close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2008, № 12, c. 49–58
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Е.Е. ПЕРМЯКОВА
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СО
СЛУЧАЙНОЙ ЗАМЕНОЙ ВРЕМЕНИ
Аннотация. В работе доказывается теорема о достаточных условиях сходимости последовательности случайных процессов со случайной заменой времени в пространстве Скорохода
D[0, 1] и получены версии почти наверное этой теоремы.
Ключевые слова: пространство Скорохода D[0, 1], случайный процесс со случайной заменой
времени, версия почти наверное.
УДК: 519.21
Abstract. In this paper we prove a theorem on sufficient conditions for the convergence in the
Skorokhod space D[0, 1] of a sequence of random processes with random time substitution. We
obtain almost certain versions of this theorem.
Keywords: Skorokhod space D[0, 1], random process with random time substitution, almost certain
version.
Введение
В статье рассматривается вопрос о сходимости последовательности случайных процессов
со случайной заменой времени в пространстве Скорохода D[0, 1] и доказываются версии
почти наверное теорем о сходимости этих процессов.
В первой части статьи (предварительные сведения) доказывается предельная теорема
для случайных процессов со случайной заменой времени, некоторые ее следствия и приложения к страховой математике, во второй — версия почти наверное этой теоремы.
Вопросам сходимости последовательностей случайных процессов со случайной заменой
времени (предельным теоремам для сложных случайных функций) посвящена монография
[1]. В статье рассматривается вопрос о сходимости последовательности суперпозиций случайных процессов, когда внешние и внутренние случайные процессы независимы. В теореме
1, доказанной в первой части статьи, кроме естественного требования сходимости последовательностей внешних и внутренних случайных процессов, на них накладываются также
некоторые дополнительные условия. Выполнение первого условия означает, что случайная
замена времени осуществляется при помощи случайных процессов со строго возрастающими непрерывными траекториями, принимающими одно и то же значение в 1. Второе условие
состоит в требовании непрерывности траекторий внешнего предельного случайного процесса. Приведены примеры, показывающие, что при отказе от каких-либо из этих требований
данная теорема не верна.
Поступила 26.12.2006
49
50
Е.Е. ПЕРМЯКОВА
Напомним определение версии почти наверное предельной теоремы. Пусть ζn , n ∈ N,
— последовательность случайных элементов, определенных на вероятностном пространd
→
стве (Ω, A, P) со значениями в метрическом пространстве (B, ρ). Введем обозначения: −
w
→ — слабая сходимость мер, µζ —
— сходимость распределений случайных элементов, −
распределение случайного элемента ζ и B(B) — σ-алгебра борелевских подмножеств метрического пространства B. Обычные предельные теоремы имеют дело со сходимостью по
распределению ζn . Рассмотрим последовательность мер, зависящих от параметра ω,
1 1
δ
, ω ∈ Ω, n ∈ N.
ln n
k ζk (ω)
n
Qn (ω) = Q(ζn ) (ω) =
k=1
Здесь и в дальнейшем через δx будем обозначать меру единичной массы, сосредоточенной в
d
→ ζ при n → ∞ влечет также
точке x (меру Дирака). В некоторых случаях сходимость ζn −
сходимость мер
w
→ µζ при n → ∞
Qζn (ω) −
для почти всех ω ∈ Ω. Такие предельные теоремы называются версиями почти наверное
предельных теорем.
Изучению условий сходимости мер Qn (ω) посвящено большое количество работ (например, [2]–[6]). Во второй части статьи получена версия почти наверное теоремы 1 о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени, а также в некотором смысле
более сильный аналог этой теоремы.
1. Предварительные сведения
Здесь и далее будем использовать следующие обозначения: ∆[0, k] (k ∈ N) — класс строго
возрастающих, непрерывных отображений отрезка [0, k] на себя таких, что λ(0) = 0, λ(k) =
k; D[0, k] (соответственно D[0, ∞)) — пространство Скорохода, т. е. пространство функций,
действующих из отрезка [0, k] (интервала [0, ∞)) в R, непрерывных справа и имеющих
конечный предел слева. В пространстве D[0, k] будем рассматривать метрику Скорохода
ρk (x, y) = inf{ε > 0 : ∃λ ∈ ∆[0, k],
sup |x(t) − y(λ(t))| ≤ ε,
0≤t≤k
sup |λ(t) − t| ≤ ε},
0≤t≤k
x, y ∈ D[0, k]. Обозначим через
ρ∞ (x, y) =
∞
1 ρk (x, y)
,
2k 1 + ρk (x, y)
x, y ∈ D[0, ∞),
k=1
метрику в D[0, ∞). Достаточные условия слабой сходимости распределений в этом пространстве содержатся, например, в [7].
Пусть A — измеримое подмножество D[0, k] (D[0, ∞)). Будем говорить, что X — случайный процесс в A или почти все траектории случайного процесса X принадлежат A, если существует вероятностная борелевская мера L(X) в D[0, k] (D[0, ∞)) такая, что L(X)(A) = 1.
Если X — случайный процесс в D[0, k], то L(X) однозначно определяется случайным процессом X и называется распределением случайного процесса X. Также через L(G) будем
обозначать распределение случайного элемента G. Если это не ведет к противоречиям, случайный процесс и случайный элемент, распределения которых совпадают, будем обозначать
одним и тем же символом.
d
→ X в D[0, k]
Пусть X, Xn , n ∈ N, — случайные процессы в D[0, k]. Будем писать Xn −
при n → ∞, если последовательность распределений L(Xn ) слабо сходится в D[0, k] к расп. н.
пределению L(X). Через −−→ будем обозначать сходимость почти наверное.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
51
Пусть Xn — последовательность случайных процессов в D[0, ∞) и Λn — последовательность случайных процессов с неотрицательными неубывающими почти наверное конечными
d
d
→ X при n → ∞ в D[0, ∞), Λn −
→Λ
траекториями в D[0, 1] такая, что Λn (0) = 0. Пусть Xn −
при n → ∞ в D[0, 1], Xn и Λn независимы для всех n ∈ N. Рассмотрим случайные процессы
со случайной заменой времени Xn (t) = Xn (Λn (t)), t ∈ [0, 1], X(t) = X (Λ(t)), t ∈ [0, 1]. Поскольку траектории Λn , Λ не убывают и имеют предел справа, то траектории Xn , X лежат
в D[0, 1].
Рассмотрим пространство E ≡ D[0, ∞)×B[0, 1], где B[0, 1] — пространство неубывающих
и принимающих неотрицательные значения функций из D[0, 1]. На E введем метрику
ρE (z1 , z2 ) = ρ∞ (x1 , x2 ) + ρ1 (y1 , y2 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ E.
Пространство E наделено тихоновской топологией. Рассмотрим оператор F , действующий
из E в D[0, 1] по правилу
F (x, y) = x ◦ y,
где ◦ — суперпозиция функций. Введем подпространства E, на которых оператор F непрерывен. Пусть E1 = D[0, ∞) × Π[0, 1], где Π[0, 1] ⊂ B[0, 1], — пространство непрерывных
строго возрастающих функций, для которых выполняется условие
существует C > 0 такое, что f (1) = C для любой функции f ∈ Π[0, 1],
(∗)
а E2 = C[0, ∞) × B[0, 1]. Нетрудно видеть, что E1 , E2 ⊂ E. В пространствах B[0, 1] и Π[0, 1]
будем рассматривать метрику ρ1 .
Для доказательства теорем этой работы понадобятся две леммы.
Лемма 1. Оператор F : E1 → D[0, 1] непрерывен.
Доказательство. Пусть функции gn , g принадлежат пространству Скорохода D[0, ∞), функции γn , γ — пространству Π[0, 1], причем
ρ∞ (gn , g) → 0 при n → ∞,
ρ1 (γn , γ) → 0 при n → ∞.
Покажем ρ1 (gn ◦ γn , g ◦ γ) → 0 при n → ∞. Пусть функция λn ∈ ∆[0, 1] произвольна.
−1 (t). Нетрудно видеть, что µ ∈ ∆[0, γ(1)]. Тогда
Обозначим µn (t) ≡ γn λ−1
n
n γ
sup |gn (γn (t)) − g(γ(λn (t)))| =
0≤t≤1
= sup |gn (µn (γ(λn (t)))) − g(γ(λn (t)))| =
0≤t≤1
sup
|gn (µn (t)) − g(t)|.
0≤t≤γ(1)
Пусть ε > 0. В силу сходимости gn → g при n → ∞ в D[0, ∞) существует n1 ∈ N такое, что
для любого n > n1 найдется функция νn ∈ ∆[0, γ(1)], для которой верны неравенства
|gn (νn (t)) − g(t)| < ε,
sup
0≤t≤γ(1)
sup
|νn (t) − t| < ε.
(1)
0≤t≤γ(1)
Выберем λn (t) = γ −1 νn−1 γn (t). Нетрудно видеть, что λn ∈ ∆[0, 1]. Заметим, что
sup |λn (t) − t| = sup |γ −1 νn−1 γn (t) − t| =
0≤t≤1
0≤t≤1
≤
0≤t≤γn (1)
|γ
sup
−1
(νn−1 (t))
0≤t≤γn (1)
=
|γ −1 (νn−1 (t)) − γn−1 (t)| ≤
sup
−γ
−1
(t)| +
sup
|γ −1 (t) − γn−1 (t)| =
0≤t≤γn (1)
sup
0≤t≤γ(1)
|γ −1 (νn−1 (t) − t + t) − γ −1 (t)| +
sup
0≤t≤γ(1)
|γ −1 (t) − γn−1 (t)|.
52
Е.Е. ПЕРМЯКОВА
Пусть δ > 0 произвольно. Из (1) следует, что можно выбрать n2 ∈ N такое, что для всех
n > n2
sup |νn (t) − t| < δ.
0≤t≤γ(1)
В силу непрерывности функции γ −1 (t) существует 0 < δ < ε такое, что неравенство
ε
sup |γ −1 (νn−1 (t) − t + t) − γ −1 (t)| < .
sup |νn (t) − t| < δ влечет
2
0≤t≤γ(1)
0≤t≤γ(1)
Из сходимости γn → γ при n → ∞ в D[0, 1] и непрерывности γ(t) следует ([8], п. 14)
сходимость γn → γ при n → ∞ в равномерной норме пространства C[0, 1]. Монотонность и
непрерывность функций γ(t), γn (t) влечет сходимость γn−1 → γ −1 при n → ∞ в C[0, γ(1)].
Следовательно, существует n3 ∈ N такое, что для всех n > n3
ε
sup |γn−1 (t) − γ −1 (t)| < .
2
0≤t≤γ(1)
Таким образом, для всех n > max{n1 , n2 , n3 }
sup |gn (γn (t)) − g(γ(λn (t)))| < ε,
sup |λn (t) − t| < ε.
0≤t≤1
0≤t≤1
В силу произвольности ε это влечет сходимость ρ1 (gn ◦ γn , g ◦ γ) → 0 при n → ∞.
Лемма 2. Оператор F : E2 → D[0, 1] непрерывен.
Доказательство. Пусть функции gn , g принадлежат пространству C[0, ∞), функции γn , γ
— пространству B[0, 1], причем
ρ∞ (gn , g) → 0 при n → ∞,
ρ1 (γn , γ) → 0 при n → ∞.
Покажем, что
ρ1 (gn ◦ γn , g ◦ γ) → 0 при n → ∞.
Заметим, что
ρ1 (gn ◦ γn , g ◦ γ) ≤ sup |gn (γn (t)) − g(γn (t))|+
0≤t≤1
+ inf{β > 0 : ∃λ ∈ ∆[0, 1], sup |g(γn (t)) − g(γ(λ(t)))| < β, sup |λ(t) − t| < β}. (2)
0≤t≤1
0≤t≤1
Пусть ε > 0. Рассмотрим слагаемые в правой части неравенства (2). Имеем
sup |gn (γn (t)) − g(γn (t))| ≤
0≤t≤1
sup
|gn (t) − g(t)|.
0≤t≤γn (1)
Сходимость γn → γ при n → ∞ в D[0, 1] влечет ограниченность последовательности γn по
метрике ρ1 . Следовательно, найдется число N ∈ N такое, что γn (1) ≤ N для всех n ∈ N.
Непрерывность g влечет ([8], п. 14) сходимость последовательности gn в равномерной норме.
Поэтому найдется n1 ∈ N такое, что для всех n > n1
ε
(3)
sup |gn (t) − g(t)| ≤ sup |gn (t) − g(t)| < .
2
0≤t≤N
0≤t≤γn (1)
В силу непрерывности g найдется 0 < δ <
ε
2
такое, что
|g(t) − g(s)| <
ε
2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
53
для всех 0 ≤ t, s ≤ N , удовлетворяющих условию |t − s| < δ. Так как γn → γ при n → ∞ в
D[0, 1], то существует n2 ∈ N такое, что для любого n > n2 найдется функция λn ∈ ∆[0, 1]
со свойством
sup |γn (t) − γ(λn (t))| < δ, sup |λn (t) − t| < δ.
0≤t≤1
0≤t≤1
Следовательно, для любого n > n2
ε
inf{β > 0 : ∃λn ∈ ∆[0, 1], sup |g(γn (t)) − g(γ(λn (t)))| < β, sup |λn (t) − t| < β} < . (4)
2
0≤t≤1
0≤t≤1
Пусть n0 = max{n1 , n2 }. Тогда в силу (2) оценки (3) и (4) влекут выполнение неравенства
ρ1 (gn ◦ γn , g ◦ γ) < ε
для всех n > n0 .
В дальнейшем будем рассматривать последовательности случайных процессов Xn и Λn ,
удовлетворяющие одному из условий
→ Λ при n → ∞ в Π[0, 1], Xn −
→ X при n → ∞ в D[0, ∞),
Λn −
(A)
→ Λ при n → ∞ в B[0, 1], Xn −
→ X при n → ∞ в C[0, ∞).
Λn −
(B)
d
d
d
d
Теорема 1. Пусть для всех n ∈ N случайные процессы Xn и Λn , X и Λ независимы и
выполнено условие (A) или (B). Тогда
d
→ X при n → ∞ в D[0, 1].
Xn −
Доказательство. Пусть выполнено условие (A). По теореме Скорохода об одном вероятностном пространстве (напр., [9], гл. V, п. 10, теорема 11) найдутся вероятностное пространство (Ω1 , A1 , P1 ) и случайные процессы Gn : Ω1 → D[0, ∞) такие, что
1) L(Xn ) = L(Gn ),
п. н.
2) Gn −−→ G при n → ∞ в D[0, ∞).
Обозначим через Ω1 измеримое подмножество Ω1 такое, что P1 (Ω1 ) = 1 и сходимость
d
→ Λ при
2) имеет место для всех ω1 ∈ Ω1 . Также по теореме Скорохода сходимость Λn −
n → ∞ в C[0, 1] влечет существование вероятностного пространства (Ω2 , A2 , P2 ) и случайных процессов Γn : Ω2 → C[0, 1] таких, что
1 ) L(Γn ) = L(Λn ),
п. н.
2 ) Γn −−→ Γ при n → ∞ в C[0, 1].
В качестве измеримого подмножества A ⊂ C[0, 1] рассмотрим множество Π[0, 1]. Так
как L(Γn )(A) = L(Λn )(A) = 1 и L(Γ)(A) = L(Λ)(A) = 1, то случайные элементы Γn и
Γ принимают значения в Π[0, 1]. Обозначим через Ω2 измеримое подмножество Ω2 такое,
что P2 (Ω2 ) = 1 и сходимость 2 ) имеет место для всех ω2 ∈ Ω2 . В дальнейшем будем рассматривать вероятностное пространство (Ω, A, P), где Ω = Ω1 × Ω2 , σ-алгебра A состоит из
элементов σ-алгебры A1 × A2 , принадлежащих Ω, вероятность P — сужение вероятности
P1 ⊗ P2 на σ-алгебру A. Обозначим
Gn (t) = Gn (Γn (t)), t ∈ [0, 1];
G(t) = G (Γ(t)), t ∈ [0, 1].
Поскольку траектории случайного процесса Γn не убывают, то траектории Gn лежат в
пространстве Скорохода D[0, 1].
Пусть ω = (ω1 , ω2 ) ∈ Ω, тогда функции gn (t) ≡ Gn (t)(ω1 ), g(t) ≡ G (t)(ω1 ), γn (t) ≡
Γn (t)(ω2 ), γ(t) ≡ Γ(t)(ω2 ) удовлетворяют условиям леммы 1. Следовательно,
ρ1 (gn ◦ γn , g ◦ γ) → 0 при n → ∞
п. н.
d
→ X при n → ∞ в D[0, 1].
и Gn −−→ G при n → ∞ в D[0, 1]. Это влечет сходимость Xn −
54
Е.Е. ПЕРМЯКОВА
В случае, когда выполнено условие (B), доказательство проводится аналогично за тем
исключением, что вместо леммы 1 используется лемма 2.
Замечание 1. Доказательство теоремы 1 для случая, когда выполнено условие (B), дано
в ([1], гл. 2, п. 1 и гл. 3, п. 2).
Как показывает следующий пример, от условия (∗) (с. 51) на функции пространства
Π[0, 1] нельзя отказаться.
Пример 1. Последовательность функций
1 при 12 − 21n ≤ t < ∞;
gn (t) =
0 при 0 ≤ t < 12 − 21n
сходится в метрике Скорохода к функции
1 при 12 ≤ t < ∞;
g(t) =
0 при 0 ≤ t < 12 .
Пусть последовательность функций γn (t), t ∈ [0, 1], определяется равенствами
1
1
−
t,
γ2n (t) = α2n
2 22n+1
1
1
+ 2(n+1) t,
γ2n+1 (t) = α2n+1
2 2
где αn = 1 − 2n1−1 − n12 , n > 1, α1 = 0. Положим γ(t) = 12 t. Нетрудно видеть, что γn (t) → γ(t)
при n → ∞. Требование γn (1) = γ(1) нарушено. Кроме того, заметим, что g2n (γ2n (t)) ≡ 0,
2n −1
1 при 2 (22n+12 +1)α
≤ t ≤ 1;
2n+1
g2n+1 (γ2n+1 (t)) =
22n −1
0 при 0 ≤ t < 2 (22n+1 +1)α2n+1
и последовательность g2n+1 (γ2n+1 (t)) → 1 при n → ∞ в D[0, 1]. Поскольку g(γ(t)) ≡ 1, то в
приведенных выше обозначениях gn ◦ γn → g ◦ γ при n → ∞ в D[0, 1].
Следующий пример показывает, что условие непрерывности предельной функции g в
лемме 2 существенно.
Пример 2. Пусть последовательность функций γn (t), t ∈ [0, 1], принимает постоянные
1
и γ(t) = 12 . Очевидно, γn (t) → γ(t) при n → ∞. Для функций
значения γn (t) = 12 − 2n+1
gn (t) и g(t) из примера 1 нетрудно видеть, что gn (γn (t)) ≡ 0, g(γ(t)) ≡ 1 и, следовательно,
gn ◦ γn → g ◦ γ при n → ∞ в D[0, 1].
Рассмотрим некоторые следствия теоремы 1.
Обозначим через π(t), t ∈ [0, ∞), пуассоновский случайный процесс с интенсивностью 1.
Рассмотрим последовательность случайных процессов
π(nt)
Xn (t)
=
ξin ,
t ∈ [0, 1],
(5)
i=1
где ξin — независимые одинаково распределенные для каждого n ∈ N случайные величины и Λn — последовательность случайных процессов с неотрицательными неубывающими
почти наверное конечными траекториями в D[0, 1] такая, что Λn (0) = 0. Обозначим
π(Λn (t))
Xn (t) =
i=1
ξin ,
t ∈ [0, 1].
(6)
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
55
Через W будем обозначать винеровский процесс с траекториями в D[0, ∞), через W —
винеровский процесс со случайной заменой времени W (t) ≡ W (Λ(t)), t ∈ [0, 1].
Следствие 1. Пусть
Λn
n
d
→ Λ при n → ∞ в D[0, 1],
−
n
d
ξin −
→ γ при n → ∞, где γ —
i=1
гауссовская случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть Λn , π
и ξin , а также Λ и W независимы. Тогда
d
→ W при n → ∞ в D[0, 1].
Xn −
n
Доказательство. Сходимость
d
ξin −
→ γ при n → ∞ влечет ([10], следствие 1) сходимость
i=1
d
Xn −
→
W
при n → ∞ в D[0, ∞). Следовательно, условие (B) теоремы 1 выполнено.
Следствие 1 имеет приложения в актуарной математике. Рассмотрим следующую модель: пусть n — количество договоров, заключенных страховой компанией, ξin — размер
ущерба в i-м страховом случае для портфеля из n договоров. Естественно предположить,
что ξin — независимые одинаково распределенные для каждого n ∈ N случайные величины.
Предположим, что количество событий для портфеля из n договоров к моменту времени
t описывается процессом Пуассона π(nt) с интенсивностью 1. Тогда случайный процесс (5)
описывает убытки по полисам страховой компании, наступившие к моменту времени t. Эта
модель не учитывает того существенного для многих страховщиков факта, что количество
договоров в течение рассматриваемого периода времени (как правило, года) изменяется
неравномерно. Пусть Λn (t) — последовательность случайных процессов, описывающая количество действующих полисов к моменту времени t. Будем считать, что количество полисов, продаваемых компанией, с течением времени растет (т. е. траектории процесса Λn не
убывают). Тогда случайный процесс (6) описывает сумму убытков страховой компании к
моменту времени t по действующим на этот момент договорам.
d
→ Λ при n → ∞, то утверждение следствия 1 может быть испольЕсли известно, что Λnn −
зовано для решения задачи об асимптотическом поведении процесса выплат. С точки зрения
практических вычислений представляет интерес также следующий случай. Предположим,
что с ростом страхового портфеля колебания интенсивности сборов становятся незначительными, т. е. Λ(t) = at, где a > 0 — некоторая константа. Частным случаем следствия 1
является
n
d
d
→ Λ при n → ∞ в D[0, 1], Λ(t) = at,
ξin −
→ γ при n → ∞, где γ
Следствие 2. Пусть Λnn −
i=1
— гауссовская случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть Λn ,
π и ξin независимы. Тогда
d √
→ aW при n → ∞
Xn −
в D[0, 1] в равномерной норме.
2. Версии почти наверное
Докажем теперь версии почти наверное приведенных в первой части статьи утверждений.
Теорема 2. Пусть для всех n ∈ N случайные процессы Xn и Λn , X и Λ независимы,
выполнены условия (A) или (B) и
∈ D[0, ∞), l, k ∈ N,
1. существуют константа β1 > 0 и случайные элементы Xlk
l < k, такие, что случайные элементы Xl и Xlk независимы и для любого m ∈ N
56
Е.Е. ПЕРМЯКОВА
найдется константа C(m) > 0, для которой выполнено неравенство
β 1
l
;
Eρm (Xk , Xlk ) ≤ C(m)
k
2. существуют константы C1 , β2 > 0 и случайные элементы Λlk ∈ D[0, 1], l, k ∈ N,
l < k, такие, что случайные элементы Λl и Λlk независимы и
β2
l
.
Eρ1 (Λk , Λlk ) ≤ C1
k
Тогда
w
→ µX при n → ∞
Q(Xn ) (ω) −
для почти всех ω ∈ Ω.
1
. Рассмотрим
Доказательство. Определим числовую последовательность an = 2n (C(n)+1)
метрику в пространстве D[0, ∞), эквивалентную метрике ρ∞ :
∞
ρk (x, y)
, x, y ∈ D[0, ∞).
an
ρ∞ (x, y) =
1 + ρk (x, y)
k=1
Заметим, что
)=E
Eρ∞ (Xk , Xlk
∞
m=1
am
)
ρm (Xk , Xlk
) ≤
1 + ρm (Xk , Xlk
≤
∞
am Eρm (Xk , Xlk
)
m=1
≤
∞
m=1
β 1 β 1
l
l
am C(m)
≤
.
k
k
В пространстве E рассмотрим последовательность случайных элементов Zn ≡ (Xn , Λn ),
n ∈ N. Из независимости для всех n ∈ N случайных процессов Xn и Λn и выполнения
условия (A) или (B) следует сходимость
d
→ Z при n → ∞,
Zn −
где Z = (X , Λ).
Пусть l, k ∈ N, l < k. Обозначим C = 1 + C1 , β = min{β1 , β2 }. Тогда для случайных
, Λ ) верно неравенство
элементов Zlk ≡ (Xlk
lk
β
l
.
EρE (Zk , Zlk ) ≤ C
k
Кроме того, нетрудно видеть, что случайные элементы Zl и Zlk независимы. Следовательно,
для Zn выполнены условия теоремы 1 в [11]. Таким образом,
w
→ µZ при n → ∞
Q(Zn ) (ω) −
для почти всех ω ∈ Ω. По леммам 1 и 2 выполнение условий (A) или (B) влечет непрерывность оператора F . Следовательно,
w
→ µF (Z) при n → ∞
Q(F (Zn )) (ω) −
для почти всех ω ∈ Ω. Поскольку Q(F (Zn )) = Q(F (Xn ,Λn )) (ω) = Q(Xn (Λn )) (ω) и µF (Z) =
µF (X ,Λ) = µX (Λ) , верна сходимость
w
→ µX при n → ∞
Q(Xn ) (ω) −
для почти всех ω ∈ Ω.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
57
При более слабых условиях на случайные процессы Xn , Λn имеет место следующий аналог теоремы 2.
Теорема 3. Пусть для всех n ∈ N случайные процессы Xn и Λn независимы, выполнены
условия (A) или (B) и
w
→ µX при n → ∞ для почти всех ω1 ∈ Ω1 ,
Q(Xn ) (ω1 ) −
w
→ µΛ
Q(Λn ) (ω2 ) −
Тогда
при n → ∞ для почти всех ω2 ∈ Ω2 .
n
1
1
w
δ −
→ µX ◦Λ при n → ∞
(ln n)2
ij Xi (ω1 )◦Λj (ω2 )
i,j=1
для почти всех (ω1 , ω2 ) ∈ Ω.
Доказательство. Сходимость последовательностей случайных мер Q(Xn ) , Q(Λn ) и независимость Xn и Λn влечет сходимость
w
→ µX × µΛ при n → ∞ для почти всех (ω1 , ω2 ) ∈ Ω.
Q(Xn ) (ω1 ) × Q(Λn ) (ω2 ) −
Заметим, что
Q(Xn ) (ω1 ) × Q(Λn ) (ω2 ) =
n
1
1
δ 2
(ln n)
ij (Xi (ω1 ),Λj (ω2 ))
i,j=1
и
n
n
1
1
1
1
δF (Xi (ω1 ),Λj (ω2 )) =
δ .
2
2
(ln n)
ij
(ln n)
ij Xi (ω1 )◦Λj (ω2 )
i,j=1
i,j=1
По леммам 1 и 2 выполнение условия (A) или (B) влечет непрерывность оператора F .
Следовательно,
n
1
1
w
δ −
→ µX (ω1 )◦Λ(ω2 ) при n → ∞
(ln n)2
ij Xi (ω1 )◦Λj (ω2 )
i,j=1
для почти всех (ω1 , ω2 ) ∈ Ω. Таким образом,
n
1
1
w
δ −
→ µX ◦Λ при n → ∞
(ln n)2
ij Xi (ω1 )◦Λj (ω2 )
i,j=1
для почти всех (ω1 , ω2 ) ∈ Ω.
Литература
[1] Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. – Киев: Вища школа, 1974.
– 320 с.
[2] Chuprunov A., Fazekas I. Almost sure versions of some analogues of the invariance principle // Publicationes
Math., Debrecen – 1999. – V. 54. – № 3. – P. 457–471.
[3] Chuprunov A., Fazekas I. Integral analogues of almost sure limit theorems // Periodica Math. Hungarica. –
2005. – V. 5. – №. 1. – P. 61–78.
[4] Фазекаш И., Чупрунов А.Н. Почти наверное предельные теоремы для статистики Пирсона // Теор.
вероятностей и ее прим. – 2003. – V. 48. – № 1. – P. 162–169.
[5] Fazekas I., Chuprunov A. Convergence of random step lines to Ornstein–Uhlenbeck type processes // Technical
Report of the Debrecen University. – 1996. – № 24. – P. 22.
[6] Atlagh M. Theoreme centrale limite presque sur et loi du logarithme itere // Institut de recherche
mathematique avancee, Strasburg. – 1996. – 62 p.
[7] Stone C. Weak convergence of stochastic processes on semiinfinite time intervals // Proc. Amer. Math. Soc.
– 1963. – V. 14. – P. 694–696.
58
Е.Е. ПЕРМЯКОВА
[8] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
[9] Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. – М.: Физматлит, 2003. – 400 с.
[10] Permiakova E. Functional limit theorems for Levy processes and their almost-sure versions // Liet. matem.
rink. – 2007. – V. 47. – № 1. - P. 81–92.
[11] Chuprunov A., Fazekas I. Almost sure versions of some functional limit theorems // Publicationes Math.,
Debrecen – 2001. — № 265. – P. 14.
Е.Е. Пермякова
научный сотрудник, НИИММ им. Н.Г. Чеботарева,
420008, Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37,
e-mail: epermiakova@gmail.com
E.E. Permyakova
Research Worker, N.G. Chebotaryov R&D Institute of Mathematics and Mechanics,
1/37 Professor Nuzhin str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: epermiakova@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
200 Кб
Теги
времени, процессов, теорема, случайных, случайное, заменой, предельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа