close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (537)
УДК 517.954
И.А. РУДАКОВ
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НЕЙМАНА И ДИРИХЛЕ
1. Введение
Рассмотрим задачу
utt ; uxx + g(u) = f (x; t); 0 < x < ; t 2 R;
u(x; t + 2) = u(x; t); 0 < x < ; t 2 R:
(1)
(2)
Будем изучать следующие два типа граничных условий:
u(0; t) = u0 (; t) = 0; t 2 R;
u0(0; t) = u(; t) = 0; t 2 R:
(3)
(4)
Здесь f (x; t) | заданная 2-периодическая по времени функция.
Задача (1), (2) с нулевыми граничными условиями Дирихле хорошо изучена в работах [1]{
[6]. В [7] исследована задача (1), (2) с однородными граничными условиями 3-го рода. В [8]{[10]
доказано существование обобщенных периодических решений волнового уравнения с непостоянными по x коэффициентами.
Основным результатом данной работы является доказательство теоремы о существовании
классического решения задач (1){(3) и (1), (2), (4), если нелинейное слагаемое g(u) удовлетворяет условию нерезонансности.
2. Линейная часть уравнения
Обозначим = [0; ] [0; 2]. При изучении граничных условий (4) будем обозначать
1 = [;; ][0; 2], а при изучении условий (3) будем обозначать
1 = [0; 2][0; 2R ]. Для функR
ций f; g 2 L2 (
) используются обозначения (f; g) = f (x; t)g(x; t)dx dt, kf k2 = f 2 (x; t)dx dt.
Решение задач (1){(3) и (1), (2), (4) будем искать в виде ряда Фурье. Для построения ортонормированных в L2 (
) систем собственных функций линейных частей этих задач рассмотрим
следующие задачи Штурма{Лиувилля:
'00 + 2 ' = 0; '(0) = '0 () = 0;
(5)
00
2
0
' + ' = 0; ' (0) = '() = 0:
(6)
Задачи (5), (6) имеют одинаковые собственные числа 2n = (n + 21 )2 . Собственные функции
задач (5), (6) имеют вид Xnp= sin(n + 12 )x и Xnp= cos(n + 12 )x соответственно. Здесь n 2 Z+ 2
2
N [ f0g. Обозначим 'nm =
Xn cos mt, nm = Xn sin mt, = f'nm ; nm j n 2 Z+ , m 2 Ng [
1
Xn j n 2 Z+ . Система является полной ортонормированной в L2 (
) системой собственных
функций оператора Даламбера @tt ; @xx с граничными условиями (3) или (4).
46
n
Определим оператор A0 : L2 (
) ! L2 (
), для которого D(A0 ) = u =
o
N P
M
P
n=0 m=0
(anm 'nm +
anm; bnm 2 R; N; M 2 N и A0 u = utt ; uxx 8u 2 D(A0 ). Обозначим буквой A оператор в L2 (
), являющийся замыканием по графику оператора A0 . Система является системой
собственных функций операторов A и A0 с собственными значениями nm = (n + 12 )2 ; m2 .
1 P
1
P
Функция u =
(anm 'nm + bnm nm ) принадлежит D(A) тогда и только тогда, когда
bnm
nm )
1 P
1
P
2
(a2
n=1 m=0
+ bnm )
n=1 m=0 nm nm
2
< 1. При этом Au =
1 P
1
P
n=1 m=0
nm(anm 'nm + bnm
nm ).
Легко видеть, что
ядро N (A) = f0g.
Стандартно доказываются следующие свойства оператора A: 1) A | самосопряженный опе1 P
1 1
P
ратор, 2) A;1 : L2 (
) ! C (
) является вполне непрерывным оператором, 3) ряд
2
n=0 m=0 nm
сходится.
Пусть T = 2. Обозначим через C 1, C 1 пространства бесконечно дифференцируемых действительных функций в и 1 соответственно, T -периодических по t. Пусть Hk , H k | пространk
P
ства Соболева, являющиеся соответственно замыканием C 1 , C 1 по нормам k'k2k =
kD 'k2 ,
k
P
jj=0
1 , 2 , k 2 N [ f0g. Будем
обозначать H0 = L2 (
), H0 = L2 (
1 ). Пусть C k , C k | пространства T -периодических по t
и k раз непрерывно дифференцируемых в и 1 соответственно функций с обычной нормой
k
k'kk = P sup jD 'j.
jj=0 (x;t)2
(
1 )
При исследовании оператора A с граничными условиями (4) для функций f 2 L2 (
) будем
обозначать через f 2 L2 (
1 ) такую четную по x функцию, что f (x; t) = f (;x; t) = f (x; t)
8(x; t) 2 . При исследовании оператора A с граничными условиями (3) для f 2 L2(
) будем
обозначать через f (x; t) такую функцию из L2 (
1 ), что f (x; t) = f (2 ; x; t) = f (x; t) 8(x; t) 2 .
Для оператора A справедлива следующая теорема | аналог теоремы 4 из [11].
k'k2Hk =
jj=0
kD 'k2L2 (
1 ), = (1; 2 ), jj = 1 + 2, D =
@ 1 +2
@x1 @t2 ,
Теорема 1. Для любого k 2 N [ f0g и любой функции f 2 Hk такой, что f 2 Hk , имеют место включения A;1 f 2 Hk+1 \ C (
), A;1 f 2 Hk+1 \ C (
1) и существует константа Ck
такая, что
kA;1 f kk+1 Ck kf kk ; kA;1 f kHk+1 Ck kf kk 8f 2 Hk :
(7)
Доказательство. Первый случай. Пусть оператор A соответствует задаче (1), (2), (4). Рассмотрим вспомогательную линейную задачу
!tt ; !xx = h(x; t); ; < x < ; t 2 R;
!(;; t) = !(; t) = 0; t 2 R;
!(x; t + 2) = !(x; t); t 2 R:
(8)
(9)
(10)
Здесь h | заданная 2-периодическая по t функция из L2 (
1 ), где 1 = [;; ] [0; 2].
Обобщенное решение задачи (8){(10) может быть найдено с помощью рядов Фурье по тригонометрической системе
1
1
:
1 = sin nx cos mt; sin nx sin mt; cos k + 2 x cos mt; cos k + 2 x sin mt
n2N; k;m2N[f0g
47
Пусть H | множество четных функций из L2 (
1 ). Тогда любая функция h 2 H раскладывается в ряд Фурье по косинусам системы 1 :
+1 X
+1
X
h=
cos k + 21 x(h0km cos mt + h00km sin mt);
k=0 m=0
0
00
где hkm , hkm | коэффициенты Фурье. Обозначим через S : H ! H оператор, определяющий
обобщенное решение задачи (8){(10) для четных h:
+1 X
+1
X
1
1 x(h0 cos mt + h00 sin mt):
Sh =
cos
k
+
;;
km
km
1 2
2
k=0 m=0 k + 2 ; m2
Легко видеть, что A;1 f = Sf 8f 2 Hk . Нетрудно проверить, что теорема 4 для отрезка [0; ]
из работы [11] справедлива для задачи (8){(10). Из нее получим kSf kHk+1 Ck kf kHk , где Ck не
зависит от f 2 Hk . Отсюда следует (7).
Второй случай. Пусть оператор A соответствует задаче (1){(3). Рассмотрим вспомогательную задачу
!tt ; !xx = h(x; t); 0 < x < 2; t 2 R;
(11)
!(0; t) = !(2; t) = 0; t 2 R;
(12)
!(x; t + 2) = !(x; t); 0 < x < 2; t 2 R:
(13)
Здесь h 2 L2 (
1 ) (
1 = [0; 2] [0; 2]). Обозначим через H множество функций из L2 (
1 ) таких,
что h(x; t) = h(2 ; x; t) 8(x; t) 2 1 . Обозначим через S : H ! H оператор, определяющий
обобщенное решение задачи (11){(13) для функций h 2 H :
+1 X
+1
X
;
1 x(h0 cos mt + h00 sin mt);
1
sin
k
+
Sh =
;;
km
2
1
2 km
k=0 m=0 k + 2 ; m2
где h0km , h00km | коэффициенты Фурье функции h 2 H по системе
sin k + 21 x cos mt; sin k + 12 x sin mt
:
k;m2N[f0g
Легко видеть, что A;1 f = Sf 8f 2 Hk . Отсюда и из теоремы 4 работы [11], как и в первом
случае, выведем (7).
1
Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 1, k 2, f 2 Hk , f 2 Hk , то A;1 f 2 C (
1 ),
;
1
и для функции u = A f условия (3) или (4) выполнены в классическом смысле.
Утверждение следствия 1 вытекает из теоремы вложения Соболева и из четности функции
u по x относительно 0 или .
3. Операторное уравнение в гильбертовом пространстве
Пусть H | действительное гильбертово пространство со скалярным произведением ( ; ) и
нормой kk. Для любого подмножества M H через M и L(M ) будем обозначать соответственно
замыкание M по норме H и множество конечных линейных комбинаций элементов из M .
Свойство I. Пусть A : H ! H | линейный самосопряженный оператор такой, что D(A) всюду плотно в H . Пусть существует полная ортонормированная в H система = fe1 ; e2 ; : : : ; en ; : : : g
собственных векторов оператора A и пусть fn g | последовательность собственных значений
такая, что Aen = n en , n 2 N. Будем говорить, что оператор A, удовлетворяющий всем этим
условиям, обладает свойством I.
Пусть N (A), R(A) | соответственно ядро и образ оператора A.
48
Свойство II. Пусть = 1 [ 2 [ 3 , где подмножества 1 , 2 , 3 попарно не пересекаются,
подмножества 2 , 3 бесконечные и 1) L(1 ) = N (A), 2) существуют положительные константы
a, b такие, что для любого e 2 2 соответствующее e собственное значение 2 [a; b],
X 1
3)
< 1:
(14)
ei 23 i
2
Здесь суммирование производится по всем собственным векторам оператора A из 3 .
Заметим, что если для оператора A выполнено условие (14), то все собственные векторы A
из 3 имеют конечную кратность.
Будем говорить, что для самосопряженного оператора A выполнено свойство III, если A
удовлетворяет свойству I, = 1 [ 3 , 1 \ 3 = ;, 3 | бесконечное множество и выполнены
условия 1), 3) свойства II.
Обозначим N1 = N (A), N2 = L(2 ), N3 = L(3 ). Множества N1 , N2 , N3 являются попарно
ортогональными замкнутыми подпространствами H . Пусть P1 , P2 , P3 | ортогональные проекторы на N1 , N2 , N3 соответственно. Для любого элемента u 2 H будем обозначать ui = Pi u,
i 2 f1; 2; 3g, поэтому u = u1 + u2 + u3 , ui 2 Hi , i 2 f1; 2; 3g.
Заметим, что если выполнены свойства II или III, то обратный оператор A;1 : N3 ! N3
является вполне непрерывным. Обозначим (A) = fn j n 2 Ng. Во всех приложениях спектр
(A) является множеством, не ограниченным ни снизу, ни сверху.
;1 : N3 ! N3 является вполне
Лемма 1. Для любого числа 62 (A) оператор (A ; )
непрерывным.
P
1 . Из (14) следует,
Доказательство. Достаточно доказать сходимость ряда I =
2
ei 23 (i ;)
что множество fi j ei 2 3 , ji j < 2jjg конечное, поскольку собственные числа i 2 3 имеют
конечную кратность. Поэтому существует константа C1 такая, что
I=
X
1 1 ; 2 ;1 C
2
ei 23 i
1
i
X
1 < 1: 2
ei 23 i
Из леммы 1 вытекает
Следствие 2. Если для оператора A выполнено свойство III и dim N (A) < 1, то для любого
2= (A) оператор (A ; );1 : H ! H является вполне непрерывным.
Пусть B : H ! H | (нелинейный) оператор, для которого существуют константы C; 2
(0; +1) и 2 R такие, что
(B (u) ; u; u) 1 kB (u) ; uk2 ; C 8u 2 H:
(15)
Рассмотрим в H уравнение
Au ; B (u) = f:
(16)
Теорема 2. Если для оператора A : H ! H выполнено свойство III, dim N (A) < 1 и
B : H ! H является деминепрерывным оператором (т. е. B непрерывен из сильной топологии
H в слабую топологию H ), для которого выполнено (15), где
2 (; ); 2 (0; ; ); 2 (A); (; ) \ (A) = ;;
(17)
то для любого f 2 H уравнение (16) имеет решение в H , т. е. R(A ; B ) = H .
49
Запишем уравнение (16) в эквивалентном виде
u = T (u);
(18)
где T (u) = (A ; );1 (B (u) ; u + f ). Из условий теоремы и следствия 2 вытекает, что оператор
T : H ! H является вполне непрерывным. Доказательство существования неподвижной точки
оператора T проведем, воспользовавшись принципом Лере{Шаудера.
Для этого рассмотрим уравнение u = T (u) с параметром 2 (0; 1]. Преобразуем это уравнение к виду
(19)
B (u) = ; 1 (;A + )(u ; !);
Доказательство.
1
где ! = (A;);1 f; B1 (u) = B (u);u. Легко видеть, что = ; | наибольшее отрицательное
собственное значение оператора ;A + . Умножим (19) скалярно в H на u ; ! и воспользуемся
стандартным [1] неравенством с наибольшим отрицательным собственным значением :
(B (u); u ; !) = ; 1 ((;A + )(u ; !); u ; !) 1
( 1; ) k(;A + )(u ; !)k2 = ; kB1 (u)k2 :
Используя (15), из этого неравенства выведем
1 ; 1 kB (u)k2 ; kB (u)k k!k ; C 0:
1
; ) 1
Отсюда, из (17) и (19) следуют оценки B1 (u) C2 , k(;A + )(u ; !)k C2 , где C2 не зависит
от . Из последнего неравенства и (17) выведем оценку kuk C3 , где C3 не зависит от . Из
принципа Лере{Шаудера вытекает существование решения уравнения (18).
Теорема 3. Если для оператора A : H ! H выполнены условия I, III, dim N (A) = 1 и
B : H ! H является деминепрерывным монотонным оператором, для которого выполнено
(15), где
2 (; ); 2 (0; ; ); 0; ;; ; 2 (A); (;; ;) \ (A) = ;;
(20)
то для любого f 2 H уравнение
Au + B (u) = f
(21)
имеет решение в H .
Отметим, что в [1] теоремы 2, 3 получены для случая, когда (а для теоремы 3 соответственно ;) является наибольшим отрицательным собственным значением A. Теоремы 2, 3
представляют собой обобщение полученных в [1] результатов на случай произвольных соседних
собственных значений и (или ;; ; в теореме 3) оператора A. Результат, равносильный
теореме 3, был получен в работе [5].
Доказательство. Рассмотрим вначале, как в [1], вспомогательное уравнение
"u1" + Au" + B (u") = f:
(22)
Здесь " > 0, u1" = P1 u" . Спроектировав уравнение (22) на N1 и N3 и опустив для упрощения
записи индекс ", получим два уравнения:
"u1 + B1 (u1 + u3 ) = f1;
(23)
Au3 + B3 (u1 + u3 ) = f3;
(24)
где B1 (u) = P1 B (u), B3 (u) = P3 B (u), u = u1 + u3 , f1 + f3 = f .
50
При фиксированном u3 2 N3 обозначим через Su3 : N1 ! N1 оператор, действующий по
формуле
Su3 (v) = "v + B1 (v + u3 ) 8v 2 N1 :
Из условий теоремы следует, что Su3 | сильно монотонный, деминепрерывный оператор.
Следовательно, при каждом фиксированном u3 2 N3 уравнение (23) имеет единственное решение
u1 = u1 (u3 ). Докажем, что оператор u1 : N3 ! N1 (u3 ! u1 (u3 )) непрерывен в H . Возьмем
последовательность fu3n g N3 такую, что u3n ! u3 в H . Покажем, что u1 (u3n ) ;! u1 (u3 ) в H .
Обозначим u1n = u1 (u3n ); u1 = u1 (u3 ). Имеем
"u1n + B1 (u1n + u3n ) = f1;
"u1 + B1 (u1 + u3 ) = f1:
(25)
Вычтем из первого равенства второе, разность умножим скалярно в H на u1n ; u1 и воспользуемся монотонностью B
0 = "ku1n ; u1 k2 + (B (u1n + u3n ) ; B (u1 + u3 ); u1n + u3n ; u1 ; u3 ) ;
; (B (u1n + u3n) ; B (u1 + u3); u3n ; u3) "ku1n ; u1k2 ; (kB (u1n + u3n)k + kB (u1 + u3)k)ku3n ; u3k: (26)
Будем обозначать в дальнейшем константы через C1 ; C2 ; C3 ; : : : Из (15) нетрудно вывести оценку
kB (u)k ( + )kuk + C1 8u 2 H:
(27)
Отсюда и из (26) вытекает ограниченность последовательности fu1n g. Тогда из (26) следует
u1n ;! u1 . Подставим в (24) u1 = u1 (u3 ): Au3 + B3 (u1 (u3 ) + u3 ) = f3 . Перепишем это уравнение
в виде
u3 = T (u3 );
(28)
где T (u3 ) = (A + );1 (;B3 (u1 (u3 )+ u3)+ u3 + f3). Из условия теоремы, леммы 1 и непрерывности
u1 (u3 ) следует непрерывность оператора T (u3 ). Покажем, что оператор u1 (u3 ) ограничен. Пусть
ku3 k M . Умножим (25) скалярно в H на u1 и воспользуемся монотонностью B и (27)
"ku1 k2 = (f1 ; u1 ) ; (B (u1 + u3); u1 ) = (f1 ; u1 ) ; (B (u1 + u3 ); u1 + u3 ) +
+ (B (u1 + u3 ); u3 ) kf1 k ku1 k + M (( + )(ku1 k + M ) + C1 ):
Поэтому fu1 (u3 ) ku3 k M g | ограниченное множество. Следовательно, оператор T : N3 ! N3
является вполне непрерывным.
Доказательство существования решения уравнения (28) проведем, воспользовавшись принципом Лере{Шаудера. Для этого рассмотрим уравнение
u3 = T (u3 )
(29)
с параметром 2 (0; 1]. Чтобы проверить условие Лере{Шаудера, перепишем уравнение (29) в
форме
1 (A + )(u ; !) + B (u) ; u = 0:
(30)
3
3
3
Здесь u = u1 (u3 ) + u3 , ! = (A + );1 f3. Легко видеть, что ; есть наибольшее отрицательное
собственное значение оператора A + . Обозначим B (u) = B (u) ; u, B1 (u) = P1 B (u) и умножим
51
(30) скалярно в H на (u3 ; !)
0 (B (u); u3 ; !) ; 1 k(A + )(u3 ; !)k2 = (B (u); u) ; kB3 (u)k2 ;
( ; )
;
; (B(u); !) ; (B1(u); u1 ) 1 ; 1 kB (u)k2 ; (B1 (u); u1 ) ; k!k kB (u)k ; C:
;
Умножив (23) скалярно на u1 в H , выразим (B1 (u); u1 ) = ;( + ")ku1 k2 + (f1 ; u1 ). Подставив это
выражение в последнее неравенство, получим
1 ; 1 kB (u)k2 + ( + ")ku k2 ; k!kkB (u)k ; kf kku k ; C 0:
1
1
1
;
Отсюда и из условия (20) следуют оценки
kB (u)k C2; ku1 k C2:
(31)
Из (30) и (31) выведем
k(A + )u3k C2 + kf3k; ku3 k C3:
(32)
Константы C2 , C3 не зависят от и ". Перейдем к пределу в равенстве (22) при " ! 0, воспользовавшись методом из работы [1]. В силу (31), (32) найдется последовательность "n ! 0
такая, что u"n ! u слабо в H , Au"n ! слабо в H . Из (14) вытекает вполне непрерывность оператора A;1 : N3 ! N3 . Поэтому u3"n ! A;1 , A;1 = u3 , = Au3 = Au и
(Au"n ; u"n ) = (Au"n ; u3"n ) ! (Au; u3 ) = (Au; u). Воспользовавшись монотонностью B , запишем
неравенство
(B (u"n ) ; B ( ); u"n ; ) 0 8 2 H:
Из него и из (22) (f ; "n u1"n ; Au"n ; B ( ), u"n ; ) 0 8 2 H , а после перехода к пределу
при n ! 1 получим (f ; Au ; B ( ); u ; ) 0 8 2 H . Подставим в это неравенство = u + ,
где > 0, 2 H , сократим на и устремим к нулю: (f ; Au ; B (u); ) 0 8 2 H . Отсюда
следует (21).
4. Нелинейное волновое уравнение
Обозначим (A) = fnm j n; m 2 Z+ g. Легко видеть, что (A) = l + 1=4 j l 2 Zg.
Потребуем, чтобы функция g(u) удовлетворяла условию
lim g(u) lim g(u) ; где :
u!1
Определение 1.
функция u 2 H0 , что
Z
Теорема 4.
u
u!1
u
(33)
Обобщенным решением задачи (1){(3) или (1), (2), (4) называется такая
Z
u('tt ; 'xx)dx dt = (g(u) + f (x; t))' dx dt 8' 2 D(A0):
(34)
Пусть функция g(u) непрерывна на R и удовлетворяет условию (33), где
[; ] \ (A) = ;:
(35)
Тогда для любого f 2 H0 задачи (1){(3) и (1), (2), (4) имеют обобщенное решение u 2 H1 . Если
дополнительно g 2 C k (R) и f 2 Hk , где k 2 N, то u 2 Hk+1 . Если f 2 H3 , g 2 C 3(R), то
обобщенное решение является классическим.
52
Доказательство опирается на теорему 1. Обозначим H = H0 , B (u) = g (u) 8u 2 H . Из (33)
следует B : H ! H . Функция u 2 H является обобщенным решением задач (1){(3) и (1), (2), (4)
тогда и только тогда, когда u удовлетворяет (16). Проверим выполнение условий теоремы 2. Из
определения и свойств 1), 3) оператора A следует выполнение свойства III. Из (33), (35) следует
существование положительных констант C1 , C2 , 1 , 1 , , таких, что
[; ] (1 ; 1 ); [1 ; 1 ] \ (A) = ;; 2 (1 ; 1 ); 2 (0; 1 ; )
(36)
и g(u) = u + p(u), где p(u)u ;C1 , jp(u)j juj + C2 8u 2 R. Следовательно,
Z
Z
(B (u) ; u; u) = p(u)u dx dt = jp(u)u + C1 jdx dt ; 22 C1 Z
1
1
kp(u)k2 ; jp(u)jdx dt ; 42 C1 1 kp(u)k2 ; C3kp(u)k ; 42 C1 1 ; " kp(u)k2 ; 42 C1 ; 1" C4:
Здесь C3 ; C4 ; " 2 (0; +1). Отсюда и из (33), (36) при достаточно малом " следуют (15), (17).
Условия теоремы 2 выполнены. Из нее следует существование решения уравнения (16).
Пусть f 2 Hk . Из (16) получим u = A;1 (g(u) + f ). Отсюда и из теоремы 1 выведем, что
u 2 Hk+1 . Последнее утверждение теоремы следует из теоремы вложения Соболева. Рассмотрим вопрос о единственности решения.
Утверждение. Пусть к условиям теоремы 4 добавляется
(u ; v)2 (g(u) ; g(v))(u ; v) (u ; v)2 8u; v 2 R:
(37)
Тогда каждая из задач (1){(3) и (1), (2), (4) имеет единственное обобщенное решение.
Доказательство. Обозначим h(u) = g (u) ; u. Из (37) следует 0 (p(u) ; p(v ))(u ; v ) ( ; )(u ; v)2 8u; v 2 R. Пусть u1 , u2 | решения уравнения (16). Тогда p(u1 ) + ( ; A)u1 = ;f
и p(u2 )+( ; A)v2 = ;f . Вычтем второе равенство из первого и полученное уравнение умножим
в L2 (
) на u1 ; u2 . Тогда
0 = (p(u1 ) ; p(u2 ); u1 ; u2 ) + (( ; A)(u1 ; u2 ); u1 ; u2 ) 1 kp(u ) ; p(u )k2 ; 1 k( ; A)(u ; u )k2 =
;
1
2
;
1
2
= ;1 ; 1 k( ; A)(u1 ; u2 )k2 :
;
Здесь 2 (A), > и (; ) \ (A) = ;. Следовательно, u1 = u2 .
Замечание 1. Условие (37) означает, что при u 6= 0 и при достаточно малом график
функции y = g(u) лежит между прямыми y = ( + )u и y = ( ; )u, где , | соседние
собственные значения A. Точно так же, как в [6], можно показать, что при нарушении этого
условия задачи (1){(3) и (1), (2), (4) могут иметь два решения.
Замечание 2. Условия (33), (35) означают, что при больших juj график функции y = g (u)
не пересекает прямых вида y = u, где 2 (A). Если это не выполнено, то задачи (1){(3) и
(1), (2), (4) могут не иметь решений.
Пример. Рассмотрим уравнение
(38)
utt ; uxx = 54 u + sin u + 3 sin 23 x cos t:
53
Задачи (38), (2), (3) и (38), (2), (4) не имеют решений. Чтобы это доказать, достаточно уравнение (38) умножить скалярно в L2 (
) на sin 23 x cos t. В этом примере имеем дело с резонансным
случаем, поскольку график функции g(u) = 54 u +sin u бесконечное число раз пересекает прямую
y = 11 u.
5. Случай произвольного периода
Рассмотрим задачу о периодических решениях нелинейного волнового уравнения с граничными условиями (3) или (4) и произвольным периодом T , соизмеримым с длиной струны,
T = 2 ab ;
(39)
где a, b | взаимно простые натуральные числа. Условие периодичности запишем в виде
u(x; t + T ) = u(x; t) = 0; 0 < x < ; t 2 R:
(40)
В этом случае собственные функции оператора Даламбера будут иметь вид
' = p2 X cos am t;
= p2 X sin am t:
nm
T
n
nm
b
T
n
b
Операторы A0 и A определяются
точно
так
же,
как в разделе 2. Собственные значения A0 и A
;
;
представляются в виде nm = n + 12 2 ; ab m 2 . Легко получить, что при нечетном числе b ядро
N (A) = f0g. Если b | четное число, то dim N (A) = 1. Действительно, в этом случае nm = 0
тогда и только тогда, когда n = la + a;2 1 , m = b(2l2+1) , где l 2 Z+ .
Обозначим = [0; ] [0; T ], 1 = [;; ] [0; T ] для условий (4) или 1 = [0; 2] [0; T ]
для условий (3). Пусть C 1, C 1 , Hk , Hk | пространства функций, введенные в разделе 2,
соответствующие T = 2 ab . При нечетном b утверждение теоремы 1 останется в силе.
Определение 2. Функция u 2 H0 называется обобщенным решением задачи (1), (40), (3)
((1), (40), (4)), если выполнено (34).
Пусть (A) = fnm j n; m 2 Z+ g.
Теорема 5. Пусть b является нечетным числом, выполнено (39), функция g (u) непрерывна
на R и удовлетворяет (33), где [; ] \ (A) = ;. Тогда для любой функции f 2 H0 задача (1),
(40), (3) ((1), (40), (4)) имеет обобщенное решение u 2 H1 . Если дополнительно g 2 C k (R) и
f 2 Hk , где k 2 N, то u 2 Hk+1 . Если f 2 H3 и g 2 C 3 (R), то обобщенное решение является
классическим.
Доказательство теоремы 5 фактически полностью повторяет доказательство теоремы 4.
Пусть b | четное число. Запишем для удобства уравнение (1) в виде
utt ; uxx + g(u) = f (x; t); 0 < x < ; t 2 R:
(41)
Определение 3. Функция u 2 H0 называется обобщенным решением задачи (41), (40), (3)
или (41), (40), (4), если
Z
Z
u('tt ; 'xx)dx dt + g(u)' dx dt =
Z
f (x; t)' dx dt 8' 2 D(A0 ):
Теорема 6. Пусть b является четным числом, выполнено (39), функция g (u) непрерывна,
не убывает на R и удовлетворяет (33), где
; 2 (0; +1); [;; ;] \ (A) = ;:
(42)
Тогда для любой функции f 2 H0 задача (41), (40), (3) ((41), (40), (4)) имеет обобщенное решение
u 2 H0 .
54
Доказательство. Обозначим H = L2 (
), B (u) = g (u)
8u 2 H . Функция u 2 H является
обобщенным решением задачи (41), (40), (3) или (41), (40), P(4) тогда и только тогда, когда вы1 . Отсюда следует выполнение
полнено (21). Стандартно доказывается сходимость ряда
2
kl 6=0 kl
условий I, III для оператора A. Из (42) точно так же, как в доказательстве теоремы 4, выведем
(15) и (20). Условия теоремы 3 выполнены. Из нее следует существование решения уравнения
(21).
Литература
1. Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and
applications to boundary value problems // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. { 1978. { V. 5. { Є 2. {
P. 225{325.
2. Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Apll.
Math. { 1978. { V. 31. { Є 1. { P. 1{30.
3. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Apll. Math. { 1980.
{ V. 31. { Є 1. { P. 31{68.
4. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Матем. сб. { 1988. {
Т. 136. { Є 4. { С. 546{560.
5. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ.
{ 1984. { Є 2. { С. 9{13.
6. Рудаков И.А. Задача о свободных периодических колебаниях струны с немонотонной нелинейностью // УМН. { 1985. { Т. 40. { Вып. 1. { С. 215{216.
7. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями // Дифференц. уравнения. { 2003. { Т. 39. { Є 11.
{ С. 1556{1561.
8. Barby V., Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x-dependent coecients // Trans. Amer. Math. Soc. { 1997. { V. 349. { Є 5. { P. 2035{2048.
9. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Фундамент. и прикл. матем. { 2002. { Т. 8. { Вып. 3. {
С. 877{886.
10. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными
коэффициентами // Матем. заметки. { 2004. { Т. 76. { Вып. 3. { С. 427{438.
11. Rabinowitz P. Periodic solutions of nonlinear hyperbolic partial dierential equations // Comm.
Pure Apll. Math. { 1967. { V. 20. { P. 145{205.
Брянский государственный университет
Поступила
22.04.2005
55
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
206 Кб
Теги
решение, уравнения, нейман, нелинейного, граничных, волнового, условиями, дирихле, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа