close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Построение оценок погрешности линеаризации систем конечно-разностных уравнений.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (483)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 514.754
Э.Д. АЛШИБАЯ
ОБ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЯХ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В An+1
Рассмотрено распределение гиперплоскостных элементов в (n + 1)-мерном аффинном пространстве, на котором задано поле оснащающего вектора. Выведены формулы тензоров кручения и кривизны аффинной связности, индуцированной на распределении произвольным полем
нормалей. Изучено строение распределения, когда тензор кривизны, соответствующий полю
нормалей L~ (Li = ;Lik Lk n+1), равен нулю.
1. Пусть на распределении гиперплоскостных элементов, дифференциальные уравнения которого относительно репера нулевого порядка имеют вид
!in+1 = Li ! ; i; j; : : : = 1; n; ; ; : : : = 1; n + 1;
где, вообще говоря, Lij 6= Lji , задано поле оснащающего вектора
+1 + !i = i ! :
~ = i~ei + ~en+1 ; d i + l !li ; i!nn+1
n+1
Дифференциальные уравнения движения репера (M;~e1 ;~e2 ; : : : ;~en ;~en+1 ) имеют вид
dM~ = !i~ei + !n+1~en+1 ;
d~ei = !ik~ek + !in+1~en+1 ;
+1~e :
d~en+1 = !nk+1~ek + !nn+1
n+1
Из этих уравнений получаем уравнения движения репера (M;~e1 ;~e2 ; : : : ;~en ;~ ): 1
dM~ = !i~ei + !n+1~ ;
d~ei = !ik~ek + !in+1~ ;
+1~ :
d~ = i !~ei + !nn+1
Компоненты движения репера (M;~e1 ;~e2 ; : : : ;~en ;~ ) удовлетворяют обычным структурным
уравнениям. В частности,
i ! ^ ! ;
d!i = !k ^ !ki + R
(1)
i ! ^ ! ;
d!ji = !jk ^ !ki + Rj
(2)
i = n+1 i ,
где R
[ ]
i = L i :
Rj
(3)
j [ ]
Из уравнений (1), (2) видно [1], что формы !i, !ji являются слоевыми формами аффинной связности, определяемой на расслоенном многообразии, базой которого является исходное
1 Ось ~en+1
совмещается с вектором
~ .
72
аффинное пространство An+1, а слоями | элементы распределения. Таким образом, каждому оснащающему полю векторов ~ соответствует некоторая (индуцированная) аффинная связность. Формами, определяющими связность, являются формы !i, !ji .
i (3) являются компонентами тензора кривизны, а величины Ri образуКоэффициенты Rj
ют тензор кручения. Тензор, полученный свертыванием по индексам k и m компонент тензора
k , имеет следующее строение:
Rjlm
l = L l :
Rjk = Rjkl
j [k l]
l
Обозначим Rj = Rjln+1 . Величины Rj удовлетворяют дифференциальным уравнениям
+1 = Re ! :
rRj + Rjl !nl +1 ; Rj !nn+1
j
1
При помощи Rj и тензора Rjk строятся величины
Rb i = Ril Rl (Ril Rlj = ji );
+1 + !i = Rb i ! ;
rRb i ; Rbi !nn+1
n+1
которые определяют инвариантное направление, не лежащее в гиперплоскостном элементе.
В качестве оснащающего вектора можно выбрать любую нормаль и для нее изучить связность, индуцированную этой нормалью.
2. Пусть регулярное (в смысле jLij j 6= 0) распределение оснащено полем нормалей
L~ = Li~ei + ~en+1 (Li = ;Lik Lk n+1 );
+1 + !i = Li ! :
rLi ; Li!nn+1
n+1
i (L) = Lj [k Li , Ri
i
Тогда Rjkl
l] jkn+1 (L) = Lj [k Ln+1] , где
Lil = Lik Lmj Lj n+1Lkml ; Lij Ljn+1 l ;
Lin+1 = Lik Lmj Ljn+1 Lkmn+1 ; Lij Ljn+1 n+1 :
Если тензор кривизны, соответствующий полю нормалей L~ , равен нулю, то распределение
имеет следующее строение: все нормали L~ принадлежат одной связке параллельных прямых,
а все элементы распределения, центры которых лежат на одной прямой из этой связки, параллельны между собой.
i = 0 и Ri
i
i
i
Действительно, пусть Rjkl
jkn+1 = 0. Тогда Lj [k Ll] = 0, т. е. Ljk Ll ; Ljl Lk = 0.
Следовательно, Lij = 0. С учетом
Lj[k Lin+1] = 0; т. е. Ljk Lin+1 ; Ljn+1 Lik = 0;
(4)
получаем Lin+1 = 0.
Уравнения движения репера (M;~e1 ;~e2 ; : : : ;~en ; L~ ) принимают вид
+1 L
~:
dM~ = !i~ei + !n+1 L~ ; d~ei = !ik~ek + Lik !k L~ ; dL~ = !nn+1
Из этих уравнений видно, что, во-первых, при смещении центра M в произвольном направлении нормаль L~ переносится параллельно, во-вторых, при смещении центра вдоль нормали
L~ , т. е. при !i = Li !n+1 , элемент переносится параллельно. (Последний факт является характеристическим свойством нормали L~ и был нами установлен ранее [2].)
Наоборот, пусть имеется семейство параллельных прямых и имеется такое распределение,
что его элементы, центры которых расположены на одной и той же прямой, параллельны между
собой. Тогда нормали L~ такого распределения коллинеарны указанным прямым и соответствующий им тензор кривизны равен нулю.
1 В общем случае det kRij k 6= 0.
73
Действительно, пусть ~e = ~en+1 = const определяет параллельное поле прямых, и векторы ~ej
располагаются на параллельных плоскостях: ~ej = ~ej (x1 ; : : : ; xn ). Тогда радиус-вектор центра M
можно записать в виде
M~ = P~ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) + ~exn+1 ;
где вектор P~ (x1; : : : ; xn ) лежит в плоскости, натянутой на ~ei (x1; : : : ; xn). Вычислим
@ P~ dxk + ~e dxn+1 = (ai ~e + a ~e)dxk + ~e dxn+1 = !i~e + !n+1~e;
dM~ = @x
k
i
k i
k
где
!i = aik dxk ;
(5)
!n+1 = ak dxk + dxn+1 :
dxk = (aijk~ei +ajk~e)dxk = !ji ~ei +!jn+1~en+1 . Здесь !ji = aijk dxk , !jn+1 = ajk dxk .
В этом случае d~ej = @x@~e
Отсюда с учетом (5) получаем
j
k
!jn+1 = ajk aeki !i :
Таким образом, формы !jn+1 раскладываются по формам !i, следовательно, Li n+1 = 0. Поэтому
Li = ;Lik Lk n+1 = 0 и вектор L~ = Li~ei + ~en+1 = ~en+1 совпадает с вектором ~en+1 = ~e.
При смещении центра в любом направлении имеем
+1 L
~ = L~ :
dL~ = (Lik !k + Lin+1!n+1 )~ei + !nn+1
Уравнения Lik !k + Lin+1!n+1 = 0 удовлетворяются тождественно. Вследствие этого
Lik = 0; Lin+1 = 0;
i = Lj [ Li = 0.
и соответствующий тензор кривизны обращается в нуль: Rj
]
Литература
1. Лаптев Г.Ф.
// Тр. 4-го Всесоюзн.
матем. съезда. Т. 2. { Л.: Наука, 1964. { С. 226{233.
2. Алшибая Э.Д.
// Тр. Геометрич. семин. ВИНИТИ АН СССР. { 1974. { Т. 5. { С. 169{192.
Многообразия, погруженные в обобщенные пространства
К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном про-
странстве
Тбилисский государственный
Поступила
21.06.2001
университет
74
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
105 Кб
Теги
построение, уравнения, разностные, линеаризации, система, погрешности, оценок, конечно
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа