close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Представление экстремальных функций в явном виде для широкого класса линейных функционалов над пространством Н1.

код для вставкиСкачать
Вестник ДГТУ, 2009. Т9. №1(40)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517. 53
В.Г. РЯБЫХ, Г.Ю. РЯБЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В ЯВНОМ ВИДЕ ДЛЯ ШИРОКОГО КЛАССА
ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НАД ПРОСТРАНСТВОМ H1
В работе найдены в явном виде экстремальные функции для широкого
класса функционалов над пространством Харди H1.
Ключевые слова: пространство Харди, экстремальная функция, линейный функционал.
Пусть ω – существенно ограниченная функция на T = {t : t = 1} , и
Hp – пространство Харди в единичном круге. Обозначим через lω линейный
функционал над
H1, определяемый формулой (всюду в дальнейшем
t = e iθ , ζ = e iϕ ):
1
lω ( X ) =
X (t )ω (t )dθ , X ∈ H 10 ,ω ∈ L∞ , ω ∉ H ∞ .
(1)
2π T
∫
0
Здесь H1 - множество функций из H 1 , равных нулю в начале координат.
0
Назовем функцию f ∈ H1 экстремальной функцией для функционала l, если l ( f ) = l , f
= 1. Будем считать
χ ∈ H ∞ функцией наи-
лучшего приближения для ω ∈ L∞ , если
vrai max ω (ζ ) − χ (ζ )
L∞
= inf vrai max ω (ζ ) − a (ζ )
a∈ H ∞
L∞
= dist (ω , H ∞ ).
Известно, что экстремальная функция существует не у любого функционала над H 1 , в то же время наилучшее приближение ω реализуется всегда.
Старая проблема, стоящая со времен Э.Ландау (1916 год), заключается в том, чтобы найти условия существования и единственности экстремальной функции в пространстве H1, а также указать эту функцию.
Первая часть задачи была решена одним из авторов в [1]. Экстремальные функции для функционала (1) с рациональными ω были найдены
в [2].
В данной статье будут указаны экстремальные функции для
ω ∈ Lipα ∩ H ∞ .
Нам понадобятся следующие теоремы.
I.
(ТЕОРЕМА 1 из [1])
Φ
( Φ H = 1) и Ψ ∈ H 2 - решения системы уравнений:
Пусть
2
3
Физико-математические науки
 Φ (t ) = λ tΨ (t )ω (t ) + ta1 (t )
для п.в. t из T.

 Ψ (t ) = λ tΦ (t )ω (t ) + ta2 (t )
(2)
(a1 и a2 - некоторые функции из H 2 , а λ – вещественное число.) Тогда
1
10. При λ =
l существуют такие решения системы (2), что:
1) для п.в. t ∈ T выполняется Φ (t ) = Ψ (t ) ,
2) экстремальную функцию функционала (1) можно представить в
виде f (t ) = t Φ (t ) Ψ (t ) .
20. Если Φ ( Φ H = 1) и Ψ ∈ H 2 − решения системы (2), то:
2
1) для п.в. t ∈ T выполняется Φ (t ) = Ψ (t ) ,
2) наименьшее положительное λ равно
1
l ,
3) tΦ Ψ = f - экстремальная функция.
II. (ТЕОРЕМА 3 из [1])
Обозначим
T ( y )(ζ ) =
1
2π i
∫
y (t )ω (t )
T
ω + (t ) − ω + (ζ )
dt
t−ζ
(3)
(здесь интеграл понимается в смысле главного значения).
Тогда оператор T:
10) при ω ∈ L∞ непрерывно отображает L2 в H2;
20) является положительным оператором над пространством H2;
30) если ω ∈ VMO  L∞ , то оператор T является компактным оператором из L2 в H2.
III. (ТЕОРЕМА 4 из [1])
Если у функционала (1) существует экстремальная функция, то Φ и
Ψ из теоремы I являются решениями интегрального уравнения
Y (ζ ) =
λ2
ω + (t ) − ω + (ζ )
ω
(
t
)
Y (t ) dt ,
2π i ∫T
t−ζ
1
+
−
в котором λ =
l , ω (t ) = ω (t ) − ω (t ) , а
(4)
интеграл понимается в
смысле главного значения.
IV. (ТЕОРЕМА 1 из [2].)
Пусть функция Φ ( Φ
соответствующим
H2
= 1) является решением уравнения (4),
характеристическому числу λ =
2
ция λ Φ ω на H 20 , тогда:
4
1
2
l , а tΨ - проек-
Вестник ДГТУ, 2009. Т9. №1(40)
1) экстремальная функция существует и представима в виде
f = ζ Φ Ψ ; 1 / λ 2 равно наименьшему характеристическому
числу оператора T;
2
l
= T = r (T ) , где r (T ) - спектральный радиус оператора T.
Начнем с вывода нового, более общего, условия существования
экстремальной функции (ранее в [3, 4] было доказано, что она существует
при ω ∈ H ∞ + C ).
2)
ТЕОРЕМА 1. Если в (1) ω ∈ VMO , то существует экстремальная
функция.
Доказательство. Для случая, когда ω ∈ VMO , но ∉ L∞ , будем
∗
пользоваться для представления функционала l ∈ H ∞ формулой
l ( x) =
1
2π i
lim ∫ P (t )ω dθ , x − P
n
n→ ∞
n H
1
→ 1.
T
ω ∈ VMO ,
то существует последовательность {ω n } непрерывных на T функций, таких что ω − ω n BMO → 0 [5] (замечание после доказательства теоремы 5.2 из главы VI).
Пусть теперь { f n }, f n ≤ 1, - последовательность многочленов,
для которой выполняется l ( f n ) → l . На основании компактности в себе
Так как
относительно равномерной сходимости функций пространства H 1 внутри
единичного круга выберем из { f n } подпоследовательность, равномерно
сходящуюся на упомянутом множестве. Будем считать, что сама { f n } сходится к f. Можно доказать, что f ≤ 1.
1
xω n dθ , x ∈ H 10 . Имеем
Обозначим ln ( x ) =
2π T
∫
l ( f m ) − l ( f ) = l ( f m − f ) ≤ (l − ln ) f m + (l − ln ) f +
1
2π i
∫(f
m
− f )ω n dt
T
.(5)
По теореме Феффермана ([4], гл.VI, теорема 4.4):
(l − ln ) f m ≤ C ω − ω n BMO < Cε ,
(l − ln ) f ≤ C ω − ω n BMO < Cε
при фиксированном n ∗ > N и произвольном ε > 0.
В силу теоремы о слабой сходимости граничных значений функции,
принадлежащих H 1 , из равномерной сходимости { f n } к f внутри единичного круга вытекает ([5], лемма 4.1), что для любой функции ϕ ∈ C
выполняется
∫
f mϕ dt →
T
∫
fϕ dt . Это означает, что и третье слагаемое
T
из (5) может быть сделано меньше
ε
Теорема доказана.
5
, откуда
l( f ) =
lim l ( f ) =
n→ ∞
n
l.
Физико-математические науки
Теперь приступим к построению в явном виде экстремальных функций для функционалов вида (1), образованных липшицевскими функциями
ω . Заметим, что в [2] вычисляются экстремальные функции для функционалов с рациональными ω .
Введем следующие обозначения (в дальнейшем будем придерживаться символики из [6]):
 ( k − 1) 2nπ i k 2nπ i 
∆ ξ k = ∆σ k =  e
,e
 , k = 1,2,...n, ∆ ξ k = ∆ σ k = ∆ ,ζ k ∈ ∆ ξ k , t j ∈ ∆ σ j .


Определим функцию K (ς , t ) следующим образом:
 1 ω (ζ ) − ω (t )
ω (t )t , z ≠ t.

K (ζ , t ) =  2π
ζ −t

0, z = t
Очевидно, что K (ς , t ) , за исключением одной точки, является
граничным значением функции, аналитической по первой переменной в
единичном круге, и имеет слабую особенность на окружности. Положим,
K (ζ 1 ,τ 1 )...
......
K (ζ β ,τ 1 )...
......
K (ζ p ,τ 1 )...
K (t1 ,τ 1 )...
......
K (t n ,τ 1 )...
Очевидно, что
 ζ ζ ...ζ p t1t 2 ...t n 
K  1 2
 =
 τ 1τ 2 ...τ p t1t 2 ...t n 
K (ζ 1 ,τ α )... K (ζ 1 ,τ p ) K (ζ 1 , t1 )...
......
...
......
K (ζ β ,τ α )... K (ζ β ,τ p ) K (ζ β , t1 )...
......
...
......
K (ζ p ,τ α )... K (ζ p ,τ p ) K (ζ p , t1 )...
K (t1 ,τ p )
K (t1 ,τ α )...
K (t1 , t1 )...
......
......
...
K (t n ,τ α )... K (t n ,τ p )
K (t n , t1 )...
K (ζ 1 , t n )
...
K (ζ β , t n )
...
K (ζ p , t n )
K (t1 , t n )
...
K (t n , t n )
.
 ζ ζ ...ζ p t1t 2 ...t n 
K  1 2
 , являясь суммой произведений
 τ 1τ 2 ...τ p t1t 2 ...t n 
граничных значений функций, аналитических по переменным ζ j , сама будет такой же.
Как обычно, пусть
t k = e iθ k ,
( − 1) n λ n
 t t ...t 
D (λ ) =
K  1 2 n  dθ (θ 1 ...θ n );
n! P n  t1t 2 ...t n 
n= 0
∞
( − 1) n λ n
 t t ...t ζ 
D(ζ ,τ , λ ) =
K  1 2 n  dθ (θ 1 ...θ n ).
n! P n  t1t 2 ...t nτ 
n= 0
∞
∑
∑
∫
∫
n
Здесь и далее P = [0,2π ] × [0,2π ] × ... × [0,2π ] .
6
(6)
Вестник ДГТУ, 2009. Т9. №1(40)
Положим:
 ζ ζ ...ζ p 
Bnp = Bn  1 2
 =
 τ 1τ 2 ...τ p 
 ζ 1ζ 2 ...ζ p t1t2 ...tn 
 dθ (θ 1...θ n ) ;
1 2 ...τ p t1t 2 ...t n 
∫ K  τ τ
Pn
 ζ ζ ...ζ p 
 ζ ζ ...ζ p 
B0  1 2
 = K  1 2
 .
τ
τ
...
τ
p 
 1 2
 τ 1τ 2 ...τ p 
(7)
Теперь миноры Фредгольма определим с помощью ряда
 ζ ζ ...ζ p 
D p (ζ τ ) = D 1 2
 =
 τ 1τ 2 ...τ p 
∞
∑
n= 0
( − 1) n λ n+ p − 1
n!
 ζ 1ζ 2 ...ζ p 
 dθ (θ 1 ...θ n ).
1 2 ...τ p 
∫ B  τ τ
n
Pn
(8)
ζ
,
τ
Заметим, что ряд (8) сходится равномерно относительно
j
j и, следовательно, D p есть граничное значение функции, аналитической по каждой из переменных ζ k .
Следующие теоремы почти дословно повторяют доказательства
теорем из [6] (с. 62-71).
ТЕОРЕМА 2. Миноры Фредгольма удовлетворяют следующим интегральным уравнениям ( t = e iθ ) :
 ζ ...ζ p 
D 1
λ  =
τ
...
τ
1
p


 ζ ...ζ ζ
...ζ p
( − 1)α + β K (ζ β ,τ α ) D 1 β − 1 β + 1
λ
α =1
 τ 1...τ α − 1τ α + 1...τ p
2π
 ζ ...ζ tζ
...ζ p 
λ K (ζ β , , t ) D 1 β − 1 β + 1
λ  dθ , β = 1,2,..., p.
 τ 1...τ β − 1τ β τ β + 1...τ p 
p
∑

+


∫
0
 ζ ...ζ p 
D 1
λ  =
 τ 1...τ p 
(9)
 ζ ...ζ ζ
...ζ p 
( − 1)α + β K (ζ β ,τ α ) D 1 β − 1 β + 1
λ  +
β =1
 τ 1...τ α − 1τ α + 1...τ p 
2π
 ζ ...ζ ζ ζ ...ζ p 
λ K (t ,τ α ) D 1 α − 1 α α + 1
λ  d arg t ,α = 1,2,..., p.
τ
...
τ
t
τ
...
τ
1
α
−
1
α
+
1
p


0
p
∑
∫
p
Разложим определитель Bn по элементам строки β :
Bnp =
n
(10)
 ζ ...ζ β − 1ζ β + 1...ζ p t1...t n 
(− 1)α + β K (ζ β ,τ α ) K  1
 dθ (θ 1...θ n ) +
τ 1...τ α − 1τ α + 1...τ p t1...t n 
n α =1

P
p
∫∑
∫ ∑ (− 1)
β + p+ i
K (ζ
β
Pn i=1
 ζ ...ζ β − 1ζ β + 1 ...ζ p t1 ...t n 
, t i ) K  1
 dθ (θ 1 ...θ n ).
 τ 1 ...τ p t1 ...t i − 1t i + 1 ...t n 
(11)
Каждое слагаемое из первой суммы представим в виде
p
∑ (− 1)
α =1
α +β
 ζ ...ζ β − 1ζ β + 1...ζ p 
K (ζ β ,τ α ) Bn  1
 .
 τ 1...τ α − 1τ α + 1...τ p 
7
Физико-математические науки
Во второй сумме сделаем замены, положив ti = t , ti +1 = ti , ,..., t n = t n −1 ,
после чего слагаемые второй суммы будут выглядеть следующим образом:
( − 1) β + p + i K (ζ
 ζ ...ζ β − 1ζ β + 1 ...ζ p t1 ...t i − 1tt i + 1 ...t n − 1 
τ i ) K  1
 .
τ 1 ......τ p t1 ...t i − 1t i + 1 ...t n − 1


β ,
Теперь перенесем строку t на место между строками β − 1 и β + 1, т.е.
совершим i − 1 + p − β инверсий, что равнозначно умножению этого слаi −1+ p − β
гаемого на ( −1)
, следовательно, рассматриваемый член преобразован к виду
 ζ ...ζ β − 1tζ β + 1...ζ p t1...ti − 1ti + 1...t n − 1 
− K (ζ β , t ) K  1
 .
τ 1......τ p t1...ti − 1ti + 1...tn − 1


Мы доказали, что рассматриваемое слагаемое в (11) можно представить в
виде
2π
− n
∫ K (ζ
β
, t ) d arg t
0
 ζ ...ζ β −1tζ β + 1...ζ p t1...ti −1ti + 1...t n−1 
K  1
 dθ 1...dθ n−1
τ 1......τ p t1...ti −1ti +1...tn−1


P n−1
∫
.
Заменяя в (12) значение интеграла по P
n −1
p
n −1
на B
2π
 ζ ...ζ tζ ...ζ
− n K (τ β , t ) Bn− 1  1 β − 1 β + 1
π 1......τ p

0
2π
 ζ 1...ζ β − 1tζ β + 1...ζ p 
K (ζ β ,τ α ) Bn− 1 
 − n K (ζ
 τ 1...τ α − 1τ α + 1...τ p 
0
∫
p
∑
α =1
∫
(12)
, имеем

 ζ ...ζ p 
 d arg tBn  1
 =

 τ 1...τ p 
 ζ 1...ζ β − 1tζ β + 1...ζ
β , t ) Bn − 1 

τ 1......τ p

p
(13)
( − 1) λ
n!
n
Умножив (13) на
n+ p−1
и суммировав его по n, получим (9).
Разлагая определитель Bn по столбцу α и рассуждая подобным
же образом, получим и второе равенство теоремы.
p
ТЕОРЕМА 3.
(− 1) p − 1 D ( p ) (λ ) =
 t1...t p
∫ D t ...t
P
1
p
p

λ  dθ (θ 1...θ p ) .

Доказательство. Положив в первой из формул (6)
dn =
 t ...t 
K  1 p  dθ (θ 1 ...θ n ),
 t1 ...t p 
Pn
∫
(− 1) n λ n
d n , следовательно,
запишем ее так: D (λ ) = 1 +
n!
n= 1
 t ...t ...t

d n + p = ∫ K  1 n n + p  dτ =
 t1 ...t n ...t n + p 
n+ p
∞
∑
P
8
(14)
p

 d arg t.

Вестник ДГТУ, 2009. Т9. №1(40)
∫ d argτ
1
...d argτ
Pp
p
 τ 1 ...τ p t1 ...t n 
 dθ (θ 1 ...θ n ) =
1 ...τ p t1 ...t n 
∫ K  τ
Pn
∫B
=
Pp
n
 τ 1 ...τ

 τ 1 ...τ

 d arg τ 1 ...d arg τ p .
p 
p
Подставляя выведенные значения коэффициентов в ряд, выражающий
D ( p ) , получим
D ( p ) (λ ) =
∞
∑
n= 1
( − 1) n + p λ n
n!
 τ 1 ...τ
1 ...τ
∫ B  τ
n
Pp

 d argτ 1 ...d argτ n
p 
p
Из этой формулы, используя определение D p , имеем
( − 1) p − 1 λ p − 1 D ( p ) (λ ) =
∞
∑
n= 1
( − 1) n + p λ n
n!
 t1 ...t p
∫ D t ...t
1
Pp
p
 τ 1 ...τ
1 ...τ

 d arg τ 1 ...d arg τ
p 
∫ B  τ
n
P
p
p
n
=

λ  dτ .

Теорема доказана.
Число R назовем рангом
λ , если
ζ ζ

 ζ ...ζ

D (λ ) ≡ D(ζ ,τ , λ ) ≡ D 1 2 λ  ≡ D 1 R − 1 λ  ≡ 0,
 τ 1τ 2 
 τ 1...τ R − 1 
 ζ ...ζ R 
D 1
λ  ≠ 0.
 τ 1 ...τ R 
ТЕОРЕМА 4. Ранг λ
D (λ ) .
не превосходит его кратности как корня
Доказательство. Пусть λ будет корнем D (λ ) кратности k. Тогда
D (λ ) = D ' (λ ) = ... = D ( k − 1) (λ ) = 0, D ( k ) (λ ) ≠ 0.
Поэтому
 t1...tk
∫ D t ...t
Pk
1
k

λ  dθ (θ 1...θ k ) = ( − 1) k λ k − 1 D ( k ) (λ ) ≠ 0.

Это означает, что существует набор таких ζ 1 ...ζ k τ 1 ...τ k , при которых
•
•
•
•
D ( k ) ≠ 0.
Обозначая теперь через R наименьшее число, обрывающее цепочку
 ζ ...ζ

D (λ ) ≡ D (ζ ,τ ) ≡ ... ≡ D 1 R − 1 λ  ≡ 0,
 τ 1 ...τ R − 1 
(15)
получим утверждение теоремы.
•
•
R
Следствие. Из равенств (15) следует существование ζ ,τ ∈ C ,
таких что
D (ζ • ,τ • ) ≠ 0, а
 ζ • ...ζ • ζ • ...ζ • 
D 1 • β• − 1 •β + 1 • R λ  = 0.
 τ 1 ...τ α − 1τ α + 1...τ R 
9
(16)
Физико-математические науки
ТЕОРЕМА 5. Пусть число λ имеет ранг R и является корнем кратности κ уравнению D (λ ) = 0 . Тогда любое решение φ уравнения
2π
ϕ (ζ ) = λ
∫ K (ζ , t )ϕ (t )d arg t
(17)
0
можно представить в виде
 ζ 1• ...ζ k• − 1ζ ζ k• + 1 ...ζ
D
R
τ 1• ......τ R•

ϕ (ζ ) =
Ck
DR (ζ • ,τ • )
k=1
•
R
∑

λ 

.
(18)
•
•
Здесь Ck ∈ C , а ζ j ,τ j - некоторые комплексные числа, по модулю равные единице, независящие от φ, а R ≤ κ .
Доказательство теоремы дословно повторяет соответствующее рассуждение, приведенное в [6].
ТЕОРЕМА 6. Пусть λ 2 , наибольший положительный корень определителя Фредгольма D (λ ) , имеет кратность κ. Тогда существуют
2 R, R ≤ κ комплексных чисел C11 , C21 ,..., C R1 и C12 , C22 ,..., C R2 , таких
что экстремальную функцию можно записать в виде
f (t ) = t
R
∑
Ck1ϕ k (t )
k=1
R
∑Cϕ
2
k
k
(t ), t ∈ T .
(19)
k=1
Здесь ϕ k ∈ Λ α ∩ H - аналитические функции, выражаемые через миноры
Фредгольма.
Верно и обратное утверждение. Нормированная функция f из (19)
является экстремальной для функционала (1).
Доказательство. Действительно, на основании теорем I, III функцию
f
можно
представить
в
виде
произведения
функций
f (t ) = tΦ (t )Ψ (t ),Φ ,Ψ ∈ H 2 , каждая из которых является решением
∞
Фредгольмого уравнения Y =
λ2
T (Y ) , ядро которого имеет слабую осо2π i
бенность. Следовательно, по теоремам 4 и 5 существуют натуральное число R (ранг уравнения Фредгольма) и собственные функции, выражаемые
1
1
1
через миноры Фредгольма, и 2R комплексных чисел C1 , C 2 ,..., C R и
C12 , C 22 ,..., C R2 , таких что выполняется:
Φ (t ) =
R
∑
C k1ϕ k (t ) ;
k=1
Ψ (t ) =
R
∑Cϕ
2
k
k
(t ) .
k=1
Отсюда и следует формула (19).
Обратное утверждение выводим из теоремы 5 и теоремы IV. Теорема доказана.
Таким образом, в статье доказано, что экстремальная функция упомянутой выше задачи имеет следующий вид:
10
Вестник ДГТУ, 2009. Т9. №1(40)
f (t ) = t
R
∑
Ck1ϕ k (t )
k=1
R
∑Cϕ
2
k
k =1
11
k
(t ), t = 1.
Физико-математические науки
Библиографический список
1. Рябых В.Г. Необходимое и достаточное условие существования
линейного функционала над H1./ В.Г. Рябых // Сиб. мат. журнал. - 2007. Т.48. - №6. - С.1351-1360.
2. Рябых В.Г. Норма линейного функционала в пространстве H1. /
В.Г.Рябых, Г.Ю.Рябых // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. – 2008. - №1. - С.59-64.
3. Carleson L., Jacobs S. Best uniform approximation by analytic function Arciv Math. 1972, 10, 219-229 p.
4. Хавинсон С.Я. Основы теории экстремальных задач для ограниченных аналитических функций и их различных обобщений: учеб. пособие
для ФПК / С.Я. Хавинсон. - М.: МИСИ, 1981. - 92 с.
5. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. / Дж. Гарнетт. - М.: Мир, 1984. - 469 с.
6. Привалов И.И. Интегральные уравнения. / И.И. Привалов. /
ОНТИ. - М.-Л., 1935. - 248 с.
Материал поступил в редакцию 10.02.09.
V.G.RYABYKH, G.Y.RYABYKH
A PRESENTATION OF EXTREMAL FUNCTIONS
IN THE EXPLICIT FORM FOR THE WIDE CLASS
OF LINEAR FUNCTIONALS ON H1 - SPACE
In this work extremal functions for the general class of functionals
above Hardy space H 1 was founded in the explicitly form.
Linear functional l ( x ) ∈ H 1 , which is given by the form
∗
l( x) =
1
2π
2π
∫ x ( e ) ω ( e ) dθ
iθ
iθ
, x ∈ H 1 , x( 0) = 0 ,
0
where ω ( z ) ∈ Lip α ∩ H ∞ .
This article proves that the extremal function of the above-mentioned
task can be presented in the following form:
R
f ( t ) = t ⋅ ∑ C k1 ϕ
κ
k=1
R
k (t )∑
k=1
C k2 ϕ
k
(t ) ,
t
= 1.
R ≤ κ , - order of the largest positive root of the Fredholm`s deter1
1
1
2
2
2
minant D ( λ ) , C1 , C 2 , … , C R and C1 , C 2 , … , C R - certain
where
complex numbers, and ϕ k ∈ Lip α ∩ H ∞ - functions, defined in the Fedholm`s minor form for integral equation
λ2
ω (t ) − ω (ξ )
Y (ξ ) =
ω (t )
Υ (t ) dt , ξ = 1 .
2π i t∫= 1
t−ξ
РЯБЫХ Владимир Георгиевич (р.1937), доцент (1969) кафедры «Теория
функций и функциональный анализ» Южного федерального университета,
12
Вестник ДГТУ, 2009. Т9. №1(40)
кандидат физико-математических наук (1966). Окончил Ростовский государственный университет (1961).
Научные интересы - теория пространств Бергмана, теория пространств
Харди, приближение случайных процессов линейными агрегатами.
Опубликовал более 60 научных статей.
ryabch@aaanet.ru
РЯБЫХ Галина Юрьевна, заведующая кафедрой «Математика» ДГТУ,
кандидат физико-математических наук (1981), доцент (1985). Окончила Ростовский государственный университет (1976).
Научные интересы - интегральные операторы с разностным ядром в пространствах с весом, проблемы звукоизлучения в процессах резания.
Имеет более 40 научных статей.
ryabch@aaanet.ru
13
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
176 Кб
Теги
над, пространство, экстремальных, явно, видео, функционал, функции, линейный, класс, представление, широкого
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа