close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Принцип абсолютного экстремума для одного класса дифференциальных уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве и его применение.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
ВЫСШИХ
2000
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (454)
УДК 517.954
В.Н. ЗАХАРОВ
ПРИНЦИП АБСОЛЮТНОГО ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В
ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Как известно [1], [2], принцип абсолютного экстремума является одним из способов доказательства единственности решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Получено
достаточно много экстремальных свойств решений [3]{[5] для уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. В данной работе рассматривается уравнение третьего порядка
с тремя переменными.
Рассмотрим уравнение
L(U ) Uxyz + a1Uxy + a2Uxz + a3Uyz + b1 Ux + b2 Uy + b3Uz + cU = 0
(1)
в области G, ограниченной плоскостями S1 (x = h, 0 y h ; z h), S2 (y = 0, 0 x z h),
S3 (z = 0, 0 y x h) и ;0 (z = x ; y, 0 y x h). Коэффициенты уравнения (1) суть
функции трех переменных x, y и z . Они определены в области G. Будем считать, что
ai ; bi ; c; a1xy ; a2xz ; a3yz ; b1x ; b2y ; b3z 2 C (G); (i = 1; 3):
Умножим оператор L(U ) на функцию A, которую определим ниже. Нетрудно убедиться, что
справедливо следующее тождество:
AL(U ) (AUz )xy + (Aa1U )xy + (B1 Uz )x + (B2 Uz )y + (B3 U )x + (B4 U )y + B5U ;
(2)
где B1 = Aa2 ; Ay , B2 = Aa3 ; Ax , B3 = Ab1 ; (Aa1 )y , B4 = Ab2 ; (Aa1 )x , B5 = Ac ; (Ab1 )x +(Aa1 )xy ,
при условии, что функция A удовлетворяет уравнению
Axy ; (a2 A)x ; (a3 A)y + b3A = 0:
(3)
Будем считать, что на множестве G [ S1 [ S2 [ S3 функция A положительна и L(U ) 0.
Пусть функция U (x; y; z ) достигает своего положительного максимума на множестве G [ S3 в
точке P0 (x0 ; y0 ; z0 ). Пусть P1 (x1 ; y1 ; z0 ), P2 (x0 ; y1 ; z0 ), P3 (x1 ; y0 ; z0 ). Тождество (2) проинтегрируем
по прямоугольнику P0 P1 P2 P3 . Получим
Z
x1
x0
dx
Z
y0
y1
AL(U )dy =
Z
x1
x0
dx
Z
y0
y1
[(AUz )xy + (Aa1 U )xy +
+ (B1 Uz )x + (B2 Uz )y + (B3y U )x + (B4x U )y + B5 U ]z=z0 dy: (4)
Предположим, что для функции A выполняются условия
a2(x0 ; y; z0 )A(x0 ; y; z0 ) ; Ay (x0; y; z0 ) = B1(x0 ; y; z0 ) = 0;
a3(x; y0 ; z0)A(x; y0 ; z0) ; Ax(x; y0; z0 ) = B2(x; y0 ; z0 ) = 0;
A(x0; y0 ; z0 ) = 1:
29
Но тогда
Z
x1
x0
dx
Z
y0
y1
[(B1 Uz )x ] z=z0 dy =
Z
x1
x0
dx
Z
y0
y1
[B1 (x1 ; y; z0 )Uz (x1 ; y; z0 ) ;
y1
Z y
0
;B1(x0 ; y; z0 )Uz (x0 ; y; z0 )]dy =
Z
y0
[(B2 Uz )y ]z=z0 dy = ;
B1 (x1; y; z0 )Uz (x1; y; z0 )dy;
y1
Z x
1
x0
B2(x; y1 ; z0 )Uz (x; y1 ; z0 )dx:
Учитывая, что A > 0, L(U ) 0, из тождества (4) получаем
M Uz (P0 ) + A(P1 )Uz (P1 ) ; A(P2 )Uz (P2 ) ; A(P3 )Uz (P3 ) +
+A(P1 )a1 (P1 )U (P1 ) ; A(P2 )a1 (P2 )U (P2 ) ; A(P3 )a1 (P3 )U (P3 ) ;
Z y
Z x
0
1
; B1(x1 ; y; z0 )Uz (x1; y; z0 )dy + B2 (x; y1; z0 )Uz (x; y1; z0 )dx ;
y1
y0
Z
;
y1
B3 (x1; y; z0 )U (x1 ; y; z0 )dy +
U (P0 ) A(P1 )[;a1(P1 )] +
+
Z
x1
x0
Z
x1
x0
A(x; y1 ; z0 )b2 (x; y1; z0 )dx +
+
Z
x0
+
+
Z
x1
Z
x1
x0
Z
x0
x1
x0
Z
dx
y0
y1
Z
B4(x; y1 ; z0 )U (x; y1 ; z0 )dx y0
y1
A(x; y; z0 )c(x; y; z0 )dy +
A(x1 ; y; z0 )[;b1 (x1; y; z0 )]dy +
[;B4 (x; y0 ; z0 )][U (P0 ) ; U (x; y0 ; z0 )]dx +
y0
y1
dx
B3(x0 ; y; z0 )[U (P0 ) ; U (x0; y; z0 )]dy +
Z
y0
y1
[;B5 (x; y; z0 )][U (P0 ) ; U (x; y; z0 )]dy:
Из этого неравенства следует, что если функция A определяется из уравнения (3), удовлетворяет условиям (4) и на множестве G выполняются условия
1) A > 0,
2) a1 < 0, b1 0, b2 0, c 0,
3) B3 0, B4 0, B5 0,
то
M > 0:
(5)
Если функция A определяется условиями (3), (4) и коэффициенты оператора L(U ) удовлетворяют неравенствам 1){3), то будем говорить, что выполняются условия AI . Итак, доказанa
G, выполняются условия AI и функция U (x; y; z)
P0 2 G [S3, то, каков бы ни был характеристический прямоугольник P0 P1 P2 P3 , параллельный плоскости z = 0 и целиком лежащий
в G [ S3 , выполняется неравенство (5).
Лемма 1. Если
L (U ) 0
на множестве
достигает своего положительного максимума в точке
Аналогично доказывается
G, выполняются условия AI и функция U (x; y; z)
P0 2 G [ S3, то, каков бы ни был характеристический прямоугольник P0 P1 P2 P3 4, параллельный плоскости z = 0 и целиком лежащий
в G [ S3 , выполняется неравенство M < 0.
Лемма 2. Если
L (U ) 0
на множестве
достигает своего отрицательного минимума в точке
30
L(U ) 0 ( 0)
S1 S2
U (x; y; z) G
Теорема 1. Если
Uz (x; y; z) 0
)
минимум
на плоскостях
функции
и
в
на множестве
G, выполняются условия AI , U (x; y; z) 0,
, существует положительный максимум
, то он достигается на плоскости
;0 .
(отрицательный
Доказательство. Пусть функция U (x; y; z ) достигает своего положительного максимума в
точке P0 (x0 ; y0 ; z0 ) замкнутой области G. Предположим, что точка P0 не лежит на плоскости ;0 .
Тогда P0 2 G [S3 , т. к. на плоскостях S1 и S2 функция U (x; y; z ) 0. Выберем точки Pi (i = 1; 3)
так, что P1 2 S1 \S2 , P2 2 S2 , P3 2 S1 . Тогда U (P1 ) = U (P2 ) = U (P3 ) = Uz (P1 ) = Uz (P2 ) = Uz (P3 ) 0 и из леммы 1 следует Uz (P0 ) > 0, что невозможно, т. к. в этой точке экстремум. Аналогично
доказывается утверждение теоремы, если в точке P0 достигается отрицательный минимум.
Заметим, что в качестве функции A можно взять функцию Римана для уравнения
Axy + a2Ax + a3Ay + b3A = 0:
(6)
Такие функции существуют. Пусть, например, в уравнении (1) коэффициенты ai , bi , c (i = 1; 3)
суть постоянные числа. Функция Римана для уравнения (6) известна [6] и имеет вид
A = exp[a3(x ; x0) + a2 (y ; y0)] 0 F1(1; );
1
P
1
n
где 0 F1 =
(a)n n! x , = (x ; x0 )(y ; y0 ), = a2 a3 ; b3 . Так как в области G x > x0 и y < y0 ,
n=0
то для того чтобы 0, должно выполняться неравенство b3 ; a2 a3 0. Нетрудно увидеть, что
неравенства 2) будут выполняться при условиях a1 a3 ; b2 0, a1 a2 ; b1 0. Вычисления дают
Ax = exp[a3(x ; x0) + a2(y ; y0)][a3 0F1 (1; ) + (y ; y0) 0 F1(2; )];
Ay = exp[a3 (x ; x0) + a2(y ; y0)][a2 0F1(1; ) + (x ; x0) 0 F1(2; )];
Axy = exp[a3 (x ; x0) + a2(y ; y0)][( + a2a3) 0 F1(1; ) +
+a2 (y ; y0 ) 0 F1 (2; ) + a3 (x ; x0 ) 0 F1 (2; )]:
Значит,
B5 = (c ; a1b3 ; a2b2 ; a3 b1 + 2a1 a2a3 ) 0F1 (1; ) +
+[(a1 a3 ; b2 )(x ; x0 ) + (a1 a2 ; b1 )(y ; y0 )] 0 F1 (2; ):
Отсюда следует, что при выполнении неравенств a1 > 0, b1 0, b2 0, c 0, b1 ; a1 a3 0,
b2 ; a1a3 0, b1 ; a1a2 0, b2 ; a1a3 0, c ; a1b3 ; a2 b2 ; a3b1 + 2a1a2 a3 0 коэффициенты
исследуемого уравнения удовлетворяют условиям AI и, следовательно, справедлива теорема 1.
Задача
D.
Найти непрерывное в замкнутой области
G решение уравнения (1), удовлетво-
ряющее краевым условиям
U (x; y; z)jS = f (y; z);
U (x; y; z)jS = g(x; z);
U (x; y; z)j; = '(x; y):
AI
1
2
0
Теорема 2. Если выполняются условия
и существует решение задачи
D
, то оно един-
ственно.
Доказательство. Достаточно показать, что решение задачи D с нулевыми краевыми условиями тождественно равно нулю. Пусть U (x; y; z ) | решение уравнения (1), удовлетворяющее
нулевым краевым условиям. Так как эта функция непрерывна в замкнутой области G, то по
теореме Вейерштрасса она достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Пусть
она достигает своего наибольшего положительного значения (в противном случае рассмотрели
31
бы функцию #(x; y; z ) = ;U (x; y; z )) в точке M0 . Тогда выполнены все условия теоремы 1. Следовательно, M0 2 ;0 . Так как на этой плоскости функция U (x; y; z ) тождественно равна нулю,
то наибольшее значение этой функции в замкнутой области G тоже равно нулю. Аналогично
доказывается, что и наименьшее значение функции в G равно нулю. Отсюда следует, что в G
U (x; y; z) 0.
Литература
1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. { М.: Наука, 1971. { 416 с.
2. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. { М.: Наука, 1970. { 296 с.
3. Бицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа // ДАН СССР. { 1950. { T. 70. { Є 4. {
C. 561{565.
4. Волкодавов В.Ф. Единственность решения задачи T для общего уравнения Трикоми // Тр.
первой науч. конф. матем. каф. пед. ин-тов Поволжья. { Куйбышев, 1961. { C. 45{49.
5. Пулькин С.П. К вопросу о решении задачи Трикоми для уравнения типа Чаплыгина // Изв.
вузов. Математика. { 1958. { Є 2. { C. 219{226.
6. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана{Адамара для некоторых
дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. { Самара, 1994. { 31 с.
Самарский государственный
Поступили
педагогический университет
первый вариант
11.03.1997
30.11.1998
окончательный вариант
32
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа