close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближение функций на сетке.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (502)
УДК 517.518
А.Л. ГРИГОРЯН
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СЕТКЕ
1. Введение
Допустим, r 2 N и W r | класс непрерывных 2-периодических функций, для которых
существует абсолютно непрерывная (r ; 1)-я производная f (r;1)(x) и kf (r)(x)k = sup jf (r)(x)j 1.
x
Обозначим Rm (W r ) = supr kf (x) ; Sm;1 (x; f )k, где Sm;1 (x; f ) | частичные суммы (m ; 1)-го
f 2W
порядка ряда Фурье функции f (x).
А.Н. Колмогоров [1] доказал, что
Rm(W r ) = m;r (4;2 ln m + O(1)):
Исследования А.Н. Колмогорова для более общих классов были продолжены, например, в [2]{[6].
В данной работе решается дискретный аналог задачи А.Н. Колмогорова.
q;1
q
ikxn q;1
Если q 2 N , xn = 2n
q (n 2 Z), ek = fek (xn ) = e gn=0 , k = ;[ 2 ]; : : : ; [ 2 ], то произвольную
дискретную функцию f : fx0 ; : : : ; xq;1 g ! R можно разложить по ортогональной системе fek g
(k = ;[ q;2 1 ]; : : : ; [ q2 ]) в следующий дискретный ряд Фурье:
f (xn ) =
q=2]
X
[
k=;[ q;2 1 ]
ck ek (xn); ck = 1q
q;1
X
n=0
f (xn)e;ikxn :
mP
;1
Допустим, f = ff (xn )gqn;=01 , тогда Sm;1 (f ; xn ) =
ck ek (xn ) | частичная сумма дискретного
k=;(m;1)
ряда Фурье.
Обозначим через Wqr класс 2-периодических дискретных функций f , заданных на равномерной сетке fxn gn2Z и таких, что
r f (x )j ;2=q r :
kr2=q f k = max
j
n
2=q
n
Асимптотические свойства Cm (Wqr ) = supr kf ; Sm;1 (f ; xn )k при m; q ! 1 зависят от преf 2Wq
дела отношения порядка сумм Фурье к числу точек равномерной сетки и, в частности, от того,
является указанный предел числом рациональным или иррациональным. Оказывается, что в отличие от непрерывного случая здесь естественным образом появляются функции римановского
типа.
2. Дискретные константы Лебега
Для решения поставленной задачи необходимо знать поведение констант
Lm(q) = 1q
q;1
X
n=0
j sin(mxn =2)j ;
7
sin(xn =2)
q;X
[q=m]
1
j cos(m(n + 1=2)=q)j ; m; q 2 N; m < q:
Lm(q) = q
n=[q=m] sin( (n + 1=2)=q )
Константы Lm (q) изучены в [7], где доказана
mn ! (n ! 1). Тогда
Теорема 1. Пусть mn ; qn 2 N , mn ! 1,
qn
a) если | иррациональное число или = 0, то
Lmn (qn) = 4 ;
lim
n!1 ln(mn + 1) 2
если = s=p, (s; p) = 1, то
mn (qn ) 2 ctg ; lim Lmn (qn ) 4 ;
lim ln(Lm
2p n!1 ln(mn + 1) 2
n!1
n + 1) p
0
0
Lm0n (qn )
б) для любого 2 [ p2 ctg 2p ; 42 ] существуют m0n ; qn0 2 N такие , что mqn0n ! ps и nlim
!1 ln(m0n +1) = .
Для константы Lm (q) докажем следующую теорему.
mn ! при
Теорема 2. Пусть mn ; qn 2 N , mn < qn , n = min(mn ; qn ; mn ) + 1 ! 1,
qn
n ! 1. Тогда
Lmn (qn ) = 4 ,
a) для иррациональных и = 0; 1 имеем nlim
ln n
2
!1
s
б) если = p , (s; p) = 1, то
(
lim Lmlnn (qn ) = h = p ctg p при s + p 0 (mod 2);
n!1
при s + p 1 (mod 2);
n
2
8
при s + p 0 (mod 2);
Lmn (qn ) = H = < 2
lim
n!1 ln n
: p
при s + p 1 (mod 2):
2p
Кроме того, для любого 2 [h; H ] существуют m0n ; qn0 2 N такие, что m0n =qn0 ! s=p (n ! 1)
Lm0n qn0
и nlim
!1 n0 = .
j m n = =qj = t , запишем L (q) в виде
Доказательство. Обозначив
n
m
n = =q
2
2
4
4
2
sin
(
)
ln
cos
sin
Lm(q) = 1q
Докажем, что
q;1
X
n=1
tn ; 1q
( +1 2)
( +1 2)
q=m
];1
X
[
n=1
[
q=P
(2m)]
n=1
q;1
X
n=q;[q=m]+1
tn G ; G ; G :
3
2
3
(1)
(2)
2
G 1 ln mq + O(1):
2
Так как
1
G + G = 2 ln mq + O(1):
tn + O(1). Применяя равенство cos x 1 ; x, x 2 [0; =2], получим
2
Имеем G2 = 1q
tn ; 1q
1 = 1 + O(1); x 2 (0; =2];
sin x x
q
1
то G2 ln m + O(1). Отсюда и из (3) следует
G2 = 1 ln mq + O(1):
8
(3)
(4)
(5)
q=m
P];1
[
Так как G3 = q1
tn;1, то аналогично получим G3 = 1 ln mq + O(1), откуда с учетом (5)
n=1
следует (2). Используя разложение
j cos xj = 1 + 8
1
X
(;1)v sin2 vx
2
v=1 4v ; 1
и формулу
n
sin2 nx = X
sin x k=1 sin(2k ; 1)x;
получим для G1 следующее выражение:
1 (;1)v X
vm
q+ 8 X
; (2k ; 1) + O(1):
G = 2 ln
sin
q v 4v ; 1 k
q
1
1
=1
2
(6)
=1
Из (1), (2), (6) следует
1
X
vm
(;1)v X
;1 (2k ; 1) + O(1):
sin
2
q
v=1 4v ; 1 k=1
8
Lm(q) = 2 ln m + q
Используя формулы sin;1 x = ctg x2 ; ctg x,
Lm(q) = 2 ln m ; 82
pq
P
ctg(2k ; 1) 2q = 0, p 2 N , представим
k=1
1 (;1)v ln(qk vm k + 1)
X
q
2
4v ; 1
v=1
1 (;1)v ln(2qk vm k + 1)
X
16
2q
+ 2
+ O(1);
2
4v ; 1
v=1
(7)
где k k | расстояние до ближайшего целого.
Докажем пункт a). Пусть mqnn ! 6= 0; 1 (n ! 1). Тогда k vmqnn k ! kvk и v не целое для
иррациональных . Разделив (7) на ln mn , используя равномерную сходимость рядов и переходя
к пределу при n ! 1, получим
1 (;1)v
Lmn (qn) = 2 + 8 X
4:
lim
=
2
2
n!1 ln m
4v ; 1 2
n
v=1
Далее получим неравенство
2 ctg ln + O(1) L (q) 2 ln + O(1);
m
q 2q
q sin =q
где = min(m; q ; m) + 1.
Пусть q 2m. В силу (4) имеем
Lm (q) = 1
q=2]
X
[
n=[q=m]
n + 1
q=2]
X
[
n=[q=m]
(8)
n; + O(1)
1
(n+1=2)=q j
при n = j cos mn+1
. Замечая, что sign cos x = (;1)k+1 , 2 + k x 2 + (k + 1), получим
=2
m;1
[ 2 ]
X
1
Lm(q) = (;1)k+1
k=0
; ]
aX
k+1
[
n=[a;k ]+1
m;1
[ 2 ]
X
1
(;1)k+1
n + k=0
9
+ ]
aX
k+1
[
n=[a+k ]+1
n; + O(1);
1
где ak = mq (k + 12 ) 12 . Имеем
m
Lm(q) q
m
Lm(q) q
где Ak =
и
[ak+1 ]
P
n=[a ]+1
k
[
m;1 ]
2 (
X
k=0
[
;1)k (A; + A ) + O(1);
k
k + 3 =2 k
m;2 ]
2 (
X
k=0
+1
+
;1)k (A; + A ) + O(1);
k
k + 1 =2 k
+1
+
cos m(n 12 )=q.
Пусть fag | дробная часть a. Замечая, что
m
1
(;1)k+1 (cos( 12 ; fak+1 g) m
q + cos( 2 ; fak g) q )
Ak =
2 sin m
2q
m
1
m
1
2 cos q cos 2 ; fak g q + cos 2 ; fak g m
q 2;
+1
получим
m;1
[ 2 ]
X
1 + O(1);
Lm(q) 2qm ctg m
2q k=0 k + 3=2
m;1
[ 2 ]
X
1 + O(1);
2
m
Lm(q) q sin m
2q
k=0 k + 1=2
откуда следует (8) при q 2m.
Пусть теперь q < 2m. Так как
q;1
q;1
X
X
(q ; m)(n + 12 )=qj
+ O(1);
Lm(q) = 1q tn + O(1) = 1q j sin sin
(n + 21 )=q
n=1
n=1
то совершенно аналогично получим
2(q ; m) ctg (q ; m) ln(q ; m) + O(1) L (q) 2(q ; m) ln(q ; m) + O(1):
m
q
2q
q sin q;2qm
Неравенство (8) доказано. Из (8) следует утверждение п. a) для = 0 и = 1.
Докажем пункт б). Пусть mqnn = ps + "n , где "n ! 0 (n ! 1) такое, что существует (в силу
Lmn (qn )
(8)) nlim
!1 ln mn .
;1 )
ln(j"nk j+qn
k = . Не нарушая
Допустим mqnnkk | подпоследовательность, для которой klim
ln
m
nk
!1
общности, будем считать nn = n. Ясно, что 2 [;1; 0]. Пусть для фиксированного целого k
j"n j < 2kp1 . Тогда
Так как
n k + kp )
ln(k kpm
q
qn = ;
n
nlim
!1
ln mn
(
n k + kp )
ln(2k kpm
; если ks 0 (mod 2);
2qn
q
n
=
nlim
!1
ln mn
0; если ks 1 (mod 2):
n + kp ; ln kpmn + 1 ln kp;
o ln kpm
q
qn qn
n qn
10
(9)
(10)
то, замечая, что
отсюда
vs
p
не целое при v 0 (mod p), и применяя (8), из (7) получим
8
1
k
P ;
< + если s + p 1 (mod 2);
L
(
q
)
2
2
2 2 ;
m
n
n
kP k p ;
lim
=
n!1 ln mn
:
1
2 + 2 k
k2 p2 ; ; если s + p 0 (mod 2);
4
8
4
8
(
1)
4
=1
1
=1 4
8
< 42
1
если s + p 1 (mod 2);
2 2 ; если s + p 0 (mod 2);
k=1 4k p ;1
;
mn (qn ) 1
P
lim Lln
4
mn : 2 ; 82
n!1
8
<
1
1
P
1
; k;1 ;
k2 p2 ;1
если s + p 1 (mod 2);
4
если s + p 0 (mod 2):
Для завершения доказательства первой части п. б) осталось заметить, что
1
X
1
= 12 ; 4p ctg 2p ;
2 2
4
k
p
;
1
k=1
1 (;1)k
X
1; :
=
2
2
k=1 4k p ; 1 2 4p sin 2p
Lmn (qn) 2 + 2 k
lim
n!1 ln mn
:
2;
8
4
=1
( 1)
4
(11)
(12)
Докажем заключительную часть п. б). Рассмотрим последовательности mn = ns, qn = np.
Заметив, что при v = kp, где k 2 N ,
(
vmn vmn 0; ks 0 (mod 2);
q = 0; 2q = 1
; ks 1 (mod 2);
n
n
2
и поступив так же, как при доказательстве п. a), из (7) получим
8
>
2
>
<
lim Lns (np) = >
n!1 ln(ns)
1 0 (;1)v
P
8
+
;
2
4v 2 ;1
>
: 2
v1
=1
1
P
v=1
k=1
v
P
+ 82 0 4(;v21);1 + 162
если s 0 (mod 2);
где 0 при сумме означает, что v 0 (mod p). Так как
(12), получим
8
;1)p
k;1)2 p2 ;1 ;
(
4(2
8
1
P
если s 1 (mod 2);
;1)v
(
2 v=1 4v2 ;1
=
4
2
; , то, применяя (11),
2
Lns (np) = < p 2p ; если s + p 1 (mod 2);
R(p) = nlim
2p
!1 ln(ns)
:
p ; если s + p 0 (mod 2):
2
sin
2 ctg
(13)
Отсюда видно, что R(p) ! 42 при p ! 1. Следовательно, для любого рационального s=p существует последовательность mqnn ! ps (n ! 1) такая, что
mn (qn ) = 4 :
lim Lln
(14)
mn 2
Из (13), (14) следует утверждение п. б) для = h и = H .
0 0 1;t
Если 2 (h; H ), то возьмем qn0 2 N , qn0 ! 1 (n ! 1) и положим m0n = [ sqn ;(pqn ) ], где
n!1
t=
(
;h
H ;h ;
H ;
H ;h ;
если s + p 1 (mod 2);
если s + p 0 (mod 2):
11
0
0
ln(j"n j+1=qn )
Ясно, что mqn0n = ps + "n , где p;1(qn0 );t j"n j p;1 (qn0 );t + (qn0 );1 , откуда nlim
= ;t,
!1 lnm0n
что доказывает утверждение для 2 (h; H ) согласно (7), (9), (10). Теорема доказана, т. к. если
ln(qn ;mn )
6= 0; 1, то nlim
!1 ln mn = 1.
3. Основной результат
r
Обозначим n = min(2mn ; 1; qn ; 2mn + 1) + 1, Yn = Cmm;nnr (lnWqn) , g() = 2 sin2 r , где mn ; qn 2 N .
Основным результатом данной работы является
2mn ;1
Теорема 3. Пусть qn 2mn , n ! 1,
qn ! при n ! 1, r i (mod 2), i = 0 или i = 1.
;
Тогда
4
a) если иррационально или = 0; 1, то nlim
!1 Yn = 2 g(),
б) если = ps , где s; p 2 N , (s; p) = 1, то lim Yn = g()hi , nlim
!1Yn = g()Hi , где
n!1
2 ctg ; H = 4 ;
h = p
2p
(
h = h при s + p 0 (mod 2);
H при s + p 1 (mod 2);
8
<H
при s + p 0 (mod 2);
H =:
p 2p при s + p 1 (mod 2):
0
1
0
2
0
0
0
1
2
sin
Кроме того, для любого 2 [hi ; Hi ]0 , где i = 0 при r 0 (mod 2) и i = 1 при r 1 (mod 2),
существует последовательность mqn0n ! ps (n ! 1) такая, при которой nlim
!1 Yn = g().
Доказательство.
Докажем, что равномерно по m и q имеет место формула
Cm(Wqr ) =
где
L0
m;1 (q ) =
r
(L0 m; (q) + O(1));
q sin m
q
2
1
(15)
(
2
L m; (q) при r 0 (mod 2);
L m; (q) при r 1 (mod 2):
2
1
2
1
Так как класс Wqr инвариантен относительно сдвига аргумента, то в определении Cm (Wqr ) можно
вместо нормы kf ; Sm;1 (f )k взять отклонение jf (0) ; Sm;1(f ; 0)j.
Применяя r раз преобразование Абеля, получим для дискретных коэффициентов Фурье 2периодической функции следующее выражение:
q;1
X
ck = q(1 ;1eixk )r r2=q f (xn)e;kxn i ; k 6= 0:
n=0
Следовательно, подставляя значения f (0), Sm;1 (f ; 0) и ck , получим
k(2n+r) + r ) [q=2]
q;1
X cos(
2 X
q
2 ;r) :
r
2=q f (xn )
+ O (q
k )r
q
(2
sin
q
n=0
2
k=m
Допустим сначала, что r 0 (mod 2). Из (16) следует
Cm(Wqr ) = supr
f 2W
Cm (Wqr ) q=2]
q;1 [X
2r+1 r X
qr
+1
cos kxn + O(q;r ):
r
n=0 k=m (2 sin xk =2)
12
(16)
(17)
Обозначим
ak = (2 sin xk =2);r ; (k) = ak ; ak ; (k) = (k) ; (k + 1);
q=2]
X
[
Bm(n) =
k=m
2
+1
j
X
ak cos kxn ; Dj (x) = 12
n=1
cos nx; Fk (x) =
k
X
n=0
Dn (x):
Применяя дважды преобразование Абеля, получим
Bm (n) = ;amDm; (xn ) + a q= D q= (xn ) +
1
+
q=X
2];2
[
k=m
[
2]
[
2]
2 (k)Fk (xn ) ; (m)Fm;1 (xn ) + ([q=2] ; 1)F[q=2];1 (xn ) m ; )xn + G(n): (18)
;am sin(
2 sin x =2
1
2
n
Так как Fk (x) 0 и
qP
;1
n=0
Fk (xn ) =
k
q,
то
( +1)
2
2];2
q;1 [q=X
1X
1 (m(m) ; ([q=2] ; 1)([q=2] ; 1) + a ; a
2
(
k
)
F
(
x
)
=
k
n
m
[q=2];1 ):
q
2
n=0 k=m
Кроме того, (k) = O( akk ), D[q=2] (xn ) = O(1). Следовательно, будем иметь
q;1
1X
q jG(n)j = O(am ):
(19)
n=0
Из (17){(19) следует оценка сверху. Теперь докажем оценку снизу. Пусть
A = f([o; [ q ] ; 1] [ [ q + 2; q ; 1]) \ Zg;
B = f[0; q ; 1] \ (Z n A)g
3
4
4
| множество целых точек. Положим
'(xn ) = 2q
8
r >
<
1
sin(m; 2 )xn
sign
; n 2 A;
P sin xn =2
;
>
: j2A
'(xj )
jBj
n 2 B;
;
где jB j | число элементов B . Убедимся, что из условия
qP
;1
n=0
'(xn ) = 0 следует существование
функции f 2 Wqr такой, при которой r2=q f (xn) = '(xn ). Возьмем f1 (xn ) = ;
q;1
n
P
k=0
'(xk ) + C ,
1
n = 1; : : : ; q ; 1, f (o) = C и выберем C так, чтобы P f (xn) = 0. Ясно, что функцию f можно
n
продолжить как периодическую с периодом 2 и =q f (xn ) = '(xn ). Далее возьмем
1
1
1
=0
1
2
f (xn ) = ;
2
n
X
k=0
f (xk ) + C ; n = 1; : : : ; q ; 1;
1
2
f (o) = C ;
2
2
q;1
X
n=0
13
f (xn ) = 0
2
1
и т. д. Продолжая процесс, можно построить f = ff (xn )gqn;=01 с периодом 2 так, чтобы r2=q f (xn ) =
'(xn ). Поэтому из (16) следует
q;1
X
2
a
m
r
C (W ) '(x )B (n) + O
:
m
Заметив, что j'(xn )j ( 2q )r и
q
qn
m; 12 )xn
xn =2
sin(
sin
=0
n
m
qr
= O(1) при n 2 B , из (18), (19) имеем
q;1 j sin(m ; 1 )x j
2 r X
n
2
;
q
sin
x
=
2
n
n=0
r
X j sin(m ; 1 )xn j a
2
m
2
;2
+ O qr = q am (Lm (q) + O(1)):
sin xn =2
n2B
Для четных r формула (16) установлена.
Пусть теперь r 1 (mod 2). Обозначим
r
[q=2]
X
2
n + r)k=q :
'0 (xn ) = q sign sin(2
k r
k=m (2 sin q )
Cm (Wqr ) aqm
qP
;1
Ясно, что '0 (n) = 0. Поэтому существует функция f 2 Wqr такая, что r2=q f (xn ) = '0 (xn ).
n=0
Следовательно, из (16) имеем
r q;1
X
C (W r ) = 2 2
jA (n)j + O am ;
(20)
m
q=
q
q q
n=0
m
qr
1
sin 2k(n+ 2 )=q
где Am (n) =
k r .
k=m (2 sin q )
Применяя дважды преобразование Абеля, получим
; 1)(n + 12 )=q ;
Am (n) = am cos(22msin(
n + 21 )=q
q ] + 1 )(2n + 1)=q (m) sin(2n + 1)m=q
2
; a[q=2] cos([22sin
(n + 12 )=q + 4 sin2 (n + 12 )=q ;
2];2
sin[ 2q ](2n + 1)=q [q=X
sin(k + 1)(2n + 1)=q 2 (k) q
; ([ 2 ] ; 1) 4 sin2 (n + 1 )=q ;
4 sin2 (n + 21 )=q
2
k=m
; 1)(n + 21 )=q + Q (n): (21)
am cos(22 m
m
sin (n + 12 )=q
Заметив, что
(
cos([ q2 ] + 21 )(2n + 1)=q
0; n если q 1 (mod 2);
=
(;1)
1
2 sin(n + 2 )=q
; если q 0 (mod 2);
2
[P
2]
q
q;[ 2X
m;1 ];3
получим
j sin(k + 1)(2n + 1)=qj = O(mq);
sin2 (n + 21 )=q
n=[ 2mq;1 ]+2
2
q
q;[ 2X
m;1 ];3
qn
=[
q
2m;1 ]+2
jQm(n)j = O(am ):
14
(22)
С другой стороны,
q
;1 ]+1
1 [ 2mX
jAm (n)j +
q
n=0
q ;1
X
n=q;[ 2mq;1 ];2
[X
q=2]
q
2
jAm(n)j q 2m ; 1 + 2
1
k r = O (am ): (23)
k=m (2 sin q )
Применяя (21){(23), из (20) получим формулу (15) для нечетных r.
Так как L2mn;1 (qn ) = Lqn ;(2mn +1) (qn ) + O(1) при 2mn ; 1 qn =2 и
lim
2mnn!1
;1
qn
!
qn ; mn +1) =1
mn ;1)
ln(
2
ln(2
при 6= 0; 1, то для завершения доказательства теоремы 3 осталось применить теоремы 1
и 2.
Литература
1. Kolmogoro A.N. Zur Grosenordung des Restgliedes Fourieschen Reihen dierenzierbarer Funktionen // Ann. Math. { 1935. { V. 36. { Є 2. { P. 521{526.
2. Пинкевич В.Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Weyl'я // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1940. { Т. 4. { Є 6. { С. 521{528.
3. Никольский С.М. Асимптотическая оценка остатка при приближении суммами Фурье //
ДАН СССР. { 1941. { Т. 32. { Є 6. { С. 386{389.
4. Ефимов А.В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН
СССР. Сер. матем. { 1960. { Т. 24. { Є 2. { С. 243{296.
5. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов
Фурье // Матем. заметки. { 1968. { Т. 4. { Є 3. { С. 291{300.
6. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Матем.
ин-та АН СССР. { 1980. { Т. 145. { С. 126{151.
7. Григорян А.Л. Дискретные константы Лебега // Матем. заметки. { 1983. { Т. 34. { Є 6. {
С. 857{866.
Государственный инженерный
университет Армении,
департамент математики
Поступила
14.06.2001
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
191 Кб
Теги
приближение, сетка, функции
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа