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Оценки осциллирующих интегралов от функций нескольких переменных.

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?????????????? ??????
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
ќценки осциллирующих интегралов
от функций нескольких переменных
?????????: ???????? ?????? ????????????? ?????????? ??? ?????? ??????? ?????? ??????????.
???????? ?????: ????????????? ?????????, ?????? ??????????.
2
????? D ? R ????????, ?????????, ???????????? ???????,
??????? u(x, y) ? f(x, y) ?????????? ? ??????? D ? ?????
I = I(u) =
(1)
? ? u(x, y)exp{i?f(x, y)}dxdy.
D
??????? ??????? ??????????????,
?????? ??????-?????????????? ????, ????????? ??????? ?????? ?????????? ????.
??????? ????? ????????????,
???????? ?????????????? ????, ?????? ??????? ?????? ?????????? ????.
e-mail: rgsukvm@mail.ru
????? ????? P0 ? D, ? ??????? |f(P) ? f(P0)| ??????? ?? ????? ??????? ??????????? ????? P0 ? ?????? P ??????? ??
??????? ?D ??????? D. ????? ???????? ????? ????? ??????????? ??????? ???????. ??? ??????????? ???????? ?????
???????, ??? ??????? D ???????? ?????? ?????????, ????? P0 = (0; 0) ? f(P0) = 0. ????? x = ?cos?, y = ?sin?,
0 ? ? ? 2?, 0 ? ? ? ?(?), ??? ? = ?(?) ?????????? ??????? ??????? D ? ???????? ???????????.
??????? 1. ????? ??? ?????? ????????????? ?, ? ? [0; 2?] ??????? u(?) = u(?cos?, ?sin?) ??????????? ?????? Lip?[0, ?(?)], ?. ?.
????????????? ???????????
?
|u(?2) ? u(?1)| ? C|?2 ? ?1| , 0 < ? ? 1,
??????? G(?) = f(?cos?, ?sin?) ????????????? ???????????
?
|G(?)| ? s(?)? , ? ? 1,
s(?) ? 0,
(2)
? ??? ????????? ?, 0 < ? ? 1 ?????????? ????????
2?
1 - d? = A < +?.
? -----------?
?
0
s (?)
?????
+? ?
? ? ? min ? 1------------, ? ?
? ?
?
? ?
? , ? > 1 + 1/?
O
?
? ?
?
?
?
|I(u)| = ? ?
? min ( ?, ? )
?
ln ? ), ? = 1 + 1/?
?O(?
?
? O ( ? ?min ( ?, ? ) ), 1 ? ? < 1 + 1/?
??? ?????????? ? ????? ЂOї ??????? ?? ?, ?, ?, diamD ? ???????? ??????? D ? max u ( x, y ) .
( x, y ) ? D
??? ?????????????? ??????? ??? ??????????? ????????? ????? ?? ?????? [4]:
263
?????? ???????
? 13, 2009
????? 1. ????? ?? ?????????? [a, b), (b ? ???????? ????? ??? +?), ??????? v(x) ???????????? ? ??
??????????, ??????? f(x) ????????? ?????????? ? ??????? ???? ? ????? 0 < t1 < t2 < ..., 0 < ?1 < ?2 < ...
???????????????? ????? ?????????????? ????????? sin?f(x) = 0 ? cos?f(x) = 0. ????? ???????? ?????
?k ? (tk, tk + 1) ? zk ? (?k, ?k + 1), k = 1, 2, 3, ... ?????, ???
?k + 1
Zk + 1
? v(x)sin?f(x)dx = 0,
? v(x)cos?f(x)dx = 0
?k
Zk
(3)
?????????????? ??????? 1.
?????????? ?????? ????? ????????? (1)
?(?)
2?
ImI(u) =
?
?
d?
0
2?
?u(?)sin?G(?)d? =
0
? J(?)d?,
0
?(?)
??? J(?) =
? ?u(?)sin?G(?)d?. ??????? F(?) ????????? ?????????? ? ??????? ???? ??? ????????? ???0
???? ? ??????? ?????. ????? ??? ?????????????? G(?)?????????? ? ??????? ????, ????? ????? ???????????
??????? ? G(?). ????????????? ?????? 1, ??? v(x) = 1. ????? ???????? ????? ?k, k = 1, ..., m, ?m = ?(?), x0 = 0,
?k ? (?k, ?k + 1), ??? ?k ? ?????? ????????? ?G(?k) = ?k, ?????, ???
?k + 1
? sin?G(?)d? = 0, k = 1, ..., m ? 1.
?k
??????
?k
m
J(?) =
?
? [?u(?) ? ?k ? 1u(?k ? 1)]sin?G(?)d?.
(4)
k = 1 ?k ? 1
??? ??? ??????? u(?)? Lip?[0, ?(?)], ??
|?u(?) ? ?k ? 1u(?k ? 1)| ? ?|u(?) ? u(?k ? 1)| + |? ? ?k ? 1||u(?k ? 1)| ?
?
?
? C?diamD|??k| + |??k| max u ( x, y ) ? C1|??k| ,
( x, y ) ? D
??? C1 = C1(u, D) = (C + max u ( x, y ) )(1 + diamD).
( x, y ) ? D
?????????????, ?? (4) ???????
|J(?)| ? C1
m
1+?
? |??k| ,
(5)
k=1
??? ??? ?k ? (?k, ?k + 1), ?? ??k = ?k ? ?k ? 1 ? ?k ? ?k ? 2 ? ??k + ??k ? 1 ? 2??k ? 1 ??? k ? 2 ? ??1 ? ??1 = ?1.
?????????????, ?? (5) ?????:
m?1
m
m?1
?
? 1+?
1+?
1+?
1 + ??
1 + ??
.
+ ? ?? k
+ 2 ? ?? k
|J(?)| ? C1 ? ?? 1
? ? C1 ? ? 1
? ? 3C1 ? |??k|
?
?
?
?
k=1
k=2
k=1
??? ??? ??????? G(?)????????? ?????????? ? ??????? ????, ?? ?????????????????? ??k ????????? ?,
?
????????????? ??k ? ----k- .
k
??????
|J(?)| ? 3C1
?k
? ?? ----k-??
m?1
1+?
.
(6)
k=1
???????? ?????????? [0; 2?] ?? ??? ????????? E1 ? E2. ? ??????? ????????? ??????? ????? ?, ? ? [0; 2?],
?????, ??? ?s(?) ? 1, ??? ? ? E1. ? ????????? E2 ??????? ????????? ????? ??????? [0; 2?]. ??? ???
2?
A? =
?
1
1
- d? ? ? ------------- d? ? ? ?µ(E1),
? -----------?
?
0
264
s (?)
E1 s
(?)
?????????????? ??????
??? µ(E1) ? ???? ????????? E1, ??
A
µ(E1) ? -----? .
?
?
(7)
??? ????? ????????? E2 ?? (6) ?????
|J(?)| ? 3C1 ?
?
? 3C1 ?
?
?
k ? ?S ( ? )
??
----k-?
? k?
1+?
+ (?(?))
?
k ? ?S ( ? )
1+?
?
? k?
? ---? k?
k ? ?S ( ? )
1+?
?1
---?
? k?
?
+
k ? ?S ( ? )
? k?
? ---? k?
1+?
? ?
?
? k? 1 + ? ( diamD ) 1 + ??
? ? 3C ??
? ---+ ------------------------------? ?
?
1
?
?
? k ? ?S ( ? ) ? k ?
( ?s ( ? ) ) ?
1+?
? 1+?
?
?
1
? C2 ? ? ? ----k-?
+ ----------------------? .
?
?
?
k
? k ? ?S ( ? )
( ?s ( ? ) ) ?
??? ?????????? C2 ??????? ?????? ?? ???????? ??????? D ? max u ( x, y ) . ??? ??? ?G(?k) = ?k, ?? ? ?????? (2)
( x, y ) ? D
?????:
1+?
?
?
------------?? ? ? ?
?
1
1
- + ----------------------? .
|J(?)| ? C2 ? ------------------? ---------------------------?
?
1
+
?
?
(
?s
(
?
)
)
?
k ? ?S ( ? ) 1 + ? ? ------------- ( ?s ( ? ) ) ?
?
?
?
k
1+?
????? ? > ------------- , ?. ?. ? > 1 + 1/?. ??? ??? ???
?
(8)
?
1
- ????????, ??
? ---------------------------1+?
k = 1 1 + ? ? -----------?
k
1
-.
|J(?)| ? C2C(?, ?) ----------------------------( ?s ( ? ) )
1+?
------------?
??????
?(?)
2?
|ImI(u)| =
?
J ( ? ) d? =
0
? J ( ? ) d? +
? J ( ? ) d? ? µ(E1) max
? ?u ( ? ) sin ?G ( ? ) d? +
E1
E2
0
0 ? ? ? 2?
2
A?
C3
1
(--------------------diamD ) - ------------1
----max
u
(
x
,
y
)
-------------------------- ? -------------------------d?
?
+
d?.
?
1
+
?
1
+
?
?
1
+
?
1-----------+ ?2
------------- E
------------------------- E
( x, y ) ? D
?
2
2
?
?
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?
?
(s(?) )
?
(s(?))
C3
+ -------------
1+?
???? ------------- ? ?, ?? ???????? ???????? ?
?
? 1 ?
|ImI(u)| = O ? --------------? .
1 + ??
? -----------?? ? ?
?
?
1+?
???? ------------- > ?, ??
?
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E2
1
-------------------------- d? =
(s(?))
1+?
------------?
1+?
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1+?
------------- ? ?
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s(?)
- d? ? ?
? ------------------------------?
s(?)
E2
@??
1
? ------------?- d? ? A??
E2
s(? )
?
? 1?
|ImI(u)| = O ? ----?.
? ? ??
??????????? ?????? ????? ? ??? |ReI(u)|. ?????? ????? ??????? ????????.
265
(9)
?????? ???????
? 13, 2009
1+?
????? ?????? ? = ------------- . ????? ?? (8) ?????:
?
? ln ? ?
|J(?)| = O ? -----------------------?
? ( ?S ( ? ) ) ??
1+?
? ????? ??? ? ??? ?????? ? > ------------- ???????:
?
? ln ? ?
|ImI(u)| = O ? ---------------------?.
? ? min ( ?, ? )?
+ ?- . ?????
?????????? ?????? ? > 1-----------?
1+?
------------- ? ??
?
?
1
---------------------------(
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(
?
)
)
=
O
?
?
?
1+?
?
?
k ? ?S ( ? ) 1 + ? ? ------------?
k
? ?? (8) ???????:
?
?
1
|J(?)| = O ? -----------------------? .
? ( ?S ( ? ) ) ??
???????? |ImI(u)| ??? ? (9) ???????
?
?
1
|ImI(u)| = O ? ----------------------? .
? ? min ( ?, ? )?
??????? ????????.
??????? 1 ????????? ????????? ????????????? ?????????, ? ????? ??????? ??????????? ??? ??????????? ? ??????????????? ?????? ?????, ? ????? ? ?? ???????????????? ?????. ?????????? ? ???????? ??????? ????????????? ????????
p q
? ? u(x, y)exp{i?|x| |y| }dxdy
|ImI(u)| =
D
??? ????????? ???????? ? ???????????? ??????? D ???????? ?????? ?????????, p ? 1, q ? 1, p ? q ???????p
q
??????? ?????, u(x, y) ? Lip1(D). ??? ??? ? = 1, ? = p + q ? 2, s(?) = |cos?| |sin?| ? ????????
2?
1 d? = A? < +?
? -----------?
0
s (?)
1
??? ????? ? < ?0 = --- , ?? ?? ??????? 1 ?????:
p
? 1?
|I(u)| = O ? -----? .
? ? ??
(10)
??? ? = p + q > 2 ?
? ln ??
|I(u)| = O ? --------?
? ?? ?
1
??? ? = p + q = 2, ??? ? ????? ????????????? ????? ??????? ?0 = --- ? ?????????? ??????? ?? ?. ?????
p
p = q = n. ??? ?????????
11
In =
n n
? ? exp{2?i?x y }dxdy
00
??????????? ?????? ????? (??. [1], ???. 41):
1
|In| ? -----------2
2?n
266
ln ?---------,
1/n
?
?????????????? ??????
??? ?????????? ?????????????? ?????? (10) ? ????????? ?????. ? [1] ???????? ????????? ??????? ??
?????? ???????? ??????????????????? ?????????:
???????. ????? n, k1, ..., kr ? ????? ????? (n ? 1, k1, ..., kr ? 0, k1 + ... + kr ? n), ?(k1, ..., kr) ? ???????????? ?????,
n
n
n
k
k
r
1
? ? ... ? ?(k1, ..., kr) x 1 ... x r ,
F(x1, ..., xr) =
k = 1 k1 = 0 kr = 0
k 1 + ... + k r = k
k 1 + ... + k r
?
F ( x 1, ..., x r )
1
----------------------------------------------------,
?( x , k ) = ------------------kr
k
k 1!...k r!
1
?x 1 ... ?x r
n
H=
n
n
1/k
? ? ... ? |?( x ; k )| .
min
0 ? x 1, ..., x ? 1 k = 1 k = 0 k = 0
1
r
k 1 + ... + k r = k
????? ??? ?????????
1
1
J = ? ... ? exp{2?iF(x1, ..., xr)}dx1...dxr
0
0
??????????? ??????
?1
|J| ? C(n, r)min(1, H ).
4
2 2
4
?????????? ???? ??????? ? ?????????? F(x, y) = ?(x + x y + y ) ???? ??????
?1/4
).
|J| = O(?
? ?? ?? ????? ?? ??????? 1 ??????? ?????? ??????
?1/2
).
|J| = O(?
2
????? ??????? u(x, y) ?????????? ? R . ????????? ????????:
2
? ?? u(x, y) = u(x, y) ? u(x, ?) ? u(?, y) + u(?, ?),
??u(x, ?) = u(x, y) ? u(?, y), ??u(?, y) = u(x, y) ? u(x, ?).
????? ????? f(x, y) = f1(x) + f2(y), ??? ??????? f1(x) ? f2(y) ?????????? ?? ???? ??? f1(0) = 0, f2(0) = 0 ?
??????? |f1(x)| ? |f2(y)| ??????? ?. ?. ???? ???????? ?????????? ?????? ??????.
??????? 2. ????? ??????? u(x, y) ???????,
2
| ? ?? u(x, y)| ? C1|x ? ?||y ? ?|
|??u(x, ?)| ? C2|x ? ?|, |??u(?, y)| ? C3|y ? ?|,
p
q
|f1(x)| ? C4|x| , |f2(y)| ? C5|y|
??? p > 1, q > 1, C1, ..., C5 ?????????? ??????????. ????? ??? ?????????
I = I(u) =
? ? u(x, y)exp{i?f(x, y)}dxdy
R
2
??? f(x, y) = f1(x) + f2(y) ?????:
I = u(0, 0)?C(p, q, ?) + O(?
? = min(1/p, 1/q), C(p, q, ?) =
?1/p ? 1/q ? ?
),
? ? exp{i?f(x, y)}dxdy = O(?
R
?1/p ? 1/q
).
2
??????????????.
?????????? ????????
I1 =
? ? u(x, y)cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy.
R
2
267
?????? ???????
? 13, 2009
????????? ?????????? ??????? sin{?f1(x)}cos{?f2(y)}, sin{?f1(x)}sin{?f2(y)}, cos{?f1(x)}sin{?f2(y)}
??????????????? ??????????. ???????? ????? 1 ??????? ?????
... < ??k < ... <??1 < 0 < ?1 < ... < ?k < ..., ?????, ???
?k + 1
? cos{?f1(x)}dx = 0, k = 1, ±2, ...
(11)
?k
?1
+?
? cos{?f1(x)}dx = ? cos{?f1(x)}dx.
??1
??
??????????? ????? ?s, s = ±1, ±2, ... ??????? ??? ??????? f2(y). ???????? (11) ???????:
?k + 1 ?s + 1
I1 =
?
?
?
k ?1 s ?1 ?
k ? ?1 s ? ?1 k
2
? ? ?k ?s u(x, y)cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy +
?s
?1 ?s + 1
+
? ?
?k + 1 ?1
??u(?, y)cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy +
?
s ?1 ?
?
s ? ?1 ?1 s
?
?
? ? ?k u(x, ?)cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy +
k ?1 ? ?
?1
k ? ?1 k
?1 ?1
+
? ? (u(x, y) ? u(x, 0) + u(x, 0) ? u(0, 0))cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy +
??1 ??1
?1 ?1
+ u(0, 0)
? ? cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy.
(12)
??1 ??1
??? ??? ????? ?k ? ?s ????? ????? ??????? xk ? ys ????????????? ?? ???????????
p
?
2k + 1--------------------= |f1(xk)| ? C4|xk| ,
2?
q
?
2s + 1-------------------= |f2(ys)| ? C5|ys| ,
2?
x
y
? ? ???? ?????????? ??????? |f1(xk)| ? |f2(ys)| ???????, ??? |?xk| ? ----k ? |?ys| ? ----s ?? (12) ?????:
k
s
I1 = u(0, 0)?C(p, q, ?) + R,
???
?1 ?1
C(p, q, ?) =
? ?
+?
+?
cos{?f1(x)}cos{?f2(y)}dxdy =
?0 ?0
?
cos{?f1(x)}dx
??
?1/p ? 1/q
).
? cos{?f2(y)}dx = O(?
??
?
|R| ?
x 2 ys 2
y 2
x 2
1
1
1
1
- ? ----s + ----------- ? ----k + ----------------------- + ----------------------- .
---- + ---------2/p + 1/q
1/p
1/p
1/p + 2/q
k
s
s
k
s ?1
k ?1
k ?1 s ?1
?
?
?
?
? ----k
?
(13)
??? ??? ??????? u(x, y) ???????, ?? ??? ????? ? (13) ??????? ? ??????? ?????? ???????????? ????
1/p?
?1
O(? ). ????????, ??? |xk| = O ? --k?????:
??
?
? 2/p
?
), p > 2
? O(?
xk 2 ?
? ---- = ? O ( ? ?2/p ln ? ), p = 2
?
k ?1 k
? O ( ? ?1 ), 1 < p < 2
?
??????????? ????????? ????????? ???
y 2
? ----s . ??????? ????????. ??????? ???, ??? ??? p > 2 ???-
s ?1
????? ???
x 2
s
?2/p
? ----k = O(? ), ?. ?. ? ???? ?????? ????? ?? ????????? ?????????? ??????? u(x, y) ?? ??-
k ?1
k
268
?????????????? ??????
???????? x. ??????????, ??? q < 2 ??????? u(x, y) ????? ???? ?? ???????? ?? y, ??? ???? ???????? ?????
???????????? ??? ?????? ?????????? ?? ??????????????? ?? ????????? ????????????? ???? ?????????.
??????? 2 ????? ??????????? ?? ?????? ??????? ?????? ????? ??????????. ????? ? ????????? ???????
k
n
? u -,
u(x) = u(x1, ..., yn) ?????????? ? ??????? ? R , ????? ??????????? ????????? ??????????? ---------------------?x j ... ?x j
k
1
k = 1, 2, ..., n, js ? jl ??? s ? l, ??????? sk(t) ????????????? ????????: fk(0) = 0, |fk(t)| ? ???????? ?
|fk(t)| ? Ck t
?k
, ?k > 1, k = 1, 2, ..., n. ????? ??? ?????????
I = I(u) =
(14)
? u(x, y)exp{i?f(x, y)}dxdy
R
n
??? f(x) = f1(x1) + ... + fn(xn) ????????? ??????
I = u(0, 0)?C(?, f) + O ( ?
? = min(1/?1, ..., 1/?n), C(?, f) =
? 1/? 1 ? ... ? 1/? n ? ?
? exp{i?f(x)}dx = O ( ?
R
),
? 1/? 1 ? ... ? 1/? n
).
n
k+1
???????? ??? ?????? ? ????????? (14) ? ????? f(x) = ± x 1
2
2
2
2
± x 2 + Q, k ? 1, Q = ? x 3 ? ... ? x s + x s + 1 +
2
... + x n , ?. ?. ? ????? ??????? ??????????? ???? Ak (??. [2], [3]), ??????? ?????? ??????:
I = I(u) =
C
?
?
1
k, n
- + O ? -----------------------------?
? u(x, y)exp{i?f(x, y)}dxdy = u(0, 0) ----------------n/2 ? ?
(
n
+
1
)/2 ? ??
??
n
?
R
k?1
??? ? = -------------------- , ? ?????????? Ck, n =
2(k + 1)
(15)
? exp{if(x)}dx ????? ???? ???? ?????????.
R
n
3
4
3
5
??? ??????????? ???? E6 ??? E8, ?. ?. ??? f(x) = x 1 ± x 2 + Q ? f(x) = x 1 ± x 2 + Q ??????? ?????? (15)
5
7
??? ? = ------ ? ? = ------ ??????????????.
12
15
2
3
?????????? ??? ??????????? D4: f(x) = x 1 ± x 2 + Q. ???????? ??????? 1 ? 2 ??????? ?????? (15) ???
1
? = --- . ??? ??? ?????? ?????? (??. [2], [3]).
3
??????????:
1.
2.
3.
4.
??????? ?. ?., ???????? ?. ?., ????????? ?. ?. ?????? ??????? ?????????????????? ????. ? ?.: ?????, 1987.
??????? ?. ?. ????????? ?????? ????????????? ??????? ? ??????????? ???????? ??????????? ????????????, ????. ?????? 6:3 (1972). ? ?. 62?62.
??????? ?. ?. ????????? ? ?????? ???????????? ???? ? ?????? ????????. ?????? ???. ????. 1973. ?. XXVIII.
???. 5 (173). ? ?. 17?44.
??????? ?. ?. ?????? ????????????? ?????????? ? ???????? ?????. ???????? ???, ????? ?????., ?. 70. ? 1,
2006 ?. ? ?.183?220.
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