close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 12, c. 3–10
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
А.Р. АБДУЛЛАЕВ, Е.А. СКАЧКОВА
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Аннотация. В работе получены достаточные условия разрешимости периодической краевой
задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Применяемая
в работе методика исследования основана на теореме существования решения для квазилинейного операторного уравнения в случае резонанса. Достаточные условия существования
периодических решений сформулированы в терминах исходного уравнения. Показано, что
основной результат работы уточняет теорему существования, полученную в работе B. Mehri,
D. Shadman, Sci. Iran. 15 (2), 182–185 (2008).
Ключевые слова: уравнение четвертого порядка, периодическое решение, резонанс.
УДК: 517.927
1. Введение
Рассмотрим периодическую краевую задачу для дифференциального уравнения четвертого порядка:
x(4) (t) = f (t, x(t), x (t), x (t), x (t)) + g(t),
(1)
x(0) = x(l), x (0) = x (l), x (0) = x (l), x (0) = x (l),
(2)
где t ∈ [0, l], функция g : [0, l] → R1 ограничена в существенном, f : [0, l] × R4 → R1 удовлетворяет условию Каратеодори [1], т. е. функция f (·, y) измерима при каждом y, функция
f (t, ·) непрерывна при почти всех t ∈ [0, l].
Уравнение (1) и его частные виды возникают в математических моделях многих реальных процессов. В строительной механике уравнения четвертого порядка встречаются,
например, в задачах об изгибе балки на упругом основании, колебании балок постоянного
и переменного сечения, а также в теории цилиндрических оболочек. Задачи для уравнения
вида (1) в различных постановках изучались многие десятилетия и представляют интерес и
по настоящее время. Из работ, посвященных вопросу существования периодического решения задачи и близких к тематике данной статьи, отметим работы [2]–[6]. Для автономного
случая уравнения (1) в [7] получена теорема о существовании периодических решений в
предположении, что f (−x, x , −x , x ) = −f (x, x , x , x ), где f — непрерывная функция.
В предлагаемой работе получены новые достаточные условия разрешимости задачи (1),
(2) в пространстве абсолютно непрерывных функций. Доказательство теоремы существования основано на использовании специального утверждения о разрешимости квазилинейного
операторного уравнения.
Поступила 26.07.2012
3
4
А.Р. АБДУЛЛАЕВ, Е.А. СКАЧКОВА
Для удобства чтения работы разобьем текст после введения на две части: в разделе 2
приведем необходимые обозначения, определения и вспомогательные утверждения, а в разделе 3 сформулируем и докажем основное утверждение работы — теорему о существовании
хотя бы одного периодического решения уравнения (1).
2. Вспомогательные конструкции и утверждения
Обозначим через Lp = Lp [0, l], 1 < p < ∞, пространство суммируемых в p-й степени
l
1/p
|x (s)|p ds
; L∞ = L∞ [0, l] — пространство
функций x : [0, l] → R с нормой xLp =
0
измеримых и ограниченных в существенном функций x : [0, l] → R с нормой xL∞ =
vraisup |x(t)|; Wp,4 = Wp,4 [0, l] — пространство абсолютно непрерывных вместе с третьей
t∈[a,b]
производной функций x : [0, l] → R1 таких, что x(4) ∈ Lp . Норму на этом пространстве
3 x(i) (0) + x(4) , где x(0) (t) def
= x(t).
определим равенством xWp,4 =
Lp
i=0
Определение 1. Под решением задачи (1), (2) будем понимать всякую функцию x ∈
Wp,4 [0, l], удовлетворяющую почти всюду на [0, l] уравнению (1) и периодическим условиям
(2).
Введем также специальное пространство, которое учитывает краевые условия задачи (1),
(2) и является замкнутым подпространством пространства Wp,4 [0, l]:
0
= {x ∈ Wp,4 [0, l] : x(0) = x(l), x (0) = x (l), x (0) = x (l), x (0) = x (l)}.
Wp,4
На этом пространстве задачу (1), (2) можно записать в виде операторного уравнения
(3)
(Lx)(t) = (F x)(t),
где операторы L, F :
0
Wp,4
→ Lp определяются следующим образом:
(Lx)(t) = x(4) (t),
(4)
(F x)(t) = f (t, x(t), x (t), x (t), x (t)) + g(t).
(5)
Таким образом, для доказательства разрешимости задачи (1), (2) достаточно исследовать
на разрешимость операторное уравнение (3). Для этого воспользуемся вспомогательным
утверждением о разрешимости операторного уравнения вида (3).
Пусть X и Y — банаховы пространства. Для линейного оператора L : X → Y через ker L,
im L соответственно обозначим ядро и образ оператора L. Понятие оператора, обобщенно
обратного к оператору L, возьмем из [8]. Пусть P : X → X — проектор на ядро оператора
L и P C = I − P — дополнительный проектор ([9], с. 187).
Определение 2. Оператор KP : im L → X будем называть обобщенно обратным к оператору L : X → Y , ассоциированным с проектором , если справедливы равенства:
1) LKP = I0 , где I0 : im L → Y — оператор естественного вложения;
2) KP L = P c ;
3) P c KP = KP .
Введем характеристику скорости роста нелинейного оператора F : X → Y
b(F ) = lim sup
r→∞ x=r
F xY
.
xX
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
5
Если F x ≤ A + B xδ , то b(F ) = 0 при 0 < δ < 1 и b(F ) ≤ B при δ = 1. Если b(F ) < +∞,
то эту величину называют квазинормой оператора F .
Пусть X = ker L ⊕ X0 — разложение в прямую сумму замкнутых подпространств.
Рассмотрим операторное уравнение
(6)
Lx = F x,
где L — линейный ограниченный оператор, F — вполне непрерывный оператор. Теорему
существования из [10] сформулируем в форме, удобной для дальнейшего изложения.
Теорема 1 ([10]). Пусть выполнены условия
1) L нетеров;
2) F вполне непрерывен;
3) существуют такие числа γ, δ ≥ 0, что для каждого элемента x0 ∈ X0 существует
элемент u ∈ ker L, для которого F (x0 + u) ∈ im L, u ≤ γ x0 + δ;
4) b(F ) KP < (1 + γ)−1 .
Тогда уравнение (6) имеет хотя бы одно решение.
Подчеркнем, что в теореме 1 не предполагается обратимость оператора L. Как известно,
в литературе в этом случае уравнение (6) принято называть резонансным.
Для применения теоремы 1 к задаче (3) потребуются вспомогательные утверждения об
операторах L и F, определенные соответственно равенствами (4) и (5).
Непосредственно проверяется
0 → L
Лемма 1. Оператор L является фредгольмовым. Ядро и образ оператора L : Wp,4
p
определяются равенствами
0
: x(t) ≡ const},
ker L = {x ∈ Wp,4
l
y(t)dt = 0 .
im L = y ∈ Lp :
0
Через Q обозначим проектор на образ оператора L и QC — дополнительный проектор.
В данной работе в качестве проекторов соответственно на ядро и образ оператора L будем
0 → W 0 и Q : L → L , определяемые равенствами
рассматривать операторы P : Wp,4
p
p
p,4
(7)
P x = x(0),
1 l
y(s)ds.
Qy = y −
l 0
Эти проекторы P и Q порождают разложение пространств в прямые суммы
0
= ker L ⊕ X0 , Lp = im L ⊕ Y0 ,
Wp,4
где X0 = im P , Y0 = ker Q.
Лемма 2. Обобщенно обратный для оператора (Lx) (t) = x(4) (t) оператор KP , ассоциированный с проектором P (7), имеет вид
(KP y) (t) =
tl
t3 t2
+ +
6l
4
12
l
0
t
t2
+
sy(s)ds−
4l 4
l
t
s y(s)ds+
6l
l
2
0
t
3
s y(s)ds+
0
Доказательство. Действительно, выполнение условий LKP = I,
P c x определения проверяется непосредственно.
(t − s)3
y(s)ds.
3!
0
P c KP
= KP и KP Lx =
6
А.Р. АБДУЛЛАЕВ, Е.А. СКАЧКОВА
Лемма 3. Для оператора KP справедлива оценка
√
2 q
1 q
l2 q
l
l
l
l
q
2 1
+
+l
+
+
+ l.
KP ≤ A(p) ≡ 1 + l
12 3
q+1
4 2l
2q + 1
6 3q + 1
Здесь и далее q — сопряженный с p показатель, 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ∞.
Доказательство. Имеем
l
l
l
l
1
1
2
3
sy(s)ds −
s y(s)ds +
s y(s)ds +
KP yW 0 = p,4
12 0
4 0
6l 0
l
l
l
l
1
1
1
2
sy(s)ds −
s y(s)ds + sy(s)ds −
y(s)ds + yLp .
+
2
2l
6
0
0
0
0
Выражение в правой части равенства оценим сверху с применением неравенств Минковского и Гёльдера. В результате получим
KP yW 0 ≤ A(p)yLp .
p,4
Для оценки характеристики b(F ) воспользуемся следующим утверждением.
0 справедливы на [0, l] неравенства
Лемма 4. Для любого элемента x ∈ Wp,4
|x(t)| ≤ k0 xW 0 ,
p,4
где
l2 l3 l3
2, 6, 6
|x(m)(t)| ≤ km xW 0 ,
p,4
q
k0 = max 1, l,
l
,
k2 = max 1, l, l q q+1
l
3q+1
m = 1, 2, 3,
l2 l2
2, 2
, k1 = max 1, l,
√
q
k3 = max 1, l .
q
l
2q+1
,
(8)
Доказательство проведем для первого неравенства, использовав представление
t2 1 t
t3 (t − s)3 x(4) (s)ds.
x(t) = x (0) + x (0) + tx (0) + x(0) +
6
2
3! 0
Имеем
t (t − s)3q 1/q
l3 l2 (4)
x (0) +
x (0) + l x (0) + |x(0)| + x (t) ds .
|x(t)| ≤
6
2
(3!)q
Lp
0
Так как
t
0
1/q
l3 q
(t − s)3q l
,
ds ≤
q
(3!)
6 3q + 1
то, продолжая оценку, получим
l3
l2 l3 |x(t)| ≤ x (0) + x (0) + l x (0) + |x(0)| + x(4) (t)
6
2
Lp 6
2
3
3
l
.
где k0 = max 1, l, l2 , l6 , l6 q 3q+1
Аналогично доказываются остальные неравенства.
q
l
≤ k0 xW 0 ,
p,4
3q + 1
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
7
Лемма 5. Пусть существуют неотрицательные постоянные a, b, c, d и неотрицательная функция h ∈ L∞ [0, l] такие, что |f (t, u1 , u2 , u3 , u4 )| ≤ a |u1 | + b |u2 | + c |u3 | + d |u4 | + h(t)
почти всюду при t ∈ [0, l] и u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R1 . Тогда для оператора F справедлива оценка
F xLp ≤ α + β xWp,4 ,
√
где α = p l hL∞ + gL∞ , β = k0 a + k1 b + k2 c + k3 d.
Доказательство. С учетом леммы 4 имеем
F xLp ≤ a|x(t)| + b|x (t)| + c|x (t)| + d|x (t)| + h(t) + g(t)Lp ≤
√
p
≤ l(hL∞ + gL∞ ) + (k0 a + k1 b + k2 c+k3 d)xWp,4 . 3. основное утверждение
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) существуют неотрицательные постоянные a, b, c, d и неотрицательная функция
h ∈ L∞ [0, l] такие, что |f (t, u1 , u2 , u3 , u4 )| ≤ a |u1 |+b |u2 |+c |u3 |+d |u4 |+h(t) при u1 , u2 , u3 , u4 ∈
R1 и почти всех t ∈ [0, l];
2) существует u∗ > 0 такое, что sign(u1 )f (t, u1 , u2 , u3 , u4 ) − gL∞ > 0
(sign(u1 )f (t, u1 , u2 , u3 , u4 ) + gL∞ < 0) при |u1 | > u∗ , u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R1 и почти всех
t ∈ [0, l];
√
l
l
l
2
l
+ 23 q q+1
+ l2 14 + 2l1 q 2q+1
+ l6 q 3q+1
+ q l < 1, где β = k0 a +
3) β(1 + k0 ) 1 + l 12
k1 b + k2 c + k3 d и (8).
Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве Wp,4 .
Доказательство. Проверим выполнение условий теоремы 1. В силу утверждения леммы 1
0 → L , определенный равенством (F x)(t) =
оператор L фредгольмов. Оператор F : Wp,4
p
f (t, x(t), x (t), x (t), x (t)) + g(t) вполне непрерывен. Действительно,
F x = N {J1 x, J2 x, J3 x, J4 x},
где оператор Немыцкого
N : Lp × Lp × Lp × Lp → Lp , N {u1 , u2 , u3 , u4 } = f (t, x(t), x (t), x (t), x (t)) + g(t),
непрерывен в силу условия 1) теоремы ([11], с. 66), а операторы Jk : Wp,4 → Lp , k = 1, 4,
определенные равенствами (J1 x)(t) = x(t), (J2 x)(t) = x (t), (J3 x)(t) = x (t), (J4 x)(t) =
x (t), вполне непрерывны.
Для проверки выполнения условия 3) теоремы 1 рассмотрим уравнение QC F (x + u) = 0,
где u ∈ ker L, x — некоторый элемент X0 . Если при каждом фиксированном x ∈ X0 данное
уравнение имеет решение, то существует элемент u ∈ ker L, удовлетворяющий условию
F (x0 + u) ∈ im L.
Произвольно зафиксируем элемент x ∈ X0 и определим непрерывное отображение Φ :
R1 → R1 равенством
l
l
f (t, x(t) + C, x (t), x (t), x (t))dt +
g(t)dt.
Φ(C) =
0
0
Далее воспользуемся следующим двойным неравенством (см. лемму 4):
−k0 xW 0 ≤ x(t) ≤ k0 xW 0 ,
p,4
p,4
t ∈ [0, l].
8
А.Р. АБДУЛЛАЕВ, Е.А. СКАЧКОВА
Положим C1 = u∗ + k0 xWp,4 . Тогда для всех C ≥ C1 справедливо x(t) + C > u∗ ,
следовательно, Φ(C) ≥ 0. Аналогично, Φ(C) ≤ 0 для всех C ≤ C2 = −u∗ − k0 xWp,4 . В силу
= C(x), удовлетворяющая неравенству
функции Φ существует константа C
непрерывности
= 0. Таким образом, существует
+ u∗ и такая, что Φ(C)
C ≤ max{|C1 | , |C2 |} ≤ k0 x
Wp,4
= u ∈ ker L, удовлетворяющий требованиям F (x0 + u) ∈ im L, u ≤ γ x0 + δ,
элемент C
причем γ = k0 , δ = u∗ .
В случае, когда выполнено условие sign(u1 )f (t, u1 , u2 , u3 , u4 ) + gL∞ < 0, доказательство
проводится по той же схеме.
Выполнение четвертого условия теоремы 1 следует из условия 3) теоремы 2.
Далее рассмотрим утверждения для специальных случаев, удобные для применения.
Следствие 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) существуют неотрицательные постоянные a, b, c, d и неотрицательная функция h ∈
L∞ [0, 1] такие, что |f (t, u1 , u2 , u3 , u4 )| ≤ a |u1 | + b |u2 | + c |u3 | + d |u4 | + h(t) почти всюду при
t ∈ [0, 1] и u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R1 ;
2) существует u∗ > 0 такое, что sign(u1 )f (t, u1 , u2 , u3 , u4 ) − gL∞ > 0
(sign(u1 )f (t, u1 , u2 , u3 , u4 ) + gL∞ < 0) при |u1 | > u∗ , для любых t ∈ [0, 1], u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R1 ;
3) a + b + c + d < 0.17659.
Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве W2,4 .
Доказательство. При l = 1 и p = 2 условие 3) теоремы 2 принимает вид
√
1
3
3
< 1.
+ √ + √
2(a + b + c + d) 2 +
4
4 5 6 7
Выполнение этого неравенства гарантируется условием 3) теоремы 2. Выполнение остальных условий очевидно.
Непосредственной проверкой условий теоремы 2 доказывается
Следствие 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) существуют неотрицательная постоянная a и неотрицательная функция h ∈ L∞ [0, l]
такие, что |f (t, u)| ≤ a |u| + h(t) почти всюду при t ∈ [0, l] и u ∈ R1 ;
2) существует u∗ > 0 такое, что f (t, u) sign u > 0(< 0) при |u| > u∗ , для любых t ∈ [0, l],
u ∈ R1 ;
2
3
3
l
.
3) ak0 (1 + k0 )A(p) < 1, где k0 = max 1, l, l2 , l6 , l6 q 3q+1
Тогда задача
x(4) (t) = f (t, x(t)),
x(0) = x(l), x (0) = x (l), x (0) = x (l), x (0) = x (l)
имеет хотя бы одно решение в пространстве Wp,4 .
В заключение работы рассмотрим автономный случай уравнения (1), т. е.
x(4) (t) = f (x(t), x (t), x (t), x (t)),
(9)
с теми же периодическими краевыми условиями и получим признак разрешимости, уточняющий результат из [7].
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
9
Следствие 3. Пусть выполнены следующие условия:
1) существуют неотрицательные постоянные a, b, c, d, h такие, что |f (u1 , u2 , u3 , u4 )| ≤
a |u1 | + b |u2 | + c |u3 | + d |u4 | + h почти всюду при t ∈ [0, l] и u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R1 ;
2) f (−u1 , u2 , u3 , u4 ) = −f (u1 , u2 , u3 , u4 );
3) β(1 + k0 )A(p) < 1, где β = k0 a + k1 b + k2 c + k3 d и (8).
Тогда задача (9), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве Wp,4 .
Доказательство. Применим утверждение теоремы 2, полагая f (t, x(t), x (t), x (t), x (t)) ≡
f (x(t), x (t), x (t), x (t)) и g(t) ≡ 0. При этом условие 2) следствия обеспечивает выполнение
условия 2) теоремы 2. Остается заметить, что условия 1) и 3) следствия такие же, что и в
теореме 2.
Условия следствия 3 эффективно проверяемы для конкретных классов уравнений данного вида. Например, выполнение условия 3) устанавливается, если правая часть уравнения
зависит от x в нечетной степени.
Литература
[1] Азбелев Н.В., Максимов В.П., Разматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений (Наука, М., 1991).
[2] De Coster C., Fabry C., Munyamarere F. Nonresonance conditions for fourth-order nonlinear boundary value
problems, Internat. J. Math. Sci. 17 (4), 725–740 (1994).
[3] Pinda L. On a fourth order periodic boundary value problem, Arch. Math. (Brno) 30 (1), 1–8 (1994).
[4] Bereanu C. Periodic solutions of some fourth-order nonlinear differential equations, Nonlinear Anal.: Theory,
Methods & Appl. 71 (1–2), 53–57 (2009).
[5] Yao Q. Existence, multiplicity and infinite solvability of positive solutions to a nonlinear fourth-order periodic
boundary value problem, Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl. 63 (2), 237–246 (2005).
[6] Pietramala P. A note on a beam equation with nonlinear boundary conditions, Boundary Value Problems
2011, Art. ID 376782, 1–14 (2011).
[7] Mehri B., Shadman D. On the existence of periodic solutions for nonlinear ordinary differential equations,
Sci. Iran. 15 (2), 182–185 (2008).
[8] Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов (Челябинск. гос. ун-т, Челябинск, 1994).
[9] Треногин В. А. Функциональный анализ (Физматлит, М., 2002).
[10] Абдуллаев А.Р. О разрешимости квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных
уравнений, Функц.-дифференц. уравнения (Пермь, 1992), с. 80–87.
[11] Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения (Наука, М., 1988).
А.Р. Абдуллаев
профессор, заведующий кафедрой высшей математики,
Пермский национальный исследовательский технический университет,
Комсомольский пр., д. 29, г. Пермь, 614990, Россия,
e-mail: h.m@pstu.ru
Е.А. Скачкова
старший преподаватель, кафедра математического анализа,
Пермский государственный национальный исследовательский университет,
ул. Букирева, д. 15, г. Пермь, 614990, Россия,
e-mail: skachkovaea@gmail.com
10
А.Р. АБДУЛЛАЕВ, Е.А. СКАЧКОВА
A.R. Abdullaev and E.A. Skachkova
A periodic boundary value problem for a fourth-order differential equation
Abstract. In this paper we obtain sufficient solvability conditions for a periodic boundary value
problem for a fourth-order ordinary differential equation. The research technique is based on the
solvability theorem for a quasilinear operator equation in the case of resonance. We formulate
sufficient conditions for the existence of periodic solutions in terms of the original equation. We
show that the main result of this paper clarifies the existence theorem established by B. Mehry and
D. Shadman in Sci. Iran. 15 (2), 182–185 (2008).
Keywords: fourth-order differential equation, periodic solution, resonance.
A.R. Abdullaev
Professor, Head of the Chair of Higher Mathematics,
Perm National Research Polytechnic University,
29 Komsomol’skii Ave., Perm, 614990 Russia,
e-mail: h.m@pstu.ru
E.A. Skachkova
Senior Lecturer, Chair of Mathematical Analysis,
Perm State National Research University,
15 Bukirev str., Perm, 614990 Russia,
e-mail: skachkovaea@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
191 Кб
Теги
уравнения, краевая, дифференциальной, четвертое, задачи, порядке, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа