close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании.

код для вставкиСкачать
II. Функциональные уравнения
и их приложения
УДК 517.98
ББК 22.16
© С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон
Россия, г. Улан-Удэ, Бурятский филиал
Сибирского университета телекоммуникации и информатики,
Восточно-Сибирский государственный технологический университет.
E-mail: barguev@yandex.ru
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ПРОСТЕЙШЕЙ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ1
Статья посвящена исследованию механической системы на упругом стержне с закрепленными
краями и установленным на нем твердым телом, присоединенным к упругому стержню с помощью пружины.
Описывается методика исследования на собственные колебания приведенной механической
системы и определяются ее собственные частоты в пакете MathCAD.
Ключевые слова: механическая система, гибридный, дифференциальные уравнения, обобщенное решение, краевая задача, собственные частоты.
© S.G. Barguev, A.D. Mizhidon
Russia, Ulan-Ude, Buryat branch of Siberian University telecommunication and information,
East- Siberian State Technological University.
E-mail: barguev@yandex.ru,
THE DEFINION OF AN OWN FREQUENCY OF TRIVIAL
MECHANICAL SYSTEM ON ELASTIC FOUNDATION
The article is devoted to the mechanical system presented the elastic core with unmoved edgies and
installed on it of the solid body connected with core by the spring is investigated.
The investigation owns vibration of the mechanical system is described and defined an owns frequency by MathCAD.
Key words: mechanical system, hybrid, differential equations,
own frequency.
unique decision, boundary task,
Введение
Расcматриваемая простейшая механическая система лежит в основе виброзащитной системы, в которой твердое тело представляет собой защищаемое тело, пружина-амортизатор,
упругий стержень-основание. Особенность математической модели, описывающей движение механической системы, в том, что в ней учитываются не только упругие свойства основания, но и конечность массы основания. В ранних работах авторов была предложена
методика получения уравнений на собственные частоты. В статье по данной методике собственные частоты выделяются сначала графически, а затем рассчитываются с использованием пакета MathCAD.
Рассмотрим механическую систему на упругом основании (рис. 1) – твердое тело, присоединенное к упругому стержню с помощью пружины. Концы стержня закреплены шарнирно.
Твердое тело имеет массу M , пружина – жесткость с , упругий стержень – длину l .
Механическая система закреплена на стержне в точке x = a , z – координата твёрдого тела,
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-01-00945-а), РГНФ (проект 09-0200493-а).
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Определение собственных частот простейшей механической системы на
упругом основании
принимаемого за материальную точку в положении статического равновесия, u – поперечное смещение стержня, ρ – плотность материала стержня, F – площадь поперечного сечения стержня, J – момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной
оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний.
Рис. 1.
Движение указанной системы описывается гибридной системой дифференциальных
уравнений:
 d 2z
 M dt 2 + c( z − u ( a, t )) = 0,
(1)

2
4
∂
u
∂
u
ρ F
+ EJ 4 = c ( z − u ( x, t ))δ ( x − a ).
∂t 2
∂x

EI
c
c
Обозначим:
=b,
= e . Поделив обе части первого уравнения на m, а
= p2 ,
M
ρF
ρF
второго на pF, получим систему:
&&
z + p 2 ( z − u (a, t )) = 0,
(2)
∂ 2u
∂ 4u
+
b
=
e
(
z
−
u
(
x
,
t
))
δ
(
x
−
a
),
∂t 2
∂t 4
c
EJ
c
где p =
, b=
, e=
. На u(x,t) наложены граничные условия:
m
pF
pF
∂ 2u
∂ 2u
(0,
t
)
=
(l , t ) = 0, u (0, t ) = u (l , t ) = 0,
∂x 2
∂x 2
решение системы (2) ищем в виде
z (t ) = A sin(ωt + γ ), u ( x, t ) = V ( x) sin(ωt + γ )
в результате получим:
(3)
(4)
d 4V ( x)
= e( A − ( x))δ ( x − a ) .
(5)
dx 4
Здесь А и V(x), соответственно, неизвестная величина и функция. Отметим, что второе
соотношение из (5) понимается в обобщенном смысле, т.е. для любой функции φ ( x, t ) из
некоторого класса справедливо:
l
∂ 4V ( x)
2
(6)
(
−
ω
V
(
x
)
+
b
)φ ( x, t )dx = e( A − V ( x))φ (a, t ).
∫0
∂x 4
Из граничных условий (3) получим условия, накладываемые на функцию V(x):
dV
dV
(0) =
(l ) = 0, V (0) = V (l ) = 0.
(7)
dx
dx
В [1] показано, что при любых ω и А функция
V ( x − a ) Ae
(8)
V ( x) =
1 + eV (0)
−ω 2 A + p 2 ( A − V (a )) = 0,
− ω 2V ( x) + b
59
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009/9
удовлетворяет соотношению (6). Здесь V ( x ) является решением уравнения
−ω 2V ( x ) + b
d 4V ( x )
= δ ( x) .
dx 4
(9)
С краевыми условиями
−
−
∂2 V
∂2 V
V (−a) = 0,V (a) = 0, 2 (−a) = 0,
(a) = 0 .
(10)
∂x
∂x 2
Отметим, что из (8) следует:
V (0) Ae
.
(11)
V (a) =
1 + eV (0)
Краевая задача (9) – (10) решается путем представления V ( x ) в виде суммы обобщенного решения G0 ( x) однородного уравнения
−
−
d 4V ( x )
=0
dx 4
и обобщенного решения G ( x ) неоднородного уравнения (12), то есть
V ( x ) = G0 ( x ) + G ( x ),
где
G0 ( x ) = c1S1 ( β x ) + c2 S 2 ( β x) + c3 S3 ( β x ) + c4 S 4 ( β x ),
−ω 2V ( x) + b
(12)
cosh( β x) + cos( β x)
sinh( β x) + sin( β x)
, S 2 ( β x) =
,
2
2
cosh( β x) − cos( β x)
sinh( β x) − sin( β x)
S3 ( β x ) =
, S 4 ( β x) =
2
2
– функции Крылова, с1, с2, с3, с4 – неизвестные постоянные [2]. Постоянные с1, с2, с3, с4 находятся из краевых условий. Частное решение G ( x ) можно представить в виде
S ( β x)
G ( x) = θ ( x) 4 3 ,
(13)
bβ
S1 ( β x) =
где θ ( x) – функция Хэвисайда [3], β =
ω
1
4
.
b
Опишем процедуру определения собственных частот. Из первого уравнения системы (5)
p2 − ω 2
V (a ) =
A.
p2
Приравнивая правые части полученного выражения и (11) и сокращения на А, получаем
уравнение для собственных частот системы:
p2
2
−ω +
= 0,
(14)
1 + eV (0)
где V (0) = c1 можно найти из граничных условий (10), решив систему линейных алгебраических уравнений относительно с1, с2, с3, с4 вида
c1S1 − c2 S2 + c3 S3 − c4 S4 = 0,
c1S1 + c2 S2 + c3 S3 + c4 S4 = −a0 S4 ,
c1S3 − c2 S4 + c3 S1 − c4 S2 = 0,
c1S3 + c2 S4 + c3 S1 + c4 S2 = −a0 S2 ,
для которой
60
(15)
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Определение собственных частот простейшей механической системы на
упругом основании
∆=
∆1 =
Далее c1 =
S1
− S2
S3
− S4
S1
S3
S3
S2
− S4
S4
S3
S1
S1
S4
= 4( S22 − S42 )( S12 − S32 ),
− S2
S2
0
− S2
S3
− S4
− a0 S 4
0
− a0 S 2
S2
− S4
S4
S3
S1
S1
S4
= 2a0 ( S42 − S22 )( S1S4 − S 2 S3 ) .
− S2
S2
∆1
. Подставляя в (14), после преобразований получаем
∆
16λ3 ( S12 − S 32 ) = χ ( S 2 S 3 − S1 S 4 ) .
Учитывая, что S1 = S1 (λ ), S 2 = S 2 (λ ), S 3 = S 3 (λ ), S 4 = S 4 (λ ) , где λ = β a, a =
получим частотное уравнение
32λ3 chλ cos λ = χ ( chλ sin λ − shλ cos λ ) .
Разделив обе части на chλ cos λ , получим
32λ 3 = (tg λ − thλ ) χ ,
λ=
l ω
1
4
,
2b
c l 3ω 2
χ=
.
EJ ( p 2 − ω 2 )
Из (19) имеем ω 2 =
16 λ 4 b
. Подставляя все в (20), получим:
l4
c l 3λ 4
.
χ=
p 2l 4
4
EJ (
−λ )
16 b
(16)
l
,
2
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
b λ4
p l2
c l3
, получим χ = 40 4 . Подставим в (18) и преобра, b0 =
λ0 − λ
EJ
4 b
зовав, получим более простое для анализа и нахождения решения частотное уравнение:
32(λ04 − λ 4 )
= tg λ − thλ .
(22)
b0 λ
Определим собственные частоты, решая уравнение (22) в среде MathCAD при следующих параметрах механической системы:
l = 1, M = 10, c = 10000, F = 0, 0025, E = 1, J = 1, ρ = 8000
Графики двух функций в (22) имеют вид (рис. 2).
В точках пересечения двух графиков (рис. 2) находим значения параметра λ , а затем
4λ2 b
пересчитываем их в собственные частоты по формуле ω =
.
l2
В результате получаем дискретный набор из первых пятнадцати собственных частот
нашей механической системы (таблица 1).
Обозначив λ0 =
61
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009/9
На самом деле набор собственных частот бесконечный, что объясняется присутствием в
частотном уравнении периодических тригонометрических функций, а с физической точки
зрения непрерывным распределением конечной массы стержня по его длине.
Заметим, что начиная с седьмой гармоники расчет частот можно производить по приближенной формуле
4 λ2
ωk = 2 k b ,
l
где λ k = λ6 + (k − 6)π , k = 7, 8, ..., n,... ,
Рис. 2
Таблица 1
№ п\п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Параметр λ
(безразмерный)
1,319
4,186
6,807
8,798
11,294
14,261
17,343
20,458
23,586
26,720
29,857
32,996
36,135
39,275
42,416
62
Частота ω
(1/сек)
1,556
15,673
41,444
69,233
114,088
181,905
269,025
374,344
497,569
638,584
797,329
973,795
1168
1380
1609
С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон. Определение собственных частот простейшей механической системы на
упругом основании
Заключение
На основе методики, предложенной авторами, рассчитаны собственные частоты механической системы на упругом стержне с закрепленными краями и установленным на нем
твердым телом, присоединенным к упругому стержню с помощью пружины, моделирующей виброзащитную систему. Специфика расчета заключается в таком расщеплении частотного уравнения на две части, чтобы можно было отделить точки пересечения графиков
функций, задающих эти части, а затем определить частоты с помощью программы, встроенной в пакет MathCAD. Определены первые пятнадцать собственных частот. Следует заметить, что начиная с седьмой гармоники расчет частот можно приближенно производить
аналитически.
Литература
1. Мижидон А.Д., Архипов С.В. Исследование простейших гибридных систем уравнений // Сб. науч.
статей ВСГТУ. Сер.: Физико-математические науки. – Вып. 3. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 1999. – С. 61–
72.
2. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Исследование собственных колебаний твердого тела на упругом
стержне конечной массы двумя способами и их сравнительный анализ // Вестник БГУ. Математика и
информатика. – Вып. 3. – Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006.
References
1. Mizhidon A.D., Archipov S.V. Investigatin of trivial hybrid systems equation // Collection of articles of
ESSTU. Ser.: Physical mathematical sciences. – Is. 3. – Ulan-Ude: ESSTU, 1999. – P. 61-72.
2. Barguev S.G., Mizhidon A.D. Investigation of own vibration of a solid body, installed on an elastic core,
haven finite mass, by two methods and their comparison analysis // Vestnik BGU. Ser. 13.: Mathematics and
Informatics. – Is. 3. – Ulan-Ude, 2006.
63
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
166 Кб
Теги
частоты, система, определение, механической, основания, упругом, простейшие, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа