close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение нормы ядер конечных интегральных преобразований и их приложение.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (447)
УДК 517.44:593.3
Ю.Э. СЕНИЦКИЙ, С.А. ЛЫЧЕВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМЫ ЯДЕР КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
Данная работа посвящена развитию алгоритмической процедуры конечных интегральных
преобразований (КИП), предусматривающей определение вектор-функций ядра преобразования
в процессе решения начально-краевых задач [1]{[3]. Поскольку ядра вычисляются с точностью
до произвольной постоянной, то в формуле обращения КИП, как правило, сохраняется выражение квадрата их нормы. В нестационарных задачах динамической теории упругости, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, ядра
КИП обычно являются линейными комбинациями специальных функций [2]{[6], поэтому точное вычисление их нормы представляет большие затруднения. В прикладных задачах для этой
цели используются приближенные способы, основанные на квадратурных формулах и методах
аппроксимации [7]. Однако такой подход приводит к потере точности и увеличению затрат машинного времени на вычисление старших гармоник получающихся спектральных разложений.
Предлагаемый новый подход свободен от указанных недостатков, поскольку позволяет заменить
невыполнимую в общем виде операцию интегрирования ядерных вектор-функций относительно несложным дифференцированием и получать аналитические выражения для квадрата их
нормы.
Необходимо отметить, что из полученного в данной работе представления следуют аналогичные результаты, справедливые для скалярного случая [8], [9]. Известные приемы вычисления
определенных интегралов, основанные на классических уравнениях Бесселя и Гаусса [10], [11],
также могут рассматриваться как частные реализации предлагаемого общего подхода.
1. Будем рассматривать в области D = f[a; b] [0; T ]g, T < 1, начально-краевую задачу в
стандартной форме [12]
@ ~u(x; t) = ~f (x; t); L[~u(x; t)] X a (x) @ ;r ~u(x; t);
L[~u(x; t)] ; H @t
r @x ;r
2
2
2
r=0
2
2
@ ~u(x; t) + c ~u(x; t) = 0; B [~u(x; t)] b @ ~u(x; t) + c ~u(x; t) = 0;
a @x
a
b
b @x
b
x a
x b
(1)
@ ~u(x; t)j = ~u_ (x); x 2 [a; b]; t 2 [0; T ]; ~u(x; t); ~f (x; t) 2 Rm ;
~u(x; t)jt = ~u (x); @t
t
где ~f (x; t) является заданной, а ~u(x; t) | искомой вектор-функцией. В выражениях (1) H, ba ,
bb , ca , cb , ar (x) | матрицы размерностью m m, причем H, ca и cb невырожденные.
Решение ~u(x; t) задачи (1) строится в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом
по переменной x и дважды дифференцируемых по переменной t. Введем на сегменте [a; b] гильбертово пространство L~ с метрикой, определяемой скалярным произведением
Ba[~u(x; t)] =0
b
=
=0
0
=
0
2
~)=
(~v; w
b
Z
a
~v>Hw
~ dx;
60
(2)
где | матрица весовых функций (H | симметричная и положительно определенная матрица
([13], с. 12)); > | знак транспонирования.
В области DA = f~v j ~v 2 L~ 2 ; Ba [~v] = 0; Bb [~v] = 0g L~ 2 определим оператор A, порождаемый
дифференциальной операцией L,
8 ~v 2 DA A[~v] H;1L[~v]:
(3)
Известно [2], что если A | самосопряженный оператор с простым дискретным спектром, то его
~ i (x)g, порождающие ядро преобразования, образуют счетное
собственные вектор-функции fK
множество, а соответствующее КИП представляется двумя формулами обращения
'i =
b
Z
a
1
~ >(x)(x)~f (x)dx; ~f (x) = X K
~ i (x)'i kK
~ i (x)k; :
K
2
i=1
(4)
~ i (x)k = (K
~ i (x); K
~ i (x)) | норма ядерных функций в метрике (2).
Здесь kK
В соответствии с ([1], с. 56) собственные функции оператора A могут быть представлены в
виде
~ i (x) = K
~ (x; )j= = Y(x; )C
~ ()j= ;
K
(5)
где Y(x; ) = k~y1 (x; ) : : : ~y2m (x; )k | матрица фундаментальных решений
L[~yj (x; )] = ;H~yj (x; ); j = 1; 2; : : : ; 2m;
(6)
i | собственные значения, которые вычисляются как корни трансцендентного уравнения
i
det B(i ) = 0;
i
@ Y(x; ) + c Y(x; )
a @x
a
x
b
b
= a
() = ;
@
b @x Y (x; ) + cb Y (x; )
B
x=b
~ () | постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий задачи (1). При этом
аC
~ () не завибез потери общности рассуждений можно считать, что последний элемент вектора C
сит от и равен 1. Тогда его остальные элементы являются решениями неоднородной системы
алгебраических уравнений
n;
2X1
j =1
bij ()cj () = ;b ni (); i = 1; 2; : : : ; 2n ; 1:
2
~ (). При условии простоты спекЗдесь bij () | компоненты матрицы B(), а cj () | вектора C
тра оператора A указанная система уравнений невырождена [13].
Формула обращения КИП (4) представляет разложения, единственность и сходимость которых обоснована в [14], а решение начально-краевой задачи (1) может быть представлено в виде
([1], с. 23)
'i =
b
Z
a
~ i (x)>
K
[~ (x) cos(i
H u0
=
1 2
t) + ;1=2~u_
~u(x; t) =
i
0
1
X
i=1
(x) sin(i
=
1 2
Z t
;
1=2
1=2
~
t)] ; sin( (t ; )f (x; )d dx;
i
~ i (x)'i kK
~ i (x)k; :
2
K
0
i
(7)
2. При условии интегрируемости системы уравнений (6) входящий в решение (7) квадрат
~ i (x)k2 , как правило, не мог быть определен точно. Следующая теорема устанавливает
нормы kK
~ i (x)k2 .
возможность строгого вычисления квадратуры kK
61
i
Теорема 1. Если
A, то квадрат нормы его соб-
| простая точка спектра оператора
ственной вектор-функции определяется выражением
~ (; x)> @ K
~ (; x) @ K
~ (; x)> ~
@
K
~
kKi (x)k =
Q
;
PK(; x)
@
@x
@@x
x b
2
2
= i
=
x=a
;
(8)
в котором
jx
P
a;b
=
= a0jx=a;b ;
jx
Q
=
@ (a0 ) ; a1 )Rgjx=a;b ;
a;b = fa0 ; ( @x
R
jx b = ;c;b bb:
jx a = ;c;a ba ;
1
=
R
=
1
(9)
Наряду с оператором A рассмотрим возмущенный оператор A(")
8 ~v 2 DA(") A(")[~v] H;1L[~v]; DA(") = f~v j ~v 2 L~ 2; Ba[~v] = 0; Bb[~v] = "M~vg;
где M = diag (0; : : : ; 0; 1) | диагональная матрица, " | малый параметр. Таким образом, возмущенным оказывается одно из граничных условий, соответствующее последней строке матрицы
B(). Обозначим собственные значения оператора A(") и его собственные функции соответ~ i (x; "). Заметим также, что, благодаря специальному виду возмущения,
ственно через i (") и K
~ i (x; "), параметр возмущения " не входит в явном виде. В
в выражение (5), соответствующее K
~ i (x) и K
~ i (x; ") справедливы равенства
соответствии с (6) для K
~ i (x); K
~ i (x; ")) = (A[K
~ i (x)]; K
~ i (x; "));
;i (K
~ i (x); K
~ i (x; ")) = (K
~ i (x); A(")[K
~ i (x; ")]);
;i(")(K
из которых следует
~ i (x); K
~ i (x; "))(i (") ; i ) = (A[K
~ i (x)]; K
~ i (x; ")) ; (K
~ i (x); A(")[K
~ i (x; ")]):
(K
(10)
После интегрирования по частям правой части (10) в силу симметричности L получаем выражение, содержащее только внеинтегральные члены,
~ i (x); K
~ i (x; "))(i (") ; i ) = [K
~ i (x); K
~ i (x; ")]jba :
(K
(11)
Здесь
Доказательство.
>
>
~ i (x) ; @ (K
~
~
~
~
~ i (x); K
~ i (x; ")] = K
~ i (x; ")> a0 @ K
[K
@x
@x i (x; ") a0 )Ki (x) + Ki (x; ") a1Ki (x): (12)
Представим собственные значения и собственные функции возмущенного оператора A(") в
форме разложения по степеням " ([15], с. 530), т. е.
@ (")j + O(" ); K
~ i (x; ") = K
~ i (x) + " @ K
~
i(") = i + " @"
(13)
i "
@" i (x; ")j" + O(" ):
Поскольку i | простая точка спектра, то коэффициенты при " в равенствах (13) отличны от
2
=0
2
=0
нуля. После подстановки разложений (13) в выражение (11) оно преобразуется к виду
~ i(x); K
~ i (x; "))" @"@ i(")j"=0 = [K
~ i (x); K
~ i (x)]jba + "[K
~ i (x); @"@ K
~ i (x; ")j"=0 ]jba + O("2 );
(K
~ i (x); K
~ i (x)]jba = 0. Поскольку в
причем в силу самосопряженности оператора A ([13], с. 479) [K
~ i (x; ") = K
~ (x; i (")) " не входит в явном виде, то
выражение K
~ i (x); @ K
~
K
@" i(x; ")j"
=0
и, следовательно,
~ i (x); @ K
~
= K
@i (") (x; i ("))j
" i ( )= i
~ i (x); K
~ i (x; ")) = K
~ i (x); @ K
~
(K
@ (") (x; i ("))j (")=
i
62
i
b
i a
@
@" i (")j"
=0
+ O("):
Устремляя " к нулю и принимая во внимание (5), получим соотношение, определяющее квадрат
нормы,
@~
~
~
~
~
kKi (x)k = "lim
! (Ki (x); Ki (x; ")) = K(x; i ) @ Ki (x; )j
b
= i 2
0
a
:
(14)
~ i (x) и обозначений (9)
С учетом выражения (12), соответствующих (1) краевых условий для K
из равенства (14) следует выражение (8).
Теорема 1 позволяет относительно просто вычислять квадраты нормы спектральных разложений (7) для любых систем собственных вектор-функций краевых задач (1). Она является
естественным обобщением аналогичного утверждения для скалярного случая, приведенного в
монографии ([8], с. 325). Следует отметить также близкие результаты для систем дифференциальных уравнений первого порядка, приведенные в монографии ([16], с. 378), не связанные,
однако, с вычислением нормы.
3. Представление решения в форме разложения (7) и соответствующее ему выражение квадрата нормы (8) получены в предположении, что оператор A, порожденный начально-краевой
задачей (1), самосопряжен в метрике пространства L~ 2 . Это условие, во-первых, определяет
конкретный вид матрицы весовых функций = (x), во-вторых, устанавливает ограничения на
коэффициенты ar = ar (x), ba;b , ca;b исходной задачи (1). Конструктивно эти связи могут быть
установлены на основании следующей теоремы (в дальнейшем штрихом обозначается производная по переменной x, а точкой | по переменной t).
Теорема 2. Если матрица весовых функций
является частным решением системы урав-
нений
> + a1 = 2(a0 )0 ;
(15)
a1
r
и при этом матрицы коэффициентов a
удовлетворяют соотношениям
a = a> ; 2(a> ; a ) = (a> ; a )0 ;
0
a;b
a;b
а коэффициенты b
и c
0
2
2
(16)
1
1
| равенствам
fR> a ; a R ; R>((a )0 ; a )Rgjx
0
0
0
1
a;b
=
= 0;
(17)
A | самосопряженный оператор в L~ , и решение начально-краевой задачи (1) может быть
2
то
построено методом КИП в форме разложения
(8).
(7) с квадратом нормы ядерной функции в виде
Известно, что область определения оператора A DA плотна в L~ 2 ([13],
~ 2 DA в метрис. 477). Рассмотрим скалярные произведения произвольных вектор-функций ~v; w
ке (2)
Доказательство.
~)=
(A[~v]; w
~ ]) =
(~v; A[w
Z
a
b
b
Z
a
(a0~v00 + a1~v0 + a2~v)> ~w dx =
~v> (a w
~ 00 + a w
~0+a w
~ )dx =
0
1
Z
2
Интегрируя (18) по частям, имеем
~ ) = fw
~ > a0~v0 ; (w
~ > a0)0~v + w
~ >a1~vgjba +
(A[~v]; w
+
b
Z
a
a
b
b
Z
a
~ >(a ~v00 + a ~v0 + a ~v)dx;
w
0
1
2
(18)
~ 00 )> a>0 + (w
~ 0 )>a>1 + w
~ >a>2 )~v dx: (19)
((w
f(w~ 00)> a + (w~ 0)> (2(a )0 ; a ) + w~ >((a )00 ; (a )0 + a )g~v dx: (20)
0
0
1
0
1
2
При выполнении соотношений (15), (16) интегралы в правых частях (19) и (20) тождественны.
63
Из краевых условий задачи (1) выразим
~vja;b = R~v0 ja;b ; w
~ ja;b = Rw
~ 0 ja;b :
(21)
С учетом (21) внеинтегральные члены в (20) запишутся в виде
f(w~ 0 )>R>a ~v0 ; (w~ 0 )>a R~v0 + (w~ 0)> R>((a )0 ; a )R~v0 gjba = f(w~ 0 )>T~v0 gjba ;
0
0
0
1
(22)
где введено обозначение
jx
T
=
a;b = fR
> a0 ; a0 R ; R> ((a0 )0 ; a1 )Rgjx=a;b :
Поскольку при условии (17) матрицы Tjx=a;b = 0, то выражение (22), а следовательно, и внеин~ 2 DA . Таким образом, из соотношений (19),
тегральные члены (20) обращаются в нуль 8 ~v; w
~ ) = (~v; A[w
~ ]), т. е. A | симметрический оператор, и дифференциальные вы(20) следует (A[~v]; w
ражения A и сопряженного с ним оператора A совпадают. В то же время выражение (22) равно
~ удовлетворяют условиям (17), т. е. области
нулю только в том случае, когда обе функции ~v, w
определения A и A совпадают, и, следовательно, A является самосопряженным оператором.
Замечание. В случае сингулярных краевых условий в задаче (1) равенства (17) заменяются
соответствующими предельными соотношениями ([17], с. 291).
4.
~ (x; i )k2 по предлагаемой методике.
Ниже приведены примеры вычислений kK
Пример 1.
Задача для уравнения гиперболического типа
ujx
=0
u00 ; u = f ;
= 0; ujx = 0; ut = 0; u_ jt = 0;
x 2 [0; ]; t 2 [0; T ]; u; f 2 R ;
=
=0
(23)
=0
1
на основании теоремы 2 решена методом КИП в L2 с метрикой 1. В соответствии с (1), (3),
(23) оператор A имеет вид
A[u] u00 ; DA = fu j u 2 L ; ujx = 0; ujx = 0g:
2
=0
=
Его собственные значения i и собственные функции Ki (x) определяются равенствами
fi g = i ; fKi (x)g = fsin( i x)g; i = 1; 2; : : :
p
2
(24)
Для вычисления квадрата нормы kKi (x)k2 воспользуемся формулой (8) (теорема 1). Поскольку в рассматриваемом случае Ki (0) = Ki () = 0 и, следовательно, ca = cb = 1, ba = bb = 0,
а из (9) P = Q = 1, то
x
@K
(
x;
)
@K
(
x;
)
kKi (x)k = @
@x x
p p
p x
x
= p cos( x) cos( x) 2 x
i2
=
2
; =
=0
=
; =i2
=0
= 2 :
Естественно, что в этом случае такой же результат может быть получен непосредственным
интегрированием выражения (24), т. е.
kKi (x)k =
Z
2
0
sin2 (ix)dx = 2 :
64
Пример 2. Для осесимметричных вынужденных колебаний жестко защемленной на контуре круглой пластины в постановке уточненной теории соответствующая начально-краевая
задача формулируется следующим образом ([1], с. 75):
1 0
x;1
;x;2 ; b 0
c
b
0
00
0
~
~

~
u +
u;
;
1 ~
;
1
0 1 u + ;1
x
;x
0
0 d ~u = f ;
~ujx=0 < 1; ~ujx=1 = 0; ~ujt=0 = 0; ~u_ jt=0 = 0;
(25)
x 2 [0; 1]; t 2 [0; T ]; ~u = ~u(x; t); ~f = ~f (x; t); ~u; ~f 2 R2 :
Здесь ~u = ( ; w)> | вектор перемещений, ~f | вектор динамической нагрузки, b, c, d | постоянные коэффициенты, зависящие от физико-механических и геометрических характеристик
пластины [1]. Согласно теореме 2 решение задачи (25) может быть построено методом КИП в
~ 2 с метрикой (2), определяемой весовыми функциями
L
xb;1
0
(x) = 0 x :
В соответствии с (3), (25) запишем выражение для оператора
;1 @ ;(x;2 + b)c;1 0
c;1
d2
(cx);1
0
bc
A 0 d;1 dx2 + ;d;1 (dx);1 @x + ;(dx);1
0 ;
DA = f~u j ~u 2 L~ 2 ; ~ujx=0 < 1; ~ujx=1 = 0g:
Его собственные значения i являются нулями трансцендентного уравнения
(1i ; i c + b)1;i1=2 J0 (p1i )J1 (p2i ) ; (2i ; i c + b)2;i1=2 J0 (p2i )J1 (p1i ) = 0;
q
1; 2i = 1=2[ 2i (d ; c)2 + 4i db + i(d + c)];
а собственные функции, удовлетворяющие условию ограниченности в полюсе x = 0, определяются выражением [1]
p x)J (p ) ; J (p x)J (p )]
b
[
J
(
1
1
i
1
2
i
1
2
i
1
1
i
~ (x; i ) = K
p
p
p
; (26)
;
1=2
;
1=2
(2i ; i c + b)
J
(
x
)
J
(
)
;
(
;
c
+
b
)
J
(
x
)
J
(
)
0
2i
1
1i
1i
i
0
1i
1
2i 2i
1i
где Jn (z ) | функции Бесселя первого рода порядка n.
~ i (x)k2 вычислим по упрощенной формуле (8). Действительно, поскольку
Квадрат нормы kK
(0) = 0, то в соответствии с (9) Pjx=0 = Qjx=0 = 0. Кроме того, из краевых условий задачи
~ i (x)jx=1 = 0. Имеем
(25) при x = 1 следует, что K
~ (x; ) x=b 0 @ K
~ (x; ) @
K
2
~
kK(x; i )k = @ 0 x @x = a1 J1 (p1i )J1 (p2i )[a2 J0 (p1i )J1 (p2i ) +
x=1; =
+ a3 J1 (p1i )J1 (p2i ) + a4 J1 (p1i )J0 (p2i ) + a5 J0 (p1i )J0 (p2i )]; (27)
где
i
a = i (d ; c) + 4i db; a = [( i ; i c + b)( i = i + i = i )=2 ; i + c]=p i ;
a = [ i ; i + (b ; i c)( i = i ; i = i )]=2;
a = ;[( i ; i c + b)( i = i + i = i )=2 ; i + c]=p i ;
d(b ; 2i ) (k = 1; 2):
a = [( i ; i c + b) i ; ( i ; i c + b) i ]=[2p i i ]; ki = ki (2d+ c;) +
ki i (d + c)
q
1
2
2
2
3
4
5
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
Заметим, что выражение (27) может быть получено путем непосредственного интегрирования
квадрата выражения (26), если воспользоваться известными квадратурами для произведений
65
функций Бесселя [9], [10]. Однако такой прием даже в случае известных квадратур является
более громоздким.
Осесимметричная динамическая задача для упруго закрепленной трехслойной
непологой сферической оболочки симметричной структуры представляется в следующей матричной форме [2]:
Пример 3.
a 0
0 k
a ctg ... b + k2
..
.
0
0 @ 2 ~u : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : @~u
.. 2
..
2
2
0
k2
@2 + ;b ; k . k ctg .
@ +
2 2
0 0 d
::::::::::::::::::::::::::::
..
..
0
. ;k
. d ctg ..
..
. 0 .
k
c ; a= sin ; k
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : I
0 I @ ~u
~
0
I 0 @t = ~f ;
+ ;(b + k ) ctg ... ;2b ...
k ctg u ; I 0 I
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ..
.
k
. 0 .. f ; k ; d= sin 2
0
1
0 0 @
0 0 3
@ ~u = 0;
0
~
40
5
0
0
~
1
0
~
~
u
+
u
=
0;
u
j
<
1
;
u
j
=
0
;
t
@t t
0 0 @ 0 0 1 1
2 [0; ]; t 2 [0; T ]; ~u = u~ (; t); ~f = ~f (; t); ~u; ~f 2 R :
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
(28)
3
2
2
=0
=0
=0
=
3
1
Здесь , , a, b, c, d, f , k, I1 , I2 , I3 | постоянные, определяемые физическими и геометрическими
параметрами оболочки.
Замкнутое решение задачи (28) построено методом КИП одним из авторов [2]. Вместе с тем
вопрос о вычислении нормы ядра КИП, представляющего собой линейные комбинации присоединенных функций Лежандра произвольной комплексной степени, оставался открытым, поскольку в известных руководствах по специальным функциям [9], [18] отсутствуют соответствующие
квадратуры и приемы их точного вычисления.
Из соотношений (15){(17) теоремы 2 следует, что для решения задачи (28) может быть применено КИП в L~ 2 с метрикой (2), определяемой матрицей весовых функций () = E sin с
единичной матрицей E .
Как известно [2], собственные вектор-функции оператора A определяются выражениями
~ i () = Y(; )C
~ ()j :
K
= i
Элементами матрицы Y(; ) являются ограниченные при = 0 решения соответствующей (28)
однородной системы уравнений (6), т. е.
Y
(; )=k~y1 (; ) : : : ~y3 (; )k; ~yj (; )=kP1 (cos ) j ()P (cos ) j ()P1 (cos )k> ; j =1; 2; 3:
j
j
j
Здесь Pm (cos ) | присоединенные функции Лежандра комплексной степени j порядка m;
j
j () = dj j (a + aj + a ); j () = dj ( a + (a + a j ) + a + a j ; aj );
dj = [ a + (a ; I j ) + a + bj ]; ;
6
2
7
2
8
9
2
66
1
2
10
3
4
1
5
2
где
a = ;kI ; a = I 2bk; c + 1 ; a = I ka + 1 ; a = 2b kc ; 1 ; a = kb ; 2b ka ; 1 + c;
b
a = ;I ; I k + 1 ; a = ;c ; b; a = IkI ; a = I ; 2 bIk ; a = ;2b;
а j = j (j + 1), j = 1; 2; 3, | корни определяющего кубического уравнения [2]
+ (' + ' ) + ( + + ) + # + # + # + # = 0;
2
1
2
1
2
2
1
6
3
2
1
2
3
4
2
7
2
1
1
2
0
1 2
8
2
2
1
5
2
9
2
0
3
3
2
2
1
10
2
2
2
2
1
0
причем
# = ;2bw; ( fw + ck ); # = w; f2 b(I f ; I w ) + I ( fw ; k w ) ; 4bk I g;
# = w; f I (I (w + k ) ; I f ) ; 2bI + k I w g; # = I w; (I ; I I );
= w; f2abw ; b(2cd ; bf ; 2k (d + f )) + cfk ; b k g;
= w; f2bI k ; a(I w + 2 bI ) ; (b(2w ; bI ; 2k I ) ; c(k I + w ) + k (w ; fI ))g;
= w; f I (I (a + k ) + w ) ; k I g;
' = w; (a(2bd ; fk ) ; d(b(b + 2k ) + ck )); ' = ;w; (a(w + k I ) + w k );
w = adk ; w = w ; w = k ; c; w = 2b ; c; w = k ; f; w = I + 2I ; w = dI :
В соответствии с п. 1 собственные значения i являются корнями трансцендентного уравнения
@
det B() = 0; B() = bb @ Y(; ) + cb Y(; ) ;
1
~ () = (C (); C (); 1)> вычисляются по формулам
а компоненты векторов C
0
1
2
2
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
2
2
2
3
3
1
2
4
1
2
5
1
2
1
1
2
1
3
2
2
3
2
1
3
2
1
6
3
1
2
7
1
2
2
3
2
3
2
7
2
1
4
2
1
2
2
2
3
2
4
2
2
1 3
2
2
7
7
1
2
2
1
2
5
2
1
2
3
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
2
2
2
1
5
1
1
2
2
0
2
2
7
2
6
3
7
1
2
2
7
1
=
1
2
C () = [b ()b () ; b ()b ()]=D(); C () = [b ()b () ; b ()b ()]=D();
(29)
D() = b ()b () ; b ()b ();
где bjs (), j = 1; 2, s = 1; 2; 3, | элементы матрицы B(i ).
~ i ()k воспользуемся соотношениями (8), (9) теоремы 1.
Для вычисления квадрата нормы kK
Так как (0) = 0, то и Pj = Qj = 0. Таким образом,
~ (; )> @ K
~ (; ) @ K
~ (; )> ~
@
K
~
kKi ()k =
Q
;
PK(; )
:
(30)
@
@
@@
1
1
12
23
13
22
2
11
22
13
12
21
11
23
21
2
=0
=0
2
2
= i
Здесь
=
a 0 0 k ; sin :
P = diag (a; k ; d) sin ;
Q = 0 k
0 0 d
Поскольку из краевых условий задачи (28) при = следует равенство нулю первых двух
компонентов ядра КИП (5) для любых значений , т. е.
~ ( ; ) = (0; 0; K ( ; ))> ;
K
2
2
2
2
1
2
1
1
3
1
то выражение (30) существенно упрощается и может быть записано в виде
~ i ()k = d sin kK
2
2
1
@ K (; ) @ K (; ) ; @ K (; )K (; )
@
@
@@
2
3
3
67
3
3
= i
= 1
; (31)
где
K (; ) =
3
@ K (; ) = X D ()[P (cos ) + ctg P (cos )];
Dj ()P (cos ); @
j
j
@ K (; ) = X ()[G ()P (cos ) + D ()V (cos )];
j
j
j
@
j
3
3
X
1
3
j
j =1
2
1
j
j
=1
3
3
1
1
j
j
(32)
=1
@ K (; ) = X ()[G ()[P (cos ) + ctg P (cos )] + D ()[V (cos ) + ctg V (cos )]];
j
j
j
@@
j
@ C () (); V ; (cos ) = 1 @ P ; (cos ):
Dj () = Cj ()j (); Gj () = Cj ()j () + @
j
j
2 + j @j Здесь Cj () определяются соотношениями (29), а j (), j () вычисляются по формулам
j () = dj [;j (a + 2a + a j ; (a + 2a ; I j )j ) + a + a ; 2aj ; (b ; I )j ];
(33)
' + (2 + ) + 3 # + 2# + #
j () = ; j3 + 2j (' + ' ) + + + :
j
j
3
2
3
2
1
2
1
j
j
j
j
=1
12
12
j
1
2
1
3
2
9
1
2
8
2
2
1
1
0
j
5
2
2
3
3
2
2
2
1
1
0
Таким образом, квадрат нормы в рассматриваемой задаче определяется выражением (31) с
учетом (32), (33).
В заключение следует отметить, что приведенная форма решения (7) является универсальной для различных задач математической физики, описываемых гиперболическими системами
линейных дифференциальных уравнений в частных производных (1) с переменными коэффи~ i (x)k2
циентами и удовлетворяющих условиям теоремы 2. Вычисление сложных квадратур kK
разложений (7) для простого спектра оператора A в соответствии с теоремой 1 производится по
~ (x; i ). Предложенформулам (8), (9) путем дифференцирования его собственных функций K
ный новый подход вычисления нормы открывает возможность реализации более эффективных
вычислительных алгоритмов по сравнению с существующими.
Литература
1. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. { Саратов: Издво Саратовск. ун-та, 1985. { 176 с.
2. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и
его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Математика. { 1991. {
Є 4. { С. 57{63.
3. Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Математика. { 1996. {
Є 8. { С. 71{81.
4. Сеницкий Ю.Э. О построении общего решения неосесимметричной динамической задачи
для пологой сферической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью // Прикл. механ. {
1989. { Т. XXV. { Є 7. { С. 57{66.
5. Сеницкий Ю.Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра // Прикл. механ. { 1981. { Т. XVII. { Є 8. { С. 95{100.
6. Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача электроупругости для неоднородного цилиндра //
ПММ. { 1993. { Т. 57. { Є 1. { С. 116{122.
7. Люк И. Специальные математические функции и их аппроксимации. { М.: Мир, 1980. {
608 с.
8. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. { Харьков: ОНТИ, 1939. { 717 с.
68
9. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. Теория и таблицы
формул. { Минск: Наука и техника, 1978. { 310 с.
10. Сеницкий Ю.Э. О вычислении некоторых квадратур, содержащих цилиндрические функции
// Расчет пространств. строит. конструкций. { Куйбышев, 1974. { Вып. 4. { С. 102{104.
11. Андреев А.А., Килбас А.А. О решениях неоднородного гипергеометрического уравнения и
вычислении интегралов // ДАН БССР. { 1983. { Т. 27. { Є 6. { С. 493{496.
12. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. { М.: Наука,
1979. { 224 с.
13. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.
{ М.: Наука, 1966. { 543 с.
14. Сеницкий Ю.Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой
обращения многокомпонентного обобщенного интегрального преобразования // Изв. вузов.
Математика. { 1991. { Є 9. { С. 53{56.
15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. { М.: Мир, 1972. { 740 с.
16. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. { М.: Мир, 1968. { 750 c.
17. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. { М.:
Мир, 1983. { 431 с.
18. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. { М.: Физматгиз, 1962. { 1100 с.
Самарская государственная
Поступила
26.05.1997
архитектурно-строительная академия
69
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
187 Кб
Теги
норм, конечный, ядер, интегральная, определение, преобразование, приложение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа