close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Полнота подсистемы многочленов Фабера.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 9, c. 3–7
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0078
Л.К. ДОДУНОВА, С.А. САВИХИН
ПОЛНОТА ПОДСИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ ФАБЕРА
Аннотация. Исследуется вопрос о полноте лакунарных систем многочленов Фабера специального вида.
Ключевые слова: многочлены Фабера, полная система функций, равномерная сходимость,
аналитическая функция, универсальный ряд.
УДК: 517.538
Введение. А.Ф. Леонтьев ([1], с. 193–194) доказал полноту системы функций {z λn }, где
целые положительные числа {λn } (n 1) имеют плотность
n
= τ.
lim
n→+∞ λn
Он получил также аналогичное утверждение для многочленов Фабера ([1], с. 195–196). Оба
эти утверждения справедливы при условии, что плотность τ последовательности {λn } строго меньше единицы. Н.У. Аракелян и В.А. Мартиросян [2] доказали полноту системы {z λn }
в случае, когда плотность последовательности {λn } равна единице.
В данной статье доказана теорема об усиленной полноте системы многочленов Фабера {Φλn (z)}∞
n=0 , где {λn } имеет плотность, равную единице. Чтобы ее сформулировать, в
первой части статьи вводятся необходимые обозначения и определения. Во второй части
представлены леммы, которые используются в теореме 1, доказанной в третьей части.
1. Пусть F — связный компакт комплексной плоскости C.
Обозначим через CA (F ) совокупность всех аналитических в каждой внутренней точке
множества F и непрерывных на границе ∂F функций. Пусть
{ϕn (z)}∞
n=0
(1)
— система функций, однозначно определенных на F , непрерывных на нем и аналитических
в каждой его внутренней точке.
Определение 1. Систему (1) назовем полной на F , если любую функцию f ∈ CA (F ) можно
представить в виде предела равномерно сходящейся на F последовательности линейных
комбинаций
{α0 ϕ0 (z) + · · · + αn ϕn (z)}n∈N .
Утверждение 1 ([2]). Пусть {λn }∞
n=1 — подпоследовательность натуральных чисел плотности единицы, E — компакт со связным дополнением. Тогда система функций
{z λn }∞
n=0 ,
/ E.
полна в CA (E), если 0 ∈
Поступила 08.07.2011
3
λ0 = 0,
(2)
4
Л.К. ДОДУНОВА, С.А. САВИХИН
Определение 2. Систему функций {ϕn (z)}∞
n=0 назовем усиленно полной в CA (E), если на
множестве E при любом натуральном p полна система {ϕn (z)}∞
n=p .
Например, система (2), согласно утверждению 1, является усиленно полной на любом
компакте, не содержащем нуля.
Определение 3. Ряд
∞
(3)
an ϕn (z)
n=0
назовем универсальным на компакте E, если для каждой функции f ∈ CA (E) существует
подпоследовательность его частичных сумм
nk
an ϕn (z),
{Snk (z)}k∈N , Snk (z) =
n=0
равномерно сходящаяся на E к f (z).
Утверждение 2 ([3]). Для того чтобы система функций (1) была усиленно полной на
множестве, необходимо и достаточно, чтобы существовал универсальный на этом множестве ряд (3).
Пусть K — континуум комплексной плоскости, а функция w = Φ(z), удовлетворяющая
условиям
Φ(z)
= γ, γ > 0,
Φ(∞) = ∞, lim
z→∞ z
отображает смежную с K область, содержащую точку z = ∞ (обозначим ее через G∞ ), на
внешность окружности |w| = 1. Многочленом Фабера
nΦn (z) (n = 0, 1, . . . ) ([4], с. 52) называется часть лорановского разложения функции Φ(z) в окрестности бесконечно удаленной
точки, состоящая из членов с неотрицательными степенями z.
Теорема. Пусть {λn }∞
n=0 , λ0 = 0, — подпоследовательность целых неотрицательных
чисел плотности единица, F — компактное подмножество области G∞ . Тогда система
функций {Φλn (z)}∞
n=0 усиленно полна в классе CA (F ).
2. Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательные утверждения.
Пусть кривая ΓR есть прообраз окружности |w| = R (R > 1) при данном отображении.
Другими словами, ΓR есть линия уровня, на которой |Φ(z)| = R. Обозначим через DR
область, являющуюся внешностью контура ΓR . Рассмотрим функции
n
def (4)
ωn (z) = Φ(z) − Φn (z), n ∈ N ∪ {0}.
В данных обозначениях имеет место
Лемма 1. Для сколь угодно малого положительного числа ε найдется такая константа
C > 0, что верно соотношение
|ωn (z)| < C(1 + ε)n ∀n ∈ N ∪ {0}, ∀z ∈ D1+ε .
(5)
Справедливость данного утверждения следует из результатов работы ([4], с. 63–64). Представим основную идею доказательства.
Положим R = 1 + ε. Из равенства (4) по теореме Коши в силу аналитичности функции
Φn (z), z ∈ DR , следует
1
Φn (ζ)
dζ, z ∈ DR .
(6)
ωn (z) =
2πi ΓR ζ − z
ПОЛНОТА ПОДСИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ ФАБЕРА
5
Оценим функцию ωn (z) на замкнутом множестве D R . Пусть 1 < r < R, обозначим через δ
расстояние между линиями уровня ΓR и Γr . Из формулы (6) получаем оценку
rn
1
|Φ(ζ)|n
|dζ| l(Γr ), z ∈ D R ,
|ωn (z)| 2π Γr |ζ − z|
2πδ
где l(Γr ) — длина линии Γr . Из последнего соотношения вытекает справедливость неравенства (5).
Из леммы 1 следует справедливость следующего утверждения.
Лемма 2. Пусть {λn }∞
n=0 — произвольная подпоследовательность целых неотрицатель∞
an z λn имеет радиус сходимости r > 1. Тогда ряд
ных чисел, степенной ряд
n=0
∞
an ωλn (z)
(7)
n=0
сходится равномерно и абсолютно в области Dr .
Действительно, из соотношения (5) можно получить
lim n |ωn (z)| 1 ∀z ∈ Dr .
n→+∞
Тогда в силу условий леммы 2 имеем
1
lim n |an | |ωλn (z)| lim n |an | = < 1,
n→+∞
n→+∞
r
откуда следует равномерная сходимость ряда (7).
3. Для доказательства теоремы применим прием, используемый в работе [5].
По определению многочленов Фабера Φn (z) функция Φ(z) отображает область G∞ на
внешность единичного круга. Тогда при данном отображении в плоскости (z) множеству
F G∞ будет соответствовать ограниченное замкнутое множество E = Φ(F ) в плоскости
(w), дополнение которого связно и содержит круг |w| 1.
Таким образом, 0 ∈
/ E. Тогда из утверждений 1 и 2 следует, что на множестве E существует универсальный ряд
∞
an wλn
(8)
n=0
радиуса сходимости r. Не ограничивая общности, будем считать r > 1. Действительно,
пусть радиус сходимости ряда (8) равен ρ, 0 < ρ 1. Утверждения теорем 1 и 2 будут
существует
= r w, w ∈ E , r > 1. Значит, на множестве E
справедливы для множества E
ρ
универсальный ряд вида (8). Поэтому для произвольной функции g ∈ CA (E) найдется
nk
an wλn , равномерно сходящаяся к g ρr w на E.
последовательность его частичных сумм
n=0
Тогда
g(w) = lim
nk
k→+∞
n=0
an
ρ λn
w
∀w ∈ E
r
и радиус сходимости данного ряда равен r > 1.
В силу леммы 2 ряд
∞
an ωλn (z)
n=0
(9)
6
Л.К. ДОДУНОВА, С.А. САВИХИН
сходится равномерно и абсолютно на множестве F к некоторой аналитической функции
ϕ(z).
Пусть f — произвольная функция из класса CA (F ). Положим
(10)
h(w) = f Φ−1 (w) + ϕ Φ−1 (w) .
По построению h ∈ CA (E). Тогда в силу универсальности ряда (8), существует такая подпоследовательность его частичных сумм, что функцию h(w) можно представить следующим
образом:
nk
an wλn ∀w ∈ E
(11)
h(w) = lim
k→+∞
n=0
(сходимость равномерная). Подставляя (11) в (10), будем иметь
nk
−1
−1
f Φ (w) + ϕ Φ (w) = lim
an wλn ∀w ∈ E.
k→+∞
n=0
В последнем равенстве сделаем замену w = Φ(z). В силу равномерной сходимости ряда
(9) любая подпоследовательность его частичных сумм сходится равномерно на F к ϕ(z).
Тогда в силу равенства (4)
f (z) + lim
k→+∞
nk
an
nk
λ
λ
an Φ(z) n .
Φ(z) n − Φλn (z) = lim
k→+∞
n=0
n=0
Так как ряд (9) сходится абсолютно, то последнее равенство означает
f (z) = lim
k→+∞
nk
an Φλn (z).
n=0
Таким образом, доказано существование универсального ряда для системы {Φλn (z)} на
множестве F . Следовательно, из утверждения 2 получаем, что данная система является
усиленно полной в классе CA (F ).
При доказательстве данной теоремы установлено
Следствие. Для системы функций {Φλn (z)} существует универсальный ряд по этой системе на замкнутом ограниченном множестве F G∞ со связным дополнением.
Замечание. Для случая, когда последовательность {λn } совпадает с множеством целых
неотрицательных чисел, существование универсальных рядов доказано по многочленам
Фабера в работе [5], по обобщенным многочленам Фабера — в работе [6].
Литература
[1] Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент (Наука, М., 1980).
[2] Аракелян Н.У., Мартиросян В.А. Равномерные приближения на комплексной плоскости многочленами
с пропусками, ДАН СССР 235 (2), 249–252 (1977).
[3] Селезнев А.И., Мотова И.В., Волохин В.А. О полноте системы функций и универсальных рядах, Изв.
вузов. Матем., № 11, 84–90 (1977).
[4] Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера (Наука, М., 1984).
[5] Селезнев А.И., Додунова Л.К. О некоторых классах универсальных рядов, Изв. вузов. Матем., № 12,
92–98 (1977).
[6] Додунова Л.К. О сверхсходимости универсальных рядов, Изв. вузов. Матем., № 2, 19–22 (1988).
ПОЛНОТА ПОДСИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ ФАБЕРА
Л.К. Додунова
доцент, кафедра теории функций,
Нижегородский государственный университет,
пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950, Россия,
e-mail: tf@mm.unn.ru
С.А. Савихин
аспирант,
Научно-исследовательский радиофизический институт,
ул. Большая Печерская, д. 25/12а, г. Нижний Новгород, 603950, Россия,
e-mail: SavihinStepan@yandex.ru
L.K. Dodunova and S.A. Savikhin
Completeness of subsystems of Faber polynomials
Abstract. We study the problem of the completeness of special lacunary systems of Faber polynomials.
Keywords: Faber polynomials, complete system of functions, uniform convergence, analytic function, universal series.
L.K. Dodunova
Associate Professor, Chair of Theory of Functions,
Nizhny Novgorod State University ,
23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod, 603950 Russia,
e-mail: tf@mm.unn.ru
S.A. Savikhin
Postgraduate,
Radiophysical Research Institute,
25/12a Bol’shaya Pecherskaya str., Nizhny Novgorod, 603950 Russia,
e-mail: SavihinStepan@yandex.ru
7
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
144 Кб
Теги
многочлен, фабер, подсистемы, полноте
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа