close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение параметров испытательных импульсов на основе стохастических разностных уравнений.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2 (17). — С. 262–266
Математическое моделирование
УДК 681.5.015
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ
ИМПУЛЬСОВ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
М. А. Заусаева, В. Е. Зотеев
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: zausmasha@mail.ru; zoteev@pm.samgtu.ru
Рассматривается задача параметрической идентификации типовых ударных
воздействий по результатам наблюдений их амплитудно-частотной характеристики. Эта задача решается на основе стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений амплитудного
спектра.
Ключевые слова: амплитудно-частотная характеристика, линейно параметрическая дискретная модель, стохастическое разностное уравнение.
Для задания испытательного воздействия в промышленном эксперименте обычно используют записи реальных ударных процессов, полученные с помощью специальной записывающей аппаратуры в условиях нормальной эксплуатации. Для последующего их моделирования и воспроизведения на испытательных установках часто
используют амплитудный спектр (амплитудно-частотную характеристику) ударного воздействия, который позволяет правильно выбрать структуру и характеристики
(в частности, полосу пропускания) виброиспытательного комплекса [1].
Рассматривается задача параметрической идентификации типовых ударных воздействий по результатам наблюдений их амплитудно-частотной характеристики. Основные типы испытательных импульсов при простом и сложном колебательном ударах, их временные характеристики x(t) и амплитудные спектры a(ω) приведены
в таблице [1].
Задача оценки параметров четырех различных воздействий, представленных
в таблице, решается на основе стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений ak мгновенных значений амплитудного спектра реального ударного процесса.
Амплитудно-частотную характеристику
ω прямоугольного импульса будем рас
2π
сматривать
на
промежутке
0,
,
а
полусинусоидального
импульса — на промежутT
3π
ке 0, T . В этом случае амплитудные спектры могут быть описаны соответственно
функциями


2AT cos ωT

2

, при ω 6= Tπ ,
2A
ωT
ω2 T 2
π
1
−
2
sin
и a(ω) =
a(ω) =
π

ω
2
AT


,
при ω = Tπ .
2
Мгновенные значения ãk = a(∆ωk) (k ∈ N) амплитудных характеристик, где
Зотеев Владимир Евгеньевич — доцент кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета; к.ф.-м.н., доцент.
Заусаева Мария Анатольевна — аспирант кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета.
262
Определение параметров испытательных импульсов . . .
Воздействие
Прямоугольный
импульс
Пилообразный
импульс
Полусинусоидальный
импульс
Сложный
колебательный
удар
Типичные ударные воздействия и их спектры
x(t)
a(ω)
(
0, при t < 0,
2 sin ωT A, при 0 6 t 6 T,
AT ωT 2 .
0, при t > T.
(
q
0,
при t < 0,
2
2
A
A Tt , при 0 6 t 6 T,
1 − ωT
sin ωT + ωT
sin ωT
ω
2 .
0,
при t > T.
(
0,
при t < 0,
ωT 2AT cos 2 A sin Tt , при 0 6 t 6 T,
π 1− ω2 T 2 .
π2
0,
при t < T.
ω
q
.
2
ω 4 −2(ω02 −α2 )ω 2 +(ω02 +α2 )
0,
при t < 0,
e−αt cos (ω0 t + φ) , при t > 0.
∆ω — шаг равномерной дискретизации, для представленных выше типовых ударных
воздействий описываются соответственно дискретными функциями вида
ãk =
ã2k =
A2
∆ω 2 k 2
1−
ãk =
ã2k =
2A
∆ωkT
sin
,
∆ωk
2
(1)
2
2
∆ωkT
sin ∆ωkT +
sin
∆ωkT
∆ωkT
2
2AT cos ∆ωkT
2
,
π 1 − ∆ω2πk22 T 2
k 6=
,
π
,
∆ωT
∆ω 2 k 2
(2)
(3)
2.
∆ω 4 k 4 − 2 (ω02 − α2 ) ∆ω 2 k 2 + (ω02 + α2 )
(4)
С помощью несложных алгебраических преобразований построены линейно параметрические дискретные модели, связывающие в виде рекуррентных формул мгновенные значения дискретных функций (1)–(8).
При обработке экспериментальных данных формируется выборка результатов
измерений ak = ãk + εk , которые содержат случайную помеху εk (k = 1, 2, . . . , N ,
где N — объём выборки). В этом случае построенные линейно параметрические дискретные модели принимают вид стохастических разностных уравнений:
– для прямоугольного импульсного воздействия:
где

a1 = λ2 + ε1 ,



 a2 = λ3 + ε2,
ak + 1 − k2 ak−2 = 2 1 − k1 ak−1λ1 +


+ 1 − k2 εk−2 − 2 1 − k1 λ1 εk−1 + εk ,


k = 3, 4, . . . , N,
λ1 = cos
∆ωT
,
2
λ2 =
2A
∆ωT
sin
,
∆ω
2
λ3 =
(5)
A
sin ∆ωT ;
∆ω
263
З а у с а е в а М. А., З о т е е в В. Е.
– для пилообразного импульсного воздействия:
 2
ak = λk+3 + 2ak εk ,

k = 1, 2, . . . , 6;


 k 3 a2k + (k− 6)3 a2k−6 = λ1 (k − 1)3 a2k−1
+ (k − 5)3 a2k−5 +




+ λ (k − 3)3 a2 +
+λ (k − 2)3 a2 + (k − 4)3 a2
2
где








λk+3
k−2
k−4
3
k−3
+2(k − 6)3 ak−6 εk−6 − 2λ1 (k − 5)3 ak−5 εk−5 −
−2λ2 (k − 4)3 ak−4 εk−4 − 2λ3 (k − 3)3 ak−3 εk−3 −
−2λ2 (k − 2)3 ak−2 εk−2 − 2λ1 (k − 1)3 ak−1 εk−1 +
+2k 3 ak εk ,
k = 7, 8, . . . , N,
∆ωT
λ1 = 2 1 + cos ∆ωT + cos
,
2
∆ωT
∆ωT
+ 4 cos
cos ∆ωT ,
λ2 = − 3 + 4 cos ∆ωT + 4 cos
2
2
∆ωT
∆ωT
λ3 = 4 1 + cos ∆ωT + cos
+ 2 cos
cos ∆ωT ,
2
2
A2
2
2
∆ωkT
=
1−
sin ∆ωkT +
sin
, k = 1, 2, . . . , 6;
∆ω 2 k 2
∆ωkT
∆ωkT
2
– для полусинусоидального импульсного воздействия:

a1 = λ4 + ε1 ,



 a2 = λ5 + ε2 ,
2
ak − ak−2 = 2ak−1 λ1 + k 2ak + (k − 2)2 ak−2 λ2 − 2(k
− 1) ak−1 λ3 +

2
2

+ 1 − (k − 2) λ2 εk−2 + 2 (k − 1) λ3 − λ1 εk−1 +


+(1 − k 2 λ2 )εk ,
k = 3, 4, . . . , N,
где
(6)
(7)
∆ω 2 T 2
∆ωT
, λ2 =
, λ3 = λ1 λ2 ,
2
π2
2AT cos ∆ωT
2AT cos ∆ωT
2
λ4 =
λ5 =
2T 2 ,
2T 2 ;
∆ω
π 1 − π2
π 1 − 4∆ω
π2
λ1 = cos
– для сложного колебательного удара:
 2
a1 = λ2 + 2a1 ε1 ,



2 2

k
ak−1 − (k − 1)2 a2k − ∆ω 2 4k 3 − 6k 2 + 4k − 1 a2k a2k−1 =




= a2k a2k−1 (1 − 2k)λ1 +

+ 2k 2 ak−1 − 2∆ω 2 4k 3 −
6k 2 + 4k − 1 a2k ak−1 −


−2λ1 (1 − 2k)a2k ak−1 εk−1 −




− 2(k − 1)2 ak − 2∆ω 2 (4k3 − 6k 2 + 4k − 1)ak a2k−1 −



−2λ1 (1 − 2k)ak a2k−1 εk ,
k = 2, 3, . . . , N,
где
λ1 = 2 ω02 − α2 ,
λ2 =
∆ω 2
(8)
2.
∆ω 4 − 2 (ω02 − α2 ) ∆ω 2 + (ω02 + α2 )
Описанные выше линейно параметрические дискретные модели можно представить в виде обобщенной регрессионной модели:
b = F λ + η,
(9)
η = Pλ ε,
264
Определение параметров испытательных импульсов . . .
где λ — вектор неизвестных коэффициентов линейно параметрической дискретной
модели; ε — N -мерный вектор случайной помехи в результатах наблюдений; η — N мерный вектор эквивалентного случайного возмущения в стохастическом разностном уравнении; b — N -мерный вектор свободных членов системы уравнений; F —
матрица регрессоров, элементы которой содержат результаты измерений амплитудно-частотной характеристики; Pλ — матрица линейного преобразования случайной
помехи в стохастическом разностном уравнении эквивалентного возмущения. Элементы векторов и матриц, входящих в систему (9), несложно описать, исходя из
формул (5)–(8).
В основе параметрической идентификации ударного воздействия по результатам
измерений амплитудного спектра лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов соответствующего стохастического разностного уравнения. В этой связи
наиболее эффективным является алгоритм, который включает итерационную процедуру уточнения среднеквадратичных оценок на основе преобразования разностного уравнения, описывающего результаты измерений амплитудного спектра [2]:
Pλ−1 b = Pλ−1 F λ + ε.
В основе итерационной процедуры лежит минимизация функционала
2
2
−1
kεk ≈ Pλ̂−1
b
−
P
F
λ
⇒ min,
(k)
λ̂(k)
(k)
где Pλ̂−1
— обратная матрица, элементы которой зависят от коэффициентов λ̂j .
(k)
Очевидно, что данный функционал представляет собой квадратичную форму относительно искомых коэффициентов λj . Следовательно, он достигает своего неотрицательного минимума. При этом нетрудно показать, что минимум данного функционала достигается в точке
−1
λ̂(k+1) = F T Ω−1
F
F T Ω−1
b,
λ̂(k)
λ̂(k)
Ωλ̂(k) = Pλ̂(k) Pλ̂T(k) .
(10)
На первом шаге итерационной процедуры находится начальное приближение:
λ̂(0) = F T F
−1
F T b.
Затем по формуле (9) при λ̂(k) = λ̂(0) вычисляется следующее приближение:
−1
λ̂(1) = F T Ω−1
F
F T Ω−1
b.
(0)
λ̂
λ̂(0)
Оно вновь подставляется в правую часть формулы (10), и находится новое приближение λ̂(2) и т. д.
Достаточное условие сходимости итерационной процедуры определяется на основе принципа сжимающихся отображений аналогично методу простых итераций
решения систем нелинейных уравнений [3]. Проведенные численно-аналитические
исследования показали хорошую сходимость метода: 2–3 итерации.
Найденные среднеквадратические оценки λ̂j коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей (5)–(8) лежат в основе вычисления оценок параметров амплитудных спектров. При определении параметров прямоугольного импульса
следует воспользоваться соотношениями
T̂ =
2
arccos λ̂1 ,
∆ω
λ̂2 ∆ω
 = q
.
2 1 − λ̂21
265
З а у с а е в а М. А., З о т е е в В. Е.
Параметры пилообразного импульса можно вычислить по формулам:
q


2 + 4λ̂ + 4λ̂
λ̂
−
2
+
λ̂
1
1
2
1
1
,
T̂ =
arccos 
∆ω
4
 =
s
λ̂4 ∆ω 2 arccos(Λ)
,
arccos (Λ) + 2 sin 12 arccos (Λ) − 2 sin [arccos (Λ)]
√
λ̂ −2+ λ̂21 +4λ̂1 +4λ̂2
где Λ = 1
, параметры полусинусоидального импульсного воздей4
ствия выражаются через коэффициенты линейно параметрической дискретной модели (8) по формулам
λ̂4 π 2 − ∆ω 2 T 2
2
arccos λ̂1 , Â =
,
T̂ =
∆ω
2πT λ̂1
а параметры сложного колебательного удара вычисляются так:
r
r
q
q
1
2
2∆ω λ̂1 + λ̂ − ∆ω − λ̂1
2∆ω λ̂1 + λ̂1 − ∆ω 2 + λ̂1
2
2
α̂ =
, ω̂0 =
.
2
2
Проведены численно-аналитические исследования эффективности разработанного метода параметрической идентификации типовых ударных воздействий.
На рисунке кривая 1 описывает истинную амплитудно-частотную характеристику, а точки 2 соответствуют смоделированным результатам наблюдений ak =
= ãk + εk (k = 1, 2, . . . , 50) амплитудночастотной характеристики сложного колебательного удара при ω0 = 1, α = 0,5,
∆ω = 0,1, ε = 10%. Кривая 3 на рисунке описывает восстановленную с помощью разработанного метода параметрической идентификации амплитудно-частотную характеристику.
Полученные результаты свидетельИстинная амплитудно-частотная характеристика, смоделированные результаты на- ствуют о высокой помехоустойчивости
блюдений и восстановленная по ним ампли- разработанного метода, в основе которотудно-частотная характеристика сложного го лежит среднеквадратичное оцениваколебательного удара
ние коэффициентов линейно параметрической дискретной модели в форме стохастических разностных уравнений. Такой подход к решению задачи позволяет практически устранить смещение в оценках и тем самым добиться высокой точности
определения параметров ударных воздействий по экспериментальным данным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вибрации в технике [Текст]: Справочник в 6 т. — М.: Машиностроение, 1981. — T. 5. —
496 с.
2. Зотеев, В. Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на
основе стохастических разностных уравнений [Текст] / В. Е. Зотеев // Матем. моделирование. — 2008. — Т. 20, № 9. — С. 120–128.
3. Волков, Е. А. Численные методы [Текст] / Е. А. Волков. — М.: Наука, 2003. — 256 с.
Поступила в редакцию 29/IX/2008;
в окончательном варианте — 09/XI/2008.
266
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2 (17). — С. 267–270
MSC: 65P40, 34C15, 37M05
DEFINITION OF TRIAL IMPULSES PARAMETERS ON THE BASIS
OF STOCHASTIC DIFFERENCE EQUATIONS
M. A. Zausaeva, V. E. Zoteev
Samara State Technical University,
443100, Samara, Molodogvardeyskaya str., 244.
E-mails: zausmasha@mail.ru; zoteev@pm.samgtu.ru
Problem of parametrical identification of sample percussion influences according to
the results of their amplitude-frequent characteristic observation is studied. This problem is solved with the help of stochastic difference equations describing the results of
measurements of the instantaneous values of amplitude spectrum.
Key words: amplitude-frequent characteristic, linear parametric discrete model,
stochastic difference equations.
Original article submitted 29/IX/2008;
revision submitted 09/XI/2008.
Zoteev Vladimir Eugenievich, Ph. D. (Phis. & Math.) Assist. Prof., Dept. of Applied Mathematics and Computer Science of Samara State Technical University.
Zausaeva Mariya Anatolievna, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics and
Computer Science of Samara State Technical University.
УДК 519.856
УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДА СТОХАСТИЧЕСКОГО
ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
К. А. Дрозденко
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: mexicanose@rambler.ru
Доказана теорема устойчивости метода стохастического динамического программирования с переменными параметрами дискретизации.
Ключевые слова: cтохастическое программирование, динамическое программирование, распределение ресурсов, переменные параметры дискретизации, устойчивость метода.
Рассмотрим метод стохастического динамического программирования распределения ресурсов с переменными параметрами дискретизации. Модель распределения
ресурсов в стохастических условиях имеет следующий вид:
∗
∗
∗
Zj,q
(sj−1,q ) = sup p(Zj+1,q
) fj+1,q (sj−1,q , xj ) + Zj+1,q
;
(1)
xj ∈X
J
X
j=0
∗
p(Zj,q
) = 1,
I
X
xi = c;
i=0
Дрозденко Константин Александрович — аспирант кафедры прикладной математики и
информатики Самарского государственного технического университета.
267
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
169 Кб
Теги
испытательные, уравнения, разностные, стохастических, основы, определение, импульсов, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа