close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Попытка построения математических моделей для прогнозирования динамики социально-экономических систем.

код для вставкиСкачать
В.В. АНДРЕЕВ, Е.Б. ВАСИЛЬЕВА, А.М. СУКОНКИНА
ПОПЫТКА ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Введение. Социально-экономическая сфера относится к сложным системам, для оптимального управления которыми необходимо эффективно воспользоваться большим потоком циркулирующей в ней информации. С этой целью важно построение математических моделей для адекватного описания протекающих в таких системах процессов. Их необходимость заключается в возможности прогнозирования с их помощью тенденций эволюции тех или иных
явлений в обществе. Эффективность любого принятого решения зависит от той
последовательности событий, являющейся следствием данного решения. Прогнозирование при этом является ключевым элементом при принятии тех или
иных решений. Возможность заранее предсказать нежелательные и неуправляемые аспекты последствий принимаемого решения позволяет сделать наиболее оптимальный выбор при управлении социально-экономической системой.
2. Математическая модель 1. Исследуем динамику системы, представленной на рис.1. Она состоит из двух взаимодействующих между собой частей
A и B . Внутренняя область B может увеличиваться за счет захвата участка
области A , еще не занятого B . Будем считать, что скорость расширения
площади области B пропорциональна длине ее границы 2π x 2 и величине
x1 − x 2 , т.е. α (x1 − x 2 ) x 2 . Площадь области A тогда будет уменьшаться с такой же скоростью. Также предположим, что составляющие A и B целостной
системы могут увеличивать свои площади за счет подпитки извне со скоростями β x12 и γ x 22 соответственно. Тогда динамика системы, представленной на
рис.1, описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
x1
x1
A
x2
d x1
= −α (x1 − x 2 )x 2 + β x12 ,
dt
d x2
= α (x 1 − x 2 )x 2 + γ x 22 .
dt
(1)
Подробный математический анализ свойств
модели (1) был проведен в работе [1]. Применим
данную модель для анализа социально-эконоx2
мической ситуации в России.
На рис. 2 представлена динамика выработки
электроэнергии в России (РСФСР) [2]. В модели (1)
через x1 обозначим количество производимой
электроэнергии в год. Такая интерпретация вызваРис. 1. Иллюстрация взаимо- на тем, что развитие электроэнергетики определядействия подсистем A и B
ет во многом уровень промышленного и социального развития страны, который обозначим через x 2 . На рис. 3 представлены
зависимости x1(t ) и x 2 (t ) , полученные численным решением модели (1) (параметры модели подбирались так, чтобы результаты вычисления были близки к
реальным имеющимся данным по выработке электроэнергии за 1913-2005 гг.).
B
Из сравнения рис. 2 и 3 видно, что кривая x1(t ) достаточно хорошо повторяет
динамику производства электроэнергии в России (РСФСР). При этом зависимость x 2 (t ) следует за x1(t ) с некоторым запаздыванием. Это обстоятельство
очевидно, так как, только овладев сначала энергией, можно развивать промышленность, а на ее основе затем – экономику и социальную сферу общества.
Рис. 2. Динамика выработки
электроэнергии в России (РСФСР)
с 1913 по 2005 г., млрд КВт·ч
Рис. 3. Зависимости x1(t) и x2(t) при начальных условиях x1(0)=3.5, x2(0)=3.5;
здесь α=1, γ=0.03, а параметр β задается
формулой β=0.1+0.3(0.06πt)
Из рис. 3 следует, что в настоящее время по уровню промышленного и социального развития Россия находится на кривой роста. Однако, если даже это и
так, но, скорее всего, не в таких масштабах, как следует из рис. 3. Это может
быть объяснено тем, например, что большая часть вырабатываемой в стране
электроэнергии идет не на дальнейшее развитие промышленности. Другим фактором, объясняющим, что наблюдающийся сейчас некоторый подъем промышленности существенно ниже уровня, который следует из расчетов по математической модели (1), может быть то, что в последней не учтен так называемый
«уровень национальной идеи», или «человеческий фактор». Математическая
модель, учитывающая влияние «уровня национальной идеи» на промышленное
и социальное развитие страны, исследована также в данной работе.
3. Математическая модель 2. Рассмотрим систему, состоящую из двух
взаимодействующих элементов X1 и X2. Их численности обозначим соответственно x1 и x2. Предположим, что численность популяции X1 растет пропорционально
произведению x1x2. Это означает, что рост численности популяции X2 способствует повышению численности популяции X1. Кроме того, будем считать, что уменьшение x2 приводит к снижению величины x1 пропорционально − l x 22 + α . Однако
(
)
(
)
с ростом величины x2 влияние фактора − l x + α будет довольно несущественным. Предположим также, что численность популяции X2 уменьшается пропорционально величине x1. В то же время будем считать, что в системе имеется фактор, способствующий возрастанию величины x2 по мере снижения численности
популяции X1 пропорционально m x12 + β . Влияние этого фактора, однако, быстро исчезает с ростом величины x1. Динамика подобной системы описывается
следующей системой дифференциальных уравнений:
d x1
l
d x2
m
= k x1x 2 − 2
,
= 2
− nx1 .
(2)
dt
dt
x2 + α
x1 + β
(
)
2
2
Стационарные решения x1∞ и x 2 ∞ системы дифференциальных уравнений (2) определяются из равенств:
d x1
d x2
= 0,
= 0.
dt
dt
Тогда для определения указанных величин x1∞ и x 2 ∞ получим следующие
уравнения:
l
m
=0, 2
− nx1∞ = 0 .
k x1∞ x2 ∞ − 2
(3)
x2 ∞ + α
x1∞ + β
Второе уравнение системы (3) преобразуем к виду
nx13∞ + βnx1∞ − m = 0 .
(4)
Преобразуем также первое уравнение системы (3):
k x1∞ x 23∞ + αk x1∞ x 2 ∞ − l = 0 .
(5)
Произведем линеаризацию исходной системы дифференциальных уравнений (2) вблизи стационарного состояния x1∞ , x 2 ∞ . Для этого в уравнениях
(
)
системы (2) произведем замены вида: x i = x i∞ + y i , i = 1, 2 .
Тогда, пренебрегая членами второго и более высоких порядков малости, получим следующую линеаризованную систему дифференциальных уравнений:
⎛ 2mx
⎞
⎛
dy 2
dy 1
2lx 2∞ ⎞⎟
1∞
⎜
⎟y .
=
−
+
n
,
(6)
= k x 2∞ y 1 + ⎜ k x1∞ +
y
2 ⎟ 2
2
⎜ x2 + β 2
⎟ 1
⎜
dt
dt
x
+
α
2∞
⎝
⎠
⎝ 1∞
⎠
Составим характеристическое уравнение:
2lx 2∞
k x 2∞ − λ
k x1∞ +
2
2
x 2∞ + α
= 0⇒
(7)
2mx1∞
−
−n
−λ
2
x12∞ + β
(
(
(
)
(
)
)
)
⎛
⎞
2lx 2∞ ⎞⎟⎛⎜ 2mx1∞
⇒ λ2 − λ k x 2∞ + ⎜ k x1∞ +
+ n⎟ = 0 .
2
2
2
2
⎜
⎟
x 2∞ + α ⎟⎠⎜⎝ x1∞ + β
⎝
⎠
Таким образом, корни характеристического уравнения (7) определяются
по формуле:
(
) (
)
⎞
2lx 2∞ ⎞⎟⎛⎜ 2mx1∞
k 2 x 22∞ ⎛⎜
− k x1∞ +
+ n⎟ .
2
2
⎜
⎟
4
x 22∞ + α ⎟⎠⎜⎝ x12∞ + β
⎝
⎠
4. Анализ модели 2. Рассмотрим функцию вида (4)
f1( x ) = nx 3 + βnx − m .
Ее производная равна
df1( x )
= 3nx 2 + βn .
dx
Следовательно, точки экстремума функции (9) находятся так:
β
.
3 x 2 + β = 0 ⇒ x = ±i
3
λ1, 2 =
k x 2∞
±
2
(
) (
)
(8)
(9)
(10)
Таким образом, для неотрицательных коэффициентов β уравнение (9) не
имеет точек экстремума на вещественной оси x . При этом функция (9) монотонно возрастающая, так как
df ( x )
> 0, ∀x ∈ R .
lim {f1 (x )} = ±∞ , 1
dx
x → ±∞
Как следует из выражения (10), условие положительности первой производной не выполняется только при β = 0 в отдельной точке x = 0 , являющейся
точкой перегиба функции (9). Из формулы (9) имеем f1(0) = −m , поэтому алгебраическое уравнение (4) имеет только один вещественный корень x1∞ , который всегда неотрицателен (см. рис. 4). Два других корня уравнения (4) являются комплексно-сопряженными.
Исследуем также функцию вида (5)
f2 ( x ) = k x1∞ x 3 + αk x1∞ x − l ,
(11)
производная которой вычисляется по формуле
df2 ( x )
= 3k x1∞ x 2 + αk x1∞ .
(12)
dx
Из выражения (12) следует, что точки экстремума функции (11) определяются так:
α
.
3 x 2 + α = 0 ⇒ x = ±i
3
Таким образом, функция (11) для неотрицаx1∞
тельных параметров α не имеет точек экстремума на действительной оси x . В случае x1∞ > 0
0
x
-m
уравнение (11) является монотонно возрастающей, так как
df ( x )
lim {f2 (x )} = ±∞ , 2
> 0, ∀x ∈ R .
dx
x → ±∞
Функция (11) ведет себя аналогично функции
(9) (см. рис. 4). При этом f2 (0) = −l и алгебраичеРис. 4. Вид функции f1(x)
ское уравнение (5) имеет только один вещественный корень x 2 ∞ , который всегда неотрицателен.
Следовательно, в общем случае из трех корней уравнения (5) два являются комплексно-сопряженными.
Исследуемая система, описываемая системой дифференциальных уравнений (2), может иметь до девяти различных стационарных состояний x1∞ , x 2 ∞ .
Однако анализ выражений (4), (5), (9)-(12) позволил установить, что только одно
из этих стационарных состояний имеет чисто вещественные координаты.
Из анализа формулы (8) следует, что при x1∞ > 0 и x 2 ∞ > 0 корни характеристического уравнения всегда будут иметь положительную действительную
часть. Следовательно, стационарное состояние с вещественными координатами у системы, описываемой дифференциальными уравнениями (2), является неустойчивым. Это означает, что вещественные решения системы дифференциальных уравнений (2) с течением времени всегда будут «удаляться» от
стационарных состояний (рис. 5, 6).
f1(x)
(
)
а
б
Рис. 5. Зависимости переменных состояния системы x1 и x2 от безразмерного времени t
при начальных условиях x1(0)=2 и x2(0)=1; здесь k=0.1, l=3, m=40, n=0.1, α=0.01, β=0.02,
x1∞=7.3672, x2∞=1.5948, λ1=0.0797+0.6631i, λ1=0.0797–0.6631i
а
б
Рис. 6. Зависимости переменных состояния системы x1 и x2 от безразмерного времени t
при начальных условиях x1(0)=2 и x2(0)=3; все параметры модели те же,
что и на рис. 5.
Следует отметить чувствительность исследуемой модели к изменению
начальных условий. На рис. 5, а и 6, а эта чувствительность в основном проявляется в изменении амплитуды нелинейных колебаний на относительно малых временных интервалах. Однако с возрастанием длительности временного
интервала, на котором происходит эволюция системы, различие возникает и в
характере периодичности процессов в системе (см. рис. 5, б и 6, б). Из рис. 5, б
и 6, б видно, что переменная состояния системы x1 в ходе эволюции совершает несколько нелинейных колебаний примерно одинаковой амплитуды, после чего их амплитуда скачкообразно увеличивается. Этот процесс скачкообразного перехода системы на новый уровень размаха нелинейных колебаний
многократно повторяется (см. рис. 5, б и 6, б).
Если α = β = 0 , то выражения (4) и (5) упрощаются и равновесные (стационарные) состояния системы x1∞ и x 2 ∞ определяются так:
13
⎛ l3 n ⎞
⎟ .
, x2∞ = ⎜
(13)
x1∞
⎜ k3 m ⎟
⎝
⎠
Таким образом, в случае α = β = 0 в системе имеется всего одно равновесное состояние, определяемое формулами (13), а комплексные стационар13
⎛m⎞
=⎜ ⎟
⎝n⎠
ные состояния отсутствуют. При α = β = 0 формула (8) с учетом выражений
(13) примет вид:
13
23
⎧
⎫
⎛ l3 n ⎞
36 3 m n 2 ⎪
k 2 3 ⎪⎛⎜ l 3 n ⎞⎟
⎟
⎜
−
(14)
±
λ1, 2 =
⎨
⎬.
3
⎜3 m ⎟
2 ⎪⎜⎝ 3 m ⎟⎠
k
⎪
⎠
⎝
⎩
⎭
Из соотношения (14) следует, что при α = β = 0 корни характеристического
уравнения в любом случае будут иметь положительную действительную часть,
если все параметры k , l , m и n в модели (2) положительны. Таким образом,
решения системы дифференциальных уравнений в данном случае будут тоже
неустойчивы.
5. Применение модели 2. Обозначим через x1 уровень развития промышленности страны, а через x 2 – уровень общенациональной идеи. Кривые
зависимостей x1(t ) и x 2 (t ) , полученные на основе вычислений в соответствии
с моделью (2), представлены на рис. 7. Здесь довольно сложной проблемой
является измерение величины x 2 . Для сравнения результатов, получаемых из
математической модели (2), с реальными значениями можно опираться на результаты социологических опросов. Однако для подбора параметров модели
(2) необходимо сопоставление результатов расчета с реальными данными за
определенный промежуток времени в прошлом. В этом случае трудно найти
результаты опросов населения, проведенных несколько десятков лет назад с
конкретной необходимой формулировкой вопроса. Можно с некоторой степенью субъективности опереться на сведения из документальной и художественной литературы, а также на кинофильмы. Например, в годы первой мировой войны Россия стала практически неуправляемой: по замечанию В.И. Ленина, «власть валялась на дороге». Старые ценности для населения потеряли
свою актуальность. Произошло свержение царского режима и через некоторое
время к власти пришли большевики. В 1930-1940-е годы народ, особенно молодежь, принял на вооружение идеи построения общества справедливости, и
на основе этих ценностей началось возрождение страны. В 1950-е и в первой
половине 60-х годов также были достигнуты большие успехи в развитии страны, например, запуск первого искусственного спутника Земли и первый полет
человека в космос. После этого со второй половины 1960-х годов начался период «застоя», а затем последовала «перестройка», закончившаяся развалом
страны. В соответствии с описанным ходом событий можно считать, что уровень общенациональной идеи возрастал до середины 1960-х годов, а после
этого пошла на убыль. С этим хорошо согласуется ход кривой x 2 (t ) на рис.7,
рассчитанной из системы дифференциальных уравнений (2). Из рис. 7, б следует, если не предпринимать серьезных усилий, то спад промышленности
(кривая x1(t ) ) в стране будет продолжаться примерно до 2070-х годов. До начала 2000-х годов кривая x1(t ) хорошо согласуется с уровнем производства
электроэнергии (см. рис. 2). Затем на этом рисунке кривая x 2 (t ) испытывает
резкий скачок. Это с некоторой задержкой ведет к скачку кривой x1(t ) . Таким
образом, из этой модели следует, что качественно новый этап развития страны начнется примерно в 2070-е годы. С чем это связано? Возможно с новыми
достижениями в развитии технологий и с приходом в это время нового лидера? Во всяком случае, для получения более точных прогнозов рассмотренная
модель требует дальнейшего уточнения и развития.
а
б
Рис. 7. Зависимости уровней развития промышленности (x1)
и общенациональной идеи (x2) для периода времени от 1913 по 2040 г. (а)
и от 1913 по 2080 г. (б) при начальных условиях x1(0)=2 и x2(0)=1; здесь k=0.002, l=2,
m=6, n=0.008, α=0.01, β=0.2
Из проведенного анализа также можно сделать вывод, что при разработке математических моделей, описывающих динамику эволюции социально-экономических систем, важно учитывать не только объективные факторы, но и субъективные,
объединяемые, например, под названием «уровень общенациональной идеи».
Литература
1. Андреев В.В., Васильева Е.Б. Исследование модельных систем социально-экономической
динамики // Вестник Чувашского университета. 2005. № 1. С. 229- 238.
2. Кузьмин В.И., Галуша А.Н. Тенденции выработки электроэнергии в России // Энергосбережение. 2005. № 5. С. 78-81.
АНДРЕЕВ ВСЕВОЛОД ВЛАДИМИРОВИЧ родился в 1964 г. Окончил Чувашский государственный университет. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры управления
и информатики в технических системах Чувашского университета. Автор более 180 научных
работ, включая 3 учебных пособия и монографию, в области математического моделирования систем.
ВАСИЛЬЕВА ЕКАТЕРИНА БОРИСОВНА родилась 1984 г. Магистрант второго года обучения
кафедры управления и информатики в технических системах Чувашского университета. Автор 3
научных работ в области моделирования социально-экономических систем.
СУКОНКИНА АНАСТАСИЯ МИХАЙЛОВНА родилась в 1985 г. Магистрант первого года
обучения университета «Дубна». Автор 3 научных работ в области моделирования социально-экономических систем.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа