close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространствах в единичном круге.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2010, № 3, c. 102–105
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0031
Ф.Б. ХАБИБУЛЛИН
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ ГОЛОМОФНЫХ ФУНКЦИЙ
В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ
Аннотация. Пусть D — единичный круг комплексной плоскости C, а H — некоторый весовой класс голоморфных в D функций. Получены условия, при которых заданная последовательность точек Λ = {λk }∞
k=1 ⊂ D является последовательностью нулей для голоморфной
функции из H.
Ключевые слова: голоморфная функция, последовательность нулей, весовое пространство
УДК: 517.538
Abstract. Let D be the unit disk in the complex plane C and let H be a certain weight class
of holomorphic functions in D. We establish conditions under which a given sequence of points
Λ = {λk } ⊂ D is the sequence of zeroes of a function from H.
Keywords: holomorphic function, sequence of zeroes, weight space.
Пусть Λ = {λk }, k = 1, 2, . . . , — последовательность точек, возможно повторяющихся,
в единичном круге D := {z ∈ C : |z| < 1} на комплексной плоскости C и Λ не имеет
предельных точек в D; H — некоторый класс голоморфных в D функций. Для подмножества
S ⊂ D через nΛ (S) обозначим число точек из Λ, лежащих в S, т. е. nΛ — мера на D.
Пусть Zerof — последовательность всех нулей голоморфной в D ненулевой функции f ,
пронумерованная с учетом кратности (каждая точка в D считается столько раз, какова
кратность нуля функции f в этой точке); Λ — нулевая последовательность для класса H,
если существует ненулевая функция f ∈ H такая, что Zerof = Λ, т. е. nZerof = nΛ как меры.
Точнее, последовательность Λ называется нулевой подпоследовательностью для класса
H, если существует ненулевая функция f ∈ H, обращающаяся в нуль на Λ в том смысле,
что кратность нуля функции f в каждой точке из D не меньше числа повторений этой
точки в последовательности Λ.
Для подмножества D ⊂ C через ∂D, diam D и dist(S, D) обозначим соответственно границу множества D, диаметр D и евклидово расстояние от S ⊂ C до D. Пространство всех
голоморфных в D функций обозначим через Hol(D).
Пусть M : D → [−∞, +∞). Класс всех функций f ∈ Hol(D), удовлетворяющих оценке
|f (z)| ≤ Cf exp M (z), z ∈ D, где Cf ≥ 0 — постоянная, обозначим Hol(D; M ).
Поступила 16.09.2009
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00046_a).
102
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ ГОЛОМОФНЫХ ФУНКЦИЙ
103
Всюду далее Σ = {Sk } — семейство борелевских предкомпактных непересекающихся
подмножеств Sk в D, k = 1, 2, . . . , для которого каждый круг {z ∈ C : |z| ≤ t} при каждом
t < 1 пересекается лишь с конечным числом подмножеств Sk .
Естественно ожидать (например, результат Ф.А. Шамояна [1], теорема 2.2), что если для
некоторой субгармонической функции p с мерой Рисса νp при достаточно “мелком” покрытии Σ = {Sk } последовательности Λ для каждого Sk ∈ Σ числа nΛ (Sk ) мажорируются в
определенном смысле величинами νp (Sk ), то Λ — последовательность нулей для определенного пространства, близкого к Hol(D; p) или совпадающего с ним. Основные результаты
работы представляют собой явную количественную форму этого наблюдения. Для нашего
исследования привлекается симбиоз результатов из [2] и [3]. Здесь и далее мы почти не останавливаемся подробно на истории вопроса, поскольку она достаточно детально освещена в
работах [2] и [3].
Основной наш интерес будет сосредоточен на классах функций (не обязательно алгебрах!), определяемых достаточно медленно растущими вблизи единичной окружности ∂D
весами p (грубо говоря, медленнее функции z → 1/(1 − |z|) при z → ∂D). Определим еще
два специальных класса функций для произвольных весовых функций M : D → [−∞, +∞).
Через A∞
M обозначим класс функций f ∈ Hol(D), удовлетворяющих для некоторых постоянных cf , Cf ≥ 0 оценке |f (z)| ≤ Cf exp(cf M (z)), z ∈ C. Если M — положительная
функция, то A∞
M — алгебра.
Пространство HM +log определялось в [2] как множество
1 cf всех голоморфных в D функций f , удовлетворяющих ограничению |f (z)| ≤ Cf 1−|z|
exp M (z), z ∈ D, с некоторыми
постоянными Cf , cf ≥ 0.
Всюду ниже p : [0, 1) → [0, +∞) — возрастающая непрерывная справа в нуле функция,
для которой композиция p ◦ exp выпукла на (−∞, 0) и выполнено условие
1
p(t)dt < +∞.
(1)
0
Продолжим ее на D как радиальную функцию p(z) ≡ p(|z|), z ∈ D, сохранив для продолженной функции прежнее обозначение p. Наложенные выше условия на p (без требования
положительности и ограничения (1)) эквивалентны субгармоничности продолженной функции p на D. Меру Рисса продолженной субгармонической функции p обозначим через νp .
Плотность меры Рисса dνp легко выписывается в полярных координатах через изначальную
1
dθ ⊗ d(tp− (t)), z = teiθ , r ≥ 0, где p− — левая
функцию p : [0, 1) → [0, +∞) в виде dνp (z) = 2π
производная, ⊗ — произведение мер. Отсюда для подмножества S ⊂ D в обозначении S(t)
для длины совокупности дуг, образованных пересечением S и окружности {z ∈ D : |z| = t},
1
1
S(t)d(tp− (t)).
если эта длина существует, получим νp (S) = 2π
0
Кроме того, при 0 < ε < 1 будут накладываться и условия вида
1
≤ bp(t) + C, 0 ≤ t < 1,
(2)
1−t
где a, b, C — некоторые постоянные, границы выбора которых будут обусловлены конкретными рассматриваемыми пространствами и методом работы [2].
Простейшими примерами радиальных возрастающих весов p, удовлетворяющих одновременно условиям вида (1) и (2), могут служить
α
1
, z ∈ D;
[L]: при α > 0 логарифмический вес p : z −→ log 1−|z|
1
[P]: при 0 < β < 1 степенной вес p : z −→ (1−|z|)β , z ∈ D.
p (t + ε(1 − t)) + a log
104
Ф.Б. ХАБИБУЛЛИН
Следует отметить, что для алгебр A∞
p с весовыми функциями вида [P], когда β > 1, законченные описания нулевых множеств были получены еще в [1], а для “жестких” пространств
Hol(D; M ), где M — это логарифмический вес из [L] с 0 < α < 1, полное описание нулевых последовательностей было дано К. Сейпом в [4]. В то же время даже для конкретных
пространств и алгебр, определяемых весовыми функциями вида [L] и [P] соответственно с
α ≥ 1 и 0 < β ≤ 1, еще немало открытых вопросов по описанию нулевых множеств.
При a > 0 в обозначении x+ := max{x, 0} для вещественных чисел x введем функцию
1
1
[a]
(1 − t)dp(t), 0 ≤ r < 1.
bp (r) :=
1 − r (r−a(1−r))+
В ее конечности легко убедиться ввиду (1) интегрированием по частям.
Теорема (радиальная). Пусть последовательность точек Λ содержится в объединении
∞
Sk . Тогда
k=1
(Z1 ) если для a = 1 существуют ε, 0 < ε < 1, и b, C ≥ 0, при которых выполнено (2), а
(Sk )
diam Sk
< +∞ и lim sup nνΛp (S
< +∞, то Λ — нулевая последовательность
lim sup dist(S
k ,∂D)
k)
k→∞
k→∞
для алгебры A∞
M с радиальным весом M = p + bp ;
(Z2 ) если для a = 1 при любом b > 1 найдутся ε, 0 < ε < 1, C ≥ 0, при которых
(Sk )
diam Sk
= 0 и lim sup nνΛp (S
< 1, то Λ — нулевая последовавыполнено (2), а lim dist(S
k ,∂D)
k)
k→∞
[6]
k→∞
тельность для класса Hol(D; M ) с функцией
M := cΛ p + BΛ b[6]
p ,
(3)
где некоторые положительные числа cΛ < 1 и BΛ зависят от Λ.
(Z3 ) если при b = 1 для некоторых ε, 0 < ε < 1, C ≥ 0 и a < 0 выполнено (2), сходится
∞
diam Sk
ряд
dist(Sk ,∂D) νp (Sk ) и, кроме того, nΛ (Sk ) ≤ νp (Sk ) при всех достаточно больk=1
ших k, то Λ — нулевая последовательность для класса HM +log c функцией M из
(3), где cΛ = 1, а постоянная BΛ ≥ 0 зависит от последовательности Λ.
[6]
Конечно, можно пытаться уменьшить число 6 в bp , но какого-либо существенного уточнения радиальной теоремы это не дает.
Из радиальной теоремы легко получаются утверждения более явного вида для весов p
вида [L] и [P]. На основе [2]–[3] радиальную теорему можно развить и дальше на классы
из Hol(D), определяемые уже нерадиальными и(или) не положительными мажорантами,
допуская, что множества Sk ∈ Σ пересекаются. По схеме из ([2], § 18), опираясь на [3],
удается получить новые теоремы устойчивости для последовательностей нулей в весовых
классах в единичном круге. Эти результаты будут изложены в подробной версии сообщения.
Литература
[1] Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических
в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН АрмССР. Математика. – 1978. – Т. 13. –
№ 5–6. – С. 405–422.
[2] Хабибуллин Б.Н., Хабибуллин Ф.Б., Чередникова Л.Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. II // Алгебра и анализ. – 2008.
– Т. 20. – № 1. – С. 190–236.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ ГОЛОМОФНЫХ ФУНКЦИЙ
105
[3] Кудашева Е.Г., Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей голомофных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций // Матем. сб. – 2009. – Т. 200. – № 9. –
С. 95–126.
[4] Seip K. An extension of the Blaschke condition // J. London Math. Soc. (2). – 1995. – V. 51. – № 3. – P. 545–
558.
Ф.Б. Хабибуллин
аспирант, кафедра теории функций и функционального анализа,
Башкирский государственный университет,
450007, г. Уфа, ул. Фрунзе, д. 32,
e-mail: khabibullinfb@list.ru
F.B. Khabibullin
Postgraduate, Chair of Function Theory and Functional Analysis,
Bashkir State University,
32 Frunze str., Ufa, 450007 Russia,
e-mail: khabibullinfb@list.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
143 Кб
Теги
круг, пространство, голомофных, функции, нулей, единичного, весовые, последовательность
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа