close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Предельные циклы системы дифференциальных уравнений второго порядка. Метод малых форм

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2009, № 8, c. 73–82
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
М.Т. ТЕРЁХИН
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. МЕТОД МАЛЫХ ФОРМ
Аннотация. Работа посвящена исследованию проблемы существования предельных циклов
системы дифференциальных уравнений второго порядка с векторным параметром.
Предложен метод представления решения в виде суммы форм относительно начального
значения и параметра, названный в работе методом малых форм. Определены условия, при
которых в достаточно малой окрестности состояния равновесия нет предельных циклов. Построен многочлен, положительные корни нечетной кратности которого определяют нижнюю
границу числа циклов, простые положительные корни (других положительных корней нет)
определяют число предельных циклов в достаточно малой окрестности состояния равновесия.
Доказаны теоремы, при выполнении условий которых положительный корень нечетной
кратности многочлена определяет единственный предельный цикл, а положительный корень
четной кратности — ровно два предельных цикла. Предложен способ определения характера
устойчивости предельных циклов.
Ключевые слова: устойчивый (неустойчивый) предельный цикл, многочлен, простые корни,
корни четной и нечетной кратности, оператор сжатия, неподвижная точка.
УДК: 517.925
Abstract. In this paper we investigate the existence of limit cycles of a system of the second-order
differential equations with a vector parameter.
We propose a method for representing a solution as a sum of forms with respect to the initial
value and the parameter; we call this technique the method of small forms. We establish the
conditions under which a sufficiently small neighborhood of the equilibrium point contains no limit
cycles. We construct a polynomial, whose positive roots of an odd multiplicity define the lower
bound for the number of cycles, and prime positive roots (other positive roots do not exist) define
the number of limit cycles in a sufficiently small neighborhood of the equilibrium point.
We prove theorems, whose conditions guarantee that a positive root of an odd multiplicity
defines a unique limit cycle, but a positive root of an even multiplicity defines exactly two limit
cycles. We propose a method for defining the type of the stability of limit cycles.
Keywords: stable (unstable) limit cycle, polynomial, prime roots, roots of even and odd multiplicity, contraction operator, fixed point.
Проблема существования предельных циклов исследовалась во многих работах. Наиболее интересные результаты получены в работах [1]–[14]. Одним из методов изучения проблемы предельных циклов в достаточно малой окрестности состояния равновесия системы
Поступила 26.04.2007
73
74
М.Т. ТЕРЁХИН
является метод малого параметра, применение которого сопряжено со значительными вычислительными трудностями особенно в тех случаях, когда параметр векторный.
В статье для исследования проблемы существования предельных циклов в достаточно
малой окрестности состояния равновесия используется метод малых форм, при этом не
исключается, что параметр может быть векторным.
Рассмотрим систему уравнений вида
n
n
(aij + µij )xi y j , ẏ = x +
(bij + λij )xi y j ,
(1)
ẋ = −y +
i+j=k0
i+j=k0
в которой aij , bij — постоянные действительные числа, µij , λij — параметры, k0 2.
Пусть µν = (µν0 , µν−11 , . . . , µ0ν ), λν = (λν0 , λν−11 , . . . , λ0ν ) при любом ν ∈ {k0 , k0 +
1, . . . , n}, γν = (µν , λν ) — вектор, первыми ν + 1 координатами которого являются координаты вектора µν , остальными ν + 1 координатами — координаты вектора λν . Определим
вектор γ = (γk0 , γk0 +1 , . . . , γn ).
В полярных координатах система (1) запишется в виде
n
ρ̇ =
ν
ρ [τν (ϕ)
+ τν1 (ϕ, γν )],
ϕ̇ = 1 +
ν=k0
n
ρν−1 [λν (ϕ) + λ1ν (ϕ, γν )].
(2)
ν=k0
Пусть |z| = max{|zi |}, γ = re, |e| = 1, r > 0, γν = reν , D(δ0 ) = {(ϕ, ρ, r) : ϕ ∈ [0, 2π], ρ δ0 ,
i
r δ0 }, ϑ = (α, r), |ϑ| = max{α, r}, α 0, V (δ0 ) = {ϑ : |ϑ| δ0 }, T (δ0 ) = {(ϕ, ϑ) : ϕ ∈ [0, 2π],
ϑ ∈ V (δ0 )}, δ0 > 0, S = {e : |e| = 1}.
Следовательно, τν1 (ϕ, γν ) = rτν1 (ϕ, eν ), λ1ν (ϕ, γν ) = rλ1ν (ϕ, eν ).
Число δ0 > 0 выберем так, чтобы на множестве D(δ0 ) × S выполнялось неравенство
n ν−1
ρ [λν (ϕ) + rλ1ν (ϕ, eν )] q для некоторого q < 1. Тогда систему (2) можно заменить
ν=k0
уравнением
n
dρ
=
dϕ
ρν [τν (ϕ) + rτν1 (ϕ, eν )]
ν=k0
n
.
(3)
ρν−1 [λν (ϕ) + rλ1ν (ϕ, eν )]
1+
ν=k0
Уравнение (3) запишем в виде
в котором Q(ϕ, ρ, r, e) =
∞
dρ
= Q(ϕ, ρ, r, e),
dϕ
(4)
Yj (ϕ, ρ, r, e), Yj (ϕ, ρ, r, e) — непрерывная 2π-периодическая по ϕ
j=k0
форма порядка j относительно r, ρ, ряд
∞
j=k0
Yj (ϕ, ρ, r, e) равномерно сходится на множестве
D(δ0 ) × S.
Символом ρ(ϕ, α, r, e), ρ(0, α, r, e) = α, обозначим решение уравнения (4). Заметим, что
ρ = 0 — решение уравнения (4). Следовательно, по теореме о единственности и непрерывной
зависимости решения от начальных условий и параметра существует число δ1 ∈ (0, δ0 ] такое,
что при любых (α, r, e) ∈ V (δ1 )×S уравнение (4) имеет решение ρ(ϕ, α, r, e), определенное на
сегменте [0, 2π], непрерывное на множестве T (δ1 )×S и удовлетворяющее на этом множестве
неравенству ρ(ϕ, α, r, e) δ0 .
Далее предположим, что δ1 выбрано согласно вышеупомянутой теореме. Отметим, что
2π-периодическое решение ρ(ϕ, α, r, e) уравнения (4) является циклом системы (1).
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
75
Определение 1. Предельный цикл ρ(ϕ, α0 , r, e) называется устойчивым (неустойчивым),
если существует число δ∗ > 0 такое, что при любом α ∈ (0, δ1 ], удовлетворяющем неравенствам 0 < |α − α0 | < δ∗ , выполнено соотношение
(ρ(2π, α, r, e) − α)(α − α0 ) < 0 (ρ(2π, α, r, e) − α)(α − α0 ) > 0 .
Определение 2. Предельный цикл ρ(ϕ, α, r, e) назовем обладающим o-свойством, если
α → 0 при r → 0.
Ставится задача: определить условия существования предельных циклов системы (1),
обладающих o-свойством, число таких циклов, характер их устойчивости.
Далее для простоты записей вместо слов “предельный цикл, обладающий o-свойством”,
будем писать “предельный цикл”.
Из определения функции Q(ϕ, ρ, r, e) следует, что существует непрерывная на множестве
D(δ0 ) × S функция Q1 (ϕ, ρ, r, e), причем на этом множестве Q(ϕ, ρ, r, e) = ρ2 Q1 (ϕ, ρ, r, e).
Решением уравнения (4) является
ϕ
ρ2 (ξ, α, r, e)Q1 (ξ, ρ(ξ, α, r, e), r, e)dξ.
(5)
ρ(ϕ, α, r, e) = α +
0
Теорема 1. Для любой точки (α, r, e) ∈ V (δ1 ) × S решение ρ(ϕ, α, r, e) уравнения (4) определяется равенством ρ(ϕ, α, r, e) = α + µ(ϕ, α, r, e), в котором µ(ϕ, α, r, e) — непрерывная
на множестве T (δ1 ) × S функция, µ(ϕ, α, r, e) = o(α) равномерно относительно ϕ ∈ [0, 2π],
r ∈ (δ1 ], e ∈ S.
Доказательство. Пусть число L > 0 таково, что |Q1 (ϕ, ρ, r, e)| L на множестве D(δ0 ) × S.
ϕ
Тогда согласно равенству (5) ρ(ϕ, α, r, e) α + Lδ0 ρ(ξ, α, r, e)dξ. По лемме Гронуолла–
0
Беллмана ([15], с. 108) ρ(ϕ, α, r, e) α exp(2πLδ0 ). А это значит, что ρ(ϕ, α, r, e)/α ограничеϕ
но на множестве T (δ1 ) × S, lim ρ(ϕ, α, r, e) = 0, lim α1 ρ2 (ξ, α, r, e)Q1 (ξ, ρ(ξ, α, r, e), r, e) = 0
α→0
α→0
0
равномерно относительно ϕ ∈ [0, 2π], r ∈ (0, δ1 ], e ∈ S.
Непрерывность функции µ(ϕ, α, r, e) на множестве T (δ1 ) × S непосредственно следует из
равенства µ(ϕ, α, r, e) = ρ(ϕ, α, r, e) − α.
Теорема 2. На множестве T (δ1 ) × S функция µ(ϕ, α, r, e) имеет производную по α, обладающую на этом множестве следующими свойствами:
∂
∂
µ(ϕ, α, r, e) непрерывна, lim ∂α
µ(ϕ, α, r, e) = 0 равномерно относительно ϕ ∈ [0, 2π],
1) ∂α
α→0
r ∈ (0, δ1 ], e ∈ S;
∂
µ(ϕ, α, r, e) ограничена.
2) α1 ∂α
Доказательство. Существование производной по α функции µ(ϕ, α, r, e) на множестве
T (δ1 ) × S следует из равенства µ(ϕ, α, r, e) = ρ(ϕ, α, r, e) − α ([16], с. 303). Непосредствен∂
Q(ϕ, ρ, r, e) = ρΦ(ϕ, ρ, r, e), функция Φ(ϕ, ρ, r, e)
ным вычислением устанавливаем, что ∂ρ
непрерывна на множестве D(δ1 ) × S. Поэтому
ϕ
∂
∂
µ(ϕ, α, r, e) =
ρ(ϕ, α, r, e) − 1 =
ρ(ξ, α, r, e)Φ(ξ, ρ(ξ, α, r, e), r, e)dξM (ϕ, α, r, e),
∂α
∂α
0
где M (ϕ, α, r, e) — непрерывная на множестве T (δ1 ) × S функция. Следовательно, функ∂
∂
µ(ϕ, α, r, e) непрерывна на множестве T (δ1 ) × S и lim ∂α
µ(ϕ, α, r, e) = 0 равномерно
ция ∂α
относительно ϕ ∈ [0, 2π], r ∈ (0, δ1 ], e ∈ S.
α→0
76
М.Т. ТЕРЁХИН
Из непрерывности функций Φ(ϕ, ρ, r, e), M (ϕ, α, r, e) следует существование числа N > 0
такого, что для любых точек (ϕ, ρ, r, e) ∈ D(δ1 ) × S и (ϕ, α, r, e) ∈ T (δ1 ) × S выполнены
неравенства |Φ(ϕ, ρ, r, e)| N , |M (ϕ, α, r, e)| N . Тогда, учитывая, что ρ(ϕ, α, r, e) ∈ [0, δ0 ],
∂
µ(ϕ, α, r, e)| 2πN 2 exp(2πLδ0 ).
получаем α1 | ∂α
Согласно теореме 1 решение ρ(ϕ, α, r, e) уравнения (4) можно представить равенством
ρ(ϕ, α, r, e) = α +
ϕ ∞
Yj (ξ, α + µ(ξ, α, r, e), r, e)dξ = α + Lk0 (ϕ, α, r, e)+
0 j=k0
+ zk0 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)), (6)
где Lk0 (ϕ, α, r, e) =
ϕ
Yk0 (ξ, α, r, e)dξ — форма порядка k0 относительно α, r;
0
zk0 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) = o(|ϑ|k0 ) равномерно относительно ϕ ∈ [0, 2π], e ∈ S.
Непосредственным вычислением и с учетом теоремы 2 устанавливаем существование
∂
zk0 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ,
непрерывной производной ∂α
α, r, e)) и числа βk0 > 0, удовлетворяющих
1
∂
неравенству |ϑ|k0 ∂α zk0 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) βk0 на множестве T (δ1 ) × S. Учитывая равенство (6), получаем
∞
ϕ ρ(ϕ, α, r, e) = α +
0
Yj (ξ, α + Lk0 (ξ, α, r, e) + zk0 (ξ, α, r, e, µ(ξ, α, r, e)), r, e)dξ =
j=k0
= α + Lk0 (ϕ, α, r, e) + Lk0 +1 (ϕ, α, r, e) + zk0 +1 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)),
где Lk0 +1 (ϕ, α, r, e) — форма порядка k0 + 1 относительно α, r;
zk0 +1 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) = o(|ϑ|k0 +1 )
равномерно относительно ϕ ∈ [0, 2π], e ∈ S.
Аналогично устанавливаем существование непрерывной производной
∂
∂α zk0 +1 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) и числа βk0 +1 > 0, удовлетворяющих неравенству
∂
zk0 +1 (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e))| βk0 +1 на множестве T (δ1 ) × S.
| |ϑ|k10 +1 ∂α
Продолжая этот процесс далее, получаем при любом фиксированном s
ρ(ϕ, α, r, e) = α +
s
Lj (ϕ, α, r, e) + zs (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)),
(7)
j=k0
где при любом j ∈ {k0 , k0 + 1, . . . , s} Lj (ϕ, α, r, e) — форма порядка j относительно α, r;
zs (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) = o(|ϑ|s ) равномерно относительно ϕ ∈ [0, 2π], e ∈ S.
∂
zs (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) и числа βs > 0, удоСуществование непрерывной производной ∂α
влетворяющих неравенству
1 ∂
(8)
|ϑ|s ∂α zs (ϕ, α, r, e, µ(ϕ, α, r, e)) βs
на множестве T (δ1 ) × S, устанавливается непосредственным вычислением и с учетом теоремы 2.
Следовательно, чтобы решение ρ(ϕ, α, r, e) уравнения (4) было ненулевым 2π-периодическим решением, необходимо и достаточно, чтобы числа α > 0, r 0 и вектор e ∈ S
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
77
удовлетворяли равенству
s
Lj (α, r, e) + o(|ϑ|s ) = 0,
(9)
j=k0
в котором Lj (α, r, e) = Lj (2π, α, r, e) при любом j.
Метод представления решения ρ(ϕ, α, r, e) уравнения (4) равенством (7) называется методом малых форм.
Пусть e0 ∈ S — некоторый вектор и пусть натуральное число p s таково, что Lp (α, r, e0 )
не равно тождественно нулю, а Lj (α, r, e0 ) ≡ 0 при любом j < p. Тогда уравнение (9) примет
вид
(10)
Lp (α, r, e0 ) + o(|ϑ|p ) = 0.
При этом согласно неравенству (8)
1 ∂
p
|ϑ|p ∂α o(|ϑ| ) βp
(11)
на множестве V (δ1 ).
Так как α = 0 — корень уравнения (10), то из определения функций Lp (α, r, e0 ), o(|ϑ|p )
следует существование натурального числа p1 p, при котором уравнение (10) примет вид
αp1 (L∗p2 (α, r, e0 ) + o(|ϑ|p2 )) = 0, где p1 + p2 = p, L∗p2 (0, r, e0 ) = 0.
Теорема 3. Если при любом ϑ(|ϑ| = 1) L∗p2 (α, r, e0 ) = 0, то существуют число δ > 0 и
окрестность точки (0, 0), в которой нет циклов системы (1) при любом r ∈ (0, δ].
Доказательство. Пусть ϑ = εl, l = (l1 , l2 ), |l| = 1, α = εl1 , r = εl2 , ε > 0. Тогда существует
число λ > 0 такое, что |L∗p2 (l1 , l2 , e0 )| λ при любом l ∈ M = {l : |l| = 1}. Из равенства
lim o(εp2 )/εp2 = 0 следует существование числа δ ∈ (0, δ1 ], при котором для любого ε ∈ (0, δ]
ε→0
|o(εp2 )|/εp2 < λ2 . А это значит, что |L∗p2 (l1 , l2 , e0 ) + o(εp2 )/εp2 | > λ2 для любого вектора l ∈ M .
Следовательно, любая точка (α, r) ∈ V (δ), α > 0, не является решением уравнения (10), а
в δ-окрестности точки (0, 0) система (1) не имеет циклов.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда состояние равновесия (0, 0)
системы (1) устойчиво, если L∗p2 (α, r, e0 ) < 0, и неустойчиво, если L∗p2 (α, r, e0 ) > 0.
Доказательство. Действительно, согласно теореме 3 при любых r ∈ (0, δ] в δ-окрестности
точки (0, 0) ρ(2π, α, r, e0 ) − α < 0 (ρ(2π, α, r, e0 ) − α > 0), если L∗p2 (α, r, e0 ) < 0
(L∗p2 (α, r, e0 ) > 0).
Из уравнения (10) после замены переменных α = kr получим
F (k, e0 ) + O(k, r) = 0,
(12)
где O(k, r) = o(|kr, r|p )/r p , F (k, e0 ) = Lp (k, 1, e0 ).
Теорема 4. Существуют числа σ ∗ > 0, δ2 ∈ (0, δ1 ] такие, что при любом r ∈ (0, δ2 ] на
множестве [−σ ∗ , σ ∗ ] единственным корнем уравнения (12) является k = 0.
Доказательство. Пусть k = 0 — корень многочлена F (k, e0 ) кратности m1 1. Тогда
уравнение (12) примет вид km1 F ∗ (k, e0 ) + O(k, r) = 0, F ∗ (0, e0 ) = 0. Число σ1 > 0 выберем
так, чтобы при любом k ∈ [−σ1 , σ1 ] выполнялось неравенство |F ∗ (k, e0 )| d0 , d0 > 0 —
некоторое число.
78
М.Т. ТЕРЁХИН
Из определения функции O(k, r) следует, что lim O(k, r)/km1 = 0 равномерно отноk→0
сительно r ∈ (0, δ1 ]. Поэтому существуют числа σ ∗ ∈ (0, σ1 ], δ2 ∈ (0, δ1 ], при которых
|O(k, r)|/km1 < d0 /2 для любых k ∈ [−σ ∗ , σ ∗ ], k = 0, r ∈ (0, δ2 ], и, следовательно,
|F (k, e0 ) + O(k, r)| |km1 |d0 /2.
Теорема 5. Пусть k1 , k2 , . . . , kd — различные положительные корни многочлена F (k, e0 )
нечетной кратности. Тогда существует число δ2 ∈ (0, δ1 ] такое, что при любом фиксированном r ∈ (0, δ2 ], e = e0 уравнение (4) имеет не менее d ненулевых 2π-периодических
решений.
Доказательство. Не уменьшая общности рассуждений, предположим, что F (k, e0 ) не имеет
других положительных корней, в том числе и корней четной кратности.
Пусть k∗ > 0 таково, что |F (k, e0 )| M ∗ при любом k k∗ , M ∗ > 0 — некоторое число.
Согласно теореме 4 числа c0 , δ∗ ∈ (0, δ1 ] можно выбрать так, что при любом r ∈ (0, δ∗ ]
на сегменте [−c0 , c0 ] уравнение (12) не будет иметь ненулевых корней. Кроме того, выберем число c0 удовлетворяющим включению c0 ∈ (0, min{k1 , k2 , . . . , kd }). Следовательно, все
положительные корни многочлена F (k, e0 ) расположены на интервале (c0 , k∗ ).
Пусть число b > 0 таково, что при любом i ∈ {1, 2, . . . , d} (ki − b, ki + b) ⊂ (c0 , k∗ ), (ki −
d
b, ki + b) (kj − b, kj + b) = ∅ при любом i = j. Тогда множество E = [c0 , k∗ ] − (ki − b, ki + b)
i=1
замкнутое, ограниченное и F (k, e0 ) = 0 при любом k ∈ E. Поэтому существует число a > 0
такое, что |F (k, e0 )| a при любом k ∈ E.
Положим β = min{a, M ∗ , |F (ki − b, e0 )|, |F (ki + b, e0 )|} при любом i ∈ {1, 2, . . . , d}. Следовательно, |F (k, e0 )| β при любом k ∈ E.
Из определения o(|ϑ|p ) следует, что функция O(k, r) непрерывна на множестве [c0 , k∗ ]
при любом r ∈ (0, δ∗ ] и lim O(k, r) = 0 равномерно относительно k ∈ [c0 , k∗ ]. Кроме того,
r→0
для любого числа k > k∗ число δ2 ∈ (0, δ∗ ] можно выбрать так, что при любых k ∈ [k∗ , k]
и r ∈ (0, δ2 ] получим |O(k, r)| < β. Таким образом, число δ2 ∈ (0, δ∗ ] можно выбрать так,
чтобы при любых k ∈ E ∪ (k∗ , k], r ∈ (0, δ2 ] выполнялось неравенство F (k, e0 ) + O(k, r)| > 0.
Следовательно, все корни уравнения (12), принадлежащие сегменту [c0 , k], могут находиться только в интервалах (ki − b, ki + b).
Фиксируем некоторое число i ∈ {1, 2, . . . , d}. Пусть для определенности F (ki − b, e0 ) < 0,
F (ki + b, e0 ) > 0. Тогда при любых r ∈ (0, δ2 ], k ∈ [c0 , k∗ ] имеем F (ki − b, e0 ) + O(k, r) < 0,
F (ki +b, e0 )+O(k, r) > 0. Следовательно, существует по крайней мере один корень уравнения
(12) в интервале (ki − b, ki + b).
Пусть r ∗ ∈ (0, δ2 ] — произвольное число и пусть число ki∗ ∈ (ki − b, ki + b) удовлетворяет
равенству F (ki∗ , e0 ) + O(ki∗ , r ∗ ) = 0. Тогда (α∗i , r ∗ ) (α∗i = ki∗ r ∗ ) — ненулевое решение уравнения (10), ρ(ϕ, α∗i , r ∗ , e0 ) — ненулевое 2π-периодическое решение уравнения (4) при e = e0 .
Из произвольности i ∈ {1, 2, . . . , d} следует справедливость теоремы.
Теорема 6. Пусть k1 , k2 , . . . , kd — простые положительные корни многочлена F (k, e0 ),
при любом k > 0, k ∈
/ {k1 , k2 , . . . , kd }, F (k, e0 ) = 0. Тогда существуют число δ2 ∈ (0, δ1 ]
и окрестность точки (0, 0), в которой при любом r ∈ (0, δ2 ] система (1) имеет ровно d
предельных циклов.
Доказательство. Из теоремы 4 следует существование чисел c∗ > 0, δ2 ∈ (0, δ1 ] таких, что
при любом r ∈ (0, δ2 ] уравнение (12) на множестве (0, c∗ ] не имеет корней. Число c∗ выберем
так, чтобы F (k, e0 ) = 0 при любом k ∈ (0, c∗ ].
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
79
Пусть k∗ > max{k1 , k2 , . . . , kd } — некоторое число. Тогда согласно условиям теоремы
существует число b > 0, при котором для любых (i, j) ∈ {1, 2, . . . , d}, k ∈ [ki − b, ki + b] будем
иметь |F (k, e0 )| m2 , (ki − b, ki + b) ∈ [c∗ , k∗ ], (ki − b, ki + b) ∩ (kj − b, kj + b) = ∅, i = j,
m2 > 0 — некоторое число.
Аналогично, как при доказательстве теоремы 5, устанавливаем, что для любого числа
k k∗ существует число δ2 ∈ (0, δ1 ] такое, что при любом r ∈ (0, δ2 ] все положительные
корни уравнения (12), принадлежащие множеству (0, k], содержатся только в интервалах
(ki − b, ki + b).
Убедимся, что число δ2 ∈ (0, δ1 ] можно выбрать так, что при любом r ∈ (0, δ2 ] уравнение
(12) в интервале (ki − b, ki + b) будет иметь единственный корень.
Действительно, согласно неравенству (11) и с учетом того, что k > 0, имеем |ϑ| = |kr, r| =
ωr, ω = k при k > 1, ω = 1 при k 1,
∂
O(k, r) = ∂ o(|kr, r|) r ω p βp r.
∂α
∂k
rp Число δ2 ∈ (0, δ1 ] выберем так, чтобы при любом r ∈ (0, δ2 ] выполнялось неравенство
∂
(F (k, e0 ) + O(k, r))| m2 /2 при r ∈ (0, δ2 ], k ∈ [ki − b, ki + b].
ω p βp r < m22 . Следовательно, | ∂k
Значит, при любом r ∈ (0, δ2 ] функция F (k, e0 ) + O(k, r) строго монотонна на сегменте
[ki − b, ki + b] и поэтому имеет единственный нуль в интервале (ki − b, ki + b). Тогда для
любого числа σ ∈ (0, b] число δ2 ∈ (0, δ1 ] можно выбрать так, что при любом r ∈ (0, δ2 ]
уравнение (12) в интервале (ki − σ, ki + σ) будет иметь единственный корень ki∗ . Отсюда в
силу произвольности σ ∈ (0, b] следует ki∗ → ki при r → 0.
Выберем произвольное число r ∈ (0, δ2 ]. Пусть ki∗ ∈ (ki − b, ki + b) — решение уравнения
(12). Тогда вектор ϑ∗i = (α∗i , r) (α∗i = ki∗ r) — решение уравнения (10), ρ(ϕ, α∗i , r, e0 ) — ненулевое 2π-периодическое решение такое, что α∗ → 0 при r → 0. Следовательно, ρ(ϕ, α∗i , r, e0 )
— предельный цикл системы (1).
Очевидным является
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 6. Если F (ki , e0 ) < 0, то предельный
цикл ρ(ϕ, α∗i , r, e0 ) устойчивый, если же F (ki , e0 ) > 0, то предельный цикл ρ(ϕ, α∗i , r, e0 )
неустойчивый.
Из равенства (9) следует, что уравнение (10) можно представить в виде
∗
Lp (α, r, e0 ) + Lp∗ (α, r, e0 ) + o(|ϑ|p ) = 0,
(13)
где p∗ > p.
Пусть k0 — корень многочлена F (k, e0 ) кратности m3 . Полагая F1 (k, e0 ) = Lp∗ (k, 1, e0 ),
уравнение (13) представим в виде
(k − k0 )m3 F ∗ (k, e0 ) + r p
∗ −p
∗
F1 (k, e0 ) + o(|ϑ|p )/r p = 0.
(14)
Теорема 7. Пусть k0 > 0, m3 > 1 — нечетное число, F1 (k0 , e0 ) = 0. Тогда существуют
что при любом r ∈ (0, δ2 ] существует единственное
числа δ2 ∈ (0, δ1 ],√λ > 0 такие,
m
m√
число k ∈ (k0 − 3 λ, k0 + 3 λ), при котором ρ(ϕ, α, r, e0 ) (α = kr) — предельный цикл
системы (1).
Доказательство. Пусть z = (k − k0 )m3 . Тогда уравнение (14) примет вид
1
zF ∗ (k0 + z m3 , e0 ) + r p
∗ −p
1
1
F1 (k0 + z m3 , e0 ) + O(k0 + z m3 , r) = 0.
(15)
80
М.Т. ТЕРЁХИН
Числа λ > 0, δ∗ ∈ (0, δ1 ] выберем таким образом, чтобы k0 −
1
√
m√
λ > 0 и (k0 + 3 λ)r δ1 ,
m3
1
F ∗ (k0 + z m3 , e0 )F1 (k0 + z m3 , e0 ) = 0 при любых r ∈ (0, δ∗ ], z ∈ [−λ, λ]. Следовательно, из
равенства (15) имеем
z = −[r p
.
∗ −p
1
1
1
F1 (k0 + z m3 , e0 ) + O(k0 + z m3 , r)]/F ∗ (k0 + z m3 , e0 ).
(16)
Для определенности положим F ∗ (k0 , e0 )F1 (k0 , e0 ) < 0. Тогда
1
1
min [−F1 (k0 + z m3 , e0 )]/F ∗ (k0 + z m3 , e0 ) = m4 > 0.
|z|λ
Оператор Γ определим правой частью равенства (16). Очевидно, Γ непрерывен на мно1
жестве [−λ, λ] при любом фиксированном r ∈ (0, δ∗ ]. Так как lim O(k0 + z m3 , r) = 0 равноr→0
мерно относительно z ∈ [−λ, λ], то существует число δ2 ∈ (0, δ∗ ], при котором для любых
∗
z ∈ [−λ, λ], r ∈ (0, δ2 ] выполнено включение Γ z ∈ (r p −p m4 /2, λ).
Убедимся, что число δ2 ∈ (0, δ∗ ] можно выбрать так, что при любом r ∈ (0, δ2 ] оператор
∗
Γ на множестве [r p −p m4 /2, λ] будет оператором сжатия.
1
1
Действительно, согласно неравенству (11) и |ϑ| = |(k0 + z m3 )r, r| = ω1 r, ω1 = k0 + z m3 при
1
1
k0 + z m3 > 1, ω1 = 1 при k0 + z m3 1, получим при любых r ∈ (0, δ2 ], z ∈ [r p
m3 +p∗ −p
1
1
∂
O(k0 + z m3 , r) βp∗ ω1 1 r m3 (m4 /2) m3 −1 .
∂z
m3
∗ −p
m4 /2, λ]
Так как F ∗ (k, e0 ), F1 (k, e0 ) — многочлены, то существуют числа q ∈ (0, 1), δ2 ∈ (0, δ∗ ] такие,
∗
∂
Γ z| < q при любых r ∈ (0, δ2 ], z ∈ [r p −p m4 /2, λ].
что | ∂z
∗
Следовательно, при любом r ∈ (0, δ2 ] оператор Γ на множестве [r p −p m4 /2, λ] имеет единственную неподвижную точку. (Если предположить, что F ∗ (k0 , e0 )F1 (k0 , e0 ) > 0, то един∗
ственную неподвижную точку Γ будет иметь на интервале (−λ, −r p −p m4 /2).)
∗
Выберем произвольное число
r ∈ (0, δ2 ]. Пусть z ∗ ∈ (r p −p m4 /2, λ) — неподвижная точка
m√
3
0
z ∗ — единственное решение уравнения (14), принадлежащее
оператора Γ . Тогда
k +
m√
m√
3
0
0
λ, k + 3 λ). Решением уравнения (13) является вектор ϑ∗ = (α∗ , r),
интервалу (k −
α∗ = (k0 + z
∗ m1
3
)r, а ρ(ϕ, α∗ , r, e0 ) — 2π-периодическое решение уравнения (4).
Аналогично, как при доказательстве теоремы 6, устанавливаем, что k0 + z
r → 0. Поэтому ρ(ϕ, α∗ , r, e0 ) — предельный цикл системы (1).
∗ m1
3
→ k0 при
Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда предельный цикл ρ(ϕ, α∗ , r, e0 )
устойчивый при F ∗ (k0 , e0 ) < 0 и неустойчивый при F ∗ (k0 , e0 ) > 0.
m√
Доказательство.
Действительно, пусть F ∗ (k0 , e0 ) < 0. Тогда F (k0 − 3 λ, e0 ) > 0, F (k0 +
√
m3
λ, e0 ) < 0. Число
δ2 ∈ (0, δ∗ ] выберем
так, чтобы при любом
r ∈ (0, δ2 ] выполнялись
нера√
m
m√
m√
m√
3
3
3
3
0
0
p
p
0
0
p
λ, e0 )+o(|(k −
λ)r, r| )/r >0, F (k +
λ, e0 )+o(|(k
+ √ λ)r, r| )/r p <0.
венства F (k −
m√
m
3
p
p
0
0
k ∈ (k −
λ, k + 3 z ∗ ), r p F (k, e0 )+
Следовательно, r F (k, e0 )+o(|k, r, r| )√> 0 при любом
√
m
m
o(|k, r, r|p ) < 0 при любом k ∈ (k0 + 3 z ∗ , k0 + 3 λ), т. е. предельный цикл ρ(ϕ, α∗ , r, e0 )
устойчивый.
Аналогично устанавливается, что при F ∗ (x0 , e0 ) > 0 предельный цикл ρ(ϕ, α∗ , r, e0 ) неустойчивый.
Теорема 8. Пусть k0 > 0, m3 — четное число, F ∗ (k0 , e0 )F1 (k0 , e0 ) < 0. Тогда существуют
числа λ > 0, δ2 ∈ (0, δ1 ] такие, что при любом r ∈ (0, δ2 ] существует ровно два значения
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
81
m√
m√
k ∈ (k0 − 3 λ, k0 + 3 λ), при каждом из которых ρ(ϕ, α, r, e0 ) (α = kr) — предельный
цикл системы (1).
Доказательство. Пусть (k − k0 )m3 = z. Тогда уравнение (14) преобразуется в (15). Далее,
повторяя доказательство теоремы 7, устанавливаем существование чисел λ > 0, δ2 ∈ (0, δ∗ ]
таких, что при любом r ∈ (0, δ2 ] уравнение (15) на интервале (−λ, λ)√имеет единственное
∗
m
m√
решение z ∗ ∈ (r p −p m4 /2, λ). Следовательно,
(14) на
интервале (k0 − 3 λ, k0 + 3 λ) имеет
√
√
m
m
ровно два решения k1∗ = k0 − 3 z ∗ , k2∗ = k0 + 3 z ∗ . При любом i ∈ {1, 2} вектор ϑ∗i =
(α∗i , r) (α∗i = ki∗ r) — решение уравнения (13), а ρ(ϕ, α∗i , r, e0 ) — 2π-периодическое решение
уравнения (4).
Аналогично, как при доказательстве теоремы 6, устанавливаем, что ki∗ → k0 при r → 0.
Поэтому ρ(ϕ, α∗i , r, e0 ) — предельный цикл системы (1).
Отметим, что если в теореме 8 условие F ∗ (k0 , e0 )F1 (k0 , e0 ) < 0 заменить условием
> 0, то можно установить (см. доказательство теоремы 7) существование
чисел λ√> 0, δ2 ∈√ (0, δ∗ ] таких, что при любом r ∈ (0, δ2 ] уравнение (14) в интервале
√
0 − m3 λ, k 0 + m3 λ) не имеет корней. Следовательно, при любом k ∈ (k 0 − m3 λ, k 0 +
(k√
m3
λ) ρ(ϕ, α, r, e0 ) (α = kr) не является 2π-периодическим решением уравнения (4) (циклом
системы (1)).
F ∗ (k0 , e0 )F1 (k0 , e0 )
Следствие 4. Пусть выполнены условия теоремы 8. Тогда ρ(ϕ, α∗1 , r, e0 ) устойчивый (неустойчивый), ρ(ϕ, α∗2 , r, e0 ) — неустойчивый (устойчивый) предельные циклы при F ∗ (k0 , e0 )>0
(F ∗ (k0 , e0 ) < 0).
Доказательство.
Для определенности положим F ∗ (k0 , e0 ) > 0. Так как F1 (k0 , e0 ) < 0,
√
m
δ∗ ] можно выбрать
F (k0 ± 3 λ, e0 ) > 0, то число δ2 ∈ (0,
√ так, что при любом r ∈ (0, δ2 ]
∗
m√
3
0
0
p
0
0 ± m3 λ)r, r|p )/r p > 0. Следовательно,
λ, e0 ) + o(|(k
F1 (k , e0 ) + o(|k r, r| ) < 0, F (k ±
m√
m√
r|p ) > 0 при любом k ∈ (k0 − 3 λ, k0 − 3 z ∗ ), r p F (k, e0 ) + o(|kr, r|p ) < 0
r p F (k, e0 ) + o(|kr,√
m
цикл
при k ∈ (k0 − 3 z ∗ , k0 ), предельный цикл ρ(ϕ, α∗1 , r, e0 ) устойчивый. Предельный √
m3
∗
p
p
0
0
r| ) < 0√при любом k ∈ (k , k +
z ∗ ),
ρ(ϕ, α2 , r, e0 ) неустойчивый, так как r F (k, e0 )+o(|kr,
m3
m√
3
p
p
0
0
∗
z ,k +
λ).
r F (k, e0 ) + o(|kr, r| ) > 0 при любом k ∈ (k +
Пример. Рассмотрим систему уравнений
ẋ = −y + (1 + µ30 )x3 + (1 + µ12 )xy 2 + µ03 y 3 , ẏ = x − (8π − ν30 )x3 ,
(17)
в которой γ = (µ30 , µ12 , µ03 , ν30 ) — вектор-параметр, |γ| = max{(|µ30 |, |µ12 |, |µ03 |, |ν30 )|}.
В полярных координатах система (17) запишется в виде
ρ̇ = ρ3 [τ (ϕ) + τ1 (ϕ, γ)],
ϕ̇ = 1 + ρ2 [λ(ϕ) + λ1 (ϕ, γ)].
(18)
Для простоты вычислений положим ω = ρ2 . Тогда система (18) сведется к системе
ω̇ = 2ω 2 [τ (ϕ) + τ1 (ϕ, γ)],
ϕ̇ = 1 + ω[λ(ϕ) + λ1 (ϕ, γ)].
(19)
Положим γ = re, r > 0, |e| = 1. Число δ0 выберем так, чтобы при любых ω δ0 , r δ0 ,
ϕ ∈ [0, 2π] выполнялось неравенство |ω(λ(ϕ) + rλ1 (ϕ, e))| q < 1.
Систему (19) заменим уравнением
∞
dω
= 2ω 2 [τ (ϕ) + rτ1 (ϕ, e)][1 +
(−1)i ω i [λ(ϕ) + λ1 (ϕ, e)]i ].
dϕ
i=1
(20)
82
М.Т. ТЕРЁХИН
Применяя метод малых форм представления решения ω(ϕ, β, r, e), ω(0, β, r, e) = β, урав1
3
5
2
, − π1 , 1, 1), β = kr уравнение k2 r 3 [k( 47
нения (20), получаем при e0 = (− 3π
16 π + 8 π) − 2 ] +
3
o(|ϑ| ) = 0 для определения величин k,
√ r.
На основании теоремы 6 при α = β утверждаем существование чисел δ > 0, c > 0, с
которыми для любого r ∈ (0, δ] в интервале (0, c) имеется ровно одно значение α такое, что
ρ(ϕ, α, r, e0 ) — предельный цикл системы (17).
Литература
[1] Амелькин В.В. О существовании предельных циклов у двумерных автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1988. – Т. 24 – № 12. – С. 2027–2032.
[2] Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем
на плоскости. – М.: Наука, 1967. – 487 с.
[3] Андронов А.А., Леонтович Е.А. Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от
негрубого предельного цикла // Матем. сб. – 1956. – Т. 40. – № 2. – С. 179–224.
[4] Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении параметра из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб. – 1952. – Т. 30. – № 1. – С. 181–196.
[5] Долов М.В., Кузьмин Р.В. О предельных циклах одного класса систем // Дифференц. уравнения. –
1993. – Т. 29. – № 9. – С. 1481–1485.
[6] Дюлак Г. О предельных циклах. – М.: Наука, 1980. – 156 с.
[7] Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом
обобщенных функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. – 1989. – Т. 25. – № 2. – С. 212–216.
[8] Отроков Н.Ф. О числе предельных циклов дифференциального уравнения в окрестности особой точки
// Матем. сб. – 1954. – Т. 34. – № 1. – С. 127–144.
aij xi y j dx //
[9] Рычков Г.С. Полное исследование числа предельных циклов уравнения (b10 x + y)dy =
i+j2
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
Дифференц. уравнения. – 1970. – Т. 6. – № 12. – С. 1193–1199.
Рычков Г.С. Критерий существования у уравнения Абеля второго рода нескольких предельных циклов
// Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39. – № 8. – С. 1058–1061.
Садовский А.П. Об условиях центра и предельных циклов одной кубической системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2000. – Т. 36. – № 1. – С. 98–102.
Садовский А.П. Кубические системы нелинейных колебаний с семью предельными циклами // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39. – № 4. – С. 472–481.
Черкас Л.А. Точная оценка числа предельных циклов автономной системы на плоскости // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39. – № 6. – С. 759–768.
Черкас Л.А. Оценка числа предельных циклов с помощью критических точек условного экстремума
// Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39. – № 10. – С. 1334–1342.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1953. – 468 с.
М.Т. Терёхин
профессор, кафедра математического анализа,
Рязанский государственный университет,
390000, г. Рязань, ул. Свободы, д. 46,
e-mail: m.terehin@rsu.edu.ru
M.T. Teryokhin
Professor, Chair of Mathematical Analysis,
Ryazan State University,
46 Svobody str., Ryazan, 390000 Russia,
e-mail: m.terehin@rsu.edu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
16
Размер файла
205 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, метод, цикл, система, малыш, формы, порядке, второго, предельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа