close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Почти вполне разложимые группы без кручения конечного ранга с элементарным фактором.

код для вставкиСкачать
УДК 512.541
А.С. Тверетин
ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ КОНЕЧНОГО РАНГА
С ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ФАКТОРОМ
Изучаются почти вполне разложимые группы G конечного ранга, у которых типы слагаемых ранга 1 попарно несравнимы.
Любая такая группа обладает единственным полным квазиразложением A. Рассматривается вопрос о количестве почти вполне
разложимых групп G с заданным полным квазиразложением A, для которых G/A изоморфно прямой сумме групп Z(p).
Абелева группа без кручения конечного ранга называется квазиразложимой, если она содержит разложимую в прямую сумму подгруппу такую, что факторгруппа по ней конечна. В противном случае группа
называется сильно неразложимой. Любая квазиразложимая группа G конечного ранга обладает такими подn
группами
A = ⊕ Ai , что каждая подгруппа Ai сильно
i =1
неразложима и сервантна в G, а фактор-группа G/A=T –
конечная группа. Всякая такая подгруппа A называется
полным квазиразложением группы G. Известно [1], что
если группы Ai, i = 1, …,n, образуют жёсткую систему
(в том смысле, что Hom(Ai, Aj) = 0, i ≠ j, i, j = 1,…,n), то
группа A будет единственным полным квазиразложением группы G. Следовательно, фактор-группа также
определяется однозначно. Естественно поставить вопрос о количестве различных групп G с фиксированным полным квазиразложением A и фиксированной
группой T. Согласно [1], всякую такую группу назовём
(A,T)-группой. Все обозначения и терминология стандартны и взяты из [2, 3].
В [4, 5] определено количество вышеуказанных
групп G в случае, когда группа A является вполне разложимой (такая группа G называется почти вполне разложимой), а группа T – циклическая группа порядка pm. В
данной работе изучается вопрос о количестве групп G в
случае, когда A по-прежнему вполне разложима, а T –
элементарная p-группа ранга k, т.е. T ≅ ⊕ Z ( p ) .
k
Будем предполагать, что каждая Ai не p-делима; в
противном случае она выделяется из G прямым слагаемым [1]. В дальнейшем предполагаем, что все Ai не
p-делимы. Тогда можно зафиксировать в каждой группе Aj элемент aj0 ∈ Aj\pAj, т.е. не делящийся на p.
В силу включения pG⊂A⊂G можно записать pgi =
= ai1+...+ain, i = 1, ...,k, где aij∈Aj. Далее a ij = s ij a 0j + paij ,
a ij ∈ A j ,
откуда
n
n
j =1
j =1
n
n
j =1
j =1
pg i = ∑ s ij a 0j + ∑ pa ij
или
p( g j − ∑ a ij ) = ∑ s ij a 0j . Поскольку в качестве образуюn
щих можно выбрать g i ' = g i − ∑ a ij , то можно считать
j =1
все a ij = 0 . Обозначим через S матрицу (sij). Таким образом, каждой группе G соответствует целочисленная матрица размера k×n при фиксированной в ней вполне разложимой подгруппе A конечного индекса, в частности
полном квазиразложении.
Теперь выполним обратное построение: целочисленной матрице размера k×n сопоставим группу. Вос-
пользуемся тем, что каждую абелеву группу можно
вложить в её делимую оболочку. Вложим A в ⊕nQ, выn
берем элементы g i = p −1 ∑ s ij a 0j и построим группу
j =1
G = A, g 1 , … g k . Эта группа квазиравна A и, следовательно, имеет ранг n. Однако мы ещё не показали ни
то, что фактор-группа G / A ≅ ⊕ Z ( p) , ни то что A явk
ляется квазиразложением, т.е. все Aj в ней сервантны.
Установим, при каких условиях это выполняется.
Коэффициенты sij определены с точностью до модуля p; мы выберем 0, 1, ..., p–1 в качестве полной системы представителей и будем отождествлять их с вычетами по модулю p. Будем называть элементы gi образующими, а их систему g1, ..., gk системой образующих.
Теорема. Если строка матрицы S содержит всего
1 ненулевой элемент (в смысле GF(p)), то соответствующая A j ⊂ g 1 , … g k * и Aj не сервантна в G. (Символом
*
обозначается сервантная оболочка [2].) Об-
ратно, если подгруппа Aj не сервантна в G, то при выборе подходящей системы образующих матрица содержит строку только с одним ненулевым элементом.
Доказательство. Пусть этот единственный ненулевой
элемент находится в i-й строке и j-м столбце. По построению матрицы имеем sijaj0 = pgi. Рассмотрим подгруппу
g i * , которая содержит aj0, а значит, всю Aj. Предположим, что Aj сервантна в G, тогда A j = g i
*
. По условию
aj0
число sij не делится на p, а элемент не делится на p согласно построению. Но тогда элемент sijaj0 не делится на
p, что противоречит равенству sijaj0 = pgi.
Теперь предположим, что Aj не сервантна в G, т.е.
найдутся x и n такие, что x ∈ A j \Aj, но nx∈ Aj. По*
скольку по построению Aj q-сервантна в G [1], где простое число q ≠ p, значит, Aj не p-сервантна и можно
считать n = p.
Итак, px∈ Aj, x∈G, но x не может принадлежать A.
Таким образом, x можно выбрать образующим, и тогда
px = s ij a 0j + pa , т.е. в матрице соответствующая (i-я)
строка содержит всего один ненулевой элемент (j-й).
Теорема. Если A – полное квазиразложение группы G, а gi – соответствующая система образующих, то
следующие условия эквивалентны:
– gi линейно независимы как элементы G;
– смежные классы gi +A линейно независимы в G/A;
– строки матрицы S линейно независимы над GF(p),
т.е. её ранг над этим полем равен k;
– G A ≅ ⊕ Z ( p) .
k
185
Доказательство. 1⇔2, 2⇔4 показаны в [2].
1⇒3. Поскольку gi линейно независимы, то и pgi
линейно независимы (т.к. G без кручения), т.е.
n
∑ j =1 s ij a 0j линейно независимы. Построим линейную
комбинацию из них:
∑
k
i =1
λi ∑ j =1 sij a 0j . Она равна нулю
n
тогда и только тогда, когда все λi = 0. Но поскольку Aj
образуют прямую сумму, равенство указанной линейной комбинации эквивалентно тому, что
∑
k
i =1
λ i sij = 0,
т.е. строки S линейно независимы.
3⇒1. Построим линейную комбинацию строк:
∑
k
i =1
λ i sij . Она равна нулю тогда и только тогда, когда
Используем индукцию по k. Если строка одна, то
возможных значений pn–1 = µ1 (отбрасываем нулевую
строку как линейно зависимую). Предположим теперь,
что строк k–1, и добавим ещё одну. Она либо является
линейной комбинацией имеющихся, либо линейно не
зависит от них. Из k–1 строк получается pk–1 линейных
комбинаций (каждый коэффициент определён по модулю p). Таким образом, строк, линейно независимых
от данных, может быть pn–pk–1. То есть µk = µk–1(pn–pk–1).
Получаем, что таких матриц (pn–1)(pn–p)...(pn–pk–1).
Эта формула применима и к матрицам преобразований, и она определяет число элементов в классе эквивалентности матриц по указанному отношению. Таким
образом, число классов матриц определяется функцией
все λi = 0. Домножая её на aj0 и складывая, получим
∑
k
i =1
0
j
j =1
i =1
т.е. pgi, а значит, и gi линейно независимы.
Теорема. Пусть G, G' – две (A,T)-группы, а S = (sij) и
P = (tij) – соответствующие им матрицы. Группы совпадают тогда и только тогда, когда найдётся матрица Λ
такая, что P ≡ ΛS (mod p) (в том смысле, что элементы
матриц на одинаковых местах сравнимы).
Доказательство. Предположим, что образущие gi'
определяют ту же группу G, что и gi. То есть
n
pg i′ = ∑ t ij a 0j . (Дальнейшее из [6].) Тогда для каждого
j =1
i gi'∈G, откуда
g1′ = a1 + λ11 g1 + λ12 g 2 + … + λ1k g k ,
g 2′ = a2 + λ 21 g1 + λ 22 g 2 + … + λ 2 k g k ,
g k′ = ak + λ k 1 g1 + λ k 2 g 2 + … + λ kk g k ,
где a i ∈ A , i = 1, ..., k. Обозначим матрицу (λij) = Λ.
Домножая на p эти равенства, получим
n
k
n
j =1
l =1
j =1
Σ tij a 0j = pai + Σ λ il Σ sij a 0j + pа .
Поскольку сумма прямая и выбраны элементы не из
pAi, с необходимостью P ≡ ΛS (mod p) .
Обратно. Заменим в построении матрицу S матрицей ΛS и покажем, что полученные элементы
n
k
gi′ = p −1 ∑ j =1 ∑ l =1 λ il slj a 0j определяют ту же группу.
Действительно, каждый такой элемент является линейной комбинацией элементов gi, (его можно записать
k
как gi′ = ∑ l =1 λ il gi ) а значит, входит в группу
A, g1 , … g k . Следовательно, то же выполняется для
определённой этими элементами группы.
В силу симметричности отношения матрица Λ обратима.
Указанных результатов достаточно для подсчёта
всех (A,T)-групп. Напомним, что T ≅ ⊕ k Z ( p) .
Выполним подсчёт. Сначала найдём число матриц
размера k×n с линейно независимыми строками, считая
элементы определёнными по модулю p. Покажем, что
оно равно µk = (pn–1)...(pn–pk).
186
k −1
τ( p, n, k ) = ∏
k
λi ∑ j =1 sij a = 0 = p ∑ λ i gi ,
n
pn− j − 1
.
pk − j −1
Однако это ещё не есть число (A,T)-групп, поскольку необходима сервантность всех Aj в G.
Предположим, что A1 не сервантна в G. Тогда обозначим G1 = A1 * . Из вышесказанного вытекает, что
можно выбрать образующий g1 такой, что pg1 = a10.
Тогда любой другой образующий, например g2, где
n
pg 2 = ∑ j =1 s 2 j a 0j , можно заменить на g2' = g2–s21a10.
Тогда
pg ′2 = ∑ j = 2 s 2 j a 0j
n
G = A1 ⊕ ⊕
n
j =2
и,
как
, g1 , … g k = A1 , g1 ⊕ ⊕
Иначе говоря, G1 = A1 , g 1 = A1
*
n
j=2
следствие,
Aj , g 2 , … g k .
выделяется прямым
слагаемым, т.е. G = G1⊕G2 и G1 A1 ≅ Z ( p) . Следовательно, G 2
( A2 ⊕ … ⊕ An ) ≅ k⊕−1 Z ( p) ,
причем G1 опре-
деляется однозначно, а G2 определяется τ(p,n–1,k–1)
способами.
Теперь предположим, что не сервантны A1 и A2. Тогда G = A1 * ⊕ A2 * ⊕ G 3 , где G3 определяется τ(p,n–
–2,k–2) способами и т.д.
Отсюда получим, что в τ(p,n–2,k–2)–τ(p,n–1,k–1)
случаях не сервантна A1, остальные сервантны; соответственно, в n(τ(p,n–2, k–2)–τ(p,n–1, k–1)) случаях
ровно одно квазислагаемое не сервантно. Рассуждая
аналогично, получим, что ровно i квазислагаемых не
сервантны в
Cni (τ( p, n − i, k − i ) − τ( p, n − i − 1, k − i − 1))
случаях. Осталось только просуммировать их и вычесть из τ(p,n,k). Результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Общее количество с точностью до равенства почти вполне разложимых групп ранга n, для которых фактор-группа G/A (A – квазиразложение G)
изоморфна элементарной p-группе ранга k, равно
S pnk = τ( p, n, k ) − nτ( p, n − 1, k − 1) −
k −1
−∑ (Cni − Cni −1 )τ( p, n − i, k − i ) − Cnk .
i=2
ЛИТЕРАТУРА
1. Кожухов С.Ф. Конечные группы автоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга // Известия АН СССР. Сер. математическая.
1988. Т. 52, № 3. С. 501–521.
2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.
3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.
4. Кожухов С.Ф., Тверетин А.С. Почти вполне разложимые группы без кручения конечного ранга с циклическим фактором // Абелевы группы:
Тр. Всерос. симп. Бийск: БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. С. 24–25.
5. Кожухов С.Ф., Тверетин А.С. Почти вполне разложимые группы без кручения конечного ранга с циклическим фактором //
Фундаментальная и прикладная математика. М.: ЦНИТ МГУ, 2007. Т. 13, вып. 3. С. 61–67.
6. Тверетин А.С. Квазиразложимые группы с фактор-группой, являющейся прямой суммой циклических вида Z(p) // Наука и инновации
XXI века: Матер. VI Откр. окр. конф. молодых учёных. Сургут: Изд-во СурГУ, 2006. С. 33.
Статья представлена научной редакцией «Математика» 20 октября 2007 г.
187
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
190 Кб
Теги
почта, ранга, элементарные, без, кручение, группы, конечного, разложимые, факторов, вполне
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа