close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Первые интегралы уравнений геодезических h-пространств типа [411].

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (448)
УДК 514.764
З.Х. ЗАКИРОВА
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
-ПРОСТРАНСТВ ТИПА [411]
H
Статья посвящена нахождению 6-мерных h-пространств типа [411] и первых интегралов уравнений геодезических, порождаемых проективными преобразованиями этих пространств. Общая
схема определения (псевдо)римановых пространств, допускающих негомотетическую проективную группу Gr , разработанная А.В. Аминовой [1], была подробно изложена в [2] применительно
к случаю h-пространства типа [51].
Для соответствующего канонического репера fp i g уравнения Эйзенхарта в случае h-пространства типа [411] сводятся к системе уравнений
Xr 4 = 0 при r 6= 4; Xr = 0 при r 6= ; X4(24 ; ) = X ( ; 2) = 0;
314 = 21 e4X4 ; 413 = 431 = 422 = ;e4X4; 14 = 23 = 32 = 41 = e4 X; ;
4
e
e
4 X 4 X (1)
24 = 33 = 42 = ; ( ; )2 ; 34 = 43 = ( ; )3 ;
4
4
e X ;
4
44 = ; (e4;X)4 ; 4 = e X
;
=
;
;
4
4
здесь Xp = p i @x@ , pqr = ;qpr = p i;j q i r j | инварианты, играющие роль коэффициентов вращения Риччи, | определяющая функция проективного движения, 4, 5, 6 | инварианты,
причем 6= при ; = 4; 5; 6; e = 1; ; = 5; 6.
Условия интегрируемости системы уравнений (1) записываются в виде
(X1 ; X2 ) = 0; (X1 ; X3 ) = 0; (X2 ; X3 ) = 0; (X1 ; X4 ) = e3 (314 ; 341)X2 ;
(X2 ; X4 ) = ;e2242X3 ; (X3 ; X4 ) = e3 (134 ; 143)X4 ; (X1 ; X ) = ;e4 41X1 ;
(X2 ; X ) = ;e332 X2 ; e4 42X1 ; (X3 ; X ) = ;e223 X3 ; e333 X2 ; e4 43 X1;
(X4 ; X ) = ;e114 X4 ; e2 24 X3 ; e3 34 X2 ; e4 44 X1 + e 4 X ;
(2)
(X ; X ) = ;e X + e X :
Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных @x@ в правых и левых частях равенств (2), получим систему дифференциальных уравнений с частными производными, интегрирование которой даст компоненты p i векторов канонического репера. Используя эти результаты,
по соответствующим формулам (см. [2]) можно найти контравариантные компоненты метрического тензора рассматриваемого h-пространства, а также его ковариантные компоненты
при " = 1
gij dxi dxj = e4 (f ; x4 )f6Adx1 dx4 + 2dx2 dx3 + 2(2x2 ; 3A)dx2 dx4 ;
; (dx3)2 + 2(x1 ; 2x2 )dx3dx4 ; 4((x2 )2 ; x1x2 + 32 x1 A)(dx4 )2g +
X
+ 3Adx3 dx4 + 12x2 A(dx4 )2 + e 0i (fi ; f )(dx )2; (3)
i
i
78
при " = 0
;
gij dxi dxj = e4 f f6dx1 dx4 + 2dx2 dx3 ; f15 + f16 (6dx2 dx4 ; (dx3)2 )g +
X
+ e4 f56f6 dx3dx4 + e 0i (fi ; f )(dx )2; (4)
где
A = x3 + (x4); = (f5 ; x4 );1 + (f6 ; x4 );1;
fk = "x4, f | функция x , | функция x4, отличная от нуля при " = 0, k = 1; : : : ; 4.
Тензор hij имеет вид
hij = aij + 2gij ;
(5)
где
aij dxi dxj = "x4gkl dxk dxl + 2g14 dx2 dx4 + 2g24 dx3 dx4 + g23(dx3 )2 +
+3g23(3A2 4 ; 4"x2 A1 + 2"x1 A + 34 ("x2 )2 )(dx4 )2 + f5g55(dx5 )2 + f6g66(dx6 )2 ;
(6)
2 = 4f4 + f5 + f6 + c; c = const; k; l = 1; 2; 3; 4:
(7)
Из предыдущего следует, что уравнения геодезических 6-мерных пространств с метриками (3)
и (4) допускают соответственно квадратичные первые интегралы, приведенные ниже,
(x4 ; 2)gkl x_ k x_ l + (f ; 2)g (x_ )2 + e4 (f ; x4)f6Ax_ 2 x_ 4 +
(8)
+(x_ 3 )2 + 2(2x2 + 3A1 )x_ 3x_ 4 + 3(3A2 4 ; 4x2 A1 + 2x1 A + 34 (x2)2 )(x_ 4 )2 g = const;
;1
3 4
4 2
k
l
2
2 4
3 2
1
9 2
;2gkl x_ x_ + (f ; 2)g (x_ ) + e4 f f6x_ x_ + (x_ ) + 6 f5 + f6 x_ x_ + f5 f6 (x_ ) g = const :
(9)
Полученные результаты сформулированы в следующей теореме.
Теорема. Если симметрический тензор hij типа [411] и скаляр удовлетворяют в V6
с метрическим тензором gij уравнениям Эйзенхарта, то существует голономная система
координат, в которой gij , hij и определяются формулами (3){(7). Уравнения геодезических
метрик (3) и (4) допускают первые квадратичные интегралы, определяемые формулами (8) и
(9).
Автор благодарит А.В. Аминову за постановку задачи.
Литература
1. Аминова А.В. Алгебры Ли инфинитезимальных преобразований лоренцевых многообразий
// УМН. { 1995. { Т. 50. { Вып. 1. { С. 69{142.
2. Закирова 3.X. Первые интегралы уравнений геодезических H -пространств типа [51] // Тр.
Геометрич. семин. { Казань, 1997. { Вып. 23. { С. 57{64.
Казанский государственный
Поступили
университет
полный текст
18.12.1996
10.03.1999
краткое сообщение
79
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
101 Кб
Теги
интеграл, типа, уравнения, пространство, 411, первые, геодезических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа