close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Представление полугруппы эндоморфизмов конечной группы на пространстве ее классовых функций.

код для вставкиСкачать
И З В Е С Т И Я
В Ы С Ш И Х
1998
У Ч Е Б Н Ы Х
З А В Е Д Е Н И Й
МАТЕМАТИКА
Є 11 (438)
УДК 512.542, 512.531.2
Ю.Б. МЕЛЬНИКОВ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУГРУППЫ ЭНДОМОРФИЗМОВ
КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ ЕЕ КЛАССОВЫХ
ФУНКЦИЙ
Строение группы и строение полугруппы ее эндоморфизмов, разумеется, тесно связаны. Изучению этой взаимозависимости были посвящены работы ряда авторов (см., напр., [1], [2]). Оказалось, что в случае конечности исследуемой группы
G
можно установить тесную связь между
полугруппой эндоморфизмов этой группы и линейным пространством классовых функций из
G
в поле комплексных чисел.
Все рассматриваемые группы конечны, а линейные пространства заданы над полем комплексных чисел. Под представлением понимается матричное представление над полем комплексных чисел. В этом случае для группы соответствие между ее представлением и характером этого представления является взаимно однозначным (с точностью до изоморфизма), и мы
будем говорить \ядро характера", \неприводимый характер", и т. п. Пусть
Irr
G
G
| группа, тогда
| множество всех ее неприводимых характеров, причем при необходимости будем считать
его линейно упорядоченным. Функция с областью определения
G
и областью значений в поле
C
комплексных чисел называется классовой, если ее значения одинаковы на любых сопряженных
в группе
G
G
множество
B
G
'
через x
, то
M
которого представления
O'
G
A
из
',
. Если
G
'
группы
S
x
из
, содержащий ядро
A
'
O
, то
пространства
G
| отображение множества
при этом отображении, а через
'
G
H
, и
на
G'
=
H
. Если
. Если
S
O
| подгруппа группы
S
на
G
в
'
обозначим
(как гомоморфном
'
VG
G | нулевой вектор из
| характер индуцированного с
A
M'
| характер не-
не содержит ядро гомоморфизма
VG
VH
на
в своем ядре, то через
\наведенного" представлением
равным нулевому вектору пространства
(см. [3]). Если
| гомоморфизм группы
). Если же ядро характера
равным нулевому вектору
представления
VG
обозначим образ элемента
группы
характер представления
образе группы
линейное пространство классовых функций группы
является базисом для
| образ подмножества
'
VG
элементах. Обозначим через
. Как известно, Irr
, и
, то положим
, то положим
| характер
представления
G
.
Матрица называется матрицей перестановок (подстановочной матрицей), если как в каждом
ее столбце, так и в каждой ее строке все элементы нулевые, кроме одного, равного 1. Если
| матрица, то
Xt
| матрица, траспонированная к
Каждому эндоморфизму
линейный оператор
A'
'
группы
G
(соответственно,
X
X
.
поставим в соответствие описанным ниже способом
B'
) пространства
VG
в себя. Основной целью работы
будет доказательство теоремы 1, утверждающей, что это соответствие является представлением
(соответственно, антипредставлением).
Как известно, для однозначного определения операторов
A' B'
ствие операторов
Пусть Irr
G
=
и
на базисе пространства
f ; ; : : : ; r g
1
2
VG
A' B'
и
достаточно задать дей-
, например, на Irr
. Если неприводимый характер
i
G
(см. [3], лемма 11).
содержит в своем ядре ядро
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код 94-01-00802-а).
64
эндоморфизма
'
, то положим
Ai '
A'
В противном случае положим aij'
(
)
j
= 0 для всех
Оператор
B'
i
= (
O
=
но,
B'
B'
bij'
(
)
=1
VG
), в частности,
r
X
=
j
'j O
=
bij' j ;
(
)
=1
определяются из соотношения
(т. е. ядро характера
r
X
=
j
j
bij' 'j ;
(
)
=1
не содержит ядро эндоморфизма
'
), то положим
' определяются однозначно. Очевид= 0. Благодаря последнему условию коэффициенты bij
'
'
что матрицы A' = kaij k и B' = kbij k будут матрицами операторов
' и соответственно
(
G
Лемма 1. A'
в базисе Irr
)
(
(
)
A
)
.
= (
B'
t
) . В частности (ввиду ортонормированности Irr
сопряжены.
Доказательство.
Если неприводимое представление с характером
'
ядре ядро эндоморфизма
для всех
j
aij
, то
j
= 0 для всех
i
G , операторы A' и
)
не содержит в своем
. По определению оператора
B'
имеем
. Значит, осталось рассмотреть случай, когда представление с характером
ядро эндоморфизма
'
aij'
(
Теорема 1.
)
= ((
'i G; j
)
G
G
)
Отображение
конечной группы
A
'i ; j jG'
= (
G'
)
A'
лугруппу линейных операторов пространства
=
B'
r
P
bij j
(
j
j
bjk' 'j
(
VG .
)
=1
=
G'
bji' : (
)
), ставящее каждому эндоморфизму
B'
) пространства
)
=
B B'
. Рассмотрим ограничение этой классовой функции группы
i jG' G'
=
r
P
m
=1
bjm' 'm
(
)
r
X
i G'
=
=
j
=1
bij j G' :
(
)
, подействовав на него эндоморфизмом
j jG'
(
)
=
r
j jG'
X
=
m
, получаем
bjm' 'm :
(
)
=1
Следовательно,
r
X
m
=1
bim' 'm
(
)
iG'
r
X
=
=
j
=1
'
и
.
=1
j kG'
= 0
'
VG, задает
полугруппы эндоморфизмов группы G в по-
. Имеем
Но из равенства
bji
содержит
В силу леммы 1 достаточно показать, что для эндоморфизмов
справедливо равенство
i G
B
r
X
(соответственно,
гомоморфизм (соответственно, антигоморфизм)
Итак,
'i ;
=
(соответственно,
линейный оператор
Доказательство.
i
в своем ядре. Согласно закону взаимности Фробениуса (см. [3], теорема
15), имеем
G'
)
.
)
j
(
(т. е. нулевому вектору пространства
iG'
bij'
=
определяется проще: положим
где коэффициенты
(
aij' j :
X
)
Bi '
причем, если
r
'i G
bij j G'
(
)
r
X
=
j
=1
65
bij
(
)
r
X
m
=1
bjm' 'm
(
)
r
X
=
m
=1
'm
r
X
m
=1
bij bjm' ;
(
)
(
)
G
на
bim'
(
откуда, используя однозначность нахождения коэффициентов
)
, получаем требуемое равен-
ство.
A
Представление
, очевидно, не является точным. Действительно, группа Inn
G
автоморфизмов группы
VG
, т. к. Inn
G
под действием
A
G
внутренних
переходит в тождественный оператор пространства
не переставляет классы сопряженных элементов группы
G
. Очевидно, что
A
\склеивает" все эндоморфизмы, одинаково действующие на классы сопряженных элементов.
Это утверждение уточняется в приведенной ниже теореме 2, которую мы предварим следующей
леммой.
Лемма 2.
Пусть | эндоморфизм конечной группы G,
G f ; : : : ; r g, причем ядра
; ; : : : ; k содержат ядро эндоморфизма , а ядра характеров k ; : : : ; r не
содержат, fC ; C ; : : : ; Cr g | множество всех классов сопряженных элементов группы G,
mi jCi j, | характер некоторого представления группы G, содержащий ядро эндоморфизма
в своем ядре. Допустим также, что Cj \ G Cu1 [ Cu2 [ [ Cuv , причем fCut j t vg |
множество всех классов сопряженных элементов группы G, образы которых относительно
0
действия попадают в Cj . Обозначим через mu мощность множества Cu , и через lu | количество классов сопряженных элементов группы G, образ которых относительно действия
совпадает с Cu . Тогда для всякого g из Cj \ G имеем
v
0
G g j X mut g :
G g jCjG
ut
j
t lut
характеров
Irr
1
=
1
2
1
+1
2
=
=
1
(
)
(
)
(
)
( )
( ) =
(
)
=1
Доказательство.
jCG g j
jG j x2gG\G x
Из формулы ( ) ([3], c. 73) получим
G g
(
)
X
( )
( ) =
(
) =
jCG g j v m0ut g ;
ut
jG j t lut
X
( )
(
)
=1
откуда следует требуемое равенство.
Теорема 2.
G, fC ; C ; : : : ; Cr g | множество всех классов сопряженных элементов этой группы. Для выполнения равенства A'
A
'
'
необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, G и G
были изоморфны и включение Ci Cj
имело место если и только если Ci Cj .
'и
Пусть
| эндоморфизмы конечной группы
1
2
=
Доказательство.
Из каждого класса
что, очевидно, для любого эндоморфизма
только тогда, когда
Ci Cj
Необходимость.
Ker
. Пусть
=
, и
A' A
Cj \ G' Ci'1 [ Ci'2 [ [ Ci'n
; ; : : : ; k
=
k ; ; r
A'
+1
По определению
лемме 2
1
не содержат.
имеем (
'u G g
)
( ) = (
X
(
, и
Ci \ Cj
множество
Cj \ G
'
) =
=1
u
)
gi
. Заметим,
не пустое тогда и
'
Cj1 [ Cj2 [ [ Cjm
'
эндоморфизма
=
содержат ядро эндоморфизма
2
jCG g j n m0up g
jG'j p lip u ip
( )
G
. Очевидно, что ядро Ker
=
считать, что ядра характеров
характеров
выберем по одному представителю
группы
.
Пусть
mi jCi j
Ci
совпадает с
(и ядро
. Можно
), а ядра
G (g ) для всякого u с условием 1 u k . Согласно
jCG g j m m0uq g
jG j q ljq u jq
( )
X
(
)
(здесь 1
uk ;
)
=1
откуда следует равенство
n
X
p
=1
m
X m0
m0up
uq
lip u gip ; q ljq u gjq
(
)
(
=1
66
)
= 0
:
(1)
Рассмотрим
систему
k
P
но записать иначе
v
xv 'q gv'
(
=1
k
P
линейных уравнений
)
=
v
qk
0, 1
xv q gv
(
=1
)
=
1
fgjq j q mg
=
1
Достаточность.
=
fg
1
Очевидно, что ядра эндоморфизмов
i
r
v
aiv' v gj
(
)
fg
=
xv
m
(
) = (
)
(
=
(
) =
которую
'
и
и можно считать, что
, а для
k
ir
+ 1
получаем в силу
+1
ir
образом, матрицы
Лемма 3. A'
морфизм группы
и
(
) X
(
(
r
X
G
) (g
i
j) =
) = (
v
!. Значит,
Этот результат очевиден: достаточно заметить, что
r
K'
= гл(
)
(
)
= 0. Таким
' | авто-
A'
будет матрицей
G
.
r r представляют
=
=
!
=
. Заметим, что
A
A
, комплексного числа
m
и матрицы-
индуцирует перестановку координат
| единичная матрица, ибо мощность каждой орбиты делит
, откуда
!
= 1, что и требовалось доказать.
A'
и
B'
представляют собой
G'n ,
| количество классов сопряженных элементов группы
n | наименьшее такое неотрицательное целое число, для которого
n .
совпадает с ядром эндоморфизма '
) (см. [4]), т. е.
'n
ik
+1
Пусть ядра неприводимых характеров
и не содержат | для
f ; ; : : : ; r g
VG W
в
k
+ 1
ir
i
. Тогда
содержат ядро эндоморфизма
k
=
m
B'n
. Кроме того,
m
| подпространство, натянутое на первые
пере-
базисных векторов
. Следовательно, все собственные векторы, отвечающие ненулевому собственно-
2
му значению, содержатся в
(см. [4])
!
! из 1, где
водит в этом случае
1
aij
=
индуцирует подстановку на Irr
Ненулевые собственные значения операторов
m
Доказательство.
для 1
!
=
ядро эндоморфизма
'n
'
Пусть для матрицы перестановок
, поэтому
=
Теорема 3.
)
(
=1
! из 1.
XA X
X
Ar E
X XE XAr r X
r
корни степени
n
(
)
совпадают.
справедливо равенство
матрицы-строки
r
aij'
имеем
Собственные значения матрицы перестановок размерности
Доказательство.
X
и
(
является матрицей перестановок тогда и только тогда, когда
собой корни степени
строки
'
aiv v gj :
G.
Доказательство.
ядро
) =
перестановок тогда и только тогда, когда эндоморфизм
Лемма 4.
ik
=
в силу совпадения ядер эндоморфизмов
A' A
.
не содержит.
=1
k
jp
=
X
)
=
Для
ip
совпадают, поскольку по условию
=1
=1
мож-
= 0. Для (1) это означает, что
=
ik '
m n
n 0
'i G gj jCjGG'gjj j ml ut i gut
ut
t
jCG gj j n m0ut g
jG j t lut i ut
и
,
1 . Будем вновь считать, что для 1
'
содержит ядро эндоморфизма
По лемме 2 для 1
X
Cj
тогда и только тогда, когда
характера
n
. Следовательно,
Необходимость доказана.
Cj'
q k
1
. По лемме 11 из [3] матрица коэффициен-
тов этой системы уравнений невырожденная. Поэтому все
fgip j p ng
0,
W
. Пусть
| ограничение эндоморфизма
будет автоморфизмом группы
элементов матрицы
Очевидно, что
B B
=
B'
'n
G
. Обозначим через
, стоящих на пересечении первых
. Заметим, что
W
| это
B'
m
B
'
на
G'n
. Как известно,
матрицу, образованную из
строк и столбцов этой матрицы.
-инвариантное пространство, и, как уже от-
мечалось, оно содержит все собственные векторы, отвечающие ненулевым собственным значе-
B'
B
ниям. Значит, характеристический многочлен матрицы
| характеристический многочлен матрицы
лемме 4 представляют собой корни степени
B
m
, равной
! из 1.
67
имеет вид
f
(
) =
r;m g g
. Но корни многочлена
g
(
), где
(
) согласно
(
)
Литература
1. Долгарев А.И. Некоторые идеалы полугруппы эндоморфизмов группы и связанные с ними
свойства группы // Современная алгебра. { Л., 1976. { Вып. 4. { С. 66{75.
2. Пуусемп П.А. Абстрактная характеристика групп Шмидта по их полугруппам эндомор-
физмов // Тр. Таллинского политехнического института. { 1984. { Є 568. { С. 91{105.
3. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. { М.:
Наука, 1974. { 126 с.
4. Мельников Ю.Б. О строении сверхкопируемых
p-групп
// Алгебра и логика, Новосибирск. {
1988. { Є 4. { С. 422{439.
Уральский государственный
Поступили
технический университет
первый вариант 23.12.1994
окончательный вариант 30.04.1998
68
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
148 Кб
Теги
классовых, пространство, группы, функции, полугруппы, представление, конечно, эндоморфизмов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа