close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях задачи Гурса.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
ВЫСШИХ
2007
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (539)
УДК 517.956
Е.А. УТКИНА
ПОВЫШЕНИЕ ПОРЯДКА НОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ЗАДАЧИ ГУРСА
Рассмотрим уравнение
L(u) m1 X
m2
X
i1
=0
i2
:::
=0
mn
X
in
i1 i2 in
ai1 i2 :::in (x ; x ; : : : ; xn ) @i1 i2 uin = 0;
@x @x : : : @xn
+
1
=0
+
+
2
1
(1)
2
где am1 m2 :::mn 1, а гладкость остальных коэффициентов определяется включениями
n
P
i
ai1 i2 :::in 2 C =1 (D):
Здесь C 1 2 n | класс непрерывных в D вместе с их производными
@ r1 r2 rn =@xr1 @xr2 : : : @xrnn (r = 0; : : : ; ; r = 0; : : : ; ; : : : ; rn = 0; : : : ; n )
+
+
+
+
+
+
1
1
2
1
2
2
функций. Можно считать (1) наиболее общим псевдопараболическим уравнением, частные случаи которого изучались в работах ([1], [2], с. 5). Случаи уравнения (1) встречаются в приложениях, например, уравнение Буссинеска{Лява | из теории колебаний ([1], формула (20)) и
уравнение Аллера ([2], с. 261) при математическом моделировании процесса поглощения влаги
в биологии.
В области D = fx < x < x , x < x < x ; : : : , xn < xn < xn g получено [3] решение
задачи Гурса (;) для (1) с граничными условиями
10
1
11
20
2
21
0
1
@ i1 u (x ; x ; : : : ; x ) = ' (x ; : : : ; x )
(i = 0; m ; 1);
n
i1
n
@xi1
@ i2 u (x ; x ; : : : ; x ) = ' (x ; x ; : : : ; x ) (i = 0; m ; 1);
n
i2
n
@xi2
:::
i
@ n u (x ; x ; : : : ; x ) = ' (x ; : : : ; x ) (i = 0; m ; 1);
n
nin
n;
n
n
@xinn
10
2
1
2
1
20
2
1
1
2
1
1
2
2
1
3
(2)
2
0
1
1
удовлетворяющими условиям согласования для них
' (x ; x ; : : : ; xn ) = ' (x ; x ; : : : ; xn );
' (x ; x ; x ; : : : ; xn ) = ' (x ; x ; x ; : : : ; xn );
10
10
20
3
2
30
4
:::
20
10
3
30
10
2
4
' (x ; x ; : : : ; xn; ; xn ) = 'n (x ; x ; : : : ; xn; );
' (x ; x ; x ; : : : ; xn ) = ' (x ; x ; x ; : : : ; xn );
:::
' (x ; x ; x ; : : : ; xn ) = 'n (x ; x ; x ; : : : ; xn; );
'n; (x ; x ; x ; : : : ; xn ) = 'n (x ; x ; x ; : : : ; xn; );
10
20
3
1
20
1
30
20
1
3
4
10
2
3
4
0
0
4
10
2
1
30
1
20
4
0
0
1
20
3
0
0
1
2
79
3
1
10
(3)
n
P
n
P
m
nP
;1
m
m
' i1 2 C =2 (X ); ' i2 2 C =1; 6=2 (X ); : : : ; 'nin 2 C =1 (X n );
где X ; X ; : : : ; Xn | грани D при x = x , x = x ; : : : , xn = xn , а согласованные в (3) значения
1
1
1
2
2
2
1
10
2
20
0
непрерывно дифференцируемы.
Здесь рассматривается аналог задач, изученных в [2] для уравнения более простого вида и
названных там задачами ; . А именно, будем заменять хотя бы одно из условий (2) на соответствующее условие из набора
1
@ m1 u = ' (x ; : : : ; x ); @ m2 u = ' (x ; x ; : : : ; x );
m1
n
m2
n
@xm1
@xm2
@ mn u = ' (x ; : : : ; x ):
n;
@xmn nmn
1
2
2
1
1
3
(4)
2
1
n
1
n
P
m
Гладкость заданных граничных значений определяется условиями 'kmn 2 C =1; 6=k (X k ).
Для наименования задач, как и в [4], будем использовать сочетания букв ; и N. А именно,
если условия на характеристике берутся только из набора (2), то для наименования будем
применять ;, в противном случае | N. Таким образом, можно получить задачи N;; : : : ;,
;N; : : : ;; : : : ; ; : : : ;N, NN; : : : ;; : : : , NN : : : NN. Остановимся сначала на одной из таких задач.
Задача N;; : : : ;. Найти функцию
(D [ X ) \ C m2 ;
(D [ X ) : : : C mn ; (D [ X );
u 2 C m1 mn (D) \ C m1
n
являющуюся в D решением уравнения (1), удовлетворяющую первому условию из (4) и всем
соотношениям (2), кроме первого при i = 0.
Решение будем осуществлять с помощью редукции условий N;; : : : ; к условиям задачи
Гурса. При этом требуется определить ' через заданные. Для этого проинтегрируем (1) в
пределах от x до x , от x до x ; : : : , от xn до xn соответственно m ; m ; : : : ; mn раз. Выполним
сначала эту процедуру для переменной x . При этом будет использована формула, которую
можно считать интегральным аналогом известной формулы дифференцирования Лейбница
+
+
+0+0+
+0
0+(
1)+0+
+0
0+
1
+0+(
1)
2
1
10
20
2
30
3
0
2
3
2
m1
X
i1
=0
:::
mn X
i2
X
in
p2
m
1
X
(
i1
:::
=0
Cip22 Dxp22 (ai1 :::in (x
)
x2
=0
=0
;
D; m2;i2 ;p2
1
p2
mn iX
2; X
X
=0
p2
=0
p21
1
; : : : ; xn )) (;1)p2 ;
=2
Dx;2 m2 ;i2 ;p2 Cip221; p2 ;p21 Dxp212 (ai1 :::in (x ; x ; x ; : : : ; xn )) (
)
(
=0
Dxi (u(x
; 6
=1
1
in
; : : : ; xn))
n
Y
n
Y
Dxi Dxp22;p21 (u(x
1
; 6
=1
1
)
20
3
; x ; x ; : : : ; xn )) (;1)p21 = 0: (5)
20
3
=2
Rt
;k;1
Здесь Dtk ' @ k '=@tk при k = 1; 2; : : : и Dtk ' t;;k; ' d , если k = ;1; ;2; : : : ; Dt | едиt0
ничный оператор. Проще всего можно убедиться в выполнении (5) непосредственной проверкой.
Вычислим m -кратный интеграл по x от (5)
(
)
(
3
m1
X
i1
=0
:::
p2
=0
p3
=0
D; m2;i2 ;p2 D; m3;i3 ;p3
(
m1
X
i1
=0
)
x2
=0
0
in
=0
p2
=0
p3
Cip22 Cip33 Dxp22 Dxp33 (ai1 :::in (x ; : : : ; xn )) 1
Dxi (u(x ; : : : ; xn )) (;1)p2
=0
p31
D; m; ;i2 ;p2 D; m3;i3 ;p3
(
x2
2
)
=0
80
(
x3
)
p3 ;
+
1
=2 3
1
1
)
x3
; 6 ;
p3
iX
m
i
;
3; X
n X
2
X
=1
:::
(
n
Y
;
)
3
mn X
i2 X
i3
X
in
(
1)!
Cip22 Cip331; p3 ;p31 (
)
Dxp22 Dxp313 (ai1 :::in (x
1
;
m1
X
i1
in
=0
30
=1
=0
p2
p3
=0
=0
p21
:::
=0
(
2
x2
=0
3
)
n
Y
(
=0
=0
=0
1
Cip221; p2 ;p21 Cip33 (
2
x2
)
=0
1
)
1
)
; x ; x ; : : : ; xn )) (;1)p21
20
(
Cip221; p2 ;p21 )
x3
p3 +
+
3
D; m; ;i2 ;p2 D; m3;i3 ;p3
Dxi Dxp22;p21 Dxp33;p31 (u(x
; 6 ;
=2 3
(
p31 ;
+
30
Dxi Dxp22;p21 (u(x
; 6 ;
=0
(
2
)
x3
p2 p3 p21 p31
Cip331; p3 ;p31 Dxp212 Dxp313 (ai1 :::in (x
in
; x ; x ; : : : ; xn )) (;1)p2
=2 3
p2 X
p3
mn iX
2 ;1 iX
3 ;1 X
X
n
Y
=1
1
D; m; ;i2 ;p2 D; m3 ;i3 ;p3
; x ; x ; : : : ; xn ))
20
Dxi Dxp33;p31 (u(x
; 6 ;
=1
m1
X
2
:::
1
i1
; x ; x ; : : : ; xn ))
p2
mn iX
2 ;1 iX
3 ;1 X
X
Dxp212 Dxp33 (ai1 :::in (x
+
n
Y
(
)
; x ; x ; : : : ; xn )) 20
30
; x ; x ; : : : ; xn)) (;1)p21
20
p31 = 0:
+
30
=2 3
Продолжая интегрирование по m ; : : : ; mn , в итоге получим формулу
4
m1
X
i1
:::
=0
mn X
i2
X
in
=0
p2
Y
n
;
m
;
i
;
p
Dx
(Cipkk Dxpkk )(ai1 :::in (x
in Y
n
X
:::
pn
=0
=0
(
)
k
=2
1
=2
Dxi (u(x ; : : : ; xn)) (;1)p
1
1
;
m1
X
i1
:::
=0
mn X
i2
X
in
=0
p2
:::
=0
1
pn Y
iX
n
n ; iX
n; X
1
pn;1
pn
=0
pn1
+
1
(
=0
p pn ;
2+ 3+
nY
;
;
m
;
i
;
p
Dx
(Cipkk Dxpkk )Cipnn;1 pn ;pn1
1
=0
; : : : ; xn )) )
k
=2
(
=2
Dxpnn (ai :::in (x ; : : : ; xn; ; xn ))Dxi Dxpnn;pn (u(x ; : : : ; xn ; xn )) (;1)p
1
1
+ (;1)n;
1
m1
X
1
i1
:::
=0
1
mn iX
2 ;1
X
in
=0
p2
1
0
:::
=0
(ai :::in (x ; x
1
20
1
1
p2
iX
n; X
1
pn
=0
p21
1
:::
=0
1
pn Y
n
X
Dx; m;i ;p
(
pn1 n
Y
=0
; : : : ; xn ))Dxi11
0
j
0
)
nY
;1
k
=2
Dxpjj ;pj1 (u(x
1
pn;1 pn1 ;
2+
+
+
(Cipkk;1 pk ;pk1 Dxpkk1 ) (
=2
)
)
; x ; : : : ; xn )) (;1)p21
20
0
pn1 = 0:
+
+
=2
После этого устремим x к x и перепишем последнюю формулу следующим образом:
1
m1
X
i1
:::
=0
mn X
1
X
in
=0
2
:::
=0
i2 ;X
(1;2 )
1
X
in ;X;n i21X
;2
(1
=0
=0
)
(1
=0
(
)(1
(
=2
:::
)
:::
in1X
;n Y
n
(1
)
Dx; m;i ;i1 (
i21
in1
i22
in2
(Ciikk;1 ;iki1k;1 ;iki2k2 ;;kk Dxikk1 ; ik1 ;ik2 ;k )(ai1 :::in (x
n
Y
n
k
10
)
)(1
Dxi
1
1
n
Y
k
=0
(
=0
)(1
=2
)
10
)
Dxikk1;ik2
(
=2
; x 2 ; : : : ; xnn )) 2
;k (u(x
)(1
)
)
10
; x 2 ; : : : ; xnn )) (;1)i
2
in1 ; i21 ;i22 ;2 ;; in1 ;in2 ;n = 0:
21 +
+
(
)(1
)
(
)(1
)
Выделим из этой формулы слагаемые, содержащие в качестве множителя ' (x ; : : : ; xn ).
Они получаются при = = n , i = 0. Таким образом, получаем интегральное уравнение
10
2
m2
X
i2
=0
:::
mn
X
in
1
Dx;2i2 : : : Dx;nin [A i2 :::in (x ; : : : ; xn )' (x ; : : : ; xn )] =
0
2
10
2
=0
81
2
=;
;
m1
X
i1
:::
=0
m1 X
m2 X
mn
X
i1
=1
i2
mn X
1
X
in
Y
n
k
2
=0
=0
in
Dx;2i2 : : : Dx;nin [Ai1 i2 :::in (x ; : : : ; xn )' i1 (x ; : : : ; xn )] ;
2
=0
i2 ;X
(1;2 )
1
X
:::
n
2 :::n 6
=0
i21
=0
1
in ;X;n i21 X
;2
(1
:::
in1
=0
)
(1
i22
=0
)
:::
2
in1X
;n Y
n
(1
in2
=0
)
Dx; m;i ;i1 (
)
=2
=0
=1
(Ciikk;1 ;iki1k;1 ;iki2k2 ;;kk Dxikk1 ; ik1 ;ik2 ;k )(ai1 :::in (x ; x 2 ; : : : ; xnn )) (
)(1
(
)
)(1
=2
n
Y
Dxi
1
1
k
(
)(1
)
10
)
Dxikk1;ik2
(
;k (u(x
)(1
)
10
=2
; x 2 ; : : : ; xnn )) 2
(;1)i
in1 ; i21 ;i22 ;2 ;; in1 ;in2 ;n
21 +
где
Ai1 ;i2 :::in (x ; : : : ; xn ) =
2
i2
X
i21
:::
=0
in
X
in1
+
(
)(1
)
(
)(1
)
; (6)
Cmi212; i2 ;i21 : : : Cminn1 ; in;in1 (
=0
2
)
(
)
Dxi : : : Dxinn [ai ;m ; i ;i
21
2
1
1
2
2
(
p pn1 :
;:::;mn ; in ;in1 ](;1) 21
+
21 )
(
+
)
При этом считаем, что x ; : : : ; xn в данном случае совпадают с x ; : : : ; xn соответственно.
Исследуя уравнение (6), видим, что имеет место
21
1
2
Теорема. Выполнение условия
P2
Pn 2
обеспечивает однозначное определение функции
2
n
2 =0
n =0
m
m
: : : Ai :::i 6= 0
' (x ; : : : ; xn ) чеi
i
рез ' i1 (x ; : : : ; xn ) (i = 1; m ), ' i2 (x ; x ; : : : ; xn ) (i = 0; m ; 1); : : : , 'ni (x ; : : : ; xn; ), (in =
n
0; mN ; 1). При этом функция записывается в явном виде в следующих случаях :
2) оба условия A i2 :::in , A i2 :::in отличны от нуля при i = 0; m ; 1, i = 0; m ; : : : , in =
0; mn ; : : : A i2 :::in , A i2 :::in отличны от нуля при i = 0; m , i = 0; m ; : : : , in = 0; mn ; 1;
3) A i2 :::in 6= 0, A i2 :::in 6= 0, A i2 :::in 6= 0, A i2 :::in ; x A i2 :::in 0 при i = 0; m ; 2,
i = 0; m ; : : : , in = 0; mn ; : : : A i2 :::in 6= 0, A i2 :::in 6= 0, A i2 :::in 6= 0, A i2 :::in ; xnA i2 :::in 0
при i = 0; m , i = 0; m ; : : : , in 0; mn ; 2;
4) все коэффициенты, кроме одного A i2 :::in 6= 0, i = 0; m , i = 0; m ; : : : , in = 0; mn , равны
1)
1
2
1
1
0
0
0
3
0
0
1
3
0
3
2
+1
+1
0
+2
0
0
2
+1
+1
2
3
1
3
3
3
2
0
2
1
2
2
0
2
2
+1
3
2
2
10
0
+2
2
+2
0
+1
2
0
+2
3
0
2
2
3
3
нулю.
Для принадлежности ее к указанному в [3] классу следует к уже имеющимся условиям
гладкости на коэффициенты (1) добавить требования aj1 j2 :::jn 2 C i2 j2 in jn (D [ X ).
Естественно, что в этих случаях функция ' (x : : : xn ) тоже записывается в явном виде.
Так как переменные x ; : : : ; xn являются независимыми, интегральные уравнения для определения неизвестных функций в задачах ;N; : : : ;; : : : , ;; : : : ;N строятся аналогично (6). На
основании указанных можно рассматривать более сложные задачи, когда условия заменяются
на нескольких характеристиках. Рассмотрим подробно одну из них.
Задача NN; : : : ;. Найти функцию
u 2 C m1 mn (D) \ C m1 (D [ X ) \ C m2 (D [ X ) \ \ C mn; (D [ X n );
являющуюся в D решением уравнения (1), удовлетворяющую условиям (4 ), (4 ) и всем соотношениям (2), кроме первого и второго при i = 0, i = 0.
Функции ' (x ; : : : ; xn ), ' (x ; x ; : : : ; xn ) определяются из уравнения (6) и аналогичного
ему. При этом в каждой из задач для нахождения неизвестной функции используются соответствующие варианты теоремы 1){5). Упоминание любого варианта означает выполнение всех
содержащихся в нем требований, тождеств, условий гладкости и т.д. Для нахождения решения
требуется комбинировать на X , X варианты с учетом различных i , i подобно тому, как это
делается в [4]. Всего их 25 (без учета вариантов в каждом пункте): 11, 12, 21, 22; : : : , 55 (пишем
0+(
10
+
)+
+(
+
)
1
2
1
+
+
+0+
0+
+0
+0+
1
+0
0+
0+(
1
1
10
2
20
1
1
1)
2
2
3
2
1
82
2
2
номера подряд без скобок, на первом месте указан соответствующий пункт из теоремы, на втором | из ее аналога). Каждый набор дает информацию о характере разрешимости (явной или
в резольвентах) и числе входящих в решение произвольных функций и (или) констант. Если в
комбинации участвует единица, то редукция к задаче Гурса осуществляется в терминах резольвент, если не участвует | в явной форме. В общем случае решение находится с точностью до
одной произвольной функции ' (x ; x ; : : : ; xn ).
Рассмотрим наиболее общую из указанного класса задач.
Задача NNN : : : N. Найти функцию
u 2 C m1 mn (D) \ C m1 (D [ X ) \ C m2 (D [ X ) \ \ C mn (D [ X n );
являющуюся в D решением уравнения (1), удовлетворяющую условиям (4) и всем соотношениям
(2) при i + i + + in = 0.
В данном случае требуется определить функции ' (x ; : : : ; xn ), ' (x ; x ; : : : ; xn ); : : : ,
'n (x ; x ; : : : ; xn; ). Для этого используется уравнение (6) и соответствующие его аналоги.
Как и в предыдущем случае, для анализа возможности нахождения неизвестных функций будем комбинировать условия теоремы и ее аналогов. Получаем 5n вариантов 11 : : : 1, 121 : : : 1,
112 : : : 1; : : : , 555 : : : 5. В общем случае решение находится с точностью до следующих произвольных функций: ' (x ; x ; : : : ; xn ), ' (x ; x ; x ; : : : ; xn ); : : : , ' (x ; x ; : : : ; xn; ; xn ),
' (x ; x ; x ; : : : ; xn ), ' (x ; x ; x ; x ; : : : ; xn ); : : : , ' (x ; x ; : : : ; xn; ; xn ),
' (x ; x ; x ; x ; : : : ; xn ), ' (x ; x ; x ; x ; : : : ; xn ); : : : , ' (x ; x ; x ; : : : ; xn; ; xn ),
'n; (x ; x ; : : : ; xn; ; xn ).
Отметим, что (1) является многомерным обобщением уравнения
10
+
+
+0+
20
3
+0
0+
+0+
+0
0+
1
1
2
10
0
1
2
20
1
30
1
10
2
1
2
20
1
3
1
10
30
0+
2
20
4
40
3
20
5
2
2
10
1
3
40
30
1
2
2
30
4
10
5
20
4
50
1
3
30
1
2
3
1
2
1
0
0
4
1
0
0
L(u) m X
n
X
i
=0
j
=0
@ i j u = 0;
aij (x; y) @x
i @y j
+
(7)
для которого задача Гурса была изучена в [1]. Рассмотрим для (7) задачу N;. Поскольку здесь
используются только две переменные, обозначим m = m, m = n. Формула (6) в данном случае
упрощается и принимает вид
1
n
X
j
2
m n
X X ;j
Dy;j [A j (y)' (y)] = ;
Dy [Aij (y)' i (y)] ;
0
10
=0
i
j
j
;
j1
m X
n XX
X
=1
;
1
i
=0
j
=0
j1
=0
1
=0
j2
Dy; n;j ;j1 [Cjj;2 j1 ;j2 Dyj2 (aij (x ; y ))Dxi Dyj1 ;j2 (u(x ; y ))](;1)j2 :
(
)
(
=0
0
)
0
0
0
Функция ' (y) определяется здесь единственным образом.
Задача NN в данном случае решается с точностью до одной произвольной константы ' (y ).
10
1. Солдатов А.П., Шхануков M.X.
10
Литература
Краевые
задачи
с
общим
нелокальным
0
условием
// Докл. РАН. { 1987.
{ Т. 297. { Є 3. { С. 547{552.
2. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными // Казанск. матем. об-во. { 2001. { 226 с.
3. Уткина Е.А. К общему случаю задачи Гурса // Изв. вузов. Математика. { 2005. { Є 8. {
С. 57{62.
4. Уткина Е.А. О задачах Гурса с дополнительными нормальными производными в краевых
условиях // Изв. вузов. Математика. { 2004. { Є 4. { С. 61{65.
А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка
Татарский государственный
Поступила
17.10.2005
гуманитарно-педагогический университет
83
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
121 Кб
Теги
условия, граничных, нормальной, производной, задачи, повышения, порядке, гурса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа