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Определение параметров систем описываемых уравнением Эйлера на основе стохастических разностных уравнений.

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?????. ???. ???. ????. ??-??. ???. ???.-???. ?????. ? 2009. ? ? 2 (19). ? ?. 160?167
??? 681.5.015
??????????? ?????????? ??????, ???????????
?????????? ??????, ?? ?????? ??????????????
?????????? ?????????
?. ?. ????????, ?. ?. ??????
????????? ??????????????? ??????????? ???????????,
443100, ??????, ??. ?????????????????, 244.
E-mail: zausmasha@mail.ru
??????????????? ?????? ??????????? ?????????? ???????????? ??????, ??????? ??????????? ???????????????? ?????????? ??????. ?????? ???????? ??
?????? ?????????????? ?????????? ?????????, ??????????? ?????????? ????????? ?????????? ???????? ??????? ???????.
???????? ?????: ??????????????? ?????????????, ?????????? ??????????????, ??????? ??????????????? ?????????? ??????, ?????????????? ??????????
?????????.
?????????? ???????????? ???????, ??????? ??????????? ???????????????? ?????????? ?????? n-???? ???????:
(x ? x0 )n y (n) (x) + b1 (x ? x0 )n?1 y (n?1) (x) + и и и + bn y(x) =
m
X
cj f (j)(x),
(1)
j=0
??? x0 , bi , cj ? R, f (x) ? ??????? ???????????, y(x) ? ???????? ??????????????.
????????? ???????? ?????????????? ?????????, ????????? (1) ?????? ????? ???????? ? ????
xn y (n) (x) + b1 xn?1 y (n?1) (x) + и и и + bn y(x) =
m
X
cj f (j) (x).
(2)
j=0
????? ?? ???????? ????? ????????? ??????????? ?? ??????? ????????
?????????? ???????????, ??????? ??????????? ?-???????? ??????. ? ????
?????? ??????? ??????? (?????????? ??????????????) ??? ??????? ???????
?????? ???????????????? ??????????????????? ????????? ????? ???? ???????????? ? ???? ???????
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mi
n X
X
aij (ln x)j?1 x?i ,
i=1 j=1
??? ?i = Re ?i + i Im ?i ? aij = Re aij + i Im aij ? ? ?????P?????? ???????????
n
?????, mi ? ????????? i-???? ????? (i ? 1, 2, . . . , n),
i=1 mi = p ? ?????
????? ??????.
????? ??????????? ????????, ????????, ???. ?????????? ?????????? ? ???????????.
???????? ?????????? ?????? (?.?.-?.?., ???.), ??????, ???. ?????????? ?????????? ? ???????????.
160
??????????? ?????????? ??????, ??????????? ?????????? ??????. . .
????????? ?????????????????? ?????????? ???????? ??????? ???????
??????????? ?????????? ???????? ????
y?k =
mi
n X
X
aij (ln xk )j?1 x?k i .
(3)
i=1 j=1
? ??????? ??????????? xk = exp(? k), ??? ? ? ????????? ????????? (?????? ?????????????), ??????? (3) ???????? ? ????
y?k =
mi
n X
X
aij (? k)j?1 хk ,
(4)
i=1 j=1
??? хi = exp(?i ? ), i ? 1, 2, . . . , n, k ? 0, 1, 2, . . . .
????????, ??? ????????????? ??????????
???????? ??????? ????????
???? ??????? y?k = y?(xk ) = y? exp(? k) ????????????? ?? ???????????, ? ???????????????? ????????????? ????????? xk .
????? ?????????? ? ?????????? ??????? (4) z-??????????????, ?????
????????? ??????? ??????????????? ?????????? ??????, ??????????? ?
???? ???????????? ??????? p + 1 ?? ?????????? ???????? [1]:
y?k =
?p+1+k ,
k ? 0, 1, . . . , p ? 1,
?1 y?k?1 + ?2 y?k?2 + и и и + ?p y?k?p, k ? p, p + 1, . . . , N ? 1,
(5)
??? N ? ????? ??????? ?????????? ???????? ?????????????? ???????????,
? ???????????? ?j (j ? 1, 2, . . . , 2p) ????????? ??????? ??????? ? ??????????? ??????????? ??????????? ? ???????????? ?????????? ?????????????:
?
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?
p
X
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p
X
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?i ?j ?k ,
i,j,k
i<j<k
(6)
..
.
p
= (?1)
=
p
X
?i1 ?i2 . . . ?ip?1 ,
i1 ,i2 ,...,ip?1
i1 <i2 <...<ip?1
p
Y
p+1
?i
(?1)
i=1
161
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n
X
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ai1 ,
?p+1 = y?0 =
?
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i=1
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?
mi
n X
?
X
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aij ? j?1 хi ,
?p+2 = y?1 =
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?
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i=1 j=1
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mi
?
n X
?
X
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aij (2? )j?1 х2i ,
?
=
y?
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2
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i=1 j=1
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..
.
= y?l?1 =
mi
n X
X
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mi
n X
X
aij (p ? 1)?
i=1 j=1
j?1
хl?1
i ,
..
.
= y?p?1 =
i=1 j=1
j?1
хp?1
.
i
??? ?1 = ?2 = и и и = ?m1 = х1 ; ?m1 +1 = ?m1 +2 = и и и = ?m1 +m2 = х2 ; ?m1 +m2 +1 =
= ?m1 +m2 +2 = и и и = ?m1 +m2 +m3 = х3 ; ?m1 +m2 +иии+mp?1 +1 =?m1 +m2 +иии+mp?1 +2 =
и и и = ?m1 +m2 +иии+mp = хn .
??? ????????? ????????????????? ?????? ??????????? ??????? ??????????? ????????? yk = y?k + ?k , ??????? ???????? ????????? ?????? ?k ,
k ? 0, 1, . . . , N ? 1, N ? ????? ???????. ? ???? ?????? ???????-??????????????? ?????????? ?????? (5) ????????? ??? ??????????????? ???????????
?????????
?
k ? 0, 1, . . . , p ? 1
?
? ?pp+1+k + ?k , p
X
X
(8)
yk =
?i ?k?i + ?k , k ? p, p + 1, . . . , N ? 1
?i yk?i ?
?
?
i=1
i=1
? ????? ???? ???????????? ? ????? ?????????? ????????????? ??????:
b = F ? + ?,
(9)
? = P? ?.
????? ? = (?1 , ?2 , . . . , ?2p )? ? ?????? ??????????? ????????????? ?????????????????????? ?????????? ??????; ? = (?0 , ?1 , . . . , ?N ?1 )? ? N -?????? ?????? ????????? ?????? ? ??????????? ??????????; ? = (?1 , ?2 , . . . , ?N )? ?
N -?????? ?????? ?????????????? ?????????? ?????????? ? ??????????????
?????????? ?????????; b = (y0 , y1 , . . . , yN ?1 )? ? N -?????? ?????? ?????? ?? . .. .
.. ???; F = f1 ..f2 .....fp ..fp+1 .....f2p ? ??????? ??????????? ??????? N О2p, ???????
??????? ??????????? ?????????? ?????????:
f1 = (0, 0, . . . , 0, yp?1 , yp , . . . , yN ?2 )? ,
...,
162
f2 = (0, 0, . . . , 0, yp?2 , yp?1 , . . . , yN ?3 )? ,
fp = (0, 0, . . . , 0, y0 , y1 , . . . , yN ?p?1 )? ,
fp+1 = (1, 0, . . . , 0)? ,
??????????? ?????????? ??????, ??????????? ?????????? ??????. . .
fp+2 = (0, 1, 0, . . . , 0)? ,
...,
f2p = (0, 0, . . . , 1, 0, . . . , 0)? .
?????????? ??????? P? ??????? N ? ?????????????? ?????????? ????????? ?????????????? ?????????? ???????? ?????? ???????????. ?????? p
????? ??????? ???????? ???:
p1 = (1, 0, . . . , 0),
p2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
...,
pp = (0, 0, . . . , 1, 0, . . . , 0),
? ?? ???????????? ??????????? ????????
1, j = i,
pij =
0, j 6= i,
??? i ? 1, 2, . . . , p, j ? 1, 2, . . . , N . ????????? ?????? ??????? P? ????? ????????? ???:
pp+1 = (??p , ??p?1 , ??p?2 , . . . , ??2 , ??1 , 1, 0, . . . , 0),
pp+2 = (0, ??p , ??p?1 , ??p?2 , . . . , ??2 , ??1 , 1, 0, . . . , 0),
pN = (0, . . . , 0, ??p , ??p?1 , ??p?2 , . . . , ??2 , ??1 ).
...,
?????????? ????????? ????? ??????????? ?????????? ???????????? ??????? (1), ? ?????? ???????? ????? ?????????????? ?????????? ?????????,
??????????? ?????????????????? ??????????? ????????? ?????????? ???????? ??????? ???????. ? ?????? ?????? ????? ???????????? ????????? ??????????????????? ?????????? ????????????? ??????? ??????????????? ?????????? ?????? ? ????? ?????????????? ?????????? ?????????.
??? ?????????????????? ?????????? ????????????? ?????????? ????????????? ?????? (9) ????? ???? ???????????? ????????? ????? ??????????.
???????? ??????? ???????? ????????, ? ?????? ???????? ????? ???????????
???????????
k??k2 = kb ? F ??k2 ? min.
? ???? ?????? ?????????????????? ?????? ????????????? ??????????? ??
???????
?? = (F ? F )?1 F ? b.
?????? ????????, ??? ??? ?????? ????? ????? ??????? ????????.
??? ?????????? ????????????? ?????????? ????????????? ?????? (9)
????? ????????? ????? ??????????? ? ???????????????? ???????? ????????????? ?????? ??????????????????? ?????????? ????????????? ??????????? ????????? [2]. ?? ?????? (9) ????????
P??1 b = P??1 F ? + ?.
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??????? ?? ????????????? ?j ?
???????? p?1
ij ???????? ??????? P?
??????????? ?????????
1, j = i,
?1
pij =
0, j 6= i,
???? i ? 1, 2, . . . , p, j ? 1, 2, . . . , N , ?
163
? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?., ? ? ? ? ? ? ?. ?.
p?1
ij =
?
p
P
?
?
?k p?1
? 1+
i?k,j , j = i,
k=1
p
P
?
?
?
k=1
?k p?1
i?k,j , j 6= i,
???? i ? p + 1, p + 2, . . . , N , j ? 1, 2, . . . , N .
? ?????? ???????????? ????????? ????? ??????????? ???????????
k??k2 ? kP ?1
b ? P ?1
F ??k2 ? min,
(k)
(k)
??
??
??? P ?1
? ???????? ???????, ??? ?????????? ????????? ??????? ??????????(k)
?
(k)
???? ?????? ?j ????????????? ??????????? ?????????, ????????? ?? k-???
????????. ????????, ??? ?????? ?????????? ???????????? ????? ???????????? ????? ???????????? ??????? ????????????? ?j . ?????????????, ??
????????? ?????? ???????????????? ????????. ??? ???? ???????? ????????,
??? ??????? ??????? ??????????? ??????????? ? ?????
?1 ? ?1
(10)
??(k+1) = F ? ??1
F
F ? (k) b, ???(k) = P??(k) P???(k) .
(k)
??
??
?? ?????? ???? ???????????? ????????? ????????? ????????? ???????1
?????: ??(0) = (F ? F ) F ? b. ????? ?? ??????? (10) ??? ??(k) = ??(0) ??????1 ? ?1
?????? ????????? ???????????: ??(1) = F ? ??1
F
F ? (0) b. ??? ?????
(0)
??
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????????????? ? ?????? ????? ??????? (10) ? ????????? ????? ???????????
??(2) ? ?. ?.
??????????? ?????????? ???????????? ????????? ?????????? ????????????? ??????????? ?????????, ? ??????: ?????????????? ??????????? ??????? ?????????? ???????????? ????????? ??????????????????? ??????????
????????????? ??????????? ?????????; ???????? ??????? ?????????????
?????? ???????????, ???????????? ??? ???????????????? ???????????; ?????????????? ??????????? ?? ???????? ????????? ??????, ??????????????
??????????? ??????? ?????????? ???????????? ?????????; ????????? ??????? ????????? ?????? ???????????, ??????????? ??????? ????? ????????,
??????????? ??? ?????????? ???????? ???????? [3].
????????? ???????????????????? ?????? ??j ????????????? ???????-??????????????? ?????????? ?????? (8) ????? ? ?????? ?????????? ???????????????? ?????? ?????????? ?????????? ?????????????? ?i ? aij , i ?
1, 2, . . . , n, j ? 1, 2, . . . , mi . ??? ????? ??????? ????????? ????? х?i (i?1, 2, . . . , p)
?????????? ??????????????? ?????????:
хp ? ??1 хp?1 ? ??2 хp?2 ? и и и ? ??p?1 х ? ??p = 0.
(11)
????? ?? ???????? ??i = ? ?1 ln х?i ??????????? ?????? ?????????? ?i ,
i ? 1, 2, . . . , n. ?? ?????????????? ????? ?? ????????? ??????? ??i (i ? p + 1,
p + 2, . . . , 2p) ? ?????? х?i ????????? (11) ????????? ?????? ?????????????
aij (i ? 1, 2, . . . , n, j ? 1, 2, . . . , mi ) ? ??????? (3). ??? ????? ???????? ????????? ??????? ???????? ?????????????? ?????????:
164
??????????? ?????????? ??????, ??????????? ?????????? ??????. . .
n
X
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a?i1 = ??p+1 ,
i=1
mi
n X
X
a?ij ? j?1 х?i = ??p+2 ,
i=1 j=1
mi
n X
X
a?ij (2? )j?1 х?i 2
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i=1 j=1
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n X
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X
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j?1 (p?1)
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х?i
a?ij (p ? 1)?
?
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= ??p+3 ,
..
.
= ??2p .
i=1 j=1
????????? ????????-????????????? ???????????? ????????????? ?????????????? ?????? ??????????? ?????????? ???????????? ???????, ??????????? ???????????????? ?????????? ??????. ? ???????? ??????? ????
??????????? ???????????? ???????, ?? ??????? ????????? ?????????? ???????????, ??????????? ???????????????? ?????????? ?????? ??????????
????:
x4 y IV (x) + b1 x3 y ??? (x) + b2 x2 y ?? (x) + b3 xy ? (x) + b4 y(x) = 0.
?????????? ??????, ????? ?????? ??????? ?? ????? ??? ??????????? ??????????? ????????
y?(x) = (a1 + a2 ln x)x?1 + a3 x?2 cos(? ln x + ?),
??? a1 = a2 = a3 = 1, ?1 = ?0,5, ?2 = ?0,1, ? = ? = ?.
??? ?????? ??????????? ? ????????????? ? ???????? ????????? ???????? ??????????? ???????? ?????? ?????????? ?????????? ??????????????
??? ???????? ????????? ?????? ? = 10, ??????? ????????????? ? = 0,9 ?
?????? ??????? N = 50. ? ??????? ???????????? ???????? ????????, ?????????? ? ??????????? ?????????? ?????????? ??????? ??????? ??????????
????????: ??? ?????????? ???????? ? ??????? ? ???????????? ??????? ??????????????????? ??????????, ?????????????? ? ?????? ??????.
?????, ??? ?? ????????? ? ????????? ??????? ?????????? ???????? ?????????? ????????????? ?????? ??????????????????? ?????????? ????????????? ??????????????? ??????????? ????????? ????????? ??????????? ???????? ???????? ?????????? ?????????? ???????????? ???????.
????????? ??????
a1
???????? ????????
1,000
??????, ???????????
0,926/
????????? ??????? /
7,40
???????? ??????
??????, ???????????
0,989/
???????????? ??????? / ???????? ?????? 1,11
a2
1,000
a3
1,000
?1
?0,500
?2
?0,100
?
3,142
?
3,142
0,970/
3,02
1,258/
25,82
?0,563/
12,68
?0,135/
35,40
3,104/
1,19
3,409/
8,51
0,992/
0,84
1,061/
6,15
?0,513/
2,53
?0,100/
0,03
3,141/
0,01
3,158/
0,51
165
? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?., ? ? ? ? ? ? ?. ?.
?? ??????? ???????????? ???????? ?????? ??????? ??????? (?????? 1),
??????????????? ?????????? ?????????? yk = y?k + ?k , k ? 1, 2, . . . , 50 (????? 2) ? ??????????????? ? ??????? ?????????????? ?????? ???????????????
????????????? ?????????? ?????????????? ??????? (?????? 3).
?????????? ?????????? ? ??????????????? ?? ??? ??????????
?????????????? ???????
?????????? ?????????? ?????????????? ? ??????? ??????????????????
?????????????? ?????? ??????????? ?????????? ???????, ??????????? ?????????? ??????. ?????????? ???????????? ????????? ???????????????????
?????????? ????????????? ??????????????? ??????????? ????????? ????????? ??????????? ????????? ???????? ? ??????? ? ??? ????? ???????? ???????? ??????????? ??????????.
?????? ????????? ? ?????? ???? Ф???????? ???????? ?????????? ?????? ?????
(2009?2010)╗ (?????? ??? 2.1.1/745).
????????????????? ??????
1. ??? ?. ??????????? ? ????????????? ?????????? ?????????????? ??????? ? z-??????????????. ? ?.: ?????, 1971. ? 288 c.
2. ?????? ?. ?. ??????????????? ????????????? ????????????? ???????????? ?????? ??
?????? ?????????? ????????? / ???. ?. ?. ????????. ? ?.: ??????????????-1, 2009. ?
344 c.
3. ?????? ?. ?. ???????????? ?????????? ???????????? ????????? ?????????? ????????????? ??????????? ????????? / ? ??.: ????? ?????? ????????????? ??????? ??????????? ? ????????????? ???????? (1?4 ???? 2009 ?.). ????? 4: ??????????????
?????????? ? ?????????????? ????????????? / ???. ????????????? ? ??????? ??????. ? ??????: ??????, 2009. ? C. 47?54.
????????? ? ???????? 13/VIII/2009;
? ????????????? ???????? ? 15/X/2009.
166
De?ning the Parameters of the Systems Described by . . .
MSC: 65P40, 34C15, 37M05
DEFINING THE PARAMETERS OF THE SYSTEMS DESCRIBED BY
EULER?S EQUATION, BASED ON STOCHASTIC DIFFERENCE
EQUATIONS
M. A. Zausaeva, V. E. Zoteev
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.
E-mail: zausmasha@mail.ru
The problem of parametrical identification of the systems which are described by Euler?s differential equation is studied. This problem is solved on the base of stochastic
difference equations describing the results of measurements of the instantaneous values
of output impact of system.
Key words: parametrical identification, impulse characteristic, linear parametric discrete model, stochastic difference equations.
Original article submitted 13/VIII/2009;
revision submitted 15/X/2009.
Maria A. Zausaeva, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics and Computer
Science. Vladimir E. Zoteev (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied
Mathematics and Computer Science.
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