close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение собственных частот и форм колебаний одной механической системы методом разложения в ряды Фурье.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011/9
УДК 517.98
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
ОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ФУРЬЕ
Статья посвящена исследованию собственных колебаний механической системы в виде стержня с осциллятором. Описан способ определения собственных частот и форм колебаний этой системы, основанный на разложении
в ряды Фурье.
Ключевые слова: упругий стержень, осциллятор, ряд Фурье, краевая задача, собственные частоты, собственные формы.
S.G. Barguev, A.D.Mizhidon
THE DEFINION OF OWN FREQUENCIES AND FORMS A VIBRATION OF A MECHANICAL
SYSTEM BY MEANS OF RESOLUTION AT THE FOURIER SERIES
The article is devoted to an investigation of the own vibration of a mechanical system consistered from elastic core with
oscillator. Are described the method definition of own frequencies and forms a vibration of a mechanical system by means
of resolution at the Fourier series .
Key words: elastic core, oscillator, Fourier series, boundary task, own frequency, own forms
Введение
В работе рассматривается способ определения собственных частот и форм колебаний механической системы в виде стержня с осциллятором, основанный на разложении решения неоднородной краевой задачи в ряд Фурье по собственным формам однородной краевой задачи. Производится сопоставление с результатами, полученными авторами ранее.
1. Постановка задачи
В статье [1] приведена методика исследования собственных колебаний стержня с осциллятором, в
которой совместные колебания стержня с осциллятором описываются гибридной системой дифференциальных уравнений. В результате использования метода Фурье разделения переменных получается
система уравнений:
−ω 2 A + p 2 ( A − V (a )) = 0,
−ω 2V ( x) + b
d 4V ( x)
= e( A − V ( x))δ ( x − a)
dx 4
(1)
с краевыми условиями
V (0) = V (l ) = 0,
dV
dV
(0) =
(l ) = 0.
dx
dx
c
c
EI
p2 = , e =
, b=
,
m
ρF
ρF
где V ( x) – амплитуда колебаний точек стержня, x – координата точек стержня, ω – частота собственных колебаний, А – амплитуда колебаний груза в осцилляторе. Осциллятор состоит из груза массы m и
пружины жесткости с , стержень имеет длину l . Осциллятор закреплен на стержне в точке x = a , ρ –
плотность материала стержня, F – площадь поперечного сечения стержня, J – момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний.
Известно, что
V ( x) = V ( x − a ) e ( A − V (a) ) ,
(1а)
где V ( x) – решение неоднородной краевой задачи с дифференциальным уравнением
224
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Определение собственных частот и форм колебаний одной механической системы
методом разложения в ряды Фурье
−ω 2V ( x) + b
d 4V ( x)
= δ ( x)
dx 4
(2)
и краевыми условиями
−
−
V (−a ) = V (l − a ) = 0,
−
−
∂V
∂V
(−a) =
(l − a) = 0.
∂x
∂x
Ставится задача: найти собственные частоты ω и собственные формы V(x) колебаний стержня с осциллятором, то есть решить задачу (2) путем разложения решения уравнения (2) и его правой части в
ряд Фурье по собственным формам однородной краевой задачи:
d 4ϕ ( x)
−ωɶ 2ϕ ( x) + b
= 0,
dx 4
ϕ (−a ) = ϕ (l − a ) = 0,
(3)
∂ϕ
∂ϕ
(−a) =
(l − a) = 0.
∂x
∂x
2. Определение собственных частот и форм однородной краевой задачи
Общее решение (3) имеет вид:
ϕ ( x) = c1 S1 ( β x) + c2 S 2 ( β x) + c3 S3 ( β x) + c4 S 4 ( β x)
Из краевых условий (3) получим систему уравнений относительно постоянных с1 , с2 , c3 , c4 :
с1S1 ( β a ) − c2 S 2 ( β a) + c3 S3 ( β a ) − c4 S 4 ( β a ) = 0,

 −c S ( β a ) + c S ( β a ) − c S ( β a ) + c S ( β a ) = 0,
2 1
3 2
4 3
 1 4
c1S1 ( β (l − a )) + c2 S2 ( β (l − a )) + c3 S3 ( β (l − a )) + c4 S 4 ( β (l − a )) = 0,

c1S 4 ( β (l − a )) + c2 S1 ( β (l − a )) + c3 S 2 ( β (l − a )) + c4 S3 ( β (l − a )) = 0.
(4)
Здесь β = β ( ωɶ ) .
Из условия нетривиальности решения относительно неизвестных с1 , с2 , c3 , c4 получим уравнение для
определения собственных частот:
S1 ( β a )
−S4 (β a)
− S 2 ( β a)
S3 ( β a )
S1 ( β a )
− S2 (β a)
− S4 ( β a)
S3 ( β a )
S1 ( β (l − a))
S2 ( β (l − a )) S3 ( β (l − a )) S 4 ( β (l − a ))
S 4 ( β (l − a))
S1 ( β (l − a ))
= 0.
(5)
S 2 ( β (l − a)) S3 ( β (l − a ))
Чтобы найти собственные формы, соответствующие данной частоте ωi , из уравнения (4) выразим
постоянные с1 , с2 , c3 , c4 через c1 = c . Тогда собственные формы примут вид:
(6)
φi ( x) = ci Gi ( x) ,
где Gi ( x) – некоторая функция от функций Крылова S1 , S 2 , S3 , S 4 , при этом φi (0) = ci Gi (0) ≠ 0, i = 1, 2,3,...
– номера гармоник (собственные частоты).
3. Определение собственных частот и форм неоднородной краевой задачи
Разложим решение V ( x ) уравнения (2), а также дельта-функцию Дирака δ (x) в ряд Фурье по собственным функциям ϕi ( x ) :
∞
V ( x ) = ∑ α iϕ i ( x ) ,
i =1
∞
δ ( x) = ∑ γ iφi ( x) .
i =1
225
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011/9
Подставив в (2), получим:
∞
∞
∞
i =1
i =1
i =1
−∑ α iω 2φi ( x) + ∑ b α i φiIV ( x) = ∑ γ i φi ( x)
Отсюда вытекает соотношение:
−α i ω 2φi ( x) + b α i φiIV ( x) = γ i φi ( x)
γi
Здесь ϕiIV ( x) = β 4ϕi ( x) . Тогда α i ( −ω 2 + bβ 4 )ϕi ( x ) = γ iϕi ( x ) , α i =
2
−ω + bβi4
.
Из разложения
∞
δ ( x) = ∑ γ iφi ( x)
i =1
найдём γ i путем умножения на ϕ j ( x ) и интегрирования в пределах от −a до l − a :
l −a
l −a
∞
∫ δ ( x)φ ( x) dx = ∑ γ ∫ φ ( x) φ ( x) dx.
j
i
i =1
−a
i
j
(7)
−a
При выполнении условия ортогональности
0, i ≠ j
l −a
l − a
∫− a φi ( x)φ j ( x) dx =  φi2 ( x) dx, i = j
∫
 −a
получим:
ϕi ( 0 )
γi =
.
l
∫ ϕ ( x ) dx
2
i
−l
l −a
Обозначим ϕi ( x ) =
∫ ϕ ( x ) dx , тогда
2
i
−a
γi =
αi =
ϕi ( 0 )
ϕi ( x )
2
,
ϕi ( 0 )
1
.
4
−ω + bβi ϕi ( x ) 2
2
Отсюда собственная функция равна
ϕi ( 0 )
1
ϕ x .
2 i( )
2
4
i = 0 −ω + b β i ϕ ( x )
i
∞
V ( x) = ∑
(8)
Примечание: Согласно (8), постоянная ci сокращается, следовательно ее можно приравнять единице,
то есть собственная функция примет вид
φi ( x) = Gi ( x) .
Согласно [1], уравнение на собственные частоты имеет вид:
p2
−ω 2 +
= 0.
(9)
1 + eV ( 0 )
Из (8) следует:
∞
ϕ 2 (0)
1
V ( 0 ) = ∑ 2i
.
2
4
−
+
b
ω
β
i =0
i ϕi ( x )
(10)
Выразим V ( 0 ) из (9):.
1 + eV ( 0 ) =
p2
ω
,
2
eV ( 0 ) =
p2
ω2
226
− 1,

1  p2
V ( 0 ) =  2 − 1 .
eω

С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Определение собственных частот и форм колебаний одной механической системы
методом разложения в ряды Фурье
Подставляя сюда (10), получим уравнение для собственных частот ω :
ϕi2 ( 0 )

1
1  p2
=
 2 − 1 .
∑
2
2
4
eω
i = 0 −ω + b β i ϕ ( x )

i
∞
(11)
Собственные функции находим из (1а) с учетом (8).
4. Пример расчета и сопоставление с известным результатом
Для расчета были взяты параметры системы стержень с осциллятором из работы [2]:
ℓ = 1 м, ρ = 8000 кг/м 3 , F = 0,0025 м 2 , ЕJ = 1 нм 2 , с = 10000 н/м, m = 10 кг , a = 0,5 м.
Все вычисления производились в среде MathСad. Сначала была решена краевая задача (3).
В разложении в ряды Фурье удерживалось восемь слагаемых, соответствующих восьми частотам –
ω1 = 5,003; ω2 = 13,79; ω3 = 27,035; ω4 = 44,69; ω5 = 66,759; ω6 = 93, 242; ω7 = 124,139;
ω8 = 159, 449
и восьми формам – φ1 ( x), ..., φ8 ( x) , показанным ниже
10
10
5
5
φ1 ( x)
0
φ2 ( x)
0
−5
−5
− 10
− 0.4 − 0.2
0
0.2
0.4
− 10
x
− 0.4 − 0.2
0
0.2
0.4
0.2
0.4
0.2
0.4
x
φ3 ( x)
10
10
5
5
φ4 ( x)
0
−5
− 10
0
−5
− 0.4 − 0.2
0
0.2
− 10
0.4
− 0.4 − 0.2
x
φ5 ( x)
x
10
10
5
5
φ6 ( x)
0
−5
− 10
0
0
−5
− 0.4 − 0.2
0
0.2
− 10
0.4
x
− 0.4 − 0.2
0
x
227
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
10
10
5
φ7 ( x)
5
0
φ8 ( x)
−5
− 10
2011/9
0
−5
− 0.4 − 0.2
0
0.2
0.4
− 10
x
− 0.4 − 0.2
0
0.2
0.4
x
График, соответствующий уравнению на собственные частоты (11) имеет вид:
0.1
0.05
R( ω )
0
− 0.05
− 0.1
20
40
60
80
100
ω
Точки пересечения графика с осью абсцисс дают следующие частоты
ω1 = 3,3; ω2 = 21,547; ω3 = 48,75; ω4 = 78,912; ω5 = 129,593;
Собственная форма была подсчитана согласно (8) для второй частоты, что дало
1
0
ν ( x) − 1
−2
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
Рассчитанные собственные частоты и форма удовлетворительно согласуются с данными, полученными в [2].
Заключение
Приведенный способ определения собственных частот и собственных форм может быть применен в
задаче о колебаниях пластины с твердыми телами конечных размеров, которые соединены с пластиной
амортизаторами под разными углами. При этом учитываются не только поступательные смещения твердых тел вместе с центром масс, но и их угловые смещения. Решение данной задачи имеет важное значение для развития основ теории виброзащитных систем (ВЗС).
Приложение
Доказательство условия ортогональности.
Произведем умножение амплитудных уравнений стержня на собственные функции противоположного индекса:
−ω 2φi ( x) + b φiIV ( x) = 0 / * φ j ( x), − ω 2φ j ( x) + b φ jIV ( x) = 0 / *φi ( x)
228
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Определение собственных частот и форм колебаний одной механической системы
методом разложения в ряды Фурье
Для интеграла от произведения четвертой производной собственной функции на саму функцию имеем
l −a
IV
∫ ϕi ( x )ϕ j ( x ) dx =
l −a
−a
∫ ϕ ( x ) dϕ ( x ) =ϕ ( x )ϕ ( x )
III
i
j
III
i
j
l −a
−a
−
−a
l −a
l −a
l −a
− ∫ ϕiIII ( x ) ϕ 'j ( x ) dx = − ∫ ϕiIII ( x ) ϕ 'j ( x ) dx = − ∫ ϕ 'j ( x ) dϕiII ( x ) =
−a
−a
−a
l −a
l −a
= −ϕ 'j ( x )ϕiII ( x ) − a +
l −a
∫ ϕ ( x )ϕ ( x ) = ∫ ϕ ( x )ϕ ( x ) dx
''
j
II
i
−a
''
j
II
i
−a
В результате получим
−ωi2 ( x)
l −a
l −a
−a
−a
II
II
∫ φi ( x) φ j ( x) dx + b ∫ φi ( x)φ j ( x) dx = 0
Аналогично
l −a
2
j
−ω ( x)
l −a
∫ φ ( x)φ ( x) dx + b ∫ φ
j
i
−a
II
j
( x) φiII ( x) dx = 0
−a
Вычтя из второго уравнения первое, получим
l −a
(ωi2 − ω 2j )
∫ φ ( x) φ ( x) dx = 0
i
j
−a
Отсюда при i ≠ j получим
l −a
∫ ϕ ( x )ϕ ( x ) dx = 0
i
j
−a
то есть
0, i ≠ j
l − a
∫− a ϕi ( x )ϕ j ( x ) dx =  ϕi2 ( x ) dx,
∫
 −a
l −a
i= j
Литература
1. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием
// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – №2(22). – 2009. – С.13-20.
2. Цыцыренова М.Ж. Исследование собственных колебаний виброзащитных систем с учетом упругости основания: дипл. работа. – Улан-Удэ: ВСГТУ, 2009.
Баргуев Сергей Ганжурович, кaндидат физико-математических наук, доцент Бурятского филиала Сибирского
университета телекоммуникации информатики, e-mail: barguev@yandex.ru
Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета.
Barguev Sergey Ganzhurovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Buryat Branch
of Siberian Telecommunications University of Informatics.
Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical sciences, professor, head of applied mathematics department of East
Siberian State University of Technology.
229
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
176 Кб
Теги
методов, частоты, система, одной, фурье, разложение, определение, механической, ряды, колебания, формы, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа