close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Построение параметризованных решений линейных операторных уравнений на основе модифицированного метода Галеркина.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (436)
УДК 518 : 517.948
Ю.Г. БУЛЫЧЕВ
ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО
МЕТОДА ГАЛЕРКИНА
При решении широкого класса прикладных задач возникает необходимость
построения так называемых параметризованных (известных с точностью до параметров) аналитических решений, которые с допустимой погрешностью удовлетворяют рассматриваемым
операторным уравнениям для заданных областей возможных значений характерных параметров исследуемых задач.
Ниже излагается единый подход к построению параметризованных аналитических решений
линейных операторных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.),
в основу которого положена непрерывная зависимость решений от параметров и впервые опубликованная в статьях [1], [2], [3] идея использования опорных решений. Развитие теории осуществляется в новой проективно-параметрической постановке, являющейся обобщением теории
проекционных методов типа Галеркина [4]{[7] на рассматриваемый автором случай.
2. Проективно-параметрическая постановка задачи. Пусть имеются два нормированных пространства X и Y и в каждом из них выделено полное подпространство Xe X и Ye Y .
e !), проектирующий Y на
Будем предполагать, что имеется непрерывный линейный оператор (
Ye , а также линейное операторное уравнение (которое по аналогии с [4] будем называть точным)
K1 (! )x(! ) G(! )x(! ) ; T (! )x(! ) = y (! ); x 2 X; y 2 Y;
(1)
где G(!) и T (!) | непрерывные линейные параметризованные операторы, отображающие X в Y
и зависящие от вещественного векторного параметра ! 2 RM (
| открытая ограниченная
связная область, M 2 f1; 2; : : : g), | константа.
Кроме того, относительно оператора G(!) для всех ! 2 будем предполагать
1) оператор G(!) имеет непрерывный обратный;
2) оператор G(!) устанавливает взаимно однозначное соответствие между Xe и Ye , т. е.
e = Ye , и, следовательно, G;1 (!)Ye = Xe .
G(! )X
Наряду с (1) рассмотрим приближенное уравнение
f1 (!)xe(!) G(!)xe(!) ; Te(!)xe(!) = (
e !)y(!);
K
(2)
1. Введение.
где Te(!) | непрерывный линейный параметризованный оператор из Xe в Ye .
Введем для всех ! 2 следующие условия:
1) для всякого xe(!) 2 Xe имеет место неравенство
e !)T (!)xe(!) ; Te(!)xe(!)k 0 kxe(!)k;
k(
2) для каждого x(!) 2 X найдется такое ye1 (!) 2 Ye , что
kT (!)x(!) ; ye1(!)k 1kx(!)k;
21
(3)
(4)
3) существует такой элемент ye2 (!) 2 Ye , что
ky(!) ; ye2(!)k 2ky1(!)k:
(5)
Несложно показать, что при сделанных предположениях изучение уравнений (1) и (2) сводится
к изучению следующих уравнений | точного
K (! )x(! ) G;1 (! )K1 (! )x(! ) x(! ) ; G;1 (! )T (! )x(! ) = G;1 (! )y (! )
(6)
и соответствующего ему приближенного
f(!)xe(!) G;1 (!)K
f1 (!)xe(!) xe(!) ; G;1 (!)Te(!)xe(!) = G;1 (!)(
e !)y(!):
K
(7)
Пусть теперь имеется последовательность приближенных уравнений и полученных с их
f(!) = Kn (!),
помощью приближенных решений. Введем следующие обозначения Xe = Xn , K
e
e
T (! ) = Tn (! ), (! ) = n (! ), где n = 1; 2; : : : В этом случае вместо (6) и (7) можно ограничиться более компактной и удобной на практике формой представления точного и приближенного
уравнений | точное
K (! )x(! ) x(! ) ; F (! )x(! ) = f (! ); x 2 X;
(8)
и приближенное
Kn (! )xn (! ) xn (! ) ; Fn (! )xn (! ) = Pn (! )f (! ); xn 2 X;
(9)
где
F (! ) = G;1 (! )T (! );
f (! ) = G;1 (! )y1 (! );
Fn (! ) = G;1 (! )Tn (! ); Pn (! ) = G;1 (! )n (! )G(! ):
Зададим теперь последовательность fZn g полных пространств Zn , которые в частном случае
могут совпадать с замкнутыми подпространствами Xn пространства X . Будем считать, что в
полном пространстве Xn X определен непрерывный линейный параметризованный оператор
Hn (! ), отображающий Xn взаимно однозначно на полное пространство Zn . В силу его непрерывности и полноты следует непрерывность обратного оператора Hn;1 (!) для всех ! 2 . Полагаем
также существование непрерывного линейного оператора He n (!), являющегося продолжением
оператора Hn (!) на все X , т. е. He n (!) отображает X на Zn и совпадает с Hn (!) на Xn для всех
! 2 .
Пусть непрерывный линейный оператор Pn (!) проектирует X на Xn , при этом P 2 (!)X = Xn ,
e n (!) можно принять He n (!) = Hn (!)Pn (!),
Pn2 (! ) = Pn (! ), где ! 2 . В этом случае в качестве H
;
1
e
откуда Pn (!) = Hn (!)Hn (!).
Ввиду наличия взаимнооднозначного соответствия между элементами пространств Xn и Zn
вместо (9) можно рассматривать другое приближенное уравнение
e n (!)f (!)
Ln (! )zn (! ) zn (! ) ; Bn (! )zn (! ) = H
(10)
с непрерывным линейным оператором Bn (!), действующим в пространстве Zn . При этом
Bn (! ) = Hn (! )Fn (! )Hn;1 (! ), Ln (! ) = Hn (! )Kn (! )Hn;1 (! ).
Если найдено точное решение z n (!) 2 Zn уравнения (10), то в качестве приближенного
решения уравнения (8) следует принять xn (!) = Hn;1 (!)z n (!), где xn (!) 2 Xn , ! 2 . В случае,
когда Zn = Xn , т. е. Hn (!) рассматривается в качестве единичного оператора, уравнения (9) и
(10) а также их решения совпадают.
В области RM зададим совокупность точек (узлов) f!(i) g, где !(i) = (!(i)1 ; : : : ; !(i)M ),
i = 1; 2; : : : ; N , N = N (n), N 2 f1; 2; : : : g. Поставим в соответствие набору f!(i) g семейство
fz n(!(i))g частных решений уравнения (10) так, что
e n (!(i) )f (!(i) ):
Ln (!(i) )z n (!(i) ) z n (!(i) ) ; Bn (!(i) )z n (!(i) ) = H
22
Данные решения (которые по аналогии с [1], [2], [3] будем называть опорными) строятся заранее
с использованием высокоточных численных методов и могут храниться в памяти ЭВМ.
Требуется на базе данного семейства построить приближенное параметризованное решение
zbn (! ) 2 Zn уравнения (10), которое можно было бы использовать для нахождения приближенного решения xbn (!) = Hn;1 (!)zbn (!) исходного операторного уравнения (8). При этом должно
выполняться неравенство
kx (!) ; xbn(!)k = kx (!) ; Hn;1(!)zbn (!)k ; xbn 2 X; ! 2 ;
где x (!) | точное параметризованное решение уравнения (8), | положительная постоянная.
Очевидно, количество и порядок расположения указанных выше узлов f!(i) g зависят от
типа используемых нормированных пространств, выбора области RM , свойств точного и
приближенного уравнений, а также требуемой точности построения приближенного параметризованного решения уравнения (8).
По аналогии с (3), (4) и (5) пространства X , Zn и операторы F (!), Bn (!) для всех ! 2 свяжем следующими условиями:
1) для любого xn (!) 2 Xn
kBn (!)Hn(!)xn (!) ; He n(!)F (!)xn (!)k enkxn (!)k;
(11)
2) для любого x(!) 2 X найдется элемент xn (!) 2 X такой, что
kF (!)x(!) ; xn (!)k "nkx(!)k;
(12)
3) при некотором fn(!) 2 Xn
kf (!) ; fn(!)k nkf (!)k;
(13)
где константа n , в отличие от констант en и "n , в общем случае зависит от f (!).
Применительно же к задаче (8), (9), когда в качестве приближенного решения уравнения (8) рассматривается точное решение уравнения (9), вместо условия (11) используется новое условие: для любого xn (!) 2 Xn имеем kPn (!)F (!)xn (!) ; Fn (!)xn (!)k n kxn (!)k, где
n = en kHn;1 (! )k. Условия (12), (13) не затрагивают операторов Fn (! ) и Pn (! ), поэтому применительно к уравнению (9) не изменяются.
3. Построение параметризованных решений. Допустим, что для семейства опорных
решений fz n (!(i) )g (где z n (!(i) ) 2 Zn ) справедливы представления
2 RM ;
u i 2 U RK ; i = 1; 2; : : : ; N; K = K (n); K 2 f1; 2; : : : g;
(14)
где 'n | отображение, непрерывное в каждой из точек (!; u) 2 U , U | ограниченное открытое связное множество; u i = (u i ; : : : ; u i K ) | вектор с вещественными коэффициентами.
Для фиксированного k 2 f1; 2; : : : ; K g поставим в соответствие семейству узлов ! ; : : : ; ! N
z n (!(i) ) = 'n (!(i) ; u(i) );
!(i)
( )
( )
( )1
( )
(1)
(
)
набор коэффициентов u(1)k ; : : : ; u(N )k . Проведем интерполяцию данного набора, сопоставив ему
скалярную вещественную функцию ubk (!) известного класса со значениями в R1 , непрерывную
по ! 2 [8], [9], [10]:
ubk (! ) = (!; vk ); vk 2 Vk RN ; ! 2 RM ;
(15)
где компоненты вектора vk = (v(1)k ; : : : ; v(N )k ) находятся путем решения следующей системы
(как правило, линейной) алгебраических уравнений:
ubk (!(i) ) = (!(i) ; vk ) = u(i)k ; i = 1; 2; : : : ; N; k 2 f1; 2; : : : ; K g:
(16)
Здесь и далее полагаем, что соответствующие интерполяционные задачи разрешимы и имеют единственное решение. Теперь по аналогии с (15), (16) проводится интерполяция для всех
23
= 1; 2; : : : ; K , т. е. находится совокупность параметризованных коэффициентов fubk (!)g, непрерывных по параметру ! 2 . С учетом этого приближенное параметризованное решение
уравнения (10), справедливое для всех ! 2 , может быть представлено в виде
b(!) 2 U; zbn (!) 2 Zn ;
zbn (! ) = 'n (!; ub(! )); u
(17)
где ub(!) = (ub1 (!); : : : ; ubK (!)) | векторная функция со значениями в RK непрерывная в .
Очевидно выполнение следующих характеристических свойств:
ub(!(i) ) = u(i) ; zbn (!(i) ) = 'n (!(i) ; ub(i) ) = 'n (!(i) ; u(i) ) = z n (!(i) ); i = 1; 2; : : : ; N:
Данные свойства показывают, что построенное параметризованное решение (17) совпадает с
опорными решениями семейства fz n (!(i) )g при фиксированных узлах интерполяции f!(i) g, где
!(i) 2 , i = 1; 2; : : : ; N .
По аналогии с (17) для точного решения уравнения (10) можно воспользоваться представлением
z n (! ) = 'n (!; u(! )); u(! ) 2 U; z n (! ) 2 Zn ;
(18)
где u(!) = (u1 (!); : : : ; uK (!)), при этом u(!(i) ) = u(i) , i = 1; 2; : : : ; N .
Если построено приближенное решение zbn (!) уравнения (10), то в качестве приближенного
решения xbn (!) уравнения (8) следует принять xbn (!) = Hn;1 (!)zbn (!), где xbn (!) 2 Xn . Оценка
близости приближенного решения xbn (!) уравнения (8) к точному решению x (!) устанавливается
в следующей теореме.
Теорема 1. Если выполнены условия (11), (12) и (13), существует непрерывный оператор
;
1
Ln (! ) и уравнение (8) имеет непрерывное в области точное решение x(! ), то и приблиbn (!) также непрерывно в области , и для всех ! 2 справедлива оценка
женное решение x
k
kx (!) ; xbn(!)k = kx (!) ; Hn; (!)zbn (!)k penkx (!)k + kHn; (!)k k'n (!)k;
(19)
'n (!) = 'n (!; u(!)) ; 'n (!; ub(!)); 'n (!) 2 Zn ;
(20)
1
1
где
= [1 + jj"n + n kK (!)k]jjen kHn;1 (!)L;n 1 (!)k +
+ [jj"n + n kK (!)k][1 + kHn;1 (!)L;n 1 (!)He n (!)K (!)k]: (21)
Доказательство. В силу условий теоремы согласно [4] для фиксированного ! 2 справедлива оценка
kx (!) ; xn(!)k = kx (!) ; Hn;1(!)z n(!)k penkx (!)k;
(22)
где константа pen определяется в соответствии с (21), а функция xn (!) является непрерывной в
области . Далее, с учетом неравенства треугольника
kx (!) ; xbn(!)k kx (!) ; xn(!)k + kxn(!) ; xbn(!)k;
откуда, принимая во внимание (17), (18) и (22), получаем
pen
kx (!) ; xbn(!)k = kx (!) ; Hn; (!)zbn (!)k penkx (!)k + kHn; (!)'n (!; u(!)) ; Hn; (!)'n (!; ub(!))k: (23)
1
1
Xn
1
Так как линейный непрерывный оператор Hn (!), действующий из банахова пространства
взаимно однозначно на банахово пространство Zn , имеет непрерывный (а следовательно,
24
ограниченный) обратный оператор Hn;1 (!), то с учетом (20) можно воспользоваться очевидным
неравенством
kHn;1 (!)'n (!; u(!)) ; Hn;1(!)'n (!; ub(!))k kHn;1(!)k k'n (!; u(!)) ; 'n (!; ub(!))k = kHn;1(!)k k'n (!)k; ! 2 :
Отсюда с учетом (23) приходим к оценке (19).
На основании данной теоремы легко получить оценку приближенного
и точного решений, не
использующую данных, относящихся к точному решению x(!) 2 X
kx (!) ; xbn(!)k 1 ;penpe kxbn (!)k + kHn;1 (!)k k'n (!)k; pe < 1; ! 2 :
n
При заданном N и оптимальном расположении узлов интерполяции f!(i) g в области (по
аналогии с [1], [2], [3]) величина kx (!) ; xbn (!)k достигает наименьшего значения
sup f!inf g kx (!) ; xbn (!)k sup f!inf g[pen kx (!)k + kHn;1 (!)k k'n (!)k] :
!
(i)
!
(i)
Условия сходимости последовательности fxbn (!)g к точному решению x (!) уравнения (8)
устанавливает
Теорема 2. Если оператор K (! ) имеет непрерывный обратный, и при каждом n = 1; 2; : : :
выполнены условия (11), (12) и (13), причем
lim en kHn (!)k = lim "n kHn;1 (!)He n (!)k = lim n kHn;1 (!)He n (!)k = 0
при n ! 1 и lim kHn;1 (! )k k'n (! )k = 0 при n; N; K ! 1, то при достаточно больших n
bn (!)g к точному
для всех ! 2 имеет место сходимость последовательности решений fx
решению x(! ) и справедлива оценка
kx (!) ; xbn(!)k cn0 enkHn;1 (!)k + cn1 "nkHn;1 (!)He n(!)k +
+ cn2 n kHn;1 (!)He n (!)k + kHn;1 (!)k k'n (!)k:
Доказательство теоремы 2 непосредственно следует из неравенства треугольника и соответствующих оценок, приведенных в [4]. Соотношение lim kHn;1 (!)k k'n (!)k = 0 при n; N; K ! 1
указывает на то, что методы интерполяции, используемые при построении параметризованного
решения xbn (!), являются сходящимися.
Замечание 1. При построении параметризованных решений операторных уравнений описанным выше способом вместо рассмотренных выше процедур интерполяции могут использоваться известные процедуры аппроксимации (приближения). Очевидно, что в этом случае отмеченные ранее характеристические свойства могут не выполняться, при этом в качестве k'n (!)k
рассматриваются нормы соответствующих остаточных членов аппроксимации.
Замечание 2. Если рассмотренный выше подход к построению параметризованных решений применяется непосредственно к уравнению (9), то необходимо поставить в соответствие набору узлов f!(i) g семейство fx n (!(i) )g опорных решений этого уравнения. По аналогии с (14){(18)
точное и приближенное решения уравнения (9) можно представить в виде x n (!) = n (!; (!)),
xbn (! ) = n (!; b(! )), где b(! ) = ( b1 (! ); : : : ; bK (! )), bk (! ) = (!; wk ), wk 2 Wk RN ,
k 2 f1; 2; : : : ; K g. Здесь компоненты вектора wk = (w(1)k ; : : : ; w(N )k ) находятся из системы уравнений bk (!(i) ) = (!(i) ; wk ) = (i)k , i = 1; 2; : : : ; N , k 2 f1; 2; : : : ; K g. Для оценки близости x (!)
и xbn (!) можно воспользоваться оценкой kx (!) ; xbn (!)k pn kx (!)k + kn (!)k, где n(!) =
n (!; (! )) ; n (!; b(! )), pn = 2jjn kKn;1 (! )k + [jj"n + n kK (! )k][1 + kKn;1 (! )Pn (! )K (! )k].
25
4. Параметризованные решения метода Галеркина. Остановимся подробнее на важном
для практики случае, когда Zn = Xn , а в качестве Fn (!) рассматривается оператор Pn (!)F (!),
что позволяет перейти от (9) к новому приближенному уравнению
Kn (! )xn (! ) xn (! ) ; Pn (! )F (! )xn (! ) = Pn (! )f (! ):
(24)
Очевидно, что в этом случае можно положить en = 0, и, следовательно, формулировки приведенных выше теорем упрощаются.
Пусть Xn | конечномерное (размерности n) пространство X . Каждый элемент xn (!) 2 Xn
с учетом второго замечания по аналогии с (18) единственным образом представим в форме (при
этом K = n)
n
X
xn (! ) =
(25)
k (! )k ; k 2 Xn ;
k=1
где (!) = ( 1 (!); : : : ; n (!)) | вектор искомых параметризованных коэффициентов, а совокупность fk g образует базис в Xn .
Рассмотрим полную в Xn систему fQj (!)g линейных параметризованных функционалов
Qj (! ) таких, что из равенств Qj (! )xn (! ) = 0, j = 1; 2; : : : ; n, следует xn (! ) = 0. В этом случае вместо (24) можно ограничиться рассмотрением системы равенств
Qj (! )Pn (! )K (! )xn (! ) = Qj (! )Pn (! )f (! ); j = 1; 2; : : : ; n:
Разыскивая решение уравнения (24) в форме (25), приходим к параметризованной системе линейных алгебраических уравнений метода Галеркина а абстрактной форме (по аналогии с [4],
[5])
n
n
X
X
k (! )Qj (! )k ; k (! )Qj (! )Pn (! )F (! )k = Qj (! )Pn (! )f (! ); j = 1; 2; : : : ; n: (26)
k=1
k=1
Если система функционалов fQj (!)g биортогональна базису fk g, то с учетом (26) получаем
n
X
(
!
)
;
j
k (! )Qj (! )Pn (! )F (! )k = Qj (! )Pn (! )f (! ); j = 1; 2; : : : ; n:
k=1
В частности, если X | гильбертово пространство, а Pn (!) | оператор ортогонального проектирования, то, предполагая систему fk g ортонормальной, имеем
n
X
(27)
j (! ) ; k (! )hF (! )k ; j i = hf (! ); j i; j = 1; 2; : : : ; n;
k=1
где h; i | символ скалярного произведения.
Решая систему уравнений (27) относительно f k (!)g для совокупности узлов f!(i) g (где
i = 1; 2; : : : ; N ), найдем семейство опорных решений fxn (!(i) )g уравнения (24), которое с учетом второго замечания по аналогии с (14) может быть представлено в виде fx n (!(i) ) = (Ti) g,
где = (1 ; : : : ; n ) | вектор базисных функций, (i) = ( (i)1 ; : : : ; (i)n ) | вектор искомых коэффициентов, которые находятся из (27) для узла !(i) 2 , при этом (i)k = k (!(i) ), k = 1; 2; : : : ; n;
T | символ транспонирования.
По аналогии с (15), (16) с учетом второго замечания можно воспользоваться следующей
интерполяцией:
N
bk (!) = X w(j)k (j) (!); k = 1; 2; : : : ; n;
(28)
j =1
26
где совокупность коэффициентов w(1)k ; : : : ; w(N )k для фиксированного k находится как решение
системы уравнений
N
bk (!(i) ) = X w(i)k (j) (!(i) ) = (i)k ; i = 1; 2; : : : ; N:
(29)
j =1
Приближенное параметризованное решение уравнения (24) может быть представлено в виде
xbn (! ) = b T (! ), где b(! ) = ( b1 (! ); : : : ; bn (! )). При этом xbn (!(i) ) = b T (!(i) ) = (Ti) = xn (!(i) ),
i = 1; 2; : : : ; N . Если в качестве точного решения уравнения (24) принять xn (! ) = T (! ), то с
учетом второго замечания kx (!) ; xbn (!)k pn kx (!)k + k T (!)k, где (!) = (!) ; b(!),
pn = [jj"n + n kK (! )k][1 + kKn;1 (! )Pn (! )K (! )k].
Можно воспользоваться несколько иным подходом к построению параметризованного решения xbn (!) по сравнению с рассмотренным выше. Для этого представим xbn (!) в следующем
виде
N X
n
X
xbn (! ) =
w(j )k (j ) (! )k :
(30)
j =1 k=1
Задавшись совокупностью узлов f!(i) g, составим с учетом (27) и (30) систему линейных алгебраических уравнений относительно массива fw(j)k g искомых коэффициентов w(j)k
N
n X
N
X
X
w(p)j (p) (!(i) ) ; w(d)k (d) (!(i) )hF (!(i) )k ; j i =
p=1
k=1 d=1
= hf (!(i) ); j i; j = 1; 2; : : : ; n; i = 1; 2; : : : ; N: (31)
Предполагается, что при выбранной совокупности узлов f!(i) g система (31) не вырождена.
5. Пример. По аналогии с [4] рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения
2P
X
x(2P ) (!; t) ; pr (!; t)x(2P ;r) (!; t) = y (!; t); t 2 [a; b] R1 ; ! 2 [c; d] R1
(32)
r=1
при однородных краевых условиях
x(r) (!; a) = x(r) (!; b) = 0; r = 0; 1; : : : ; P ; 1;
(33)
где для фиксированного ! 2 выполняется следующее: x(!; t) 2 X = C (2P ) [a; b], pr (!; t) 2
C (1) [a; b], y (!; t) 2 Y = C (1) [a; b]. Будем рассматривать уравнение (32) как функциональное в пространстве 2P -непрерывно дифференцируемых по t функций x(!; t), удовлетворяющих краевым
условиям (33). В этом случае с учетом (1) имеем x(!) = x(!; t), G(!) = G, Gx(!; t) = x(2P ) (!; t),
2P
X
T (! )x(!; t) =
pr (!; t)x(2P ;r) (!; t):
r=1
Полагаем также, что выполняются
условия теоремы о неявной функции, обеспечивающие требуемую гладкость решения x (!; t) задачи (32), (33) по параметру ! в замкнутом шаре = [c; d].
За Xn примем (с учетом (25)) множество функций вида
n
n
X
X
k;1 =
xn (!; t) = (t ; a)P (b ; t)P
(
!
)
t
(34)
k
k (! )k (t);
k=1
k=1
так что краевые условия (33) удовлетворяются автоматически.
Если воспользоваться интерполяционным методом (иначе методом совпадения (коллокации)
[4]), то коэффициенты (i)k = k (!(i) ), k = 1; 2; : : : ; n, соответствующие i-му опорному решению
27
xn (!(i) ; t), могут быть найдены из условия удовлетворения уравнения (32) в некоторой заданной
системе точек (узлов) коллокации t1 ; t2 ; : : : ; tn
P)
x(2
n (!(i) ; tj ) ; 2P
X
r=1
pr (!(i) ; tj )x(2P ;r) (!(i) ; tj ) = y (!(i) tj );
j
= 1; 2; : : : ; n:
(35)
Решая систему (35) для каждого i 2 f1; 2; : : : ; N g, поставим в соответствие набору f!(i) g
семейство fx n (!(i) ; t)g частных решений уравнения (2), которое в нашем случае принимает слеe !). Отодующий вид: Gxn(!) ; n T xn(!) = n y(!), где xn (!) = xn (!; t), xn (!) = xe(!), n = (
бражение n пространства Y на Ye = Yn определим, принимая в качестве yn (!; t) = n y(!; t) для
фиксированного ! интерполяционный полином (n ; 1)-й степени, имеющий в узлах t1 ; t2 ; : : : ; tn
те же значения, что и y(!; t).
По аналогии с [1]{[3], используя интерполяцию на основе многочлена Лагранжа с учетом
(28), (29) имеем
N
N
bk (!) = X w(j)k (j) (!) = X (j)k L(j) (!);
(36)
j =1
где
w(j )k
L(j ) (! ) =
bk (!(i) ) =
N
X
j =1
=
j =1
j k;
( )
(j ) (! ) = L(j ) (! );
! ; !(s)
;
s=1 !(j ) ; !(s)
N
Y
!(j ) ; !(s)
s6=j
j k L(j ) (!(i) )
( )
=
j k;
( )
2 = [c; d];
i = 1; 2; : : : ; N; k = 1; 2; : : : ; n:
Таким образом, в силу (34), (36) приближенное параметризованное решение краевой задачи
(32), (33) имеет вид
n
N
N
X
X
Y
! ; !(s)
xbn (!; t) = (t ; a)P (b ; t)P
tk;1
;
(37)
(j )k
! ;!
k=1
j =1
s=1
j
( )
s
( )
при этом xbn (!(i) ; tr ) = x n (!(i) ; tr ), i = 1; 2; : : : ; N , r = 1; 2; : : : ; n.
Применительно к данному примеру условия (3), (4) и (5) выполнены соответственно с константами 0 = 0, 1 = O(1=n) и 2 = O(1=n), если вспомнить, что по условию y(!; t) | дважды
непрерывно дифференцируемая (по t) функция. В случае, когда узлы ftr g чебышевские, справедливо kx (!; t) ; x n (!; t)k = O(ln n=n).
По аналогии с [2], [3] для оценки погрешности интерполяции можно воспользоваться неравенством
N
Y
j k (!) ; bk (!)j QNN! j! ; !(i)j; ! 2 [c; d];
(38)
i=1
при этом узлы f!(i) g являются чебышевскими, т. е.
2i ; 1 d+c d;c
!(i) =
;
cos
2
2
2N ;
то
N
Y
(d ; c)N
j
! ; !(i) j = 2N ;1 :
max
!2[c;d]
2
i=1
28
Таким образом, с учетом (34), (37) и (38) имеем оценку
jxn(!; t) ; xbn(!; t)j j(t ;
при этом jxn (!; t) ; xbn (!; t)j ! 0 при n; N
равномерная сходимость
max
jx (!; t) ; xbn(!; t)j ! 0;
t;!
;
QN (d
t)P
n
; c)N X
jtjk;
j N ! 2 N;
k
! 1 для всех ! 2 [c; d] и t 2 [a; b]. Таким образом,
a)P (b
1
2
1
=1
t 2 [a; b]; ! 2 [c; d];
при n; N ! 1, с учетом свойств гладкости приближенного и точного решений задачи (32),
(33), следует из сходимости метода коллокации и сходимости метода интерполяции многочлена
Лангража.
Литература
1. Булычев Ю.Г. Метод опорных интегральных кривых решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1988. { Т. 28. {
Є 10. { С. 1482{1490.
2. Булычев Ю.Г. Методы численно-аналитического интегрирования дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1991. { Т. 31. { Є 9. { С. 1305{1319.
3. Булычев Ю.Г. Численно-аналитическое интегрирование дифференциальных уравнений с использованием обобщенной интерполяции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1994. {
Т. 34. { Є 4. { С. 520{532.
4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. { 3-е изд. { М.: Наука, 1984. { 752
с.
5. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. Приближенное решение операторных
уравнений. { М.: Наука, 1969. { 455 с.
6. Вайникко Г.М. Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных методов
для нелинейных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1967. { Т. 7. { Є 4. {
С. 723{751.
7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. { 2-е изд., перераб. и доп.
{ М.: Наука, 1970. { 512 с.
8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. { 3-е изд., перераб. и доп. { М.: Наука,
1966. { 632 с.
9. Бабенко К.И. Основы численного анализа. { М.: Наука, 1986. { 744 с.
10. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ. пособие. { Киев: Наук. думка, 1986. {
582 с.
Ростовское высшее военное
командно-инженерное
училище ракетных войск
Поступили
первый вариант
окончательный вариант
12.02.1996
02.12.1996
29
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа