close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальное восстановление функций по их неточно заданному преобразованию Радона.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 18, вып. 1, 2013
Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ВКЛЮЧЕНИЯ
УДК 517.51
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ПО ИХ НЕТОЧНО ЗАДАННОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ РАДОНА
c
⃝
Т. Э. Баграмян
Ключевые слова: преобразование Радона; оптимальное восстановление.
Рассматривается задача оптимального восстановления функции из пространства
Шварца по неточно заданному (в среднеквадратичной метрике) преобразованию Радона. Получены явные выражения для погрешности оптимального восстановления и
семейства оптимальных методов.
В общем случае задача оптимального восстановления состоит в наилучшем приближении значения линейного оператора на некотором множестве по информации, являющейся
значениями другого линейного оператора (называемого информационным), заданными с
погрешностью в той или иной метрике (см. [1], [2]). Рассмотрим пространства Шварца
быстро убывающих функций S(Rd ) и заданный на нем оператор (−∆)α/2 : S(Rd ) → L2 (Rd ) ,
\
α/2 f (ξ) = |ξ|α fb(ξ), где fb — преобразование Фурье f.
α > 0, определяемый формулой (−∆)
Определим класс функций W = {f ∈ S(Rd ) : ∥(−∆)α/2 f ∥L2 (Rd ) 6 1}. В качестве информационного оператора рассмотрим преобразование Радона — оператор, ставящий в соответствие
функции множество
ее интегралов, взятых вдоль всевозможных гиперплоскостей в Rd ,
∫
Rf (θ, s) = xθ=s f (x)dx, (θ, s) ∈ Z = Sd−1 × R1 . Такой оператор применяется для моделирования различных томографических процессов и подробно изучается в теории компьютерной
томографии [3]. В теории оптимального восстановления информационные операторы этого
типа рассматривались ранее в [4] и [5]. Предположим, что функция Rf известна с погрешностью δ, т. е. дана функция g ∈ L2 (Z), такая что ||Rf − g||L2 (Z) 6 δ, δ > 0. Задача состоит в нахождении оптимального метода восстановления функции f ∈ W по информации g.
Под методом восстановления понимается произвольное отображение m : L2 (Z) → L2 (Rd ) , а
погрешностью метода называется величина
e(δ, m) =
sup
f ∈W,g∈L2 (Z)
∥Rf −g∥L2 (Z) 6δ
||f − m(g)||L2 (Rd ) .
15
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 18, вып. 1, 2013
Погрешностью оптимального восстановления называется наименьшая из погрешностей всех
возможных методов
E(δ) =
inf
e(δ, m).
m:L2 (Z)→L2 (Rd )
Метод, на котором достигается погрешность оптимального восстановления, называется оптимальным методом восстановления.
Рассмотрим функции
x(σ) = (2π)1−d σ d−1+2α χ[0,∞) (σ),
y(σ) = (2π)1−d σ d−1 χ[0,∞) (σ),
σ ∈ R.
Положим
b1 = (2π)
λ
(d−1)(d−2)
d−1+2α
4α
(d − 1) d−1+2α
δ
,
d − 1 + 2α
b2 = (2π)
λ
(d−1)(d−2)
d−1+2α
2(1−d)
2α
δ d−1+2α .
d − 1 + 2α
Т е о р е м а. Погрешность оптимального восстановления равна
√
(d−1)(d−2)
2α
b1 + λ
b2 δ 2 = (2π) 2(d−1+2α) δ d−1+2α .
E(δ) = λ
Методы
(1−d)/2
\
m
a(σ)gbθ (σ),
a (g)(σθ) = (2π)
где
gθ (s) = g(θ, s),
√

√
α λ
b
b
b
λ
σ
1 2
λ2
b1 + λ
b2 − y(σ) χ[0,∞) (σ),
a(σ) = 
+ ε(σ)
x(σ)λ
b
b
b
b2
λ1 x(σ) + λ2
λ1 x(σ) + λ

ε(σ) ∈ L∞ (R) и принимает значения на отрезке [−1, 1] , являются оптимальными.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
Michelli C.A., Rivlin T.J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Numerical
Analysis Lancaster, 1984. Berlin, Hidelberg: Springer, 1984. P. 21-93.
Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление операторов по неточной
информации // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Исследования по выпуклому анализу. Владикавказ, 2009. Т. 2. C. 158-192.
Natterer F. The mathematics of computerized tomography. Stuttgart: John Wiley & Sons, 1986.
Logan B.F., Shepp L.A. Optimal reconstruction of a function from its projections // Duke
mathematical journal. 1975. V. 42. № 4. P. 645-659.
Баграмян Т.Э. Оптимальное восстановление гармонической функции по неточно заданным
значениям оператора радиального интегрирования // Владикавказский математический журнал. 2012. Т. 14. № 1. С. 22-36.
Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проект № 12-01-31140).
16
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 18, вып. 1, 2013
Bagramyan T.E. OPTIMAL RECOVERY OF FUNCTIONS FROM INACCURATE
RADON TRANSFORM
The problem of optimal recovery of a function in the Schwarz space from its inaccurate Radon
transform is considered. The accuracy of optimal recovery and a family of optimal methods are
obtained in explicit form.
Key words: Radon transform; optimal recovery.
УДК 62-531.2
РЕГУЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТНОСТИ ПРОКАТЫВАЕМЫХ ПОЛОС НА
БАЗЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
c
⃝
С. М. Бельский, И. П. Мазур, В. И. Дождиков, В. Б. Васильев
Ключевые слова: плоскостность; самоуравновешенная эпюра; принцип Сен-Венана; коэффициент ослабления амплитуды.
Проанализировано продольное и поперечное распределение самоуравновешенной составляющей упругих напряжений в полосе, а также коэффициент ослабления амплитуды. Результаты использованы для разработки новых методов для регулирования плоскостности прокатываемых полос.
Введение
Проблема формирования геометрических характеристик полос остается одной из основных в листопрокатном производстве. Неравномерность распределения по ширине полосы
переднего натяжения и неоднородность температурного поля вызывает изменение распределения выходных скоростей течения металла [1]. Напряжения, вызванные неравномерностью выходных скоростей полосы, при снятии натяжения превращаются в остаточные, что
приводит к формированию таких геометрических дефектов как "краевая" и "центральная"
волна. Для компенсации неравномерности остаточных напряжений на некотором расстоянии от очага деформации по известной эпюре удельных натяжений в полосе на выходе из
клети необходимо приложить компенсирующую самоуравновешенную эпюру продольных
напряжений. Тем самым появляется возможность управлять плоскостностью прокатываемых полос.
Постановка задачи
В соответствии с принципом Сен-Венана амплитуда неравномерности компенсирующих
удельных натяжений уменьшается с удалением от места их возникновения, поэтому возникает вопрос о зависимости коэффициента ослабления амплитуды самоуравновешенной
эпюры продольных напряжений, приложенных к какому-либо сечению прокатываемой полосы, от расстояния до этого сечения. Для решения поставленной задачи воспользуемся
методом, аналогичным описанному в [2], но с некоторыми отличиями: вместо растягивающей нагрузки приложим к сторонам прямоугольной пластинки единичной толщины, длиной
2a и шириной 2b, самоуравновешенную нагрузку, распределенную по параболическому закону (рис. 1). Энергия деформации такой пластинки для плоского напряженного состояния
запишется следующим образом:
∫ a∫ b
[ 2
]
1
2
V =
σx + σy2 − 2νσx σy + 2 (1 + ν) τxy
dxdy,
(1)
2E −a −b
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
162 Кб
Теги
оптимальное, заданному, восстановлен, неточной, функции, преобразование, радона
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа