close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальные перелетыс дроблением импульса.

код для вставкиСкачать
УДК 531.01:521.1
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 2
В. С. Новоселов
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
С ДРОБЛЕНИЕМ ИМПУЛЬСА∗
1. Анализ оптимального выбора импульсных перелетов показывает, что наиболее
выгодные ветви оптимального решения отвечают случаю, когда фаза движения по
какой-либо граничной орбите является произвольной. При этом условии задача сводится к оптимальному выбору перехода между орбитами [1]. Из аналитической теории
оптимизации в гравитационных полях [2] следует, что при произвольной хотя бы одной
фазе движения алгоритм оптимизации существенно упрощается. Если фазы движения по граничным орбитам заданы, то можно выполнить фазирование [3], например,
используя многократные баллистические обращения по промежуточной орбите [2–4].
За счет специального фазирования путем разбиения импульса первой характеристической скорости можно выполнить импульсный перелет в условиях осуществления
наиболее выгодной ветви оптимального решения [2, 5]. Именно, в момент старта приложить первую часть импульса, а вторую часть первого импульса сообщить после одного
или нескольких полных обращений по вспомогательной орбите, отвечающей характеристической скорости первой части импульса. В результате при том же суммарном
расходе можно в точке финиша иметь фазу движения, соответствующую выгодной
ветви оптимального решения. При этом, конечно, время перелета возрастает.
Как известно [2], один раз в синадический (относительный) период обращения точки
конечной орбиты по отношению к точке на начальной орбите возникает ситуация, при
которой расход характеристических скоростей такой же, как и без учета конкретных
фаз движения. Поэтому дробление импульса может использоваться, если синадический
период очень большой или с целью маскировки перелета.
В настоящей работе для двух базовых моделей оптимизации двухимпульсных переходов в центральном гравитационном поле дается аналитическая разработка обсуждаемого в работах [6, 7] метода дробления первого импульса.
2. Рассмотрим сначала задачу оптимизации компланарного перелета между заданными движениями по граничным орбитам малых эксцентриситетов eн = εeн , eк = εeк ,
где ε — безразмерный малый положительный параметр, eн и eк — величины порядка
единицы. Индексом «н» отмечаем характеристики начальной орбиты, индексом «к» —
конечной. Необходимые условия минимума суммы характеристических скоростей двухимпульсного перелета для членов первого по ε порядка приводят [2] к следующему
выбору долготы перицентра Π переходного эллипса типа Гомана для наиболее выгодной ветви оптимального решения:
cos Π = χc (χ2c + χ2s )−1/2 ,
sin Π = χs (χ2c + χ2s )−1/2 ,
χc = ξ cos Πн + η cos Πк ,
χs = ξ sin Πн + η sin Πк ,
(1)
где Πн и Πк — долготы перицентров начальной и конечной орбит. В (1) приняты обозначения:
1 1/2 −1/2
−1
p
p
(1
+
p
p
)
,
ξ = eн p−1/2
1
−
0 к
н
2 0 н
∗
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-01-01039)
c В. С. Новоселов, 2005
107
η=
eк p−1/2
к
1 1/2 −1/2
−1
1 − p0 pк (1 + p0 pн ) ,
2
pн , pк , p0 — фокальные параметры начальной, конечной и гомановской орбит. Полярный
угол точки старта будет
ϕ− = Π при pк > pн ,
ϕ− = Π + π
при
pк < pн .
(2)
В начальный момент времени tн точки, обращающиеся по граничным орбитам, имеют
соответствующие полярные углы ϕн и ϕк . Если tк — момент финиша, то за время tк −tн
точка, движущаяся по конечной орбите, совершит в нулевом приближении (при ε = 0)
дуговой путь ϕ− + π + 2πn − ϕк . Здесь n — число возможных полных обращений по
конечной орбите на отрезке времени [tн , tк ]. Характеристики вспомогательной орбиты
отмечены буквой «в». Эта орбита располагается между начальной орбитой и эллипсом
Гомана. Для ее большой полуоси aв выполняется соотношение
1
(pн + pк )
2
при pк > pн ,
1
(pн + pк ) ≤ aв ≤ pк
2
при pк < pн .
p н ≤ aв ≤
(3)
Знаки равенства в формуле (3) отвечают случаю двойного вырождения [5].
За время tк − tн маневрирующая точка выполнит движение по начальной орбите на
угол ϕ− − ϕн , по переходной орбите — на угол 2πm при m целых оборотов и на угол π
по полуэллипсу Гомана. Поэтому приходим к равенству
æ(tк − tн ) =
−
p3/2
к (ϕ
+ π + 2πn − ϕк ) =
−
p3/2
н (ϕ
− ϕн ) + 2πma3/2
в
+π
pк + pн
2
3/2
. (4)
Здесь æ — квадратный корень из произведения гравитационной постоянной на массу
3/2
планеты, величина 2πæ−1 aв представляет собой период обращения по вспомогательному эллипсу. На основании (4) находим
ϕ− = ϕс + πν − 2πn
3/2 −3/2
σ 3/2
aв p н
+ 2πm 3/2
,
3/2
σ
−1
σ
−1
где
pк
σ=
,
pн
ϕк σ 3/2 − ϕн
ϕс =
,
σ 3/2 − 1
(5)
# σ+1 $3/2
ν=
2
− σ 3/2
.
σ 3/2 − 1
Величина ϕс выражает угловое расстояние линии соединения точек, обращающихся
по граничным орбитам. Безразмерная величина ν для значений от 1/12 до 12, при
которых целесообразно использовать перелет типа Гомана, отрицательна и монотонно
возрастает от −0,3838 до −0,6162 [2].
Формулы (1) и (2) определяют угол точки старта ϕ− . Подбором чисел n и m, а также
большой полуоси aв вспомогательного эллипса обеспечим требуемое для оптимального
перелета соотношение фаз движения. На основании (5) запишем
−3/2
ma3/2
= ς + nσ 3/2 ,
в pн
108
(6)
1
где ς = 2π
(σ 3/2 − 1)(ϕ− − ϕс − πν) — известная величина. Случай ς = 0 рассматривался
в работе [2]. Условие (3) для выбора aв принимает вид
1 ≤ aв p−1/2
≤
н
1
(σ + 1) при
2
σ > 1,
1
(σ + 1) ≤ aв p−1/2
≤ 1 при σ < 1.
(7)
н
2
Выбор значений m, n и aв , удовлетворяющих (6) и (7), не является единственным. Заметим, что из формулы (4) следует, что для уменьшения времени перелета натуральное
число m должно быть возможно меньше. Как показывает формула (5), при этом должно быть выполнено соотношение n > −ςσ −3/2 .
Для случая pк > pн , т. е. σ > 1, на основании (6) и (7) получаем
m < ς + nσ 3/2 ≤
1
m(σ + 1).
2
(8)
Подбор чисел n и m начинаем с n = 0. Если существует m такое, что m ≤ ς ≤
1
2 m(σ + 1), то на этом выбор останавливаем. Если требуемого m нет, то полагаем n = 1
и отыскиваем m, удовлетворяющее соотношению m ≤ ς + σ 3/2 ≤ 12 m(σ + 1). Если и
такого m нет, то принимаем n = 2 и т. д. Для некоторых достаточно больших n и m
соотношение (8) будет выполняться. Действительно, положим m = [ς + nσ 3/2 ], где [x] —
наибольшее целое число, не превышающее x. Тогда ς + nσ 3/2 ≤ m + 1 и достаточно
выполнить соотношение m + 1 ≤ 12 m(σ + 1), т. е. принять m ≥ 2(σ − 1)−1 .
В случае pк < pн или σ < 1 из формул (6) и (7) имеем
1
m(σ + 1) ≤ ς + nσ 3/2 ≤ m.
2
(9)
Подбор чисел n и m проводим как и в предущем случае. Для достаточно больших n и
m соотношение (9) можно выполнить, полагая [ς + nσ 3/2 ] = m − 1. Достаточно принять
1
m(σ + 1) ≤ m − 1,
2
m ≥ 2(1 − σ)−1 .
Величина aв найдется из формулы (6). Первый гомоновский импульс разбиваем на
две части [2]
1/2
1/2
−1
1/2
1/2
p
,
V
p
.
−
p
=
±æp
−
p
V11 = ±æp−1
12
н
в
н
к
к
в
Верхний знак отвечает случаю pк > pн , а нижний — случаю pк < pн . Фокальный параметр pв и эксцентриситет eв вспомогательной орбиты связаны соотношением pв =
aв (1 − e2в ). При этом для оптимального перелета pн = pв (1 ± eв )−1 . Отсюда получаем
pв = pн (2 − pн a−1
в ).
3. Изложенная выше методика оптимизации импульсного перелета с использованием дробления импульса может быть применена к решению некомпланарных задач. Для
случая произвольных фаз движения по граничным орбитам по формулам аналитической теории оптимизации в гравитационных полях [2] найдем основные характеристики
оптимального двухимпульсного перелета между некомпланарными круговыми орбитами радиусов rн и rк . Для определенности принимаем rк > rн . Перелет будет узловым
[1, 2]. Плоскость начальной орбиты принимаем за основную.
109
Из условия импульсного приращения скорости находим [2] углы наклона γ1 и γ2 характеристических скоростей импульсов, первого V1 и второго V2 , к основной плоскости:
cos γ1 = ærн−1 V1−1 p1/2 cos i − rн1/2 , sin γ1 = ærн−1 V1−1 p1/2 sin i,
cos γ2 = ærк−1 V2−1 rк1/2 cos iк − p1/2 cos i ,
sin γ2 = ærк−1 V2−1 p1/2 sin i − rк1/2 sin iк .
(10)
Через i и iк обозначены наклонения к основной плоскости орбиты перелета и конечной
орбиты.
Запишем условия непрерывности лагранжевых множителей в точках соединения
участков активного и баллистического полета:
(B(1 + e)2 + D) cos i − M sin i = (1 + e) cos γ1 ,
(B(1 + e)2 + D) sin i + M cos i = (1 + e) sin γ1 ,
(B(1 − e)2 + D) cos i − M sin i = (1 − e) cos γ2 ,
(B(1 − e)2 + D) sin i + M cos i = −(1 − e) sin γ2 ,
(11)
где B, D и M — постоянные общего решения уравнений Эйлера—Лагранжа на баллистическом участке [2].
С помощью соотношений (10) и (11) получаем
M = ærн−1/2 V1−1 (1 + e) sin i = ærк−1/2 V2−1 (1 − e) sin(iк − i).
(12)
После подстановки в (12) выражений для характеристических скоростей из работы [2]
вида
1/2
,
V1 = ærн−1/2 p − 2p1/2 rн1/2 cos i + rн
1/2
V2 = ærк−1 p − 2p1/2 rк1/2 cos(iк − i) + rк
,
придем к тригонометрическому уравнению относительно наклонения i гомоновской переходной орбиты.
Разобьем первый импульс на два: V11 = αV1 и V12 = V1 − V11 , где 0 ≤ α ≤ 1. В узловой точке осуществим импульсное приращение скорости на величину V11 под углом
γ1 , а затем после m полных оборотов по вспомогательному переходному эллипсу, когда
точка снова будет находиться в том же взаимном узле граничных орбит, сообщим скорости импульсное приращение V12 под тем же углом γ1 . В результате будет осуществлен
перелет под действием суммарного импульса V11 + V12 = V1 на основную переходную
гомоновскую орбиту. Переход завершается импульсным приращением скорости на величину V2 под углом γ2 . Будем иметь тот же расход характеристических скоростей, как
и в двухимпульсном перелете. За счет выбора параметра α можно обеспечить выполнение указанного трехимпульсного перелета при заданных фазах движения, т. е. угловых
расстояниях uн и uк от взаимного узла для точек, обращающихся по граничным орбитам.
110
Найдем кеплеровы элементы вспомогательного переходного эллипса, которые как и
в п. 2 отмечаем буквой «в», по формулам вида (10):
1/2
+ æ−1 rн V11 cos γ1 ,
p1/2
в cos iв = rн
−1
p1/2
rн V11 sin γ1 .
в sin iв = æ
Отсюда получаем
2
pв = rн + 2æ−1 rн3/2 V11 cos γ1 + æ−2 rн2 V11
,
1 + æ−1 rн1/2 V11 cos γ1 , sin iв = æ−1 rн p−1
cos iв = rв1/2 p−1/2
в
в V11 sin γ1 .
(13)
Старт отвечает перицентру вспомогательного эллипса, поэтому запишем
eв = pв rн−1 − 1,
aв = rн2 (2rн − pв )−1 .
(14)
3/2
Период обращения по вспомогательному эллипсу Tв = 2πæ−1 aв . В рассматриваемой
задаче выполняется первый вариант формулы (7) вида
1 ≤ aв rн−1 ≤
1
(σ + 1),
2
σ = rк rн−1 .
(15)
Проведем сравнение угловых перемещений маневрирующей точки и точки, обращающейся по конечной орбите. Углы измеряем от взаимного узла граничных орбит.
Величина tк − tн равна суммарному времени перемещения на угол 2π − uн по начальной орбите, затем времени mTв для m обращений по вспомогательному переходному
эллипсу и, наконец, времени движения по полуэллипсу Гомана с большой полуосью
a = 12 (rн + rк ). За тот же промежуток времени точка на конечной орбите совершит
дуговой путь π − uк + 2πn. Здесь π − uк выражает угловую дальность от начального
положения до финишной точки на конечной орбите. Поэтому запишем
+ πa3/2 = rк3/2 (π − uк + 2πn).
rн3/2 (2π − uн ) + 2πma3/2
в
(16)
Введем обозначение
1
1
(uн − uк σ 3/2 ) +
ς˜ =
2π
2
σ
3/2
σ + 1 3/2
)
−(
2
−1
и равенство (16) приведем к виду
−3/2
ma3/2
= ς˜ + nσ 3/2 .
в rн
(17)
Величина ς˜ определяется исходными данными. Формула (17) некомпланарного перелета является аналогом формулы (6) компланарного перелета. Поскольку ς˜ не зависит
от взаимного наклонения орбит, то представления для ς и ς˜ должны быть эквивалентны. При сопоставлении ς и ς˜ следует принять во внимание, что в п. 2 и в п. 3 разные
начальные точки отсчета углов и для принятых обозначений
uн = 2π − (ϕ− − ϕн ),
uк = 2π − (ϕ− − ϕк ).
Поскольку в п. 3 взято ϕ− = 0, то ς переходит в ς˜ при ϕн = uн − 2π, ϕк = uк − 2π.
Подбор значений m, n и aв , удовлетворяющих (15) и (17), проводится так же, как и в
п. 2 для σ > 1.
111
Величина aв определяется по формуле (17). С помощью (14) найдем
pв = rн (2 − rн a−1
в ),
eв = 1 − rн a−1
в .
(18)
Характеристическая скорость для осуществления требуемой вспомогательной эллиптической орбиты вычисляется на основе формулы (13) и (18):
V11 = ærн−1/2 (eв + cos2 γ1 )1/2 − cos γ1 .
Окончательно получаем
α = V11 V1−1 ,
V12 = (1 − α)V1 .
При γ1 = 0 и при замене rн на pн отсюда следует выражение V11 и V12 для компланарного перехода п. 2.
Summary
V. S. Novoselov. Optimal transfers with subdivision of impulse.
Analytical method of subdivision of impulse in the problem of optimal coplanar and noncoplanar two-impulses transfers in gravitational field is examined.
Литература
1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990.
2. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972.
3. Баринов К. Н., Бурдаев М. Н., Мамон П. А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М., 1975.
4. Новоселов В. С., Щуляк Е. В. Построение оптимальной переходной орбиты с учетом
сопротивления атмосферы, несимметричности Земли и возмущений от Луны и Солнца //
Вестн. Ленингр. ун-та. 1986. Сер. 1. Вып. 2. С. 77–82.
5. Новоселов В. С. Ветвление экстремальных компланарных двухимпульсных траекторий
перехода между близкими околокруговыми орбитами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1992. Сер. 1.
Вып. 2 (N 8). С. 81–87.
6. Новоселов В. С. Оптимизация компланарного перехода между орбитами с малыми эксцентриситетами при дроблении импульса // Пробл. мех. управл. движ. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1988. С. 133–136.
7. Новоселов В. С. Об оптимизации дробления импульса в узловом перелете // Пробл. мех.
управл. движ. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1989. С. 114–118.
Статья поступила в редакцию 14 октября 2004 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
191 Кб
Теги
оптимальное, импульса, перелетыс, дробление
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа