close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Полностью вырожденные линейные гамильтоновы системы.

код для вставкиСкачать
198 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.925
ПОЛНОСТЬЮ ВЫРОЖДЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
Ю.П. Вирченко, А.В. Субботин
Белгородский государственный университет,
ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: virch@bsu.edu.ru
Аннотация. Вводится понятие о полностью вырожденных гамильтоновых системах. Посредством явной конструкции доказывается, что такие системы могут иметь произвольное
число степеней свободы.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, жорданово представление, собственное число,
число степеней свободы.
Рассмотрим линейную гамильтонову систему
Ṗ = −
∂H
,
∂Q
Q̇ =
∂H
,
∂P
(1)
P = hp1 , ..., pn i, Q = hq1 , ..., qn i, где n – число степеней свободы этой системы и H – ее квадратичный по динамическим переменным P и Q гамильтониан,
H=
1
1
(P, AP ) + (P, BQ) + (Q, CQ) .
2
2
Здесь A, B, C – вещественные n × n-матрицы, причем матрицы A и C – симметричны.
Система уравнений (1) представима в виде
Ṗ
P
=G
,
Q
Q̇
где генератор сдвига по времени — 2n × 2n-матрица G имеет специальную форму
−BT −C
G=
.
A
B
(2)
В этом сообщении мы, в отличие от предыдущего [1] (см. также [2]) займемся исследованием
спектральных свойств матрицы G в вырожденном случае.
Линейную гамильтонову систему назовем вырожденной, если det G = 0. При этом мы будем
называть ее полностью вырожденной, если матрица G имеет единственное собственное число.
Иными словами, линейная гамильтонова система – полностью вырожденна, если в жордановом
представлении матрица G представляется 2n × 2n-клеткой Жордана с нулевой диагональю.
Можно доказать, что в составе любой линейной вырожденной гамильтоновой системы может находиться не более одной полностью вырожденной. Однако, мы в настоящем сообщении
не будем на этом останавливаться. Нашей целью является доказательство утверждения о том,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29 199
что существуют линейные полностью вырожденные гамильтоновы системы с произвольным
числом степеней свободы. Доказательство состоит в явном предъявлении 2n × 2n-матрицы G
с произвольным фиксированным значением числа n ∈ N степеней свободы и доказательства,
что эта матрица представляет собой клетку Жордана с нулевой диагональю.
Рассмотрим матрицу
S
0
,
(3)
G=
1 −ST
где 0, 1 – соответственно нулевая и единичная матрицы, а S – n × n-клетка Жордана, то есть
(S)ij = 1 при j = i + 1, i = 1 ÷ n − 1 и (S)ij = 0 в противном случае Справедливо утверждение
Теорема. Имеет место равенство G2n = 0 и при этом G2n−1 6= 0.
Мы приведем два доказательства. Одно из них аналитическое и основано на линейной
гамильтоновой системе, порождаемой матрицей (3), у которой, таким образом, C = 0, A = 1,
B = −ST . Второе доказательство является чисто алгебраическим.
1. Достаточно доказать, что асимптотика решения
X
∞ l
t l P (0)
P (t)
P (0)
= exp (tG)
=
G
Q(t)
Q(0)
Q(0)
l!
l=0
указанной гамильтоновой системы
Ṗ (t)
Q̇(t)
P (t)
=G
Q(t)
пропорциональна t2n−1 в общем положении. Это устанавливается явным построением общего
решения этой системы, то есть системы уравнений
Q̇(t) = P (t) − (ST Q)(t) .
Ṗ (t) = SP (t) ,
Первое уравнение, ввиду нильпотентности порядка n матрицы S, Sn = 0, дает
P (t) =
n−1
X tl
l=0
l!
(Sl P )(0) ,
(4)
причем, так как Sn−1 6= 0, то в этой сумме присутствует слагаемое с наибольшей степенью,
пропорциональное tn−1 .
Из второго уравнения следует, что
T
Q(t) = exp(−tS )Q(0) +
Zt
0
exp(−ST (t − t′ ))P (t′ )dt′ =
T
= exp(−tS )Q(0) +
Zt
0
exp(−ST (t − t′ )) exp(t′ S)dt′ P (0) .
ST
Матрица
нильпотентна порядка n, так как (ST )n = (Sn )T = 0 и (ST )n−1 = (Sn−1 )T
6= 0. Тогда первое слагаемое в правой части имеет такой же вид как и (4),
exp(−tST )Q(0) =
n−1
X
(−1)l
l=0
tl l
S Q(0)
l!
200 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29
с ненулевым коэффициентом при tn−1 . Второе же слагаемое, после разложения матричных
экспонент в ряд, принимает вид
n−1
X
l,m=0
(ST )l Sm
l!m!
Zt
0
(t′ − t)l t′m dt′ P (0) .
Интеграл, входящий в коэффициенты этого ряда равен
t
l+m+1
Z1
0
(s − 1)l sm ds ,
где коэффициент при tl+m+1 не равен нулю (имеет знак (−1)m ). В частности, при l = m = (n −
1) получаем утверждение теоремы, так как (S)ij = δi+1,j , то есть (Sn−1 )ij = δi+n−1,j = δin δj1 ,
и ([ST ]n−1 )ij = ([Sn ]T )ij = δjn δi1 , поэтому
([ST ]n−1 Sn−1 )ij =
n
X
([ST ]n−1 )ik (Sn−1 )kj =
k=1
n
X
k=1
δkn δi1 δkn δj1 = diag{1, 0, ...., 0} =
6 0.
2. Для матрицы вида (3) индукцией по l = 1, 2, 3, ... доказывается, что
l
S
0
Gl =
,
Al (−ST )l
и при этом матрицы Al связаны рекуррентным соотношением
Al+1 = Sl − ST Al
(5)
при A1 = 1. В самом деле,
G
l+1
l
= GG =
S
0
1 −ST
Sl
0
Al (−ST )l
=
Sl+1
0
l
S − ST Al (−ST )l+1
.
Индукцией по l проверяется, что решением разностного уравнения (5) с начальным условием A1 = 1 является
l−1
X
(−1)k (ST )k Sl−1−k ,
(6)
Al =
k=0
так как подстановка этого выражения для Al в (5) дает
l
T
Al+1 = S − S
l−1
X
T k l−1−k
(−1) (S ) S
l
=S +
k=0
l
=S −
Из (5) следует, что Al =
k
l−1
X
(−1)k+1 (ST )k+1 Sl−1−k =
k=0
l
X
k
T k l−k
(−1) (S ) S
k=1
(−1)l−n (ST )l−n An
l
X
=
(−1)k (ST )k Sl−k .
k=0
при l > n, так как Sn = 0. Тогда из (6) следует, что
A2n−1 = (−1)n−1 (ST )n−1 An = (−1)n−1 (ST )n−1
n−1
X
(−1)k (ST )k Sn−1−k = (−1)n−1 (ST )n−1 Sn−1 ,
k=0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №23(142). Вып. 29 201
так как все остальные слагаемые в сумме обращаются в нуль в силу (ST )n = 0. Наконец, так
как (ST )n−1 Sn−1 = diag{1, 0, ..., 0} =
6 0 и A2n = −ST A2n−1 = (−1)n (ST )n Sn−1 = 0, то получаем
справедливость требуемого утверждения. Свойство матрицы, утверждаемое в формулировке теоремы, является характеристическим
для клетки Жордана порядка n.
Литература
1. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Симметричность спектра линейных гамильтоновых систем // Belgorod State University Scientific Bulletin. – 2011. – 17(112);24. – C.179-180.
2. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Свойство локальной обратимости гамильтоновых динамических систем // Материалы Международной конференции «Комплексный анализ
и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» Белгород, 17-21
октября 2011 / C.37-38.
COMPLETELY DEGENERATE LINEAR HAMILTONIAN SYSTEMS
Yu.P. Virchenko, A.V. Subbotin
Belgorod State University,
Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:virch@bsu.edu.ru
Abstract. The concept of completely degenerate hamiltonian systems is introduced. It is proved
by explicit construction that such systems may have arbitrary number of freedom degrees.
Key words: hamiltonian systems, Jordan representation, eigenvalue, number of freedom degrees.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
174 Кб
Теги
полностью, система, вырожденных, линейный, гамильтоновых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа