close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Первое ненулевое собственное значение псевдоомбилической гиперповерхности на единичной сфере.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 8, c. 69–78
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
МАЖИД АЛИ ЧУДХАРИ
ПЕРВОЕ НЕНУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
ПСЕВДООМБИЛИЧЕСКОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
НА ЕДИНИЧНОЙ СФЕРЕ
Аннотация. С. Дешмух получил интересные результаты, касающиеся первого ненулевого собственного значения минимальной гиперповерхности, вложенной в единичную сферу. В данной
работе обобщаем эти результаты на случай псевдоомбилической поверхности и доказываем,
каким условиям удовлетворяет первое ненулевое собственное значение λ1 оператора Лапласа на компактной псевдоомбилической гиперповерхности M , вложенной в единичную сферу
S n+1 . Также показано, что компактная псевдоомбилическая поверхность, вложенная в S n+1 ,
для которой λ1 = n, либо изоморфна сфере S n , либо для нее выполняется неравенство, в
котором участвуют секционные кривизны гиперповерхности M .
Ключевые слова: псевдоомбилическая гиперповерхность, собственное значение оператора Лапласа.
УДК: 514.763
1. Введение
Пусть S n+1 — (n+1)-мерная единичная сфера постоянной кривизны 1 и M — компактная
n-мерная гиперповерхность, изометрически вложенная в S n+1 . Пусть h — вторая фундаментальная форма этой гиперповерхности и H — вектор главной кривизны. Обозначим через
·, · скалярное произведение в S n+1 . Если существует функция λ на M такая, что
h(X, Y ), H = λX, Y для любых касательных векторов X, Y на M , то M называется псевдоомбилической гипероповерхностью в S n+1 [1]. Ясно, что λ ≥ 0. Если вектор главной кривизны H тождественно
равен нулю, то M называется минимальной гиперповерхностью в S n+1 . Каждая минимальная гиперповерхность в S n+1 является псевдоомбилической гиперповерхностью.
Имеется несколько результатов, касающихся первого ненулевого собственного значения
λ1 оператора Лапласа на минимальной гиперповерхности, вложенной в единичную сферу
[2]–[4].
Недавно С. Дешмух [5] изучил компактные минимальные гиперповерхности, вложенные
в единичную сферу S n+1 , и доказал два утверждения.
Теорема A. Пусть M — компактная минимальная гиперповерхность, вложенная в единичную сферу S n+1 . Тогда первое ненулевое собственное значение λ1 для оператора Лапласа
на M удовлетворяет одному из следующих условий:
(i) λ1 = n,
Поступила 24.01.2013
69
70
МАЖИД АЛИ ЧУДХАРИ
(ii) λ1 ≥ n + n2 (nk0 − (n − 1)),
(iii) λ1 ≤ (1 + k0 )n,
где k0 — инфимум секционных кривизн.
Теорема B. Пусть M — связная компактная минимальная гиперповерхность, вложенная в единичную сферу S n+1 . Если первое ненулевое собственное значение λ1 для оператора
Лапласа на M удовлетворяет равенству λ1 = n, то либо M изометрично единичной сфере
S n , либо инфимум k0 секционных кривизн гиперповерхности M удовлетворяет условию
k0 < n−1 (n − 1).
В данной статье обобщаем эти результаты на случай псевдоомбилических гиперповерхностей и доказываем следующие две теоремы.
Теорема 1.1. Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная в единичную сферу S n+1 . Тогда первое ненулевое собственное значение λ1 оператора
Лапласа на M удовлетворяет одному из следующих условий:
(i) λ1 = n,
(ii) λ1 ≥ n2 [nk0 − (n − 3) + 2Hµ − 2nH 2 ],
n
(k0 (n − 1) + 2nHµ + (n − 1)),
(iii) λ1 ≤ n−1
где k0 — инфимум значений секционных кривизн, µ — одно из собственных значений оператора формы A и H — вектор главной кривизны гиперповерхности M .
Теорема 1.2. Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная
в единичную сферу S n+1 неотрицательной секционной кривизны. Если первое ненулевое
собственное значение λ1 оператора Лапласа на M удовлетворяет условию λ1 = n, то
либо M изометрично единичной сфере S n , либо инфимум k0 значений секционных кривизн
гиперповерхности M удовлетворяет условию k0 < n−1 (n − 1) + 2n−1 Hµ − 2H 2 .
2. Предварительные сведения
Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная в единичную
сферу S n+1 . Обозначим через g риманову метрику на S n+1 , как и индуцированную ею метрику на M . Пусть ∇ — риманова связность и A — оператор формы (оператор Вейнгартена)
гиперповерхности M . Вектор
главной кривизны H гиперповерхности M определяется как
1
g(Aei , ei ) для ортонормированного базиса {ei }. Тензор кривизH = n (Tr A), где Tr A =
i
ны R, тензор Риччи Ric и скалярная кривизна S псевдоомбилической гиперповерхности M
определяются как
R(X, Y )Z = g(Y, Z)X − g(X, Z)Y + g(AY, Z)AX − g(AX, Z)AY,
(2.1)
Ric(X, Y ) = (n − 1)g(X, Y ) + nHg(AX, Y ) − g(AX, AY ),
(2.2)
S = n(n − 1) + n2 H 2 − A2
для X, Y, Z ∈ X (M ), где X (M ) — алгебра Ли гладких векторных полей на M . Оператор
формы A удовлетворяет соотношению
(∇A)(X, Y ) = (∇A)(Y, X),
где (∇A)(X, Y ) = ∇X AY − A∇X Y , X, Y ∈ X (M ). Оператор Риччи Q гиперповерхности M
определяется как Ric(X, Y ) = g(QX, Y ), X, Y ∈ X (M ); он является симметричным оператором. Для гладкой функции f на M обозначим через ∇f градиент функции f . Оператор
Лапласа ∆f функции f определяется как ∆f = div(∇f ).
ПЕРВОЕ НЕНУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
71
Пусть F — собственная функция оператора ∆, соответствующая первому ненулевому
собственному значению λ1 , т. е. ∆F = −λ1 F . Определим оператор B : X (M ) → X (M )
формулой BX = ∇X ∇F , т. е. BX является ковариантной производной ∇F относительно
X ∈ X (M ). Ковариантые производные оператора B определяются следующим образом:
(∇B)(X, Y ) = ∇X BY − B(∇X Y ),
(∇ B)(X, Y, Z) = ∇X (∇B)(Y, Z) − (∇B)(∇X Y, Z) − (∇B)(Y, ∇X Z).
2
Некоторые свойства оператора B описывает
Лемма 2.1 ([3], [6]). Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная в единичную сферу S n+1 . Тогда оператор B удовлетворяет условиям
(i) Tr B = −λ1 F ,
(ii) (∇B)(X, Y ) − (∇B)(Y, X) = R(X, Y )∇F ,
n
(∇B)(ei , ei ) = −λ1 ∇F + Q(∇F ),
(iii)
i=1
(iv) (∇2 B)(X, Y, Z) − (∇2 B)(X, Z, Y ) = (∇X R)(Y, Z)∇F +R(Y, Z)BX,
где {e1 , . . . , en } — локальный ортонормированный базис на M .
Теперь сформулируем леммы, которые понадобятся для доказательства основных теорем.
Лемма 2.2. Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная
в единичную сферу S n+1 и {e1 , . . . , en } — локальный ортонормированный базис на M . Тогда
g(∇ei Q(∇F ), Bei ) =
{(n − 1)B2 − λ1 A∇F 2 }+
M
i
M
{(n − 1)A∇F − A ∇F } +
2
+
2
{nHλ1 µ∇F 2 − nH(n − 1)µ∇F 2 +
2
M
M
+ 2nHµA∇F 2 − n2 H 2 A∇F 2 },
где A∇F = µ∇F , т. е. µ — собственное значение оператора A, соответствующее ∇F .
Доказательство. Используя (2.2), получаем
Q(∇F ) = (n − 1)∇F + nHA(∇F ) − A2 ∇F.
Теперь имеем
g(∇ei Q(∇F ), Bei ) =
g(∇ei ((n − 1)∇F + nHA(∇F ) − A2 ∇F ), Bei ) =
i
i
= (n − 1)
g(∇ei ∇F, Bei ) + nHei g(A(∇F ), Bei )−
i
− nHg(A(∇F ), (∇B)(ei , ei )) − ei g(A2 (∇F ), Bei ) + g(A2 (∇F ), (∇B)(ei , ei )) =
g(Bei , Bei ) + nH div(BA(∇F ))−
= (n − 1)
i
− nHg(A(∇F ), −λ1 ∇F + Q(∇F )) − div(BA2 (∇F )) + g(A2 (∇F ), −λ1 ∇F + Q(∇F )) =
= (n − 1)B2 + nH div(BA(∇F )) + nHλ1 g(A∇F, ∇F )−
− nH Ric(∇F, A∇F ) − div(BA2 (∇F )) − λ1 A∇F 2 + Ric(A∇F, A∇F ) =
= (n − 1)B2 − λ1 A∇F 2 + (n − 1)A∇F 2 − A2 ∇F 2 +
72
МАЖИД АЛИ ЧУДХАРИ
+ nHλ1 g(A∇F, ∇F ) − nH(n − 1)g(A∇F, ∇F )+
+ nHg(A2 ∇F, A∇F ) − n2 H 2 A∇F 2 + nHg(A2 ∇F, A∇F )+
+ nH div(BA(∇F )) − div(BA2 (∇F )).
Если A∇F = µ∇F , то
g(∇ei Q(∇F ), Bei ) = (n − 1)B2 − λ1 A∇F 2 + (n − 1)A∇F 2 −
i
− A2 ∇F 2 + nHλ1 µ∇F 2 − nH(n − 1)µ∇F 2 +
+ 2nHµA∇F 2 − n2 H 2 A∇F 2 + nH div(BA(∇F )) − div(BA2 (∇F )),
где использована лемма 2.1 и соотношение (2.2). Интегрируя последнее равенство, получаем
требуемый результат.
Лемма 2.3. Пусть {e1 , . . . , en } — локальный ортонормированный базис на компактно
псевдоомбилической гиперповерности M на единичной сфере S n+1 , который диагонализирует оператор B, причем Bei = ai ei . Тогда
1
(ai − aj )2 =
(nB2 − λ1 ∇F 2 ).
2 M
M
ij
Доказательство. Имеем
Так как ∆F = −λ1 F , то
(ai − aj )2 = 2nB2 − 2λ21 F 2 .
ij
∇F 2 = λ1
M
M
F 2 . Применяя это соотношение к интегралу от
выражения, содержащегося в равенстве выше, получаем требуемый результат.
Лемма 2.4. M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная в единичную сферу S n+1 , и гладкая функция F : M → R такова, что ∆F = −λ1 F . Тогда
(B2 − λ1 ∇F 2 + (n − 1)∇F 2 + nHµ∇F 2 − A∇F 2 ) = 0.
M
Доказательство. Для функции ϕ = 12 ∇F 2 градиент имеет вид ∇ϕ = B∇F . Используя
соотношение (iii) из леммы 2.1, можем подсчитать
∆ϕ = B2 − λ1 ∇2 + Ric(∇F, ∇F ) =
= B2 − λ1 ∇F 2 + (n − 1)∇F 2 + nHg(A∇F, ∇F ) − A∇F 2 .
Если A∇F = µ∇F , то
∆ϕ = B2 − λ1 ∇F 2 + (n − 1)∇F 2 + nHµ∇F 2 − A∇F 2 ,
при этом использовали равенство (2.2). Интегрируя это соотношение, получаем требуемый
результат.
Для локального ортонормированного базиса {e1 , . . . , en } на M и X ∈ X (M ) определим
R(ei , ej )X2 .
RX 2 =
ij
Для n-мерного риманового многообразия (M, g) постоянной секционной кривизны c имеем
RX 2 = 2(n − 1)c2 X2 ,
X ∈ X (M ).
ПЕРВОЕ НЕНУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
73
Лемма 2.5. Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная
в единичную сферу S n+1 и {e1 , . . . , en } — локальный ортонормированный базис на M . Тогда
1
2
g((∇ek R)(ek , ei )∇F, Bei ) =
R(ek , ei , Bek , Bei ) .
− R∇F −
2
M
M
ik
ik
Далее доказывается
Лемма 2.6. Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная
в единичную сферу S n+1 . Тогда
1
R∇F 2 = (n − 1)∇F 2 − A2 ∇F 2 − 2A∇F 2 + 2nHµ∇F 2 + A∇F 2 A2 . (2.3)
2
Доказательство. Используя (2.1), получаем
R(ek , ei )∇F 2 =
g(R(ek , ei )∇F, R(ek , ei )∇F ) =
R∇F 2 =
ik
=
ik
g(g(ei , ∇F )ek − g(ek , ∇F )ei + g(Aei , ∇F )Aek −
ik
− g(Aek , ∇F )Aei , g(ei , ∇F )ek − g(ek , ∇F )ei +
+ g(Aei , ∇F )Aek − g(Aek , ∇F )Aei ),
что после непосредственных преобразований приводится к
R∇F 2 = 2(n − 1)∇F 2 − 2A2 ∇F 2 − 2A∇F 2 +
+ 4nHg(A∇F, ∇F ) − 2g(A2 ∇F, ∇F ) + 2A∇F 2 g(A2 ei , ei ).
Если A∇F = µ∇F , то
1
R∇F 2 = (n − 1)∇F 2 − A2 ∇F 2 − A∇F 2 + 2nHµ∇F 2 − A∇F 2 + A∇F 2 A2 .
2
Это равенство сводится к (2.3).
Лемма 2.7. Пусть M — компактная псевдоомбилическая гиперповерхность, вложенная
в единичную сферу S n+1 . Тогда
λ21
∇F 2 .
n
Доказательство. Определим симметричное тензорное поле C соотношением
∇B2 ≥
C(X, Y ) = g(BX, Y ) +
λ1
F g(X, Y ),
n
X, Y ∈ X (M ).
Тогда
(∇C)(X, Y, Z) = g((∇B)(X, Y ), Z) +
λ1
X(F )g(Y, Z),
n
X, Y, Z ∈ X (M ).
Отсюда
∇C2 =
[(∇C)(ei , ej , ek )]2 =
ijk
= ∇B2 +
λ21
2λ1 ∇F 2 +
g((∇B)(ei , ej ), ej )g(∇F, ei ) =
n
n
ij
74
МАЖИД АЛИ ЧУДХАРИ
= ∇B2 +
λ21
2λ1 g((∇B)(ej , ei ), ej )g(∇F, ei )+
∇F 2 +
n
n
ij
2λ1 +
g(R(ei , ej )∇F, ej )g(∇F, ei ) =
n
ij
= ∇B2 +
λ21
n
∇F 2 +
2λ1 g(−λ1 ∇F + Q∇F, ei )g(∇F, ei )+
n
i
2λ1 R(∇F, ej ; ∇F, ej ).
+
n
j
После упрощения получаем ∇C2 = ∇B2 −
λ21
n
∇F 2 .
Лемма 2.8. Пусть k0 — инфимум значений секционных кривизн компактной псевдоомбилической гиперповерхности, вложенной в единичную сферу S n+1 . Тогда
λ21
2
2
∇B − ∇F +
n
M
(2n + 2nHµ + k0 n + n(n − 1)(k0 − 1) − 2n2 H 2 − 2λ1 )A∇F 2 −
+
M
(λ1 − n)(λ1 − λ1 /n + k0 − k0 n − 2nHµ − n + 1) + n2 k0 Hµ ∇F 2 ≤ 0.
−
M
Доказательство. Определим гладкую функцию ϕ на M равенством ϕ = 12 B2 . Имеем
g((∇2 B)(ek , ek , ei ), Bei ),
(2.4)
∆ϕ = ∇B2 +
где
∇B2
чаем
=
ik
g((∇B)(ei , ej ), ek
)2 .
С использованием леммы 2.1 и тождества Риччи полу-
ijk
(∇2 B)(ek , ek , ei ) = (∇2 B)(ek , ei , ek ) + (∇ek R)(ek , ei )∇F + R(ek , ei )Bek =
= (∇2 B)(ei , ek , ek ) + R(ek , ei )Bek − BR(ek , ei )ek + (∇ek R)(ek , ei )∇F + R(ek , ei )Bek .
Далее, используя условие (iii) из леммы 2.1, приходим к
g((∇2 B)(ek , ek , ei ), Bei ) = −λ1
g(∇ei ∇F, Bei ) +
g(∇ei Q∇F, Bei )+
ik
+2
ik
i
R(ek , ei , Bek , Bei ) −
ik
i
2
R(ek , ei , ek , B ei ) +
g((∇ek R)(ek , ei )∇F, Bei ).
ik
Подставляя последнее соотношение в (2.4) и интегрируя, получаем
{∇B2 − λ1 B2 + (n − 1)B2 − λ1 A∇F 2 +
M
+ (n − 1)A∇F 2 − A2 ∇F 2 + nHλ1 µ∇F 2 −
2
2
2 2
2
R(ek , ei , Bek , Bei )+
− nH(n − 1)µ∇F + 2nHµA∇F − n H A∇ } +
M ik
ПЕРВОЕ НЕНУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
+
M
75
1
2
R(ek , ei , Bek , Bei ) = 0,
− R∇f −
2
ik
при этом использовали леммы 2.2 и 2.5. Выбирая локальный ортонормированный базис
{ei , . . . , en }, который диагонализирует B, т. е. Bei = ai ei , подсчитываем
1
R(ek , ei , Bek , Bei ) −
R(ek , ei , ek , B 2 ei ) =
(ai − ak )2 kik ,
2
ik
ik
ik
где kik — секционая кривизна плоского сечения, порожденного векторами ei , ek . Используя
это соотношение и лемму 2.6 для интеграла, записанного выше, имеем
{∇B2 − λ1 B2 + (n − 1)B2 − λ1 A∇F 2 +
M
+ (n − 1)A∇F 2 − (n − 1)∇F 2 + 2A∇F 2 − 2nHµ∇F 2 −
− A∇F 2 A2 + nHλ1 µ∇F 2 − nH(n − 1)µ∇F 2 +
1
(ai − ak )2 kik = 0.
+ 2nHµA∇F 2 − n2 H 2 A∇F 2 } +
2
M
ik
Так как
значений секционных кривизн, то имеем kik ≥ k0 . Таким обра k0 — инфимум
зом, (ai − aj )2 kik ≥ (ai − aj )2 k0 . Используя это вместе с леммой 2.3 в интегральном
ik
ik
соотношении, приведенном выше, получаем
λ21
2
2
∇B − ∇F +
n
M
2
λ1
− (n − 1) − 2nHµ + nHλ1 µ − nH(n − 1)µ − λ1 k0 ∇F 2 +
+
n
((k0 n − λ1 + (n − 1))B2 + (−λ1 + (n − 1) + 2 − A2 +
+
M
+ 2nHµ − n2 H 2 )A∇F 2 ) ≤ 0.
С использованием леммы 2.4 это неравенство сводится к
λ2
(∇B2 − 1 ∇F 2 )−
n
M
((λ1 − n)(λ1 − λ1 /n + k0 − k0 n − 2nHµ − n + 1) + n2 K0 Hµ)∇F 2 +
−
M
(−2λ1 + 2(n − 1) + 2 + 2Hµ − n2 H 2 + k0 n − A2 )A∇F 2 ≤ 0.
+
M
Теперь получаем n(n − 1) + n2 H 2 − A2 ≥ n(n − 1)k0 , откуда
−A2 ≥ n(n − 1)k0 − n(n − 1) − n2 H 2 = n(n − 1)(k0 − 1) − n2 H 2
или −A2 A∇F 2 ≥ n(n − 1)(k0 − 1)A∇F 2 − n2 H 2 A∇F 2 .
Поэтому имеем
λ21
2
2
∇B − ∇F +
n
M
76
МАЖИД АЛИ ЧУДХАРИ
+
−
2n + 2nHµ + k0 n + n(n − 1)(k0 − 1) − 2n H − 2λ1 A∇F 2 −
M
λ1
2
+ k0 − k0 n − 2nHµ − n + 1 + n K0 Hµ ∇F 2 ≤ 0. (λ1 − n) λ1 −
n
M
2
2
3. Основные результаты
Доказательство теоремы 1.1. Если M — тотально геодезическая гиперповерхность, то
λ1 = n, т. е. имеет место (i). Поэтому далее в доказательстве предполагаем, что M не
тотально геодезична. Первый интеграл в неравенстве из леммы 2.8 неотрицателен в силу
леммы 2.7. Следовательно, по лемме 2.8 имеются следующие возможности:
2 2
(ii) 2n + 2nHµ
+ kλ01n + n(n − 1)(k0 − 1) − 2n H
− 2λ1 ≤ 0,
(iii) (λ1 − n) λ1 − n + k0 − k0 n − 2nHµ − n + 1 ≥ 0.
n
В случае (ii) имеем λ1 ≥ [nk0 − (n − 3) + 2Hµ − 2nH 2 ].
2
n
(k0 (n−1)+2nHµ+(n−1)), то λ1 ≥ n. Для псевдоомбилической
В случае (iii), если λ1 ≥ n−1
гиперповерхности λ1 ≤ n. Таким образом, λ1 = n. Следовательно, в этом случае либо
λ1 = n, либо
n
(k0 (n − 1) + 2nHµ + (n − 1)).
λ1 ≤
n−1
Доказательство теоремы 1.2. Пусть первое ненулевое собственное значение λ1 для псевдоомбилической гиперповерхности M равно n. Тогда лемма 2.8 дает
2
2
(∇B − n∇F ) + (n2 k0 − n2 + n − 2n2 H 2 + 2nHµ)A∇F 2 +
M
+ (−n2 Hµk0 )∇f 2 ≤ 0. (3.1)
Если k0 ≥ n−1 (n − 1) + 2n−1 Hµ − 2H 2 верно в силу того, что M имеет отрицательную
секционную кривизну, то соотношения выше и лемма 2.7 дают
∇B2 = n∇F 2 или A∇F = 0, или ∇F = 0.
Из доказательства леммы 2.7 следует, что если верно равенство ∇B2 = n∇F 2 , то
(∇B)(X, Y ) = −X(F )Y ∀ X, Y ∈ X (M ).
Из условия (iii) леммы 2.1 имеем
n
(∇B)(ei , ei ) = −λ1 ∇F + Q(∇F ),
i=1
(∇B)(X, Y ) = −λ1 ∇F + Q(∇F ) = −n∇F + Q(∇F ).
Сравнив два соотношения, полученные выше, и взяв внутреннее произведение с ∇F , запишем равенства
g(Q(∇F ), ∇F ) = g((n − 1)∇F, ∇F ),
Ric(∇F, ∇F ) = g((n − 1)∇F, ∇F ).
Из соотношения (2.2) следует
(n − 1)g(∇F, ∇F ) + nHg(A∇F, ∇F ) − g(A∇F, A∇F ) = g((n − 1)∇F, ∇F ).
ПЕРВОЕ НЕНУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
77
Теперь, если A∇F = µ∇F , то
(n − 1)∇F 2 + nHµ∇F 2 − A∇F 2 = (n − 1)∇F 2
или
nHµ∇F 2 − A∇F 2 = 0.
Лемма 2.4 с учетом λ1 = n дает
(B2 − n∇F 2 + (n − 1)∇F 2 + nHµ∇F 2 − A∇F 2 ) = 0.
M
Более того, используя уравнение (3.2), получаем {B2 − ∇F 2 } = 0.
M
Так как ∇F 2 = n F 2 , то
M
M
(3.2)
{B2 − nF 2 } = 0.
M
Тем не менее, неравенство Шварца дает B2 ≥ nF 2 со знаком равенства в том и только
том случае, если B = −F I (так как Tr B = −nF ). Следовательно, для этого случая имеем
BX = −F X, т. е. ∇X ∇F = −F X, X ∈ X (M ), что является дифференциальным уравнением
Обаты и, следовательно, M изометрично S n [7]. Таким образом, в силу (3.1) имеем либо
k0 < n−1 (n − 1) + 2n−1 Hµ − 2H 2 , либо M изометрично S n , что доказывает теорему.
Благодарности
Автор благодарен департаменту науки и технологий правительства Индии за финансовую поддержку грантом № DST/INSPIRE Fellowship/2009/[XXV] для выполнения этой
работы. Автор также благодарен рецензенту за полезные замечания.
Литература
[1] Chen B.Y. Some results of chern-do-carmo-kobayashi type and the length of the second fundamental form,
Indiana Univ. Math. J. 20, 1175–1185 (1971).
[2] Yau S.T. Problem section of the seminar in differential geometry at Tokyo, Semin. Differential Geometry, Ann.
Math. Stud. 102, 669–706 (1982).
[3] Deshmukh S., Al-Eid A. Curvature bounds for the spectrum of a compact Riemannian manifold of constant
scalar curvature, J. Geom. Anal. 15 (4), 589–606 (2005).
[4] Tanno S. Eigenvalues of the Laplacian of Riemannian manifolds, Tohoku Math. J., II. Ser. 25, 391–403 (1973).
[5] Deshmukh S. First nonzero eigenvalue of a minimal hypersurface in the unit sphere, Ann. Mat. Pura Appl.
(4) 191 (3), 529–537 (2012).
[6] Deshmukh S. Minimal hypersurfaces in neraly Kähler 6-sphere, J. Geom. Phys. 60 (4), 623–625 (2010).
[7] Obata M. Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere, J. Math. Soc. Japan
14, 333–340 (1962).
Мажид Али Чудхари
Департамент математики, Университет Джамиа Миллиа Исламиа,
ул. Джамиа Нагар, Нью-Дели, 110025, Индия,
e-mail: majid_alichoudhary@yahoo.co.in
78
МАЖИД АЛИ ЧУДХАРИ
Majid Ali Choudhary
First nonzero eigenvalue of a pseudo-umbilical hypersurface in the unit sphere
Abstract. S. Deshmukh has obtained interesting results for first nonzero eigenvalue of a minimal
hypersurface in the unit sphere. In the present article, we generalize these results to pseudoumbilical hypersurface and prove: what conditions are satisfied by the first nonzero eigenvalue λ1
of the Laplacian operator on a compact immersed pseudo-umbilical hypersurface M in the unit
sphere S n+1 . We also show that a compact immersed pseudo-umbilical hypersurface of the unit
sphere S n+1 with λ1 = n is either isometric to the sphere S n or for this hypersurface an inequality
is fulfilled in which sectional curvatures of the hypersuface M participate.
Keywords: pseudoumbilical hypersurface, eigenvalue of Laplacian operator.
Majid Ali Choudhary
Department of Mathematics, Jamia Millia Islamia,
Jamia Nagar, New Delhi, 110025 India,
e-mail: majid_alichoudhary@yahoo.co.in
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
188 Кб
Теги
сферы, псевдоомбилической, ненулевом, первое, единичного, значение, гиперповерхности, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа