close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Перестройки торов в алгебре Цассенхауза.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (443)
УДК 512.554.31
С.А. ТЮРИН
ПЕРЕСТРОЙКИ ТОРОВ В АЛГЕБРЕ ЦАССЕНХАУЗА
Введение
Как известно, в классических простых модулярных алгебрах Ли все торы сопряжены между собой относительно группы автоморфизмов. Первый пример неклассической простой алгебры Ли | алгебра Витта обладает двумя разными орбитами торов. Описание торов в простых
неклассических p-алгебрах Ли получено в [1], [2]. Если вместо группы автоморфизмов взять
группу, порожденную обобщенными экспоненциальными отображениями, то оказывается, что
в p-алгебрах Ли картановского типа все максимальные торы сопряжены. В [3] получен такой
же результат для регулярных подалгебр Картана в произвольной p-алгебре Ли. Если алгебра
Ли не является p-алгеброй, то аналогичные результаты доказаны для торов, лежащих внутри
максимальной подалгебры, в [4] в случае алгебры Цассенхауза и в [5] в случае любой алгебры
Ли картановского типа.
Главный результат данной работы: любой тор в p-замыкании алгебры Цассенхауза может
быть получен с помощью конечного числа перестроек из одного стандартного тора, лежащего
внутри максимальной подалгебры.
Все основные определения и обозначения можно найти в [6]{[8].
1. Предварительные сведения
Будем применять метод перестройки торов в том виде, как он изложен в работе [5]. Суть его
заключается в следующем.
Пусть K | алгебраически замкнутое поле характеристики p > 0, K0 | простое подполе, L
| конечномерная алгебра Ли без центра, Le | ее p-замыкание в p-алгебре Ли Der L, T | тор
в алгебре Le , | один из корней его присоединенного представления на L. Базис ft1 ; : : : ; tm ; tg
тора T выбирается так, что
1) базисные элементы тороидальны;
2) Ker = ht1 ; : : : ; tm i.
При этом (t) = k 2 K0. Если Z | корневой вектор, соответствующий корню , то он определяет
усеченное экспоненциальное отображение
pX
;1
exp Z = j1! (ad Z )j :
j =0
Это отображение переводит тор T в абелеву подалгебру
exp Z (T ) = Ker ht ; kZ i;
которая не является p-подалгеброй. Ее p-замыкание содержит единственный максимальный тор,
который обозначается через eZ (T ). Его размерность не меньше, чем размерность тора T . Будем
говорить, что тор eZ (T ) получен из тора T с помощью перестройки.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Є 96-0101756).
54
2. Перестройки внутренних торов
Пусть L = W1 (n) | алгебра Цассенхауза, т. е. алгебра Ли специальных дифференцирований
алгебры разделенных степеней A1 (n), L0 | ее максимальная подалгебра, Le | p-замыкание
алгебры L, F | группа унипотентных автоморфизмов алгебры L. Как известно ([7], [8]), F орбита любого внутреннего (т. е. лежащего в L0 ) тора определяется его содержанием
cont T = f (x) =
с точностью до эквивалентности
nX
;1
i=1
(
)
f (x) f (""x) (" 2 K ):
Теорема 1. Для любых двух внутренних торов
дящая тор
i x pi
T
1 в тор, принадлежащий
F
T
-орбите тора
1 и
T.
T
2 существует перестройка, перево-
2
Базисный тороидальный элемент тора T1 имеет вид t = yy0 dxd , где y |
многочлен без свободного члена из алгебры разделенных степеней A1 (n), и cont y = cont T1 = f .
Любой корневой вектор тора T1 , соответствующий собственному значению k 2 K0 , имеет вид
Доказательство.
k
d (;1 k p ; 2);
Z = c y y0 dx
где c принадлежит алгебре констант C (T ) тора T . Нас будут интересовать только ненулевые
значения k.
k
Если 1 k p ; 2, то Z p = 0, поэтому tb = exp Z (t) = t ; kZ = y;kcyy0 dxd | тороидальный
элемент. При этом cont tb = cont t, т. к. cont y k = 0.
Заметим, что exp Z в этом случае является унипотентным автоморфизмом алгебры L (это
( +1)
1
1
( +1)
( +1)
утверждение является аналогом теоремы 1 из работы [4]), и группа F порождается такими
автоморфизмами. В этом случае перестройка не изменяет F -орбиты тора T1 .
Если k = ;1, то Z = yc0 dxd , и результат перестройки зависит от того, будет ли обратимым в
алгебре A1 (n) множитель c.
Рассмотрим случай, когда элемент c необратим, т. е. c(0) = 0. В этом случае
p
Z 2 L ; Z p = cp;1c t; где c = 1 d c 2 C (T ); Z p = 0:
0
1
p ;1
2
y0 dx
1
1
Поэтому tb = (t + Z )p = t + Z + Z p = y+c+cy0 c y dxd | тороидальный элемент в L0 . Перестройка,
соответствующая корневому элементу Z , перевела тор T1 = hti в тор Tb = htbi. При этом
cont tb = cont y + cont c = cont t + cont c:
Элемент c имеет вид
c=+
pX
;1
i=1
f
1
p;i) x(i)
(
@ p (здесь @ = dxd );
где принадлежит алгебре C0 констант стандартного тора x dxd . Очевидно, cont c = cont . Если
взять = cont T2 ; cont T1 , то cont tb = cont T2 . Поэтому тор Tb сопряжен с тором T2 относительно
группы F .
Следствие 1. Для любого внутреннего тора T существует перестройка, которая переводит
стандартный тор T0 = x dxd в тор, принадлежащий F -орбите тора T .
55
Конкретные вычисления выглядят следующим образом. Как показано в [7], тор T сопряжен
с тором hDf i, где
d ; f = cont T:
Df = (x + f + xf p;1@ p f ) dx
В качестве корневого элемента можно взять Z = f dxd :
d ; Z = ;Z:
x dx
i
h
При этом
d ; Z p = 0; exp Z x d = (x + f ) d ;
Z p = xf p; (@ p f ) dx
dx
dx
h
ip
d
d
d
(x + f ) dx = x dx + Z + Z p = (x + f + xf p; @ p f ) dx = Df :
2
1
1
Таким образом,
D d E
ef dxd x dx
= hDf i:
Учитывая, что группа F порождается усеченными экспоненциальными отображениями, соответствующими нильпотентным корневым векторам, получаем
Следствие 2. Любой внутренний тор можно перевести в любой другой внутренний тор с
помощью конечного числа перестроек.
Рассмотрим теперь перестройку внутреннего тора T = hti, соответствующую транзитивному
корневому дифференцированию
d (c(0) 6= 0):
Z = yc0 dx
Обозначим c(0) = 1 ( 2 K ). В этом случае De = exp Z (t) = t + Z =
дифференцирование. Его можно записать в виде
De = 1 D = 1 d ; где D d (mod L ):
c+y d
y0 dx
| транзитивное
z 0 dx
dx
;
0
Уравнение z 0 = cy y имеет решение z = ln 1 + yc . Если cont y = x p + + k x pk , то
cont z = x p + + k x pk , где
= ; p; ; = ; p; ;
0
1
+
1
( )
(
+1
1
( )
)
1
1
1
2
2
1
1
k = k ; k; p; ; k = ;k p; :
1
1
1
+1
Из этой системы получим коэффициенты
1 = 1 + p;1 ; 2 = 2 + 1pp;1 + p ;1 ;
2
k;
k = k + kp; p; + kp; p ; + + p pk; ; + pk ;
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
и найдем уравнение, которому удовлетворяет ,
pk + (1 )pk + (2 )pk; + + (k )p + k+1 = 0:
Согласно [7] характеристическое уравнение для дифференцирования D имеет вид
Dpn + (1 D)pn; + + (k D)pn;k + (k+1 D)pn;k; = 0:
+1
1
1
1
56
(
)
В результате такой перестройки тора T получается транзитивный тор размерности k + 1
eZ (T ) = hDpn;k; ; Dpn;k ; : : : ; Dpn; i = T (z):
e существует такой
Теорема 2. Для любого транзитивного тора T1 6= (0) в p-алгебре Ли L
1
внутренний тор
T , что тор T
2
Доказательство.
вид
1
1 получается из тора
T
2 с помощью одной перестройки.
В работе [8] доказано, что любой транзитивный тор в алгебре Le имеет
T = T (z ) = hDpn;m ; Dpn;m ; : : : ; Dpn; i;
| транзитивное дифференцирование, 0 < ht(z ) = m n, cont z = b x p + +
+1
1
1
( )
где Dm = z10 dxd
1
(p )
bmx (bm 6= 0).
Если | любой ненулевой корень уравнения
pm + (b1)pm; + (b2 )pm; + + (bm;1 )p + bm = 0;
то exp(z ) 2 A1 (n) (т. е. является многочленом, а не рядом!). Пусть y = exp(z );1 . Тогда
(y) = yy0 dxd 2 L0 { тороидальное дифференцирование, Z = y1 0 dxd | транзитивное корневое
дифференцирование: [ (y); Z ] = ;Z . Кроме того,
(y) + Z = 1 + y d = 1 d = 1 D:
1
2
y0 dx z0 dx Это означает, что внутренний тор T = h (y)i с помощью перестройки, соответствующей корневому элементу Z , переходит в тор
eZ (T ) = T :
Следствие 3. Любой транзитивный тор может быть получен из стандартного тора T =
hx dxd i с помощью конечного числа перестроек.
2
2
1
0
Доказательство вытекает из этой теоремы и следствия 2 теоремы 1.
Следствие 4. Любой допустимый тор может быть получен из стандартного тора с помощью
конечного числа перестроек.
Доказательство. Если T | внутренний тор, то это утверждение следствия 2 теоремы 1.
Если T | внешний тор, то в работе [8] доказано, что он транзитивный, поэтому применимо
следствие 1 теоремы 2.
3. Перестройки внешних торов
Дифференцирование B = @ pn; + + @ p + (1 + x)@ является тороидальным, и согласно
[7] любое внешнее тороидальное дифференцирование сопряжено с B . Напомним, что алгебра
констант C (B ) дифференцирования B изоморфна алгебре разделенных степеней высоты n ; 1
C (B ) = hy(i) j 0 i pn;1 ; 1i; где y = ln(1 + x):
1
pn;P1 ;1
Пусть g(x) =
bi x(i), cont g = bpx(p) + bp x(p ) + + bpn; x(pn; ) . Тогда многочлен вида
i=1
u = x + g(y)(1 + x) удовлетворяет условию
Bu = + u:
Если при этом + b1 6= 0, то u0 | обратимый элемент, и транзитивное дифференцирование
Z = u10 dxd удовлетворяет условию
[B; Z ] = ;Z;
(1)
т. е. является корневым вектором.
2
57
2
2
2
Обратно, пусть транзитивное дифференцирование Z удовлетворяет условию (1). Представим
его в виде Z = u10 dxd , где u 0 x по модулю старших членов (0 6= 0). Пусть cont u = 1 x(p) +
2x(p ) + + n x(pn) и = 0 + 1 + 2 + + n. Из равенства (1) следует
2
Bu = + u:
Поэтому xu 2 C (B ). Пусть xu = b + g(y), где
+
1+
+
1+
g(x) =
;1 ;1
pnX
i=1
(2)
0
bi x i ; cont g = bp x p + bp x p + + bpn; x pn; :
( )
( )
( 2)
2
2
(
2
)
Из равенства + u = (1 + x)(b0 + g(y)) следует, что
n = 0; b = ; b = ; ; ; ; n; ; bp = ; ; ; ; n; ;
0
1
1
2
1
2
3
= ;n; ; n; ; bpn; = ;n; ;
1
bpn;
а многочлен u имеет вид u = x + g(y)(1 + x).
p + + k x pk (k 6= 0). Напомним обозначения работы [8]:
Пусть ht(
u
)
=
k
,
cont
u
=
x
T (u) = hZ pn; ; Z pn; ; : : : ; Z pn;k i | транзитивный тор, S (u) = T (u) h (u)i | максимальный
нетранзитивный тор, где (u) = uu0 dxd .
Рассмотрим перестройку одномерного тора T = hB i с помощью корневого дифференцирования Z = u0 dxd , удовлетворяющего условию (1). Заметим, что тор hB i может быть получен из
стандартного тора T = hx dxd i одной перестройкой с помощью корневого элемента Z = dxd , т. е.
D d E
= hB i:
e dxd x dx
e = eZ (T ). Если = + 1 = 0, то Te = S (u), а если 6= 0, то Te = T ( ),
Теорема 3. Пусть T
где = ln(1 + u= ).
3
1
1
2
2
1
( )
(
2
1
)
1
0
Доказательство.
Из условия Z (u) = 1 следует, что Z pi (u) = 0 (i = 1; : : : ; n ; 1). Поскольку
Z 1 d (mod L );
dx
0
0
то (0 Z )p = @ p ; @up0u @ @ p ; @ (mod L0 ). Отсюда следует, что (0 Z )p @ p ;
поэтому (0 Z )p + (1 Z )p @ p (mod L) и
2
1
2
0
2
2
(0
Z )p2 + (
1
Z )p = @ p2 ;
По индукции получаем систему соотношений
; p
1
0
@ p (mod L),
@ p u @ @ p ; @ (mod L ):
u0
2
2
2
0
0
(0 Z )p = @ p ; @u0u @; (1 Z )p + (0 Z )p = @ p ; @u0u @; (2 Z )p + (1 Z )p + (0 Z )p = @ p ; @u0u @;
p
2
2
p2
2
3
3
p3
(n;2 Z )p + (n;3 Z )p2 + + (0 Z )pn;1
= @ pn;1 ;
Сложив эти равенства, получим соотношение
@ pn; u @:
u0
1
n;1
(0 + + n;2 )p Z p + (0 + + n;3 )p Z p + + (0 + 1 )pn; Z pn; + p0 Z pn; = B ; B (u)Z:
2
2
2
58
2
1
Отсюда с учетом равенства (2) находим
B = (u) + (0 + 1 + + n;1)Z + (0 + 1 + + n;2 )p Z p + + (0 + 1 )pn; Z pn; +
n;
+ p0 Z pn; : (3)
Пусть S = exp Z (B ) = B + Z . Поскольку дифференцирование Z удовлетворяет условию
(0 Z )pn + (1 Z )pn; + + (k Z )pn;k = 0;
e имеет базис fS pn;k; ; S pn;k ; : : : ; S pn; g. Удобнее выбрать другой базис
то из
[5]
следует,
что
тор
T
fS pn;k; ; Z pn;k ; : : : ; Z pn; g. Первый базисный элемент с учетом равенства (3) имеет вид
S = B + Z + Z p + + Z pn;k; = (u) + Z + p Z p + + pn;k; Z pn;k; +
n;
+ (0 + + k;1 )pn;k Z pn;k + + (0 + 1 )pn; Z pn; + p0 Z pn; :
Обозначим R = (u) + Z . Если = 0, то тор Te имеет базис f (u); Z pn;k ; : : : ; Z pn; g, и поэтому
совпадает с S (u) = T (u) h (u)i. Если 6= 0, то R = u+0u dxd = 10 dxd , где = ln(1 + u= ). В этом
случае тор Te имеет базис fRpn;k; ; Rpn;k ; : : : ; Rpn; g, т. е. совпадает с T ().
Из доказанной теоремы следует, в частности, что одномерный тор hB i может быть перестроен
в одномерный внутренний тор T0 = hx@ i. Для этого в качестве корневого элемента надо взять
Z = ; dxd , т. е.
e; dxd (hB i) = T0 :
Тор hB i может быть перестроен также в любой ненулевой транзитивный тор, т. к. многочлен
u, соответствующий корневому дифференцированию Z = u10 dxd , может иметь любую высоту
k = ht(u) и содержание cont u с любым набором параметров (1 ; : : : ; k ). И, наконец, тор hB i
с помощью одной перестройки может быть преобразован в максимальный нетранзитивный тор
S (u) = T (u) h (u)i.
Централизатор в L тора T (u) имеет вид
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
D i d E
n;k ; 1 :
L(u) = uu0 dx
0 i p
Поскольку L(u) = W (n ; k), то по следствию 1 тор h (u)i может быть перестроен в любой
внутренний тор алгебры Ли L(u). При этих перестройках тор T (u) не меняется, а тор S (u)
( )
1
переходит в немаксимальный нетранзитивный тор.
Что касается многомерных внешних торов, то они не могут быть перестроены во внутренние
торы по соображениям размерности. Из теоремы 3 следует, что многомерные внешние торы
могут быть перестроены как в транзитивные, так и в нетранзитивные внешние торы.
Из доказанных теорем и их следствий получается основная
Теорема 4. Любой ненулевой тор в
внутреннего тора
T =
0
x dxd
p-алгебре Ли Le может быть получен из стандартного
конечным числом перестроек.
Литература
1. Демушкин С.П. Подалгебры Картана простых p-алгебр Ли Wn и Sn // Сиб. матем. журн. {
1970. { Т. 11. { Є 2. { С. 310{325.
2. Демушкин С.П. Подалгебры Картана простых неклассических p-алгебр Ли // Изв. АН СССР.
Сер. матем. {1972. { Т. 36. { С. 915{938.
3. Премет А.А. Регулярные подалгебры Картана и нильпотентные элементы в ограниченных
алгебрах Ли // Матем. сб. { 1988. { Т. 180. { Є 4. { С. 542{557.
4. Brown G. Cartan subalgebras of Zassenhaus algebras // Canad. J. Math. { 1975. { V. 27. { Є 5. {
Р. 1011{1021.
59
5. Benkart G.M. Cartan subalgebras in Lie algebras of Cartan type // Lie algebras and Related Topics,
CMS Conf. Proc. { 1986. { V. 5. { Р. 157{187.
6. Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики //
Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1969. { Т. 33. { Є 2. { С. 251{322.
7. Тюрин С.А. Торы в алгебре Цассенхауза. { \Материалы 6-й научн. конф. молодых ученых
мех.-матем. фак. и НИИ мех. Ч. 3." { Горький, 1981. { 9 с. { Деп. в ВИНИТИ 14.01.82, Є 202-82.
8. Тюрин С.А. Классификация торов в алгебре Цассенхауза // Изв. вузов. Математика. { 1998.
{ Є 2. { С. 69{76.
Нижегородский государственный
Поступила
22.01.1997
университет
60
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
179 Кб
Теги
перестройка, алгебра, торов, цассенхауза
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа