close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценки условной устойчивости двухконтурной краевой задачи в круге.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (437)
УДК 517.956
М.К. БУГИР
ОЦЕНКИ УСЛОВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВУХКОНТУРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В КРУГЕ
1.
нения
В [1]{[3] рассматривалась разноконтурная краевая задача для полигармонического урав-
n u + c1 n;1 u + + cn u = 0
(12n )
с оператором Лапласа и постоянными коэффициентами c1 ; : : : ; cn , когда краевые условия
задавались на разных контурах
u(x);1 = '1 (x); : : : ; u(x); = 'n (x);
(22n )
где замкнутые контуры ;k ограничивают области Dk , причем D1 D2 Dn D. Кроме
того, как показано в [2], [3], результаты практически не меняются, если вместо оператора Лапласа взять оператор Лапласа{Бельтрами L и рассмотреть краевую задачу (2) для соответствующих уравнений в пространствах постоянной кривизны. Отметим, кроме того, что такие задачи
являются одним из возможных обобщений многоточечных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и возникают в самых разнообразных прикладных проблемах, связанных,
например, с геологическими, геофизическими и другими наблюдениями [4], когда измерение
экспериментальных данных осуществляется не только на границе области, но и внутри нее.
Ниже будет показано, что задача (12n ), (22n ) некорректная, поэтому важную роль играют
оценки условной устойчивости задачи, классическим результатом в этом смысле можно считать оценки для задачи аналитического продолжения Адамара ([4], с. 26{27). В данной работе
мы также остановимся на оценках условной устойчивости для задачи (12n ), (22n ) при n = 2,
т. е. рассмотрим уравнение четвертого порядка
K4u = 2 u + c1u + c2 u = 0;
(14 )
когда контуры ;1 и ;2 имеют вид концентрических окружностей радиусов R1 и R2 , R2 > R1 .
(В дальнейших обозначениях (1), (2) нижний индекс 4 будем опускать, если это не вызывает
недоразумений.)
Уравнение (1) через корни квадратного уравнения
2 + c1 + c2 = 0
(3)
можно переписать в виде суперпозиции двух операторов второго порядка K4 u = ( ; 2 )( ;
1 )u = 0 или эквивалентной системы уравнений второго порядка
n
(
( ; 1 )u = v;
( ; 2 )v = 0:
В силу (4) произвольное решение (1) представляется в виде
u = u1 + ve;
7
(4)
(5)
где u1 | произвольное решение уравнения
Ki;2ui = ( ; i )ui = 0 (i = 1; 2)
(6i )
при i = 1, а ve | частное решение неоднородного уравнения
( ; 1 )u = v:
(41 )
В [5] представление произвольного решения (5) в зависимости от вида корней уравнения (3)
выписано более точно. В частности, если эти корни разные, то
u = u1 + u2 ;
(50 )
где ui | произвольные решения уравнений (6i ) (i = 1; 2) и
1
u = u0 + r @u
(500 )
@r
для кратного корня уравнения (3), где u0 и u1 | произвольные решения уравнения u ; u = 0.
Определение. Нетривиальное решение уравнения (1) будем называть колеблющимся в
области D, если найдутся хотя бы два замкнутых контура ;1 и ;2 , ограничивающие области D1
и D2 , D1 D2 D, такие, что
u(x);1 = 0 = u(x);2 ;
и неколеблющимся в противном случае. Уравнение (1) будем называть неколеблющимся, если
все его решения неколеблющиеся.
Данное определение колеблемости связано с порядком уравнения и легко обобщается на
уравнения порядка 2n.
Будем предполагать, что корни уравнения (3) неотрицательные, что обеспечивает неколеблемость уравнения (1).
Решение уравнения (1) для разных корней уравнения (3) в полярных координатах (r; ) с
помощью метода разделения переменных запишем через модифицированные функции Бесселя
Im (t) следующим образом:
u(r; ) =
1 X
2
X
m=0 j =1
q
p
cm;j Im ( j r )eim ; i = ;1:
(7)
Для вычисления коэффициентов Фурье представления (7) получим систему алгебраических
уравнений относительно неизвестных коэффициентов cm;j (j = 1; 2; m = 0; 1; 2; : : : )
2
X
j =1
q
cm;j Im ( j r) = 'm;l (l = 1; 2);
где правые части суть коэффициенты разложения Фурье контурных условий (2). Единственность решения последней алгебраической системы уравнений зависит от значения определителя
p
p
Im ( 1 R1 ) Im ( 2 R1 )
p
p
m = I ( R ) I ( R ) (m = 0; 1; 2; : : : ):
m
1 2
m
2 2
Очевидно, необходимым и достаточным условием единственности решения двухконтурной
краевой задачи (1), (2) будет
m 6= 0 (m = 0; 1; 2; : : : ):
(8)
Последнее условие обеспечивается, как уже упоминалось, условиями
1 0; 2 0:
(9)
8
p
Используем обозначения работ [1]{[3] R2 =R1 = , m (t) = Im (t)=Im (t), i = i R1 (i = 1; 2).
Если в ряде (7) сгруппируем выражения, стоящие при коэффициентах Фурье 'm;1 и 'm;2 , то он
перепишется в виде
u(r; ) =
где
Bm;1(r) =
1 X
2
X
m=0 j =1
p
p
1
1
Im ( 1r) Im( 2 r) Im(1 ) Im(2 ) m(1 ) ; m (2 )
Bm;j (r)eim 'm;j ;
(10)
mp(1 )
mp(2 ) Im ( 1 r) Im ( 2 r) Bm;2(r) = Im((1 )) ; Im(() 2 :
m 1
m 2
;
Рассмотрим вопрос об условной устойчивости задачи (1), (2) при дополнительных условиях на решения уравнения (1). Как указано в работе [6], одним из таких естественных условий
является
2 Z 2 @u 2 + @u 2 d < E;
(11)
2.
0
@r
@
r=R2
выражающее ограниченность энергии.
Некорректность двухконтурной задачи (1), (2) нетрудно заметить, если задать значения на
контурах '2 (x) = 0, '1 (x) = "eim .
Рассмотрим пространства
Z 2
1
X
2
2
L [0; 2] с нормой k'()k =
' ()d = '2 ;
(12)
2
2
H2 с нормой ku(r; )k2H2 = 0max
rR2 k
0
0
u2 (r; )d = 0max
rR2
2
Z
k=0
1
X
k=0
u2k (r);
(120 )
где 'k и uk (r) | коэффициенты разложения Фурье соответствующих функций. Рассмотрим
решение um;" (x) = "Bm;1 (r)eim , удовлетворяющее указанным выше условиям. В пространстве
L2 [0; 2] для произвольного m и произвольно малого " > 0 k'1 kL2 [0;2] = ", т. е. произвольно
мала. С другой стороны, в силу оценки для функции m (t) [2]
p
p r) Im ( 1 r )
I
(
m
p R ) ; I (p 2R ) p
p
I
(
m
e m:
jBm;1 (r)j = j (p1 R2 ) ; m(p 2R 2)j [max ;m ( 1 R1) ; m ( 2R2 )];1 = A
m
1 1
m
2 2
Последнее выражение за счет m можно выбрать сколь угодно большим. Следовательно, некорректность двухконтурной задачи проявляется в том, что нет непрерывной зависимости по норме
(120 ) от исходных данных на внутреннем контуре ;1 .
Замечание 1. Нетрудно проверить, что априорные оценки условной устойчивости двухконтурной задачи (1), (2) тесным образом связаны с условиями единственности аналитического
продолжения функции ve(x) с области D1 на всю область D2 . Для этого достаточно записать
систему интегральных уравнений, равносильную системе уравнений (4),
Z
Z
Z
Z
u(P ) = ( u + w)G (P; P )dP + u(P ) @G2 (P; P0 ) dP;
0
1
2
0
@nP
Z
Z
Z
Z
(P; P0 ) dP;
w(P0 ) = (2 wG1 (P; P0 )dP + w(P ) @G1@n
P
;
D
D2
;2
1
1
9
(13)
где через Gi (P; P0 ) обозначены функции Грина задачи с условиями Дирихле для уравнения Лапласа в областях Di (i = 1; 2). Как известно [7], второе уравнение (13) всегда имеет единственное
решение в области D1 , и если его единственным образом продолжить на всю область, то первое
уравнение также будет иметь единственное решение. В связи с этим сформулируем дополнительные условия типа условий (11), обеспечивающие условную устойчивость задачи (1), (2),
через частное решение ve(x) неоднородного уравнения (41 ).
e(r; ) неоднородного уравнения (41 ) удовлетворяет
Теорема 1. Пусть частное решение v
априорной оценке
2 Z 2 ve 2 (R ; )d < M 2
и
2
0
(14)
k'i (; Ri)kL [0;2] "i (i = 1; 2):
2
Тогда задача
где число
(1), (2) условно устойчива и имеет место оценка
p
2 Z 2 u2 (r; )d 2" + Ik (p 2 r) M 2 ( ; )2 ;
2
1
1
0
Ik2 ( 2 R2 )
k определяется из неравенства
0 k + (1=2) ln 2("1 + "2 )M ;2 =(ln = ln );
если корни уравнения
где
(3) разные, a для кратных корней уравнения (3)
p
2 Z 2 u2 (r; )d 2" + M 2 rIk0 (p r) ;
1
0
R2 I 0 ( R2 )
k удовлетворяет уравнению
p
R1 Ik0 (pR1 ) = q2(" + " ) :
MR
1
2
2 Ik0 ( R2 )
(15)
(16)
(17)
(18)
Доказательство. В силу представления (5) решение задачи (1), (2) можно разбить на две
задачи: задачу с условиями Дирихле
u1 ;2 = '2 (x)
для уравнения (61 ) и двухконтурную задачу для решения ve(x)
ve;2 = 0; ve;1 = '1 ; u1 ;1 :
Из-за неколеблемости уравнений (6i ) имеет место принцип максимума для них, поэтому в
круге r R2 выполняются неравенства
2 Z 2 u2 (r; )d < " ; r 2 [0; R ] (i = 1; 2)
0
2
i
2
при условии k'2 kL2 < "2 . Так как ;ve 2 2('21 + u21 ;1 ) на контуре ;1 , то
2 Z 2 ve 2 (R ; )d < 2(" + " ):
1
1
2
0
(19)
Разделяя переменные в полярной системе координат, решения однородных уравнений (6i ) можно
переписать в виде
1
X
p
ui (r; ) = a20 + Ik ( i r)ak eik :
k=1
10
Последнее выражение можно рассматривать как разложение в ряд Фурье на интервале [0; 2],
поэтому
1
2 Z 2 u2 (r; )d = A20 + X
2 I 2 (p r ):
A
i
i
k k
4
0
k=1
Перепишем частное решение неоднородного уравнения (41 ) [8]
ve(r; ) =
когда 1 6= 2 , и
1
X
p
Ik ( 2 r)eik A;k + A20 ;
2
1
k=1
ve(r; ) = r
1
X
k=1
p
Ik0 ( r)eik Ak + r A20 ;
если 1 = 2 = . (В дальнейшем ограничимся только первым случаем, когда 1 6= 2 , т. к. во
втором случае рассуждения аналогичные с заменой функции Ik2 (2 r) на r2Ik0 2 (2 r).)
Учитывая ортогональность множества функций feik g в пространстве L2 [0; 2] и условия
(14) и (19) при разных корнях уравнения (3), получим систему неравенств-ограничений
8
1
X
p
>
1
>
>
A2k Ik2 ( 2 R1 ) 2("1 + "2 );
>
< ( ; )2
1
2 k=0
(20)
1
X
p
>
>
2
2
2
2
>
Ak Ik ( 2 R2 ) M (2 ; 1 ) :
>
:
Неизвестные
A2
k
k=0
при каждом r 2 [0; R2 ] следует подобрать так, чтобы функция
F (r ) =
Z
2
0
v2 (r; )d = A40 +
2
1
X
k=0
A2k Ik2(2 r)
принимала наибольшее значение. Нетрудно заметить, что построенная выше задача является
задачей линейного программирования, поэтому оптимальное значение достигается на некотором опорном решении. Следовательно, существуют такие k1 < k2 , что Ak1 , Ak2 отличны от нуля,
а остальные Aj = 0, если оптимальное
решение невырождено, и Ak 6= 0, если оно вырожденp
2
ное. Используя обозначения Ik ( 2 Ri ) = aij , для определения неизвестных Ak1 и Ak2 получим
систему уравнений
(
A2k1 a11 + A2k2 a12 = 2("1 + "2 )(2 ; 1 )2 ;
(21)
A2k1 a21 + A2k2 a22 = M 2 (2 ; 1)2 :
Для вырожденного опорного решения
утверждение теоремы почти очевидно, поскольку
p
;
2
2
2
2
Ak1 = 0, Ak2 = M (2 ; 1 ) Ik2 ( 2 R2 ) или наоборот, а число k определяется из трансцендентного уравнения
2 (p R )
I
k
2
M I 2 (p2 R1 ) = 2("1 + "2 ):
2 2
k
Используя определение функции m (t) через ряды, имеем очевидную оценку 0 < 2("1 + "2 ) 2k < 1. Отсюда, прологарифмировав ее, получим (16) и
p
p
Fmax (r) = M 2(2 ; 1 )2 Ik2 ( 2 r)Ik;2 ( 2 R2 ); r 2 [0; R2 ]:
Оценка (15) следует из представления частного решения ve(r). В общем случае по формулам
Крамера решим систему уравнений (21), причем
j
k = aa11 aa12 = a22 a21 [k1 (2 ) ; k2 (2 )];
21
22
11
1;k = M2(2 ("1 +;"2 ))2 aa12 ; 2;k = aa11 M2(2 ("1 +;"2 ))2 :
2
1
22
21
2
1
p
Введем обозначение Ik2 ( 2 r) = ai (r), тогда
i
Fmax (r) = 1;k Ik21 ( 2 r) + 2;k Ik22 ( 2 r) =
k
k
a11 a2 (r) ; a12 a1 (r)
a1 (r) ; a2 (r)
= 2 a(21 ) ; 2a22( ) 2("1 + "2 ) + a212 a(22 ) ; 2a22(a21) M 2 (2 ; 1 )2 :
k1 2
k2 2
k1 2
k2 2
Обе суммы монотонно возрастают по k1 и монотонно убывают по k2 , что можно проверить с
помощью дифференцирования или воспользоваться свойствами функции k (t). Кроме того,
2 (p r )
I
k
2
2
lim
ve M (2 ; 1 ) 2 p 2 :
Ik ( 2 R2)
k1 ;k2 ![ 21 ln 2("1 +"2 );ln ]= ln p
p
Отсюда и из представления общего решения через (5) следует оценкаp(15). Из неравенства
(16)
p
k
следует, что k ! 1, если "1 + "2 ! 0, и тогда для больших k имеем Ik ( 2 r)=Ik ( 2 R2 ) = r =R2k .
Таким образом, для r < R2 правая часть (15) стремится к нулю, и решение краевой задачи (1),
(2) единственно в указанном выше классе.
3. Используя дифференциальные свойства частного решения v (r; ) по аргументам r и ,
можно получить более точные оценки, чем (18). Например, если вместо условия (15) потребовать
выполнения условия
2
2 Z 2 @ m v 2
@m r=R2 d M ;
0
то для первого случая (1 6= 2 ) получим оценку
(22)
p
2 Z 2 u2 (r; )d 2" + M 2 (2 ; 1 )2 Ik2 (p 2 r) ;
2
0
k2m
Ik2 ( 2 R2 )
где k удовлетворяет неравенству
0 < (1=2) ln("1 + "2 ) + m ln k + k ln ; ln :
(23)
(24)
Доказательство аналогично доказательству оценки (15), если вместо условия (14) использовать условие (22). Следовательно, имеет место
e(r; ) m раз дифференцируема по аргументу и выполняСледствие 1. Пусть функция v
ются неравенства k'i (; Ri )kL2 [0;2] "i (i = 1; 2) и (22). Тогда для разных корней уравнения (3)
имеет место оценка (23), где k определяется из (24), а для кратных корней | оценка
p
2 Z 2 u2 (r; )d 2" + k;m rIk0 (p2 r) 2 M 2 ;
1
0
R2 Ik0 ( 2 R2 )
где k определяется из уравнения
p
q
0
1 Ik (p2 R1 )
m 2(" + " ) :
MR
=
k
1
2
R2 Ik0 ( 2 R2 )
12
Введем обозначения
2
2 Z 2 @v k (r) =
0
@r r=R2
d = ( ;1 )2
1
X
A2k k (r);
2 k=0
p
2
p
p
k I 2 ( r) + 2 2 kI ( r)I (p r) + I 2 (p r):
2 k+1
2
r2 k 2
r k 2 k+1 2
По аналогии с предыдущими рассуждениями доказывается
Следствие 2. Пусть выполняются условия k'i (; Ri )kL2 [0;2 ] "i (i = 1; 2), (4) и
2 Z 2 @v 2 d M 2 :
0
@r r=R2
Тогда для 1 6= 2 имеет место оценка
p
2 Z 2 u2 (r; )d 2" + Ik2 ( 2 r) M 2 ( ; )2 ;
1
2
1
0
k (R2 )
2 (p R )
I
k
2
где параметр k определяется из уравнения M (R2 )1 = 2("1 + "2 ).
k 2
Замечание 2. Условия следствия 1 при k = 1 и 2 можно заменить условием (11).
Аналогично рассматриваются вопросы условной устойчивости для уравнения (1) в пространствах с отличной от нуля кривизной [3].
4. Рассмотрим случай двухконтурной задачи, когда внешняя граница ;2 | окружность, а
внутренняя задается уравнением r = R1 (), r > 0. Обозначим определитель краевой задачи (24 ),
когда контуры ;1 и ;2 задаются соответственно уравнениями r = R1 () и r = R2 , через
p
p
Im ( 1 R1 ( )) Im ( 2 R1 ( ))
p
k () = I (p R )
Im ( 2 R2 ) :
m
1 2
Обозначим через R10 радиус максимальной концентрической сферы, которую можно вписать
в область, ограниченную кривой r = R1 ().
Лемма. Имеет место оценка
k () > k0 ;
k0 | определитель двухконтурной задачи
u(r; )r=R10 = '10 (x); u(r; )r=R2 = '2 (x):
Доказательство. Перепишем в форме (8) определитель
p R ()) I (p R ()) p
p
I
(
k
p1 1 ; kI (p2 R1 )
k () = Ik ( 1 R2 )Ik ( 2 R2 )
Ik ( 1 R2 )
k
2 2
и вычислим производную
p R0 () I 0 (p R ())p R0 () 0 p
I
(
(
))
1 R1p
1 1
k
0
k () = ;k
; k 2I (1p R )2 1 ;
Ik ( 1 R2 )
k
2 2
p
p
где ;k = Ik ( 1 R2 )=Ik ( 2 R2 ). Используя формулу дифференцирования функций Бесселя, для
определителя k () получим дифференциальное уравнение первого порядка
0
1 ( ) ( ) + g ( )R0 ( );
0k () = ;k kR
(25)
k
1
R1 () k
где
13
где
p
p
I
I
k
+1 ( p2 R1 ( )) p
k
+1 ( p1 R1 ( )) p
1 ;
2 ;
gk () = ;k
Ik ( 1 R2 )
Ik ( 2 R2 )
общее решение которого запишем в виде
h
Z
i
k () = R1k () C1 + R1;k ( )gk ( )R10 ( )d ;
C1 | произвольная константа. Нетрудно подсчитать, что gk (t) 0, тогда вместо (25) получим
;k k0 и учитывая, что R10 = min R1 (), 2 [0; 2],
неравенство k () > R1k ()C1 . Положив C1 = R10
получим неравенство (20).
Обозначим 0 = R1 =R10 , тогда, следуя методике работ [2], [3], доказывается теорема существования и оценки условной устойчивости типа (15), (17) для двухконтурной задачи, если
контуры ;1 и ;2 задаются соответственно уравнениями r = R1 (), r = R2 .
Литература
1. Бугир М.К. Связь неколеблемости решений с некорректными задачами для уравнений эллиптического типа четвертого порядка // Докл. РАН. { 1991. { Т. 319. { Є 5. { С. 1053{1056.
2. Бугир М.К. Некорректные краевые задачи для полигармонического уравнения n-го порядка
// Изв. вузов. Математика. { 1994. { Є 10. { С. 19{25.
3. Бугир М.К. Краевые задачи для уравнений с частными производными на многообразиях постоянной кривизны // Препринт. Ин-т матем. АН Украины. { Киев, 1993. { Є 93. { 58 с.
4. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической
физики и анализа. { М.: Наука, 1980. { 286 с.
5. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. { М.{Л.: ГИТТЛ, 1948. { 296
с.
6. Пташнык Б.И., Фиголь В.В., Штабалюк П.И. Разрешимость, устойчивость и регуляризация
многоточечной задачи для гиперболических уравнений // Тр. Львов. матем. о-ва. { 1991. {
Т. 3. { С. 16{32.
7. Курант Р. Уравнения с частными производными. { М.: Мир, 1964. { 830 с.
8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. { М.: Наука, 1971.
{ 576 с.
Тернопольская Академия
Поступили
народного хозяйства
первый вариант
03.03.1995
18.07.1996
окончательный вариант
14
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
158 Кб
Теги
условном, оценки, круг, устойчивость, краевой, задачи, двухконтурных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа