close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравнений.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (449)
1999
УДК 517.929
В.Б. ЧЕРЕПЕННИКОВ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ КВАЗИРЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Введение
В работе исследуется неоднородная линейная система дифференциально-разностных уравнений x_ (t) = A(t)x(t ; 1) + f (t), t 2 (;1; 1), когда в момент t = 0 известно значение искомой
функции x(0) = x0 [1]{[4]. Переменная матрица A(t) и вектор f (t) полагаются полиномами. Автору не известны результаты, устанавливающие условия разрешимости данной задачи в классе
аналитических функций. В работе вводится формальное решение в виде ряда по степеням независимой переменной, по отношению к которому рассматривается полином некоторой степени
N . При подстановке этого полинома в исходную задачу появляется невязка 4(t) = O(tN +1).
Тогда термин \полиномиальное квазирешение" понимается в том смысле, что для любого " > 0
всегда можно указать такое t > 0, при котором для всех jtj t определенная соответствующим
образом норма k4(t)k ".
Работа посвящена нахождению полиномиальных квазирешений исследуемой задачи.
2. Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу для линейной системы дифференциально-разностных уравнений:
(2.1)
dx(t)=dt = A(t)x(t ; 1) + f (t); t 2 J = (;1; 1); x(0) = x0 ;
где x(t); f (t) : J ! Rl ; A(t) : J ! Rll ; x0 2 Rl . Будем полагать, что
A(t) =
Пусть
A
X
n=0
An tn; f (t) =
F
X
n=0
f n tn ; An 2 Rll ; f n 2 Rl ; F A; t 2 J:
x(t) =
1
X
n=0
xn tn; xn 2 Rl ;
(2.2)
(2.3)
| формальное решение задачи (2.1). Применить классический метод неопределенных коэффициентов в этом случае не удается, поскольку построить рекуррентную формулу для определения неизвестных коэффициентов xn в (2.3) не представляется возможным, а получающаяся
в этом случае бесконечномерная линейная система уравнений относительно xn пока не поддается анализу в смысле однозначной вычисляемости последовательности векторов fxg1
n=0 и,
следовательно, связанного с ней представления решения в виде степенного ряда.
Введем полином
x(t) =
N
X
n=0
xn tn ; xn 2 Rl :
49
(2.4)
Для x(t) имеем
x_ (t) =
где
N
X
n=0
nxntn; ; x(t ; 1) =
1
xen =
Напишем соотношение
A(t)x(t ; 1) =
A
X
n=0
An
NX
;n
i=0
tn
N
X
n=0
xn (t ; 1)n =
N
X
n=0
xen tn;
(2.5)
(;1)i Cni +i xn+i :
N
X
n=0
xn
tn
=
AX
+N X
n
n=0
i=0
An;i xi tn:
(2.6)
e
Проведем анализ размерностей полиномов, получающихся при подстановке (2.4) в (2.1). Производная x_ (t) представляется полиномом степени N ; 1, а функция f (t) имеет степень F . Тогда
для того, чтобы при подстановке (2.4), (2.5) и (2.6) в (2.1) и сравнении степеней при одинаковых
степенях t последний коэффициент в (2.4) xn определялся последним заданным коэффициентом
в (2.2) f F , необходимо, чтобы N = F + 1. В этом случае степень полинома в (2.6) будет равна
A + F + 1.
Определим вектор-функцию f (t) в виде
f (t) =
F +X
A+1
n=0
fn tn; fn 2 Rl ;
(2.7)
где fi = f i , i = 0; F , а fF +i , i = 1; A + 1, | некоторые неизвестные коэффициенты.
Определение 2.1.
Задачу
x_ (t) = A(t)x(t ; 1) + f (t); t 2 J = (;1; 1); x(0) = x(0) = x ;
0
(2.8)
будем называть согласованной по размерности полиномов относительно задачи (2.1).
Полагая в (2.4), (2.5) и (2.6) N = F + 1 и подставляя эти выражения, а также (2.7) в (2.8),
получим
FX
+1
n=0
nxn
tn;1 =
A+X
F +1 X
n
n=0
i=0
An;i xi
e
tn +
A+X
F +1
n=0
fntn:
Поскольку F A, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, имеем
n;
8
P1
>
>
<
An;1;i xei + fn;1 ;
1 n A;
nP
;1
>
An;1;i xei + fn;1 ; A + 1 n F
:
i=n;(A+1)
FX
+1
0=
An;1;i xei + fn;1 ; F + 2 n A + F
i=n;(A+1)
nxn = > i
=0
+ 1;
+ 2:
(2.9)
(2.10)
Заметим, что в силу (2.7) первые F коэффициентов полинома f (t) определяются коэффициентами полинома f (t) задачи (2.1). При этом допускается случай, когда некоторые последние
или все коэффициенты f (t) равны нулю. Поскольку степень полинома x(t) равна F + 1, это
позволяет выбрать степень полинома f (t) в зависимости от желаемой степени полинома x(t),
добавляя к f (t) соответствующее число нулевых членов.
50
Определение 2.2.
Если существует полином степени F + 1
x(t) =
FX
+1
n=0
xn tn ; xn 2 Rl ;
(2.11)
удовлетворяющий задаче (2.8), то этот полином будем называть полиномиальным квазирешением задачи (2.1).
Ниже исследуются вопросы, связанные с условиями существования полиномиальных квазирешений и их нахождением.
3. Основные результаты
Для решения поставленной задачи выразим неизвестные коэффициенты xn , n = 1; F + 1, полиномиального квазирешения (2.11) через неизвестные коэффициенты fn , n = F + 1; F + A + 1,
полинома (2.7) и найдем условия, при которых последние могут быть определены. С этой целью
будем последовательно изучать соотношения (2.10) и (2.9), применяя для исследования метод
математической индукции.
Перепишем формулу (2.10) в виде
FX
+1
i=n;(A+1)
An; ;i xei + fn; = 0; F + 2 n A + F + 2:
1
(3.1)
1
Проведем преобразование первого слагаемого в этом равенстве. Делая замену индекса суммирования j = i ; n + A + 1 и меняя порядок суммирования слагаемых, имеем
F +AX
+2;n
AA;j xen; A
j
( +1)+
j =0
=
F +AX
+2;n
An; F
j xF +1;j :
( +2)+ e
j =0
Положим n = F + A + 2 ; k. Тогда формула (3.1) перепишется так
k
X
AA;k j xeF
+
j =0
;j + fF +A+1;k = 0;
+1
0 k A:
Подставим в это выражение значение xeF +1;j , определенное согласно (2.5),
k
X
j =0
AA;k
j
+
j
(;1)i CFi +1;j+i xF +1;j+i + fF +A+1;k = 0; 0 k A:
X
i=0
(3.2)
Преобразуем первое слагаемое в полученном соотношении
k
X
j =0
AA;k
j
+
j
X
i=0
(;1)i CFi +1;j+i xF +1;j+i = AA;k CF0 +1 xF +1 + AA;k+1 (CF0 xF ; CF1 +1 xF +1 ) +
+ AA;k+2 (CF0 ;1 xF ;1 ; CF1 xF + CF2 +1 xF +1 ) + + AA (CF0 +1;k xF +1;k + + (;1)k CFk +1 xF +1 ) =
=
k
X
i=0
k;i
(;1)j CFj +1;i AA;k+i+j
X
j =0
xF
;i :
+1
Обозначая здесь
Gk;i
s =
k ;i
l l
(;1)j Csj AA;k+i+j ; Gk;i
s 2R ;
X
j =0
51
(3.3)
перепишем (3.2) в виде
k
X
i=0
Gk;i
F
;i xF +1;i = ;fF +A+1;k ;
+1
0 k A:
(3.4)
Пусть det AA 6= 0. Тогда в силу (3.3) матрицы Gi;i
s = AA , i = 0; A, невырожденные. Полагая
k = 0; 1; 2; 3, определим векторы xF +1;k , выражая их через векторы fF +A+1;k .
При k = 0 имеем1
0;0
xF +1 = ;G;F +1
fF +A+1 ;
при k = 1
0
0;0
xF = ;G;F 1;1fF +A + G;F 1;1 G1F;+1
G;F +1
fF +A+1;
при k = 2
0
0;0
0
0;0
xF ;1 = ;G;F ;2;12fF +A;1 + G;F ;2;12G2F;1G;F 1;1fF +A ; (G;F ;2;12G2F;1 G;F 1;1G1F;+1
G;F +1
; G;F ;2;12GF2;+1
G;F +1
)fF +A+1 ;
при k = 3
xF ;2 = ;G;F ;3;23fF +A;2+G;F ;3;23G3F;;2 1 G;F ;2;12fF +A;1 ;(G;F ;3;23G3F;;2 1 G;F ;2;12G2F;1 G;F 1;1;G;F ;3;23G3F;1G;F 1;1)fF +A +
0
0;0
0
0;0
+ (G;F ;3;23 G3F;;2 1 G;F ;2;12G2F;1 G;F 1;1G1F;+1
G;F +1
; G;F ;3;23G3F;;2 1G;F ;2;12G2F;+1
G;F +1
;
;
3;3 3;1 ;1;1 1;0
;
0;0
;
3;3 3;0
0;0
; GF ;2 GF GF GF +1GF +1 + GF ;2 GF +1G;F +1
)fF +A+1 :
Пусть 0 i k. Составим группы последовательностей пар чисел следующим образом:
1 группа: (k; k); (k; k ; 1); (k ; 1; k ; 1); (k ; 1; k ; 2); : : :
(k ; i + 1; k ; i); (k ; i; k ; i):
2 группа: (k; k); (k; k ; 2); (k ; 2; k ; 2); (k ; 2; k ; 3); : : :
(k ; i + 1; k ; i); (k ; i; k ; i):
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
i группа: (k; k); (k; k ; i); (k ; i; k ; i):
Число пар в каждой группе обозначим через i , i = 1; s.
Введем пару чисел mj , jm , где верхний индекс обозначает принадлежность пары к m-группе,
а j | порядковый номер пары в этой группе. Тогда для k = 0; 3 имеем
xF
+1
Здесь
Dk
0
k;k ;
= G;F +1
;k
Dik
=
;k =
k
X
i=0
(;1)i+1 Dik fF +A+1;k+i :
(3.5)
s
Y
; )sj js
s
+1 ;k;k
(;1) GF +1;k GF(+1
;k+(1s;js ) ;
s
j =2
1 i k:
X
(3.6)
В этом выражении знак распространяется на выше описанные s групп пар чисел при данных
s
(
;
1
;
если
sj = js ;
k и i, а (; ) =
1; если sj 6= js :
Пусть формула (3.5) справедлива для некоторого k < A. Покажем, что она справедлива и
для k + 1. Согласно (3.4) в этом случае имеем
;k+1 f
;k+1;k+1 (Gk+1;0 x
k+1;1
k+1;k
xF ;k = ;G;F ;k+1
F +A;k ; GF ;k
F +1 F +1 + GF xF + + GF +1;k xF +1;k ): (3.7)
k
P
1
Здесь и далее
G;s i;j
представляет собой матрицу, обратную к матрице
52
Gi;j
s
.
Для суммы, ограниченной скобками, с учетом (3.5) получаем
;0
k+1;1 (;D 1 f
0
1
GkF+1
+1 (;D0 )fF +A+1 + GF
0 F +A + D1 fF +A+1 ) + k
;k X(;1)i+1 D k f
+ GkF+1
+1;k
i F +A+1;k+i
i=0
=;
k
X
i=0
i
X
j =0
;k;i+j k;i+j
(;1)j+1 GkF+1
+1;k+i;j Dj
fF
A ;k + i :
+ +1
;k+1 под знак суммы, приПодставляя полученное выражение в (3.7) и внося множитель G;F ;k+1
k
ходим к следующей формуле:
k
X
;k+1 f
xF ;k = ;G;F ;k+1
F +A;k +
k
i=0
i
X
j =0
;k+1 Gk+1;k;i+j D k;i+j
(;1)j+1 G;F ;k+1
k
F +1;k+i;j j
fF
A ;k;i :
+ +1
(3.8)
;k+1 = D k+1 . Рассмотрим теперь сумму в круглых скобках. При i = 0 с учетом
В силу (3.6) G;F ;k+1
0
k
(3.6) получаем
;k+1 Gk+1;k D k = G;k+1;k+1 Gk+1;k G;k;k = D k+1 :
G;F ;k+1
k
F +1;k 0
F ;k
F +1;k F +1;k
1
Для i = 1 имеем
;k+1 Gk+1;k;1 D k;1 ; G;k+1;k+1 Gk+1;k D k =
G;F ;k+1
k
F +2;k 0
F ;k
F +1;k 1
;
k
+1;k+1 k+1;k;1 ;k;1;k;1
;k+1 Gk+1;k G;k;k Gk;k;1 G;k;1;k;1 = ;D k+1
= GF ;k GF +2;k GF +2;k ; G;F ;k+1
k
F +1;k F +1;k F +2;k F +2;k
2
При i = k
G;F ;k k ;k
+1
+1
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
k
X
j =0
;j j
;k+1;k+1 (Gk+1;0 D0 ;Gk+1;1 D1 + +(;1)k Gk+1;k Dk ) = (;1)k Dk+1 :
(;1)j GkF+1
+1;j Dj = GF ;k
F +1 0
F
F +1;k k
k+1
1
Возвращаясь к формуле (3.8), перепишем ее в виде
xF ;k =
k
+1
X
i=0
(;1)i+1 Dik+1 fF +A;k+i :
Этим показана справедливость формулы (3.5) для k = 0; A.
Исследуем теперь формулу (2.9). Перепишем соотношение, соответствующее нижней ее части
nxn =
A
X
i=0
Ai xen;i; + fn; ; A + 1 n F + 1:
1
1
Делая замену индекса суммирования k = n ; A ; 1 и меняя последовательность порождаемых
индексом формул, приходим к системе равенств
(F + 1 ; k)xF +1;k =
A
X
i=0
Ai xeF ;k;i + fF ;k ; 0 k F ; A:
Подставляя сюда выражение для xen в соответствии с (2.5), получаем
(F + 1 ; k)xF +1;k =
Положим k = 0. Тогда
(F + 1)xF +1 =
A
X
i=0
Ai
i
A
X
i=0
Ai
k+1+
Xi
j =0
(;1)j CFj ;k;i+j xF ;k;i+j + fF ;k ; 0 k F ; A:
+1
X
j =0
=
(;1)j CFj ;i+j xF ;i+j + fF =
AX
+1
j =1
(;1)j CFj +1 Aj;1 xF +1 +
53
AX
+1 AX
+1;i
i=1
j =1
(;1)j CFj +1;i Aj+i;1 xF +1;i + fF ;
или в другой форме
AX
+1
j =1
(;1)j CFj +1 Aj;1 ; E (F + 1) xF +1 +
AX
+1 AX
+1;i
i=1
j =0
(;1)j CFj +1;i Aj+i;1 xF +1;i = ;fF :
Здесь E 2 Rll | единичная матрица. Таким же образом для k = 1; 2; : : : ; s, 1 s F ; A,
получаем
s;
1
X
i=0
A
;i+j
(;1)s+1;i+j CFs+1
+1;i Aj xF +1;i +
X
j =0
+
Обозначая при s = 0
A
8
P
>
>
<
и при 1 s F ; A
8
P
>
>
>
>
>
=0
>
>
<
P
A
GAF
j
A
(;1)j+1 CFj+1
+1;s Aj ; E (F + 1 ; s) xF +1;s +
X
j =0
AX
+s+1 A+X
s+1;i
i=s+1
j =0
(;1)j CFj +1;i Aj+i;(s+1) xF +1;i = ;fF ;s : (3.9)
(;1)j+1 CFj+1
i = 0;
+1 Aj ; E (F + 1);
;i
j =0
GAF +1
+1;i =
P;i
>A+1
>
:
j =0
(;1)j CFj +1;i Aj+i;1 ;
;i+j
(;1)s+1;i+j CFs+1
+1;i Aj ;
1 i A + 1;
s;i = A (;1)j +1 C j +1 A ; E (F + 1 ; s);
F +1;s j
;i
>
j =0
>
>
>
A+sP
+1;i
>
>
>
(;1)j CFj +1;i Aj+i;(s+1) ;
:
j =0
+1+
+1
(3.10)
0 i s ; 1;
i = s;
(3.11)
s + 1 i A + s + 1;
перепишем соотношение (3.9) следующим образом:
AX
+1+s
i=0
GAF
s;i x
+1+
+1
;i
F +1;i
= ;fF ;s ; 0 s F ; A;
или, меняя индекс s = k ; (A + 1),
k
X
i=0
Gk;i
F
+1
;i xF +1;i = ;fF +A+1;k ;
A + 1 k F + 1:
Сопоставляя эту формулу с (3.4), видим, что они могут быть объединены в виде одного выражения
k
X
Gk;i
F +1;i xF +1;i = ;fF +A+1;k ; 0 k F + 1;
где матрицы Gk;i
F +1;i
F + 1.
i=0
определяются согласно (3.3) для 0 k A, (3.10) и (3.11) для A + 1 k С другой стороны, при приведении формулы (3.4) к виду (3.5) была показана справедливость
(3.6) для 0 k A. При этом значение числа A не влияло на процесс и конечный результат
преобразований. Следовательно, тем же путем устанавливается справедливость этой формулы
и для A + 1 k F + 1, т. е.
xF
+1
;k =
k
(;1)i+1 Dik fF +A+1;k+i ; 0 k F + 1:
X
i=0
54
В этом выражении значения Dik находятся по (3.6). Тогда перепишем это соотношение так
xk =
F +1
;k
X
i=0
(;1)i+1 DiF +1;k fA+k+i ; 0 k F + 1:
(3.12)
Вернемся к формуле (2.9) и рассмотрим ее при 1 n A
nxn =
nX
;1
i=0
An; ;i xei + fn; :
1
1
Подставляя сюда xei в виде (2.5), получаем
nxn =
nX
;1
i=0
An; ;i
FX
+1;i
1
j =0
(;1)j Cij+j xi+j + fn;1 :
(3.13)
При 1 n A рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы
nX
;1
i=0
An; ;i
1
F
FX
+1;i
j =0
8
+1 P
P
>
>
>
<
(;1)j Cij+j xi+j
i
(;1)j Cij An;1;i+j ;
=0 j =0
= >FiP
+1
i
P
>
>
:
i=0 j =i;(n;1)
0 i n ; 1;
(;1)j Cij An;1;i+j ; i n:
Учитывая это соотношение, перепишем (3.13) в виде
FX
+1
i=0
где
8
P
>
>
>
>
>
=0
>
>
<P
i
j
n
Sin; xi = ;fn; ; 1 n A;
1
(;1)j Cij An;1;i+j ;
0 i n ; 1;
Sin; = >j (;1)j Cnj Aj; ; En;
1
=0
>
>
>
P
>
>
>
:
i = n;
1
i
j =i;(n;1)
(3.14)
1
(;1)j Cij An;1;i+j ; i n + 1:
Подставляя согласно (3.12) значение xk в (3.14), приведем последнюю формулу к виду
FX
+1
i=1
Sin;
1
FX
+1;i
j =0
(;1)j+1 DjF +1;i fA+i+j = ;fn;1 ; S0n;1 x0 ; 1 n A:
(3.15)
Преобразуем левую часть этого равенства
FX
+1
i=1
Sin;
1
FX
+1;i
j =0
(;1)j+1 DjF +1;i fA+i+j =
FX
+1 X
i
i=1 j =1
(;1)i+j DiF;+1j ;i Sjn;1 fA+i :
Полагая здесь
Pn;F
+2
;i =
i
(;1)i+j DiF;+1j ;i Sjn;1 ; 1 n A; 1 i F + 1;
X
j =1
перепишем (3.15) так
FX
;A
i=1
Pn;F
;i fA+i +
+2
FX
+1
i=F ;A+1
Pn;F
+2
;i fA+i = ;fn;1 ; S0n;1 x0 ;
55
1 n A:
(3.16)
Тогда
AX
+1
i=1
Pn;i fF
n;1
A ;i = ;fn;1 ; S0 x0 ;
+ +2
FX
;A
i=1
Pn;F
;i fA+i ;
+2
1 n A:
(3.17)
Далее, из (3.12) при k = 0 имеем
x =
0
Поскольку
FX
;A
FX
+1
i=0
i=F ;A+1
FX
+1
i=F ;A+1
перепишем (3.18)
(;1)i+1 DiF +1 fA+i +
(;1)i+1 DiF +1 fA+i =
AX
+1
i=1
(;1)i+1 DiF +1 fA+i :
(3.18)
+1
(;1)A;i DFF +2
;i fF +A+2;i ;
AX
+1
FX
;A
i=1
i=0
+1
(;1)A;i DFF +2
;i fF +A+2;i = x0 ;
(;1)i+1 DiF +1 fA+i :
(3.19)
Обозначая
+1
= (;1)A;i DFF +2
;i
и объединяя формулы (3.17) и (3.19), получаем
PA
+1
AX
+1
i=1
где
Pn;i fF
8
>
>
<
A ;i
+ +2
= hA+2;n ; 1 n A + 1;
FP
;A
;fn; ; S n; x ; i Pn;F
hA ;n =
F ;A
x ; (;1)i DiF fA i ;
i
+2
1
0
P
>
>
: 0
(3.20)
;i
1
0
=1
+1
+1
1 n A;
;i fA+i ;
+2
n = A + 1:
+
=0
(3.21)
Данное соотношение представляет собой линейную систему алгебраических матричных уравнений относительно неизвестных векторов fF +i , i = 1; A + 1, которую запишем в виде
b
fb = h;
2 R(A+1)l(A+1)l :
(3.22)
Здесь
=
P;
P;
11
21
..
.
P;
P;
12
22
..
.
:::
:::
..
.
P ;A
P ;A
1
2
..
.
+1 +1
;
PA ; PA ; : : : PA ;A
fb = jfF A ; fF A ; : : : ; fF jT ; hb = jhA ; hA ; : : : ; h jT :
Теорема 3.1. Пусть в задаче (2:8) полиномиальная матрица A(t), заданная в виде (2:2), и
матрица линейной системы (3:22), определенная в силу задачи (2:8), таковы, что det AA 6= 0
+ +1
и
det 6= 0.
Тогда для любого
F + 1.
+1 1
+
+1 2
+1
+1
+1
+1
1
x 2 Rl задача (2:8) имеет единственное решение в виде полинома степени
0
56
Из (3.3), (3.10) и (3.11) вытекает, что матрицы Gk;k
s = AA , s; k = 0; F + 1.
Если det AA 6= 0, то матрицы Dik , i; k = 0; F + 1, (3.12) также невырожденные. Поэтому согласно
(3.16) и (3.20) невырожденными являются и матрицы Pi;j , i; j = 1; A + 1. Далее, поскольку определитель матрицы отличен от нуля, линейная система однозначно разрешима относительно
векторов fF +i , i = 1; A + 1. Следовательно, по формуле (3.12) при k = 1; 2; : : : ; F + 1 однозначно
вычисляются векторы xk полиномиального приближения (2.11), что и доказывает теорему.
Подставляя полученное полиномиальное квазирешение в виде (2.11) в исходную задачу (2.1),
приходим к равенству x_ (t) = A(t)x(t ; 1) + f (t) + 4(t), t 2 J , где в соответствии со способом
AP
+1
нахождения x(t) невязка определяется равенством 4(t) = fF +i tF +i .
i=1
Введем норму вектора g(t) = jg1 (t); g2 (t); : : : ; gn (t)jT следующим образом:
kg(t)kJ = max
max
jgi (t)j; i = 1; n; t 2 J = [;t; t ]:
t
i
Доказательство.
Тогда справедливо
Следствие 3.1. Пусть x(t) | полиномиальное квазирешение задачи (2.1). Тогда для любого
" > 0 всегда найдется такое t > 0, при котором для всех jtj t будет выполняться соотношение
k4(t)kJ = tF
A
+1
X
i=1
fF i ti ":
+
J
Как отмечалось выше, для задачи (2.1) могут быть получены разные согласованные по размерности полиномов задачи типа (2.8), каждая из которых отличается степенью полинома f (t). Это позволяет находить для задачи (2.1) полиномиальные квазирешения
различных степеней.
Замечание 3.1.
3.1. Примеры
Пример 3.1.
условием
Cкалярное дифференциально-разностное уравнение с заданным начальным
dx(t)=dt = x(t ; 1); x(0) = x :
(3.23)
0
В силу определения 2.1 задача
x_ (t) = x(t ; 1) + fN tN ; x(0) = x0 = x0 ;
где
N
X
N
x(t) = x (t) = xn tn ;
n=0
N (t) = fn tN ;
будет согласованной по размерности полиномов относительно задачи (3.23). При x0 = 1 получаем
x (t) = 1 + 0:56705t + 0:16092t + 0:03065t + 0:00383t ;
(t) = ;0:00383t ;
x (t) = 1 + 0:56714t + 0:16083t + 0:03040t + 0:00431t + 0:00049t + 0:00004t ;
(t) = ;0:00004t :
4
2
4
6
3
4
4
5
4
2
3
6
6
6
Отметим, что приближенное частное решение задачи (3.23), соответствующее приближенному вещественному корню характеристического квазиполинома k1 0:56714, при x0 = 1 имеет
57
вид
x (t) = e :
1
t
0 56714
=
1
(0:56714)n tn :
n!
n=7
Сравнивая x1 (t) с x4 (t) и x6 (t), приходим к выводу, что в данном случае полиномиальные
квазирешения являются приближениями к частному аналитическому решению задачи (3.23).
Пример 3.2. Cкалярная задача Коши для дифференциально-разностного уравнения
dx(t)=dt = (1 + t + t2 )x(t ; 1) + t2; x(0) = x0 = 1:
Согласованной по размерности полиномов будет задача
x_ (t) = (1 + t + t2)x(t ; 1) + t2 + f3 t3 + f4 t4 + f5 t5 ; x(0) = x0 = 1;
где
3
X
x(t) = xntn ; (t) = f3t3 + f4t4 + f5t5 :
= 1 + 0:56714t + 0:16082t2 + 0:03040t3 + 0:00431t4 + 0:00049t5 + 0:00005t6 +
X
n=0
В соответствии с (3.21) линейная система (3.22) для определения неизвестных коэффициентов f3, f4 , f5 имеет вид
8
;4f5 = x0 + 1
<
;
3
f
= x0
4 ; 4f5
:
;2f3 ; f4 ; f5 = x0:
При x0 = 1 получаем f3 = ;0:416; f4 = 0:333; f5 = 0:5. Тогда
x(t) = 1 + 0:583t + 0:666t2 + 0:5t3 ; (t) = ;0:416t3 + 0:333t4 ; 0:5t5
.
Литература
1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. {
М.{Л.: Гостехиздат, 1951. { 352 с.
2. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. { М.: Ин. лит., 1961. { 248 с.
3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. { М.: Мир, 1967. { 548 с.
4. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. { М.: Мир, 1984. { 421 с.
Иркутский вычислительный
Поступили
19.06.1997
окончательный вариант 07.05.1999
центр СО РАН
первый вариант
58
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
172 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, полиномиальной, разностные, система, линейный, квазирешение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа