close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Предельные дискретные ряды Мейкснера и их аппроксимативные свойства.

код для вставкиСкачать
Э. Ш. Султанов. Предельные дискретные ряды Мейкснера и их аппроксимативные свойства
Библиографический список
1. Kerekjarto B. V. Vorlesungen über Topologie. Berlin :
J. Springer, 1923. 270 p.
2.Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. М. : Наука, 1964. 228 с.
[Stoilov S. Lectures on topological principles in the
theory of analytic functions. Moscow : Nauka, 1964.
228 p.]
3. Старков В. В. Локально биголоморфные конечнолистные отображения ограниченных областей. // Сиб.
мат. журн. 2011. Т. 52, № 1. С. 177–186. [Starkov V. V.
Finitely valent locally biholomorphic mappings of bounded
domains // Siberian Math. J. 2011. Vol. 52, № 1. P. 139–
146.]
4. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций
комплексного переменного. М. : Наука, 1966. 628 с.
[Goluzin G. M. Geometric theory of Functions of a
complex variable. Providence, R.I. : Amer. Math. Soc.,
1969.]
5. Александров П. С. Введение в теорию множеств
и общую топологию. М. : Наука, 1977. 368 с.
[Alexandrov P. C. Introduction to set theory and general
topology. Moscow : Nauka, 1977. 368 p.]
УДК 517.518.82
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ РЯДЫ МЕЙКСНЕРА
И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА
Э. Ш. Султанов
Дагестанский научный центр РАН, Махачкала
E-mail: emir.sultanov@gmail.com
Limit Discrete Meixner Series and Their Approximative
Properties
В работе исследуется задача о приближении функций дискретными рядами по полиномам Мейкснера, ортогональным на равномерной сетке {0, 1, . . .}. Сконструированы новые ряды по
этим полиномам, для которых в точке x = 0 частичные суммы
совпадают с приближаемой функцией f (x). Новые ряды образованы с помощью предельного перехода при α → −1 рядов
∞
P
Фурье
fkα mα
k (x) по полиномам Мейкснера.
E. Sh. Sultanov
k=0
Ключевые слова: полиномы Мейкснера, ряды Фурье, предельные ряды.
In this article the problem of function approximation by discrete series
by Meixner polynomials orthogonal on uniform net {0, 1, . . .} is
investigated. We constructed new series by these polynomials for
which partial sums coincide with input function f (x) in x = 0. These
new series were constructed by the passage to the limit of Fourier
∞
P
fkα mα
series
k (x) by Meixner polynomials when α → −1.
k=0
Key words: Meixner polynomials, Fourier series, limit series.
В задачах обработки сигналов часто встречается ситуация, когда требуется аппроксимировать дискретный сигнал, который с определенного момента является затухающим. При этом видится целесообразным осуществить его покусочную аппроксимацию с сохранением непрерывности восстановленного
сигнала, а для этого необходимо, чтобы приближение в точке стыка совпадало с восстанавливаемой
функцией. Для приближения затухающих сигналов наиболее подходящим является оператор частичных сумм Фурье по полиномам Мейкснера, однако он не обладает указанным свойством совпадения в
точке стыка. Решая эту задачу, мы сконструировали оператор, основанный на новых так называемых
предельных рядах по полиномам Мейкснера.
Для 0 < q < 1, α > −1 классические многочлены Мейкснера (J. Meixner) [1] можно определить
следующим образом:
µ
¶ n
µ
¶k
n + α X (−n)k (−x)k
1
Mnα (x) = Mnα (x, q) =
1−
,
n
(α + 1)k k!
q
k=0
¡
¢
где (a)k = a(a + 1) . . . (a + k − 1). Они нормируются условием Mnα (0, q) = n+α
и образуют ортогоn
нальную систему на сетке Ω = {0, 1, . . .} с весом
η α (x) = η α (x, q) = (1 − q)α+1 q x
т. е.
∞
X
Γ(x + α + 1)
,
Γ(x + 1)
Mkα (j, q)Mlα (j, q)η α (j) = δkl hα,q
k ,
j=0
где hα,q
=
k
¡k+α¢
k
q −k Γ(α + 1).
c Султанов Э. Ш., 2013
°
29
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 1
Соответствующие ортонормированные полиномы имеют вид
α
α,q −1/2
mα
Mnα (x, q),
n (x) = mn (x, q) = {hn }
и тем самым
∞
X
n = 0, 1, . . . ,
α
α
mα
k (j)ml (j)η (j) = δkl .
j=0
Пусть на сетке Ω дана функция f (x), для которой существуют следующие моменты:
∞
X
f (j)j k η α (j) < ∞,
k = 0, 1, . . . .
j=0
Тогда для этой функции существуют коэффициенты Фурье–Мейкснера
fkα =
∞
X
α
f (j)mα
k (j)η (j),
k = 0, 1, . . . .
j=0
Поэтому мы можем функции f (x) сопоставить ее ряд Фурье–Мейкснера:
f∼
∞
X
fkα mα
k (x)
(1)
k=0
и частичные суммы Фурье–Мейкснера:
Snα (f ; x) = Snα (f ; x, q) =
n
X
fkα mα
k (x).
(2)
k=0
В работах ряда авторов исследована задача о приближении функции f (x) ее частичными суммами (2).
При этом было замечено, что аппроксимативные свойства сумм Snα (f ; x) в точке x = 0 улучшаются
при приближении параметра α к −1. Другими словами, было замечено, что Snα (f ; 0) → f (0) при
α → −1, т. е. Sn−1 (f ; 0) = f (0). Что же представляют собой суммы Sn−1 (f ; x)? Нам удалось доказать
следующее.
Теорема 1. Предельное положение ряда Фурье по полиномам Мейкснера (1) при α → −1 имеет
вид
∞
X
(3)
m1k (x − 1, q)gk ,
f (x) = f (0) + x
k=0
где gk = (1 − q)2
∞
P
j=0
q j m1k (j, q)g(j + 1), а g(x) = f (x) − f (0).
Доказательство. Исследуем общий член ряда (1) fkα mα
k (x) при α → −1. Рассмотрим сначала
α,q
α
α α
первый член этого ряда f0 m0 (x). Так как M0 (x) = 1, а h0 = Γ(α + 1), то
α
mα
0 (x) = {h0 }
Тогда
α
mα
0 (x)f0 = p
−1/2
=p
.
∞
(1 − q)α+1 X
Γ(j + α + 1)
(1 − q)α+1 q j Γ(j + α + 1)
=
f (j)q j
=
f (j) p
Γ(j
+
1)
Γ(α
+
1)
Γ(j + 1)
Γ(α + 1) j=0
Γ(α + 1)
j=0
1
∞
X
= (α + 1)
∞
(1 − q)α+1 X
Γ(j + α + 1)
f (j)q j
,
Γ(α + 2) j=0
Γ(j + 1)
или
α
α,q
mα
(α + 1)
0 (x)f0 = f (0) + A
∞
X
j=1
30
1
Γ(α + 1)
f (j)q j
Γ(j + α + 1)
,
Γ(j + 1)
Научный отдел
Э. Ш. Султанов. Предельные дискретные ряды Мейкснера и их аппроксимативные свойства
где Aα,q =
∞
P
(1 − q)α+1
. При α → −1 второе слагаемое будет стремиться к нулю (в силу того, что
Γ(α + 2)
f (j)η α (j) < ∞), следовательно, f0−1 m0−1 (x) = limα→−1 f0α mα
0 (x) = f (0).
j=0
α
Теперь рассмотрим mα
k (x)fk при k ≥ 1. Имеем:
α
α
mα
k (x)fk = mk (x)
∞
X
α+1 α
f (j)mα
mk (x)
k (j)η(j) = (1 − q)
j=0
∞
X
j=0
= (1 − q)α+1 (hα
k)
−1
Mkα (x)
∞
X
qj
j=0
qj
Γ(j + α + 1) α
mk (j)f (j) =
Γ(j + 1)
Γ(j + α + 1) α
Mk (j)f (j),
Γ(j + 1)
k
X
µ
¶l
(−k)l (−x)l
1
Γ(k + α + 1)
=
1−
=
k!
Γ(l + α + 1)l!
q
l=0
"
µ
¶l #
k
X
Γ(k + α + 1)
1
1
(−k)l (−x)l
=
,
+
1−
k!
Γ(α + 1)
Γ(l + α + 1)l!
q
Mkα (j)
l=1
где 1/Γ(α + 1) → 0 при α → −1. Так как mα
k (j) ортогонален ко всем многочленам Pn (j), n < k, то
Mkα (x) X j Γ(j + α + 1) α
q
Mk (j)[f (j) − f (0)] =
hα,q
Γ(j + 1)
k
j=1
∞
α+1
fkα mα
k (x) = (1 − q)
k
Γ(k + α + 1) X (−k)l (−x)l
Mkα (x) X j Γ(j + α + 1)
[f (j) − f (0)]
q
α,q
hk
Γ(j + 1)
k!
Γ(l + α + 1)l!
j=1
∞
= (1 − q)α+1
l=1
µ
1−
1
q
¶l
.
Заметим, что при α → −1
hα,q
=
k
Γ(k + α + 1)
Γ(k + α + 1) −k
q −k
Γ(α + 1)q −k =
q →
.
k!Γ(α + 1)
k!
k
Переходя к пределу при α → −1 для общего члена ряда (1), получим следующее:
−1
k
lim fkα mα
k (x) = kq Mk (x)
α→−1
∞
X
qj
j=1
j
Mk−1 (j)[f (j) − f (0)].
Отсюда и из равенства [2, гл. 4, § 5]
µ
¶
q−1
(k − 1)! 1
−1
1
1
− 1 (−x)Mk−1
(x − 1) =
xMk−1
(x − 1)
Mk (x) =
k!
q
kq
получим:
lim fkα mα
k (x) =
α→−1
∞
X
(q − 1)2 k−1
1
1
q j−1 Mk−1
q
xMk−1
(j − 1)[f (j) − f (0)] =
(x − 1)
k
j=1
∞
X
(q − 1)2 k−1
1
1
q
xMk−1 (x − 1)
q j Mk−1
(j)[f (j + 1) − f (0)].
=
k
j=0
Для α = 1 весовая функция будет иметь вид η 1 (x) = (1 − q)2 q x (x + 1). По определению h1,q
=
k
k
−k
1
1
= (k + 1)q , следовательно, Mk−1 (x) = k−1 mk−1 (x). Тогда
q
1
lim fkα mα
k (x) = xmk−1 (x − 1)
α→−1
∞
X
j=0
= xm1k−1 (x − 1)
∞
X
j=0
Математика
(1 − q)2 q j m1k−1 (j) [f (j + 1) − f (0)] =
η 1 (j)m1k−1 (j)
g(j + 1)
.
j+1
31
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 1
Обозначим g(x) = f (x) − f (0),
1
lim fkα mα
k (x) = xmk−1 (x − 1)
α→−1
= g(x + 1)/(x + 1). Тогда
∞
P
j=0
η 1 (j)m1k−1 (j)ĝ(j), где ĝ(x) =
1
1
lim fkα mα
k (x) = xmk−1 (x − 1)ĝk−1
α→−1
и рассматриваемый ряд принимает следующий вид:
∞
X
fk−1,q m−1,q
(x) = f (0) +
k
k=0
= f (0) + x
∞
X
∞
X
1
xm1,q
k−1 (x − 1)ĝk−1 =
k=1
m1k (x
−
1)ĝk1
= f (0) + xĝ(x − 1) = f (0) + x
k=0
µ
g(x)
x
¶
= f (x).
Ряд (3) назовем предельным по полиномам Мейкснера. Обозначим его частичную сумму следующим образом:
n−1
X
m1k (x − 1, q)gk .
Sn−1 (f ; x) = f (0) + x
(4)
k=0
Отсюда видно, что для любого n ≥ 1 Sn−1 (f ; 0) = f (0). Можно показать, что частичные суммы (4)
предельного ряда (3) обладают в определенном смысле лучшими аппроксимативными свойствами по
сравнению с частичными суммами Snα (f ; x) (α > −1) ряда Фурье–Мейкснера (1), но мы на этом здесь
не останавливаемся.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а).
Библиографический список
1. Meixner J. Orthogonale Polynomsysteme mit einer
besonderen Gestalt der erzeugenden Function // J. of the
London Math. Soc. 1934. Vol. 9. P. 6–13.
2. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. Ма-
хачкала : Дагестан. науч. центр РАН, 2004. 276 с.
[Sharapudinov I. I. Mixed series of orthogonal polynomials. Theory and applications. Makhachkala : Dagestan
Scientific Center of RAS, 2004. 276 p.]
УДК 517.51+517.98
АФФИННЫЕ КВАНТОВЫЕ ФРЕЙМЫ
И ИХ СПЕКТР
П. А. Терехин
Саратовский государственный университет
E-mail: TerekhinPA@info.sgu.ru
Affine Quantum Frames and Their Spectrum
P. A. Terekhin
Задача квантования коэффициентов приближающих полиномов решается для аффинных фреймов. Рассматривается также
задача о квантовании коэффициентов разложения по фрейму. Вводится понятие спектра квантового фрейма. Оценивается спектр семейства аффинных фреймов.
The problem of coefficients quantization for polynomials is solved for
affine frames. The problem about coefficients quantization for frame
decomposition is considered also. The notion of a spectrum of the
quantum frame is introduced. The spectrum of family of affine frames
is estimated.
Ключевые слова: фрейм, аффинный фрейм, квантовый
фрейм, спектр квантового фрейма.
Key words: frame, affine frame, quantun frame, spectrum of
quantum frame.
1. ЗАДАЧА КВАНТОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Пусть X — банахово пространство, состоящее из числовых последовательностей x = {xn }∞
n=1
и удовлетворяющее следующему условию: система канонических ортов {ek }∞
k=1 образует базис пространства X. Напомним, что ei = {δij }∞
j=1 , i = 1, 2, . . ., где δij — символ Кронекера. Будем называть X
модельным пространством.
Пусть, далее, {ϕn }∞
n=1 — система элементов банахова пространства F . Следуя [1], будем говорить,
что система {ϕn }∞
является
квантовой (ε, δ, C)-сетью в пространстве F относительно модельного
n=1
c Терехин П. А., 2013
°
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
125 Кб
Теги
дискретное, мейкснера, свойства, аппроксимативные, ряды, предельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа