 < x < l;
u(x; y ) =
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1 1 ; k i
2
k X
b
; 1 + k ub(x ; l; y) ; 1 ; k2
1 + k u(x ; l + 2li; y); x > l:
i=1
Так как ub = ub(x; y) | ограниченная функция, и 11+;kk < 1, то полученные ряды сходятся
абсолютно, равномерно.
III. Пусть функция u = u(x; y) удовлетворяет граничному условию
u(0; y ) = 0;
(1)
и условиям сопряжения
k
u; (l; y ) = u+ (l; y );
k
b
@u;
@u+
@u
(
l; y ) ;
(
l; y ) =
(l; y);
@x
@x
@x
k > 0:
Оператор преобразования : ub(x; y) ! u(x; y) имеет вид
8
1 1 ; k i
>
1 ub(2l ; x; y) + 1 X
>
>
;
>
>
>
1
+
k
1
;
k i=1 1 + k
>
>
>
<
1
;
k
b
b
u(x + 2li; y) ; 1 + k u(2l ; x + 2li; y) ; 0 < x < l;
u(x; y ) =
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
(2)
(3)
1 ; k i ub(x + 2li; y); x > l:
i=1 1 + k
Так как ub = ub(x; y) | ограниченная функция, и 11+;kk < 1, то полученные ряды сходятся
абсолютно, равномерно.
Вычисления показывают, что оператор преобразования ;1 , обратный оператору (3), имеет
вид
8
1
>
1 ; k T u(x; y); 0 < x < l;
1 + 3k X
>
i
>
T
S
E
;
(1
;
k
)
E
;
2
S
;
>
<
1 + k i=1 2l
1 + k 2l
;1 [u(x; y)] =
b(x; y ) = u
1
X
>
>
>
(
k
;
1)
u
(
x;
y
)
;
2
k
u(x + 2li; y ); x > l;
>
:
; 1 +1 k u(x; y) + 1 ;2kk2
X
b
i=0
где T2l [ub(x; y)] = ub(2 + 2l; y) | оператор сдвига, E | тождественный оператор.
IV. Пусть функция u = u(x; y) удовлетворяет граничному условию
b(0; y );
u(0; y ) + au; (l; y ) = u
0 < a < 1;
80
и условиям сопряжения
@u
; (l; y) = @u+ (l; y);
(0; y) + d @u
@x
@x
@x
где b; c; d > 0, причем c + ad < min(b; d + ac) [2].
Получено представление для оператора преобразования : ub(x; y) ! u(x; y)
bu; (l; y ) = u+ (l; y );
c
(i + j + 1)! ; 2(c + ad) i+1 b ; d ; ac j i!j !
b + d + ac
b + d + ac
=0
(cub(x + l(i + 1) + 2lj; y) + (b + d)ub(x + li + 2lj; y)+
+cub(l ; x + li + 2lj; y) + (d ; b)ub(2l ; x + li + 2lj; y)); 0 < x < l;
u(x; y ) =
1 (i + j + 1)! 2(c + ad) i+1 b ; d ; ac j
X
>
>
>
; b + d + ac
>
>
>
i!j !
b + d + ac
>
i;j =0
>
>
>
>
>
(bcub(x + l(i + 1) + 2lj; y) + 2bdub(x + li + 2lj; y);
>
>
>
:
;bcub(x ; l + li + 2lj; y)); x > l:
Так как ub = ub(x; y) | ограниченная функция, и c + ad < min(b; d + ac), то полученные ряды
сходятся абсолютно, равномерно.
Для всех операторов преобразования, приведенных выше, построены обратные операторы.
Теорема. Оператор преобразования , определяемый в задачах I, II, IV, осуществляет изо1
2
морфизм пространств W2 (D ) и W2 (D1 ); оператор преобразования , определяемый в задаче
III, осуществляет изоморфизм пространств W22(D) и W22 (D1 ).
1
8
X
>
>
>
>
>
>
>
i;j
>
>
>
>
>
>
>
>
<
2. Применение операторов преобразований
к решению задач математической физики
Определенные выше операторы преобразования позволяют решать некоторые задачи математической физики кусочно-однородных сред. В качестве примера рассмотрим задачу для
уравнения Лапласа и задачу о структуре температурного поля в кусочно-однородной области.
а) Найти решение уравнения Лапласа
u(x; y) = 0
в области D1 = f(x; y) j x 2 (0; l) [ (l; +1); y 2 (;1; +1)g по граничному условию
u(0; y ) = v1 (y )
и условиям сопряжения
u; (l; y ) ; u+ (l; y ) = v2 (y );
k
@u;
@u+
(
l; y ) =
(l; y);
@x
@x
k
2 (0; 1) [ (1; +1);
где v1 (y); v2 (y) 2 L2 (;1; +1). Решение поставленной задачи имеет вид
u(x; y ) = [P (v1 )] + L[P (v2 )];
где P (v) | интеграл Пуассона, | оператор преобразования, определяемый в задаче I, L |
оператор преобразования, соответствующий задаче II.
б) Требуется найти ограниченное решение уравнения теплопроводности
@u
@t
2
= @@xu2
в области 1T = f(x; t) j x 2 (0; l) [ (l; +1); t 2 (0; T )g по граничному условию
u(0; t) = g (t);
81
условиям сопряжения
u; (l; t) = u+ (l; t);
k
и по начальному условию
@u+
@h
@u;
(
l; t) ;
(
l; t) =
(l; t);
@x
@x
@x
u(x; 0)
= f (x);
где u(x; t) 2 W22; 0 (
1T ), h(x; t) 2 W22; 0 (
T ), g(t) 2 L2 (0; T ), f (x)
(0; +1); t 2 (0; T )g, I1+ = fx j x 2 (0; l) [ (l; +1)g.
k > 0;
2 L2(I1+), где T = f(x; t) j x 2
Решение задачи получим с помощью операторов преобразований и ;1 , соответствующих
задаче (1){(2). Применив операторы ;1 к поставленной задаче, приведем ее к задаче для однородной области : найти ограниченное решение уравнения теплопроводности
2
@h
@t
= @@xh2
в области по граничному условию h(0; t) = g (t) и по начальному условию
h(x; 0) = ;1 [f (x)] = fb(x):
Решение задачи имеет вид ([3], с. 234):
Z 1
Z t
x;
x x
1
1
x
;
;
;
b
t
;
t
t
p
;e
f ( )d +
g ( )d :
h(x; t) = p
e
2 0 t e
0 (t ; )3=2
Применим к h = h(x; t) оператор :
u(x; t) = [h(x; t)];
Z 1
1
1 e; x;t ; e; x t ;1 [f ()]d + Z t x e; tx; g( )d :
p
u(x; t) = x p
2 0 t
0 (t ; )3=2
В результате определена структура нестационарного температурного поля в 1T .
Операторы преобразования, полученные в работе, позволяют также решать задачи о структуре волнового поля в кусочно-однородном полупространстве.
(
(
4
4
)2
)2
( + )2
4
( + )2
4
2
4(
)
2
4(
)
Литература
1. Елисеева Т.В. Задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями // Комплексный
анализ и математическая физика. Сб. науч. тр., посвященный 100-летию со дня рождения
профессора А.А. Темлякова. { М., 2003. { С. 136{142.
2. Елисеева Т.В. Операторный метод решения обобщенных задач сопряжения для уравнения
Лапласа // Вестн. молодых ученых ПГПУ им. В.Г. Белинского. { Пенза, 2003. { Є 2. { С. 49{
51.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. { М.: Наука, 1977. {
736 с.
Пензенский государственный
Поступила
26.12.2003
университет
82
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа