close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оснащения и Аффинные связности на распределениях конформного пространства.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (480)
УДК 514.756.2
А.В. СТОЛЯРОВ
ОСНАЩЕНИЯ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА
В работе во 2-й дифференциальной окрестности внутренним образом строятся различные инвариантные полные оснащения распределений m-мерных линейных элементов M, погруженных
в n-мерное собственно конформное пространство Cn, а также изучаются свойства аффинных
связностей, индуцируемых при этом на подмногообразии M. Индексы принимают следующие
значения:
; ; = 0; n + 1; I; K; L = 0; n; I; K; L = 1; n; i; j; k; l; s; t = 1; m;
i; j; k = 0; m; ; ; = m + 1; n:
Рассмотрим собственно конформное пространство Cn; отнесем его к подвижному полуизотропному [1] реперу R = fA g, состоящему из двух точек A , An и n гиперсфер AK действительных ненулевых радиусов, проходящих через эти точки. Если скалярные произведения
(A A ) элементов выбранного репера обозначить через g , то справедливо [2]
1.
0
+1
0
kg k = 0
1
0 1
gIK 0 ; g = g ;
(1)
0 0
причем в собственно конформном пространстве Cn матрица kgIK k является невырожденной и
положительно определенной.
Известно [1], [2], что все точки конформного пространства Cn отображаются в точки неподвижной действительной овальной гиперквадрики Дарбу Qn проективного пространства Pn :
gIK xI xK + 2x xn = 0;
где x | координаты точек P 2 Cn относительно репера R.
При бесконечно малом преобразовании конформной группы L (т. е. стационарной подгруппы
абсолюта Qn Pn ) элементы конформного репера R получают приращения, главную часть
которых определяют дифференциалы dA , являющиеся гиперсферами. Эти дифференциалы
разлагаются по элементам исходного репера R в виде
2
0
2
+1
+1
+1
dA = !A ;
(2)
зависят от параметров группы L; при этом число
где дифференциальные формы
Пфаффа
!
линейно независимых форм ! равно числу (n+1)(n+2)=2 независимых параметров этой группы.
Условиями полной интегрируемости системы уравнений (2) являются следующие структурные
уравнения:
D! = ! ^ ! :
52
Кроме того, в силу соотношений (1), (2) формы ! удовлетворяют следующим линейным зависимостям [2]:
!n = !n = 0; ! + !nn = 0;
!I + gIL!nL = 0; !In + gIL !L = 0;
dgIK ; gIL !KL ; gLK !IL = 0:
2. Согласно [3] дифференциальные уравнения взаимно ортогональных распределений M и
N соответственно m-мерных и (n ; m)-мерных линейных элементов (A ; Lm ) и (A ; Ln;m ) в
полуортогональном (gi = (Ai A ) = 0) и полуизотропном репере R 0-го порядка (Ai 2 Lm,
A 2 Ln;m) имеют вид
!i = iK !K ;
(3)
!i = iK !K ;
(4)
где
gij jK + g iK = 0:
(5)
Каждая из систем функций gij , g образует невырожденный положительно определенный симметричный тензор:
dgij ; gik !jk ; gkj !ik = 0; dg ; g ! ; g ! = 0;
(6)
p
p
g = jgij j > 0; d ln g = !kk ; g = jg j > 0; d ln g = ! ;
(7)
j
gik gkj = i ; g g = ;
dgij + gik !kj + gkj !ki = 0; dg + g ! + g ! = 0:
(8)
Продолжая уравнения (3), (4), имеем
(a) rij + ij ! ; gij !n = ijL !L;
(9)
(б) ri + i ! ; !i = iL!L;
0
+1
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
1
def
1
2
def
2
0
0
+1
0
0
0
0
0
ijk = i jk ; i = is s ;
ij ; ij = i j ; is sj ;
[
]
[
]
[
]
[
]
(a) rij + ij ! ; ji ! = ijL !L;
(б) ri + i ! ; g !ni = iL!L;
0
0
0
(10)
0
0
0
+1
0
i jk = i jk ; i = iss ;
ij ; ij = i j ; is sj :
Из уравнений (9(a)), (10(б)) следует, что каждая из систем функций ij , i образует кососимметричный тензор 1-го порядка; обращение в нуль тензора ij или i есть условие
голономности распределения M или N соответственно.
3. Пространство Cn называется нормализованным [4], если в нем задано дифференцируемое
точечное соответствие A ! Xn , Xn 6= A (A | нормализуемая точка, Xn | нормализующая точка пространства Cn). Известно [3], что при задании взаимно ортогональных распределений M и N нормализация пространства Cn равносильна тому, что в каждом центре A к
m-мерному и (n ; m)-мерному элементам Lm и Ln;m подмногообразий M и N присоединены
инвариантные касательные m-сфера [P ] и (n ; m)-сфера [Pi ] соответственно, проходящие через
[
]
[
]
[
]
[
]
[
[
0
+1
+1
0
0
]
]
[
]
[
]
+1
0
53
точки A и Xn ; при этом каждое из распределений M и N согласно терминологии М.А. Акивиса
[2] назовем вполне оснащенным (или просто оснащенным). В силу ортогональности элементов
Lm и Ln;n (n ; m)-сфера [Pi ] является нормальной по отношению к Lm в соответствующем
центре A .
Гиперсферы Pi , P и точка Xn имеют следующие разложения:
Pi = Ai + xi A ; P = A + xA ;
Xn = ; 21 (gij xi xj + g xx )A ; gij xj Ai ; g x A + An ;
здесь функции xi , x подчинены уравнениям [3]
(a) rxi + !i = xiK !K ;
(11)
(б) rx + ! = xK !K :
Если в (11) выполняется лишь одна из систем уравнений ((а) или (б)), то говорят [2], что
задано частичное оснащение распределения M (или N). Например, если выполнена система
уравнений (11(а)), то имеем частичное оснащение распределения M полем нормальных (n ; m)сфер [Pi ] (нормальное оснащение, см. [2], [3]); если выполнена система уравнений (11(б)), то
говорят, что задано частичное оснащение распределения M полем касательных m-сфер [P]
(касательное оснащение, см. [2], [3]).
Показано [3], что
1) инвариантное полное оснащение каждого из взаимно ортогональных распределений M и
N, погруженных в собственно конформное пространство Cn , определяется внутренним образом
в первой дифференциальной окрестности полями квазитензоров
(12)
i = ; n ;1 m i ; = ; m1 jj ;
2) в дифференциальной окрестности ниже 3-го порядка невозможно построить внутренним
образом инвариантное полное оснащение поверхности Vm Cn; инвариантное касательное оснащение ее определяется внутренним образом во 2-й дифференциальной окрестности полем квазитензора .
4. Во 2-й дифференциальной окрестности построим полные оснащения распределения M в
Cn, определяемые внутренним образом.
В силу уравнений (6), (8), (9(а)) на распределении M в Cn каждая из следующих систем
функций образует тензор первого порядка:
aij = ij ; m1 gij gts st ; raij + aij ! = aijK !K ;
(13)
K
a = gis gjt aij ast; ra + 2a ! = a
(14)
K! ;
Aij = g gst ais ajt ; rAij + 2Aij ! = AijK !K ; A ij = A ij K = 0:
(15)
Отметим, что поля этих тензоров определены и на поверхности Vm Cn, но принадлежат 2-й
дифференциальной окрестности точки A Vm.
С использованием уравнений (8), (9(б)) убеждаемся, что на распределении M (m < n ; 1)
каждая из следующих систем функций также образует тензор первого порядка:
bi = i ; n ;1 m i ; rbi + bi ! = biK !K ;
(16)
b = gst bs bt ; rb + 2b! = bK !K ;
(17)
Bij = bi bj ; rBij + 2Bij ! = BijK !K ; B ij = B ij K = 0:
(18)
0
+1
0
+1
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
def
def
def
0
0
def
0
0
0
def
0
0
0
[
0
]
[
0
def
0
0
def
def
0
0
0
0
0
54
0
0
[
]
[
]
]
Заметим, что на поверхности Vm Cn поля тензоров (16){(18) отсутствуют, а на распределении
гиперплоскостных элементов (m = n ; 1) тензоры (16){(18) обращаются в нуль.
Предполагая, что на распределении M
(или на поверхности Vm) при некотором фиксированa
ном a = 1; 3 относительный инвариант A первого (второго) порядка, где
s
q
q
A = m jAgij j ; A = g a ; A = n;m ja jg ;
(19)
отличен от нуля, в силу уравнений (6), (7), (14), (15) находим
1
def
2
2
3
def
def
2(
)
2
1
a
a
d ln A + ! = AL !L; a = 1; 3;
здесь
0
0
(20)
0
AL = 2mAks AksL ; Aik Akj = ji ; rAij ; 2Aij ! = ;Ais Ajt AstL !L:
1
0
0
0
(21)
При m = n ; 1 относительные инварианты A и A совпадают.
Аналогично, предполагая, что на распределении
M (m < n ; 1) при некотором фиксированa
ном a = 1; 3 относительный инвариант B первого порядка, где
s
q
q
m
B = jBgij j ; B = b ; B = n;m jbj;
отличен от нуля, в силу уравнений (7), (17), (18) имеем
2
3
Замечание.
1
def
2
2
3
def
def
2(
)
1
a
a
d ln B + ! = BL !L ; a = 1; 3;
где, например,
0
0
(22)
0
BL = 2mBks BksL ; Bik Bks = ji :
Продолжая уравнения (20), (22), получим
1
a
a
a
a
a
(a) rAi + Ai ! + !i = AiL!L; A ij = ;A ij ;
a
a
a
(б) rA + A! + ! = AL!L;
0
0
0
0
0
a
[
0
0
a
]
[
]
0
a
(a) rBi + Bi! + !i = BiL !L;
a
a
a
(б) rB + B! + ! = BL!L:
a
a
a
(23)
0
0
0
0
0
a
0
0
(24)
0
Отметим, что все квазитензоры Ai , A, Bi, B принадлежат
окрестности 2-го порядка обраa
зующего элемента распределения M; квазитензоры Ai определены и на поверхности Vm Cn и
охвачены ее компонентами фундаментального объекта 3-го порядка.
Сравнение уравнений (23) и (24) с соответствующими уравнениями (11) доказывает справедливость следующих предложений.
Теорема 1. Различные попарные сочетания нормальных и касательных оснащений распре-
ma-мерных
линейных элементов M в Cn , определяемых полями квазитензоров соответa
ственно Ai , A , a = 1; 3 (см. (23)), во 2-й дифференциальной окрестности внутренним образом
деления
индуцируют
M;
а) при m 6= n;1 девять (в общем случае) инвариантных полных оснащений подмногообразия
б) при m = n ; 1 четыре инвариантных полных оснащений подмногообразия M.
55
a
Поля квазитензоров 3-го порядка Ai , a = 1; 3, внутренним образом определяют
а) при m 6= n ; 1 три (в общем случае) нормальных оснащения поверхности Vm Cn;
б) при m = n ; 1 два нормальных оснащения гиперповерхности Vn; Cn.
Каждое из этих полей вместе с полем квазитензора 2-го порядка (см. (12)) в 3-й дифференциальной окрестности задает внутреннее полное оснащение подмногообразия Vm.
Теорема 2. При m < n ; 1 различные попарные сочетания нормальных и касательных
оснащений распределения m-мерных линейных элементов M в Cn , определяемых полями кваa a
зитензоров соответственно Bi , B , a = 1; 3 (см. (24)), во 2-й дифференциальной окрестности
внутренним образом индуцируют девять (в общем случае) инвариантных полных оснащений
Следствие.
1
подмногообразия
M.
Из теорем 1 и 2 следует, что при m < n ; 1 в общем случае во 2-й дифференциальной окрестности имеем тридцать шесть инвариантных полныхa оснащений
распределения
a a a
M в Cn , определяемых внутренним образом полями квазитензоров Ai , A , Bi , B .
Замечание 2. В случае распределения M гиперплоскостных элементов (m = n ; 1) в предположении невырожденности тензора anij (см. (13)), т. е. a = janij j 6= 0, согласно [3] в качестве
a
относительного инварианта типа A (см. (19)) можно взять
r
A = n; ga ; d ln A + ! = AL!L;
при этом поля квазитензоров Ai , A во 2-й дифференциальной окрестности внутренним образом
определяют полное оснащение подмногообразия M.
5. В [5] доказано, что при полном оснащении распределения M, погруженного в конформное
пространство Cn, полями квазитензоров xi , x (см. (11)) в расслоении линейных элементов Lm
подмногообразия M индуцируется вейлево пространство Wn;m (вообще говоря, с кручением)
с полем метрического тензора gij и дополнительной формой = ! ; xL!L, базой которого
является пространство Cn, а слоевыми формами |
Замечание 1.
def
def
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
j = !j ; ji = !ij ; ij (! ; xL !L ) + gjk xk !in + xi !j ;
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
(25)
тензоры кручения rj KL и кривизны rjiKL пространства Wn;m имеют соответственно вид
0
0
0
rj st = 0; rj s = ;(js + x sj ); rj = 2j ;
(26)
rjiKL = 2[gst xt xs gi K jL ; gjs xs gi K tL xt + xi K jL +
+i K jjjL ; xi xs sK jL ; gjs xs i K gL ; gjs xs K gL i +
+ij (xs K sL ; xs s K L + x K L + x sK jsjL)]:
(27)
Заметим, что на поверхности Vm Cn в силу ! = 0 для получения форм вейлевой связности
ji (см. (25)) достаточно задать ее частичное оснащение, определяемое полем квазитензора xk ,
т. е. достаточно задать нормальное оснащение подмногообразия Vm.
Другая аффинная связность r на вполне оснащенном распределении M согласно работе [6]
определяется системой форм f!I ; ij g, в которой слоевые формы ij получаются в результате
преобразования
j !K :
ij = ji + ;iK
0
0
0
0
[
0
[
0
0
0
0
]
0
0
0
[
]
[
0
0
0
0
]
[
0
]
[
]
0
[
]
0
]
]
0
[
]
[
[
[
0
]
[
0
0
0
0
0
0
56
Требование, чтобы система форм ij удовлетворяла структурным уравнениям Картана{Лаптева
[7], [8]
j !K ^ !L;
Dj = k ^ kj + 21 rjKL !K ^ !L; Dij = ik ^ kj + 12 riKL
равносильно следующей системе дифференциальных уравнений:
d;j K + ;j K ! ; ;j L!KL + ;sK js ; ;jtK t + ;t K ;jtL !L + 12 rj LK !L = ;e j KL!L ;
(28)
d;jiK + ;jiK ! ; ;jiL!KL ; ;jtK ti + ;tiK jt ; ;tiL ;jtK !L + 12 rjiKL !L = ;e jiKL !L;
(29)
причем
j = ;2;
ej
rjKL = ;2;e j KL ; riKL
(30)
i KL :
Расписывая с учетом (25) уравнения системы (28) при K = s, K = , убеждаемся, что
каждая из систем функций ;j s и ;j есть тензор:
d;j s ; ;j t!st + ;t s!tj = ;j sL !L ;
(31)
d;j ; ;j ! + ;t !tj = ;j L !L;
в уравнениях (31) функции ;j sL, ;j L имеют вид
;j sL = ;e j sL + ;j sL ; ;j sxL + ;ksgjt xt gkL ; ;ks xk Lj + ;jLs ; ;t s;jtL + 21 rj sL (;js = 0); (32)
;j L = ;e j L + ;j k kL ; ;j xL + ;kgjt xt gkL ; ;kxk Lj + ;jtLt ; ;t ;jtL + 12 rj L: (33)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0[
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ниже будем считать, что j j = !j , следовательно,
;j s = ;j = 0:
(34)
Из дифференциальных уравнений (31) с учетом равенств (34) находим
;j sL = ;j L = 0:
(35)
Теперь из соотношений (30) с использованием выражений (26), (32){(35) получим компоненты
тензора кручения пространства An;m
rjst = ;2;jst ; rjs = ;rjs = js + x sj + ;js ; rj = 2j :
(36)
Из уравнений (29) при K = s и K = находим
(37)
r;jis + ;jis ! = ;jisL!L; r;ji + ;ji! = ;jiL!L;
в уравнениях (37) функции ;jisL, ;jiL имеют вид
;jisL = ;e jisL + ;ji sL ; ;jks gkl xl giL + ;jks xi Lk + ;kiL;jks + ;kis gjl xl gkL ; ;kis xk Lj + 12 rjisL; (38)
;jiL = ;e jiL + ;jik kL ; ;jk gkl xl giL + ;jkxi Lk + ;kiL;jk + ;kigjl xl gkL ; ;ki xk Lj + 12 rjiL: (39)
0
0
0
0
0
0
0
0
[
]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[
]
0
0
0
0
0
0
0
Уравнения (37)j показывают, что каждая из систем функций ;jis , ;ji ecть тензор; ниже в
качестве тензора ;i возьмем
;ji = 0:
(40)
Тогда в силу (37)
;jiL = 0:
(41)
57
Из соотношений (30) с использованием (38){(41) находим компоненты
j = ;2(;j + g kl x ;j g + x ;j ; ;j ;k ; g jl x ;k g + x ;k j ) + r j ;
rist
(42)
ist
l ks ti
i st
l is tk
k is t
i st
k s jijt
j = ;r j = ;j + ;j k + r j ;
ris
(43)
is
is
is
ik s
j = 2;j k + rj
ri
(44)
ik i
тензора кривизны пространства аффинной связности An;m.
Таким образом, доказана
Теорема 3. На вполне оснащенном распределении m-мерных линейных элементов M в Cn ,
j
кроме вейлева пространства Wn;m , определяемого слоевыми формами (25), при задании на
i
j
подмногообразии M поля тензора ;ik индуцируется пространство аффинной связности An;m
[
0
]
0
]
[
[
]
0
]
[
0
0
]
[
[
]
0
0
[
]
0
со слоевыми формами
j = j ; ij = ji + ;jik !k ;
(45)
причем тензоры кручения и кривизны пространства An;m имеют соответственно вид (36) и
(42){(44).
6. Продолжая уравнения (15), имеем, в частности,
rAijk + 3Aijk ! + Aij !k + A ij !k ; As i gj k gst !t = AijkL !L:
(46)
Предполагая, что распределение M частично оснащено полем квазитензора xi (т. е. задано
нормальное оснащение его полем (n ; m)-сфер [Pi ]), возьмем охват
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
(
)
0
)
0
0
Dijk = Aijk ; Aij xk ; A ij xk + As i gj k gst xt ; D ij k = 0;
1
def
0
0
(
(
)
1
0
)
[
]
(47)
согласно уравнениям (11(а)), (15), (46) совокупность функций Dijk на распределении M образует
тензор порядка не ниже второго (на поверхности Vm Cn | не ниже третьего):
1
rDijk + 3Dijk ! = DijkL !L:
В силу соотношений (21), (47) справедливо
Aij Dijk = 2m(Ak ; xk );
следовательно,
Aij Dijk
Dijk (см. (47))
xk
Ak
.
j
В силу уравнений (21), (48) в качестве тензора ;ik (см. (37)) можно взять охват
1
1
1
0
0
1
0
1
(48)
0
1
тензоры
и
аполярны тогда и только тогда, когда в компонентах тен-
1
зора
0
в качестве функций
1
берется квазитензор
второго порядка
1
;jik = Ajs Dsik ;
1
(49)
1
def
следовательно, согласно (45), (49) слоевые формы связности r на вполне оснащенном распределении M примут вид
1
j = j ; ji = ji + Ajs Dsik !k :
(50)
Дифференциальные уравнения (15) с использованием выражений (25), (50) запишутся в виде
1
0
0
1
0
0
1
0
dAij ; Aik kj ; Akj ki = (Aij ; 2Aij x )!:
Таким образом, справедлива
0
1
0
58
0
(51)
r r
0
Теорема 4. Аффинные связности
1
и
Wn;m и An;m , индуцируемые полным
1
пространств
M в Cn , сопряжены [9] относительно поля симметричного тензора
Aij вдоль любой кривой, принадлежащей подмногообразию M.
Заметим, что этот результат справедлив и на нормально оснащенной поверхности Vm Cn;
в этом случае в силу ! = 0 уравнения (51) запишутся в виде
оснащением распределения
первого порядка
0
dAij ; Aik kj ; Akj ki = 0:
0
1
(52)
На нормально оснащенной поверхности Vm Cn тензор кручения rj st связности r в силу
соотношений (36), (49) имеет вид
1
1
0
rj st = ;2Ajk Dk st :
(53)
1
1
[
0
]
Тензор кривизны rjist связности r имеет строение (42), где в качестве ;jik взят тензор ;jik (см.
(49)). Приведем вычисление компонент тензора rjist , используя сопряженность связностей r и
r относительно поля симметричного тензора Aij . Замыкая уравнения (52), имеем
1
1
1
0
1
1
Aik rkjst + Ajk rkist = 0;
0
откуда непосредственно находим
1
rjist = ;Aik Ajl rklst ;
1
(54)
0
здесь компоненты тензора кривизны rklst связности r имеют строение (27).
Из выражений (54) получим
rkkst = ;rkkst = 2r st ;
где r st | объемный тензор [9] вейлева пространства Wm;m. Таким образом, если пространство
Am;m имеет нулевое кручение (см. (53)) (заметим, что пространство Wm;m Am;m без кручения,
см. (26)), то r st = r st . Следовательно, справедлива
Теорема 5. Если на нормально оснащенной поверхности Vm Cn связность пространства
Am;m не имеет кручения, то вейлево пространство Wm;m является римановым тогда и только
тогда, когда связность пространства Am;m эквиаффинна.
0
0
1
0
0
[
]
0
[
]
1
0
1
0
[
]
[
]
1
1
Так как аффинная связность r, средняя [9] по отношению к r и r, определяется слоевыми
формами ji = (ji + ji ), то из уравнений (52) следует
01
01
1
2
0
0
1
1
dAij ; Aik kj ; Akj ki = 0:
01
01
Последние уравнения в случае нулевого кручения связности r доказывают следующее предложение.
Теорема 6. Если на нормально оснащенной поверхности Vm Cn связность r, средняя
по отношению к аффинным связностям r и r пространств Wm;m и Am;m , имеет нулевое
кручение, то она является римановой с полем метрического тензора Aij .
01
01
0
1
59
1
Предположим, что m < n ; 1; в этом случае наряду с полем тензора Dijk (см. (47)) на
нормально оснащенном распределении M в Cn можно рассмотреть поле тензора
1
7.
Dijk = Bijk ; Bij xk ; B ij xk + Bs i gj k gst xt ; D ij k = 0;
2
def
0
0
(
(
)
rDijk + 3Dijk !
2
2
0
0
2
0
)
[
(55)
]
= DijkL !L:
2
0
В силу уравнений (18), (55) в качестве тензора ;jik (см. (37)) можно взять ;jik = Bjs Dsik , следовательно, слоевые формы связности r пространства An;m, индуцируемого на вполне оснащенном
распределении M (m < n ; 1), примут вид
2
2
2
2
j = j ; ji = ji + Bjs Dsik !k :
Справедливы уравнения, идентичные уравнениям (51),
2
0
0
2
0
0
2
0
dBij ; Bik kj ; Bkj ki = (Bij ; 2Bij x)! ;
последнее доказывает следующее предложение, аналогичное теореме 4.
Теорема 7. Аффинные связности r и r пространств Wn;m и An;m , индуцируемых полным
оснащением распределения m-мерных линейных элементов M в Cn (m < n ; 1), сопряжены
относительно поля симметричного тензора Bij вдоль любой кривой, принадлежащей подмно0
2
0
гообразию
M.
0
2
0
2
Литература
1. Бушманова Г.В., Норден А.П. Элементы конформной геометрии. { Казань: Изд-во Казанск.
ун-та, 1972. { 178 с.
2. Акивис М.А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей // Матем. сб. { 1961. { Т. 53. { Є 1. { С. 53{72.
3. Столяров А.В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных распределений // Чувашск. гос. пед. ун-т.- Чебоксары, 2000. { 21 с. { Деп в ВИНИТИ 13.03.00, Є 629-B00.
4. Норден А.П. Конформная интерпретация пространства Вейля // Матем. сб. { 1949. { Т. 24.
{ Є 1. { С. 75{85.
5. Столяров А.В. Линейные связности на распределениях конформного пространства // Изв.
вузов. Математика. { 2001. { Є 3. { C. 60{72.
6. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюзн.
матем. съезда. { 1964. { Т. 2. { С. 226{233.
7. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем.
о-ва. { 1953. { Т. 2. { С. 275{382.
8. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические
структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геометрии. { 1979. {
Т. 9. { 246 с.
9. Норден А.П. Пространства аффинной связности. { М.: Наука, 1976. { 432 с.
Чувашский государственный
Поступила
28.03.2001
педагогический университет
60
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
160 Кб
Теги
аффинных, конформной, пространство, связность, оснащении, распределение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа