close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимизирующая последовательность вариации структуры управляющего воздействия.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 120–126
Прикладная математика и информатика
УДК 519.81
Оптимизирующая последовательность
вариации структуры управляющего
воздействия
М. В. Грязев, О. А. Кузнецова
Аннотация. Рассматривается задача оптимизации структуры
системы управления. Оптимизация выполняется ЛП τ -поиском с
включением вариаций параметров структуры управления.
Ключевые
слова:
ЛП τ -последовательность,
структура,
оптимизация.
Введение
Опыт проектирования и эксплуатации реальных промышленных
систем управления показывает, что работа систем управления связана с
неопределенностью внешних нагрузок, изменением значений параметров
в процессе работы объекта. Поэтому системы управления, имеющие
PID регуляторы, модульную настройку или подчиненную систему
регулирования могут терять устойчивость [1–3]. Проектирование средств
управления применительно к различным динамическим объектам
является многокритериальной задачей, в которой необходимо учитывать
неопределенность изменения внешних факторов и параметров объекта.
Л.А. Растригин ввел в рассмотрение определения сложного объекта,
структуры, модели, параметров модели и объекта [4, 5]. Использование
определения модели позволяет строить управление u, переводящее
сложный динамический объект (СДО) в требуемое заданное состояние, для
которого необходимо выполнение критериальных ограничений. Вопросы
использования определения структуры модели СДО подробно рассмотрены
в работах [6–8]. Определение структуры управления СДО с учетом
многокритериальности является сложной актуальной задачей.
Известно, что аналитическое решение при синтезе системы управления
возможно только для определенного класса объектов и для математических
моделей, допускающих оптимальное управление, определяемое свойствами
задачи.
Современное
развитие
вычислительной
техники,
достижения
программирования и соответствующий математический аппарат позволяют
Оптимизирующая последовательность вариации структуры воздействия
121
разрабатывать численные поисковые методы формирования структуры
управления СДО.
А.И. Дивеевым [9, 10] и его учениками [11, 12] предложен новый метод
поиска математического выражения для управления СДО.
В настоящей работе предлагается рассмотреть возможность
использования ЛП τ -поиска [6, 13] для численного формирования функции
управления СДО с учетом многокритериальности задачи и принятия
решения из множества Парето.
1. Формализация графа структуры системы управления
Во многих работах по исследованию систем управления и динамических
объектов используют теорию графов [5, 14, 15] для графического и
математического описания структуры st при формировании закона
управления U = ⟨st, a⟩ исследуемого объекта. Однако, несмотря на
преимущества и развитой вычислительный аппарат, использование
ориентированного графа вызывает определенные трудности при подготовке
списка варьируемых параметров. ЛП τ -поиск связан с применением
точек ЛП τ -последовательности, с вычислением варьируемых параметров
по точкам последовательности и кодированием расчетных вариантов.
Программный комплекс [16, 17] предусматривает применение базового
варианта расчета, который в таблицах испытаний (ТИ) и упорядоченной
(ТИУ) введен под номером (-1). Данный прием обеспечивает эффективное
сравнение полученных результатов расчета с исходным базовым вариантом.
Исходя из перечисленных особенностей, при разработке оптимизирующей
последовательности N (irq ), оказалось целесообразным использование
численного метода синтеза структуры, разработанного А.И. Дивеевым
[9–12]. Считаем, что искомое математическое выражение u = f (st (x, a) , a)
определяется ориентированным графом Gu (X, Z), обладающим свойствами
[10] и матрицей Ξi (l, k) , l = 1, mξ , k = l + 1, mξ . Для графа X —
узлы, Z — дуги, а для матрицы l — строка, k — столбец, mξ — размер
матрицы. Матрица Ξ −1 (l, k) — соответствует расчетному базовому
варианту N (irq ) = −1, Ξ i (l, k) — расчетные варианты irq . Элементы
d (l, k) определяют матрицу Ξ−1 (l, k). Элементы d (l, l) главной диагонали
матрицы Ξ−1 (l, k) соответствуют координатам системы x, варьируемым
параметрам a, узлам действий υ и выходным координатам U (x).
С помощью элементов матрицы, расположенных выше диагонали
(Ξi (l,
вычисления по законам ζ (j) , j = 1, kr
√ k) , l ̸= k, k > l),2 выполняются
x
(=, x, |x| , sin (x) , x , e , . . . ), где kr — число операторов. Вычисление
управления U (x) формируется в элементах матрицы, которые соответствуют
узлам U (x). При определении размерности Ξ (l, k) принимаем, что мощность
множества элементов координат — mx , мощность множества варьируемых
параметров — mvp , возможное число узлов операций — mυ и число узлов
управления — mu . Тогда размерность mξ = mx + mvp + mυ + mu .
М. В. Грязев, О. А. Кузнецова
122
Элементы d (l, k) матрицы Ξ (l, k) для варьируемых параметров mvp на
диагонали при l = k вычисляются следующим образом:
если Ξ−1 (l, l) = 0,
′
l = mvp ,
δ (l, l) = a∗i,j
l = 1, mξ , k = l + 1, mξ ,
)
( ∗∗
+ qi,j ai,j − a∗i,j ,
где a∗i,j , a∗∗
i,j — нижний и верхний предел варьируемых параметров, qi,j —
направляющие числа ЛП τ -последовательности [18], i, j - номера точки и
параметра:
(1)
(2)
(m)
qi,j = e1 Vj ∗ e2 Vj ∗ . . . ∗ em Vj , i = 1, n.
В выражении знак * определяет функцию поразрядного сложения.
Арифметический алгоритм приведен в [18].
По заданному i вычисляем:
}
{ m
m
∑
1 ∑ [ { −l }] [ { (l) nk−1−l }]
−k+1
2 i2
2 rj 2
,
qi,j =
2
2
i=k
i=k
m = 1 + [ln i/ ln 2] ,
а затем для j = 1, n.
Скобки [ ] и { } определяют соответственно целую и дробную части
содержимого этих скобок.
Элементы δ (l, k) матрицы Ξ (l, k) для узлов md , выполняющих действия
умножения, сложения на диагонали, при l = k, вычисляются следующим
образом:
′
если Ξ−1 (l, l) ̸= 0, l = mvp ,

l
∑



δ (l, k) ,


1
l
δ (l, l) = ∏
(δ (l, k) > 0) ,



1


0,
l = 1, mξ ,
k = l + 1, mξ ,
если
d (l, l) = 1;
если
d (l, l) = 2;
если
d (l, l) = 0.
Элементы матрицы, расположенные выше диагонали, вычисляются
следующим образом:
если Ξ−1 (l, k) ̸= 0,
l = 1, mξ ,
k = l + 1, mξ ,
{
ζ (j) (δ (l, k)) , если
δ (l, k) =
0.
j = 1, kr ,
d (l, k) = j,
Если при решении задачи многокритериальной оптимизации
ЛП τ -поиском учитывается неопределенность СДО, то задача поиска
оптимизирующей последовательности N (irq ) является адаптационной [5].
Оптимизирующая последовательность вариации структуры воздействия
123
В качестве примера рассматривается задача оптимизации управления
СДО из [19]. В [19] установлен перечень основных элементов функции
управления U (x). Предварительно строится ориентированный граф, узлам
присвоен порядковый номер, дуги имеют индекс j, связанный с выполнением
закона ζ (j) . Для полученного графа Gu (X, Z) строится исходная матрица
Ξ−1 (l, k).
Свойства управляющего воздействия согласно оператору Gu (X, Z)
отражены в матрице Ξ−1 (l, k):


0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 


0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 


0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 


Ξ−1 (l, k) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 


0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 


0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
На диагонали матрице Ξ−1 (l, k) расположены узлы, которые
определены координатами системы (x3 , Msop , ẋ3 , x∗3 ), варьируемые
параметры (a1 , a2 , a3 , a4 ), узлы, определяющие действие υ (+, ∗) и
узел выходной координаты U (x). Недиагональные элементы матрицы
(Ξ−1 (i, j) i ̸= j, j > i) определяют вид закона преобразования переменной
величины. Выходная величина U по матрице Ξ−1 (l, k) определяется
U (x) = a3 x3 + a2 Msop + a3 ẋ3 + a4 x∗3 .
Следовательно, оптимальное решение, сформированное
ЛП
) τ -поиском
(
на множестве Парето, отражает структуру st = f Ξirq (l, k) и значения
оптимальных параметров (a1 , a2 , a3 , a4 ), которые при оптимизации
изменялись в заданном диапазоне a∗i,j 6 ai,j 6 a∗∗
i,j .
2. Мутация графа структуры системы управления
Поиск оптимизирующей последовательности N (irq ) связан с изменением
структуры S. Для этого устанавливают порядок на множестве S.
Если количество структур невелико, то за счет введения кода
структуры в качестве варьируемого параметра ЛП τ -поиском можно
осуществлять решение оптимизационной задачи. Для случая, когда
известна исходная структура (базовый вариант по определению [5]),
М. В. Грязев, О. А. Кузнецова
124
целесообразно использовать «мутацию» структуры δ S и правило отбора
последовательности улучшающихся структур.
S0 → S1 → . . . → SN → SN +1 → . . . ,
обладающих свойством SN ≻ SN −1 N = 1, . . . .
Для отбора используют близость расчетного варианта irq к множеству
Парето P [5,6]. Для изменения St системы управления СДО используем
мутацию графа Gu (X, Z), определяемого матрицей Ξ (l, k). Каждая
вариация графа приводит к построению новой матрицы Ξ i (l, k),
которая описывает новое математическое выражение. Построение
множества S = f (Ξ (l, k)) требует использования большого объема памяти
вычислительных машин для хранения целочисленных матриц, поэтому
для формирования множества применим метод вариации относительно
расчетного базового варианта Ξ−1 (l, k), N (irq ) = −1 [6, 12].
Матрицу Ξi (l, k) представим вектором вариации
W = [W1 , W2 , W3 , W4 , W5 , a1 , a2 , a3 , a4 ]T ,
где w1 — вид мутации (0 — структура не изменяется, 1 — изменение закона
ζ (j) операции на дуге графа, 2 — изменение действий υ операции в узле
графа, 3 — добавление дуги, 4 — удаление дуги, 5 — удаление узла, 6 —
добавление узла) w2 = l, l = 1, mξ , w3 = k, k = l + 1, mξ , w4 — закон
изменения ζ (j) , j = 1, kr .
При вычислении имеем
Ξi (l, k) = Wi ◦ Ξ−1 (l, k) ,
где Ξ−1 — матрица расчетного варианта irq = −1.
Значения вектора вариации получаем также с использованием ЛП τ –
последовательности.
,
W1∗i 6 W1i 6 W1∗∗
i
i = 1, 7,
,
W2∗l 6 W2l 6 W2∗∗
l
l = 1, mξ ,
W3∗k
k = 1, mξ ,
W4∗j
j = 1, kr .
6 W3k 6
W3∗∗
,
k
6 W4j 6
W4∗∗
,
j
Предложенным способом поиска оптимальных расчетных вариантов
системы управления СДО, принадлежащих множеству Парето с учетом
нескольких критериев, получено уточненное решение для управления
следующего вида
St = a3 x3 − a2 Msop − a3 ẋ3 |ẋ3 | + a4 x∗3 .
U (x) = 1, 11x3 − 0, 25Msop − 0, 0077ẋ3 |ẋ3 | + 0, 238x∗3 .
Полученное решение обеспечивает выполнение всех критериальных
ограничений и монотонный характер переходного процесса упругого момента
[19].
Оптимизирующая последовательность вариации структуры воздействия
125
Заключение
При решении задачи многокритериальной задачи оптимизации СДО
ЛП τ -поиском введено математическое описание структуры задачи в виде
специальной матрицы Ξ i (l, k) . Для каждого расчетного варианта irq
устанавливается соответствие математическому выражению. Принимаемое
решение из множества расчетных вариантов, оптимальных по Парето,
определяет численное значение варьируемых параметров и выражение
закона управления U (x) в виде математического выражения координат
состояния и варьируемых параметров.
Список литературы
1. Хлебников М.В., Поляк Б.Е., Кунцевич В.М. Оптимизация линейных
систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных
эллипсоидов) // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 9–59.
2. Александров А.Г., Паленов М.В. Состояние и перспектива развития адаптивных
ПИД-регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2014. № 2. С. 16–30.
3. Aidan O’Dwyer. Handbook of PI and PID controller tuning rules. London: Imperial
College Press, 2009.
4. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами. М.:
Сов. радио, 1980. 232 с.
5. Растригин Л.А. Адаптация сложных систем. Рига.: Зинатне, 1981. 375 с.
6. Кузнецова О.А. Адаптивный метод исследования пространства параметров.
Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 288 с.
7. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация электромеханических
систем с асинхронным двигателем // Приводная техника. 2010. № 6. С. 20–25.
8. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Возможность использования ЛПτ -последовательности при оптимизации динамического объекта // Изв. ТулГУ. Естественные
науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 137–147.
9. Дивеев А.И. Численный метод сетевого оператора для синтеза системы
управления с неопределенными начальными значениями // Изв. РАН. Теория
и системы управления. 2012. № 2. С. 63–78.
10. Пупков К.А., Фам С.Ф., Дивеев А.И. Синтез оптимального управления
динамическим объектом со случайными начальными значениями // Наука и
образование. 2012. № 3. http://technomag.edu.ru/doc/376455.html
11. Синтез системы управления методом сетевого оператора на основе
аппроксимации множества оптимальных траекторий / А.И. Дивеев [и др.] //
XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014: тр. М.:
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С. 8024–8033.
12. Дивеев А.И., Софронова Е.А. Задача структурного синтеза системы
автоматического управления // Вестник РУДН. Сер. Инженерные
исследования. 2007. № 1. С. 48–58.
13. Кузнецова О.А. Формирование управления в пространстве варьируемых
параметров // Сборник научных трудов Sworld. 2010. Т. 5. № 3. С. 61–62.
126
М. В. Грязев, О. А. Кузнецова
14. Растригин Л.А., Эренштейн Р.Х. Метод коллективного распознавания. М.:
Энергоиздат, 1981. 80 с.
15. Корнеенко В.П. Методы оптимизации: учебник. М.: Высшая школа, 2007. 664 с.
16. Афанасьева С.М., Кузнецова О.А. Программный комплекс многокритериальной
оптимизации // Сборник научных трудов SWorld по материалам
международной научно-практической конференции. Одесса: КУПРИЕНКО,
2013. Т. 9. № 1. С. 22–24.
17. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Диалоговая система многокритериальной
оптимизации и синтеза оптимальных законов управления // Сборник
научных трудов SWorld по материалам международной научно-практической
конференции. Технические науки. Одесса: Черноморье, 2010. Т. 4. С. 47–55.
18. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со
многими критериями: учебное пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. 175 с.
19. Грязев М.В., Кузнецова О.А., Сушкин В.А.
Многокритериальная
оптимизация управления двухмассовой электромеханической системы //
Электромеханические системы и комплексы. 2013. № 21. С. 60–70.
Грязев Михаил Васильевич (info@tsu.tula.ru), д.т.н., профессор, ректор,
кафедра математического моделирования, Тульский государственный
университет.
Кузнецова Ольга Алексеевна (o.a.kusnetsova@mail.ru), к.т.н., доцент,
кафедра математического моделирования, Тульский государственный
университет.
Optimizing the sequence variations structure control
M. V. Gryazev, O. A. Kuznetsova
Abstract. We consider the problem of optimizing the structure of the system
management. Optimization is performed by searching with the inclusion of
variations in the parameters of the management structure.
Keywords: Sobol sequences, structure, optimization.
Gryazev Michael (info@tsu.tula.ru), doctor of technical sciences, professor,
rector, department of mathematical modeling, Tula State University.
Kuznetsova Olga (o.a.kusnetsova@mail.ru), candidate of technical sciences,
associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 07.11.2014
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
139 Кб
Теги
структура, управляющем, воздействия, оптимизирующее, последовательность, вариаций
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа