close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поворотно-конформные преобразования в плоскости Лобачевского.

код для вставкиСкачать
И З В Е С Т И Я
В Ы С Ш И Х
2000
У Ч Е Б Н Ы Х
З А В Е Д Е Н И Й
МАТЕМАТИКА
Є 9 (460)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 514.7
С.Г. ЛЕЙКО, А.В. ВИННИК
ПОВОРОТНО-КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
M ; g) гауссовой кривизны K 6= 0 кривые, геодезическая кривизна которых удовлетворяет условию kg = cK , c = const, являются изопериметриче2
В двумерном римановом пространстве (
скими экстремалями поворота (ИЭП). Преобразования пространства или его части, переводящие
геодезические кривые в ИЭП, названы поворотными. Аналогично, если локальное инфинитези-
x
xh + "X h (x) переводит каждую геодезическую в кривую, которая
в главном (относительно параметра ") является ИЭП, то оно называется инфинитезимальным
мальное преобразование eh =
поворотным преобразованием [1]{[3]. Геодезические преобразования являются тривиальными
поворотными преобразованиями.
Пусть векторное поле
X определяет инфинитезимальное конформное преобразование, т. е.
LX gij = riXj + rj Xi = 2'gij :
(1)
Это преобразование будет поворотным только в случае, когда соответствующая функция конформности
При
'
=
C
'(x) порождает специальное конциркулярное ковекторное поле 'i = @i ':
rj 'i = 'i @j ln jK j + (C ; ')Kgij ; C | const :
(2)
преобразование будет гомотетическим и, следовательно, геодезическим (т. е. три-
' отлична от константы, пространство (M ; g)
является локально изометричным поверхности вращения x = r cos v , y = r sin v , z = f (r ),
df
(gij ) = diag 1 +
dr ; r :
2
виальным поворотным преобразованием). Если
2
2
Интегрирование (1), (2) на поверхности вращения дает
C = 0; '
c
= r
1+
1
df
dr
2
;
Xh
gij ) =
(
0
0
r
2
=
R,
cr
1
r
1+
В частности, на
! псевдосфере радиуса
R2
r2
df
dr
2
; c ; c;c
2
1
2
| константы
:
где локально реализуется плоскость Лобачевского
,
p
df = R ; r ; X h = c r ; c ; K = ; 1 :
dr
r
R
R
; r2 h
h
Векторные поля X = R ; 0 , X = (0; 1) являются базисом операторов двучленной группы
e = v + , re = RRr
локальных преобразований псевдосферы: v
;rt . Эти преобразования будут повоr : dl = e er de
ротными. Действительно, как было показано в [1], функция конформности e e
l
2
1
2
1
2
2
2
2
( )
79
2
2 ( )
2
r v
в общих по отображению координатах e, e должна иметь вид
r
e
r
(e)
=
;
1+
A B+
r
2
df
der
1+
2
df
der
!
; A 6= 0; B |
;
const
e
или
r
(e)
B
=
r
1+
2
df
der
; B|
Непосредственная проверка показывает, что здесь имеет место первый случай при
B = t.
Аналогично, интегрирование уравнений (1), (2) в полуплоскости Пуанкаре:
gij = y2 ij , дает C = 0,
1
' = y1 a2 x
const
A
=
:
;1,
x =x, x =y>0,
1
2
a x + c + a2 y;
X h = y(a x + a ) + k2 (x ; y ) + k x + k ; y a2 y + kx + k ; a2 x ; a x ; c ;
a ; a ; k ; k ; k; c | константы:
0
0
2
1
2
0
2
+
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
2
1
1
1
Bекторные поля
!
xy 2 ; X = y ; X = 0 ;
2
y ;x
;x
;1
X=
1
2
2
X=
1
0
4
;
3
x ;
y
X=
5
x2 ;y 2
X=
!
xy
2
6
являются базисом операторов группы поворотно-конформных преобразований плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. Как известно ([4], с. 33), группа конформных преобразований
z
Мебиуса e =
az+b
cz+d ,
z
базисные операторы:
=
x + iy,
a, b, c, d
где
;x2 +y2
1
I=
;xy
;xy
!
2
1
I=
!
x ;y2
1+ 2
2
4
| комплексные постоянные, имеет следующие
!
x ;
;
I
=
y
;xy
!
;xy
y
; x2 ;y2 ; I = ;x :
;1;x2 +y2
; I=
2
2
; I=
3
1+
5
6
2
Нетрудно видеть, что
X = ; 12 (I + I ); X = I ; X = I ; I ;
1
4
5
2
X = I ; I;
4
Таким образом, операторы
1
6
3
4
X = I ; X = ; 2 ( I + I ):
2
2
5
1
5
3
X, X, X, X, X, X
1
3
4
5
6
6
1
2
также образуют базис указанной группы кон-
формных преобразований Мебиуса в плоскости Лобачевского. Отсюда вытекает
Теорема. Группа поворотно-конформных преобразований плоскости Лобачевского совпада-
ет с группой конформных преобразований Мебиуса этой плоскости.
X , X , X определяют движение в плоскости Лобачевского (слупараметров a, b, c, d). Оставшиеся операторы X , X , X выделяют группу
Отметим, что операторы
чай вещественных
4
5
6
нетривиальных поворотно-конформных преобразований.
80
1
2
3
Литература
1. Лейко С.Г. Поворотные диффеоморфизмы на поверхностях евклидового пространства //
Матем. заметки. { 1990. { Є 3. { С. 52{57.
2. Лейко С.Г. Инфинитезимальные поворотные преобразования и деформации поверхностей
евклидового пространства // Докл. РАН. { 1995. { Т. 344. { Є 2. { С. 162{164.
3. Лейко С.Г. Поворотные преобразования поверхностей // Матем. физика, анализ, геометрия.
{ 1998. { Т.5. { Є 3/4. { С. 203{211.
4. Широков А.П. Неевклидовы пространства. Учеб. пособие. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та,
1997. { 49 с.
5. Букреев Б.Я. Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении. { М.{Л.: ГИТТЛ,
1951. { 127 с.
Одесский государственный университет
Поступили
: :
первый вариант 10 03 1999
: :
окончательный вариант 07 02 2000
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
106 Кб
Теги
поворотный, плоскости, конформных, лобачевского, преобразование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа