close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегродифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2008, № 8, c. 35–42
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
М.Ю. ПЕРШАГИН
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предлагается вычислительная схема общего проекционного метода решения интегродифференциальных уравнений теории струй жидкости и теплопроводности. Устанавливается теоретическое обоснование этой схемы в смысле теории приближенных методов функционального анализа. Рассмотрены частные случаи общего проекционного метода: метод моментов и метод коллокации.
Ключевые слова: теория струй жидкости и теплопроводности, сингулярные интегродифференциальные уравнения, проекционный метод решения, метод моментов, метод коллокации.
УДК: 517.968:519.642
Abstract. In this paper we propose a computational scheme of the general projection method
for the solution of singular integrodifferential equations in the theory of stream lines and thermal
conductivity. We theoretically substantiate this scheme from the standpoint of the theory of
approximate methods of functional analysis. We consider particular cases of the general projection
method, namely, the method of moments and the collocation method.
Keywords: theory of stream lines and thermal conductivity, singular integrodifferential equations,
projection method, method of moments, collocation method.
Работа посвящена проекционным методам решения сингулярного интегродифференциального уравнения
b(t) 1 ρ(τ )x(τ )
dτ = f (t), −1 < t < 1,
(1)
Kx ≡ x (t) + a(t)x(t) +
ρ(t) −1 τ − t
при начальном условии
x(−1) = 0,
(2)
где ρ(t) — весовая функция, a(t), f (t) ∈ L2ρ [−1, 1], b(t) ∈ C[−1, 1], а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши [1]–[3]. К уравнениям такого вида
приводит ряд задач теории струй жидкости и теплопроводности (напр., [4]–[7]).
Задача (1)–(2) как правило точно не решается, поэтому для ее решения в ряде частных
случаев предложены и обоснованы различные приближенные методы (напр., [8]–[11] и библиография в них). Однако, несмотря на сказанное, в этой области все еще остается много
нерешенных вопросов. Данная работа в некоторой степени восполняет этот пробел.
Изложение работы существенным образом опирается на соответствующие результаты
монографий [12] и [9]. Частные случаи задачи (1)–(2) рассматривались в работах [10] (при
1
) и [13] (при ρ(t) ≡ 1).
ρ(t) = √1−t
2
Поступила 14.09.2006
35
36
М.Ю. ПЕРШАГИН
Переходим к изложению результатов и их доказательству.
Будем рассматривать оператор K из (1) в паре функциональных пространств (X, Y ), где
Y = L2ρ [−1, 1] — весовое гильбертово пространство суммируемых с квадратом на [−1, 1]
функций со скалярным произведением
1
ρ(t)f (t)g(t)dt (f, g ∈ L2ρ [−1, 1])
(f, g) =
−1
и нормой
f L2ρ [−1,1] =
1
1
2
2
ρ(t)|f (t)| dt
f ∈ L2ρ [−1, 1];
,
−1
1 [−1, 1] — весовое пространство Соболева, т. е.
X = W2ρ
1
[−1, 1] = {f ∈ L2ρ [−1, 1] | f ∈ L2ρ [−1, 1], f (−1) = 0}
W2ρ
1 [−1,1] = f L [−1,1] .
с нормой f W2ρ
2ρ
Кроме того, понадобится пространство C[−1, 1] ≡ C — пространство всех непрерывных
на [−1, 1] функций с обычной нормой xC = max |x(t)|, x ∈ C.
−1t1
Задача (1)–(2) эквивалентна линейному операторному уравнению
Kx ≡ x + T x = f
(x ∈ X,
где
T x = a(t)x(t) + b(t)Sx,
1
Sx =
ρ(t)
f ∈ Y ),
1
−1
ρ(τ )x(τ )
dτ.
τ −t
(3)
многочленов
Обозначим через Hn множество всех алгебраических
степени не выше n,
где n + 1 ∈ N. Введем подпространства Xn = Hn X, Yn = Hn−1 Y и обозначим через
Pn = {Pn } множество линейных (т. е. аддитивных и однородных) проекционных (Pn2 = Pn )
операторов, отображающих пространство Y в подпространство Yn .
Приближенное решение задачи (1)–(2) будем искать в виде многочлена xn ∈ Xn , который
определим как точное решение уравнения
Kn xn ≡ Pn Kxn = Pn f
(xn ∈ Xn , Pn f ∈ Yn , Pn ∈ Pn ).
(4)
Легко видеть, что в силу (1) и Pn2 = Pn это уравнение принимает вид
Kn xn ≡ xn + Pn T xn = Pn f
(xn ∈ Xn , Pn ∈ Pn ).
(5)
Поскольку dim Xn = dim Yn = n ∈ N, а Pn ∈ Pn и xn ∈ Yn для любого xn ∈ Xn , то уравнение (5), а следовательно, и (4), эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) относительно коэффициентов многочленов
xn (t) =
n
αk [tk − (−1)k ] =
k=1
n
βk [Rk (t) − Rk (−1)],
n ∈ N,
(6)
k=1
где Rk (t) — многочлены, ортогональные на отрезке [−1, 1] с весом ρ(t).
n
γk (f )tk−1 для любого f ∈ Y , где γk = γk,n (f ) — некоторые
Легко видеть, что Pn f =
k=1
линейные функционалы над пространством Y . Предположим, что СЛАУ (6) имеет решение
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
37
α∗1 , . . . , α∗n (соответственно β1∗ , . . . , βn∗ ). Тогда приближенное решение задачи (1)–(2) принимает следующий конкретный вид:
n
n
∗
∗ k
k
αk [t − (−1) ] =
βk∗ [Rk (t) − Rk (−1)], n ∈ N.
xn (t) =
k=1
k=1
Для вычислительной схемы (1), (2), (6) справедлива
Теорема 1. Пусть выполнены условия
(1)
a) Pn = Pn = {Pn ∈ Pn : Pn Y ≡ Pn Y →Yn ⊂Y = O(1), n → ∞};
б) весовая функция ρ(s) такова, что S : X → Y — вполне непрерывный оператор;
в) уравнение (1) имеет единственное решение x∗ ∈ X при любой правой части f ∈ Y .
Тогда при всех n ∈ N, начиная с некоторого, уравнения (5) однозначно разрешимы. Приближенные решения x∗n сходятся к точному решению x∗ в пространстве X со скоростью,
определяемой неравенствами
En (x∗ )X x∗ − x∗n X = O{En (x∗ )X },
∗
∗
En−1 (x )Y x −
x∗n X
∗
(7)
∗
= O{En−1 (x )Y } = O{En−1 (f )Y + En−1 (T x )Y },
(8)
где
En (x∗ )X = ρ(x∗ , Xn )X =
En−1 (x∗ )Y = ρ(x∗ , Yn−1 )Y =
inf x∗ − Qn X ,
Qn ∈Xn
inf
Qn−1 ∈Yn−1
x∗ − Qn−1 Y .
Доказательство. В силу соотношений Pn2 = Pn и Pn Y →Yn = O(1), Pn ∈ Pn , для любого
f ∈ Y находим
f − Pn f Y = (E − Pn )(f − Qn )Y (EY + Pn Y )f − Qn Y 2Pn Y f − Qn Y , (9)
где Qn — произвольный элемент из Yn , E : Y → Y — тождественный оператор. Выбирая
Qn из условия минимальности правой части (9), получаем
En−1 (f )Y δn ≡ f − Pn f Y 2Pn Y En−1 (f )Y = O{En−1 (f )Y },
(10)
где En (f )Y = ρ(f, Yn ). В силу теоремы Джексона в пространстве Лебега Y = L2ρ [−1, 1] для
любого f ∈ Y имеем
En−1 (f )Y → 0, n → ∞.
Поэтому операторы Pn : Y → Yn сильно сходятся к единичному оператору E пространства Y .
Для любого xn ∈ Xn из формул (1), (5), (10) следует
Kxn − Kn xn Y = T xn − Pn T xn Y µn xn X ,
(11)
µn = sup T u − Pn T uY = sup u − Pn uY ;
(12)
где
u∈U ⊂X
u∈T U
здесь U = U (0, 1) — единичный шар пространства X с центром в нулевой точке.
В силу условия б) теоремы, множество T U = T U (0, 1) компактно в пространстве Y . Так
как операторы Pn сильно сходятся в пространстве Y , то в силу (12) и известной теоремы
И.М. Гельфанда (напр., [12], с. 233) относительно сильной и равномерной сходимости операторов заключаем, что µn → 0 при n → ∞. Поэтому благодаря (11), (12) и условию a),
имеем εn ≡ K − Kn Xn →Y µn → 0, n → ∞. Используя условия б) и в), получаем, что
оператор K : X → Y непрерывно обратим.
38
М.Ю. ПЕРШАГИН
Таким образом, с помощью результатов ([9], гл. I) находим, что при всех n ∈ N таких, что
qn ≡ K −1 εn µn K −1 < 1, существует непрерывный обратный оператор Kn−1 : Yn → Xn
и Kn−1 K −1 (1 − qn )−1 , где K : X → Y , Kn : Xn → Yn . Это означает, что уравнения (4)
и (5) однозначно разрешимы в подпространстве Xn . Для точного и приближенного решений
справедливы неравенства
K −1 [f − Pn f Y + qn f Y ] = O(εn + δn ) = o(1),
1 − qn
E − Kn−1 Pn KX→X En (x∗ )X x∗ − x∗n X x∗ − x∗n X
n → ∞,
{1 + Kn−1 Yn →Xn Pn Y →Yn KX→Y }En (x∗ )X = O{En (x∗ )X } = o(1), n → ∞.
Из полученных соотношений следуют оценки (7) и (8).
Используя доказанную теорему, можем установить, что задача (1)–(2) в случае ρ(t) =
(1 − t)α (1 + t)β , −1 < α, β < 1, — вес Якоби, может быть решена методом моментов. Приближенное решение задачи (1)–(2) будем искать в виде
xn (t) =
n
αk [tk − (−1)k ] =
k=1
n
(α,β)
βk [Pk
(α,β)
(t) − Pk
(−1)],
n ∈ N,
k=1
(α,β)
(t) — многочлены Якоби, ортогональные на отрезке [−1, 1] с только что упомянугде Pk
тым весом ρ(t). Неизвестные коэффициенты будем определять, используя одну из СЛАУ:
n
k=1
n
αk (Kϕk , ψj ) = (f, ψj ),
j = 0, n − 1,
(13)
βk (Kψk , ϕj ) = (f, ϕj ),
j = 0, n − 1,
(14)
k=1
(α,β)
где ϕk (t) = tk − (−1)k , ψj (t) = Pj
(α,β)
(t) − Pj
(−1).
Следствие 1. Пусть выполнены условия
a) a(t), f (t) ∈ L2ρ [−1, 1], b(t) ∈ C[−1, 1];
б) уравнение (1) однозначно разрешимо в пространстве X при любой правой части из
пространства Y .
Тогда при всех n ∈ N, начиная с некоторого, СЛАУ (13), (14) однозначно разрешимы.
Приближенные решения x∗n сходятся к точному решению x∗ в пространстве X со скоростью,
определяемой неравенствами
En (x∗ )X x∗ − x∗n X = O{En (x∗ )X },
En−1 (x∗ )Y x∗ − x∗n X = O{En−1 (x∗ )Y } = O{En−1 (f )Y + En−1 (T x∗ )Y }.
Доказательство. Задачу (1)–(2) запишем в виде эквивалентного ей операторного уравнения
Kx ≡ x + T x = f (x ∈ X, f ∈ Y ),
где оператор T определен формулой (3).
Введем оператор проектирования Pn : Y → Yn по формуле
Pn (f ; t) =
n−1
(α,β)
(f, Pk
k=0
(α,β)
)Pk
(t),
f ∈ Y,
n ∈ N.
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
39
Тогда любая из СЛАУ (13), (14) эквивалентна следующему операторному уравнению:
Kn xn ≡ Pn Kxn = Pn f
(xn ∈ Xn ,
Pn f ∈ Yn ).
(15)
Ясно, что Pn Y →Y = 1, Pn2 = Pn , n ∈ N. Поэтому уравнение (15) эквивалентно уравнению
Kn xn ≡ xn + Pn T xn = Pn f (xn ∈ Xn , Pn f ∈ Yn ).
(1)
Кроме того, Pn ∈ Pn .
Таким образом, осталось показать, что оператор S, заданный в (3), является вполне
непрерывным как оператор из X в Y .
где E
— оператор вложения из
Представим оператор S в виде произведения S = S E,
X в L2ρ [−1, 1], а оператор S : L2ρ [−1, 1] → L2ρ [−1, 1], задаваемый формулой (3), является
является вполне
непрерывным (напр., [10], с. 97). Достаточно убедиться, что оператор E
непрерывным.
Нетрудно показать, что для любого x(t) ∈ X
t
2
1+t
2
2
1−α−β
, 1 − β, 1 − α , t ∈ [−1, 1],
x (τ )dτ xX 2
B
|x(t)| = 2
−1
1
2
1+t
2
, 1−β, 1−α
, t ∈ [−1, 1],
x (τ )dτ x2X 21−α−β B(1−β, 1−α) − B
|x(t)| = 2
t
где
1
B(α, β) =
tα−1 (1 − t)β−1 dt
(α, β > 0),
0
x
B(x, α, β) =
tα−1 (1 − t)β−1 dt (α, β > 0).
0
Отсюда легко получаем
|x(t)|2 21−α−β B(1 − β, 1 − α)x2X ,
t ∈ [−1, 1],
Для любой x(t) ∈ X и любых t , t ∈ [−1, 1] находим
t
1
1 2
2
x (τ )dτ |x (τ )| ρ(τ )dτ
|x(t ) − x(t )| = t
−1
t
t
x ∈ X.
dτ
ρ(τ )
(16)
1
2
xX ε(δ),
где при δ → 0 (0 < δ 2)
1 + t
1 + t
1−α−β , 1 − β, 1 − α − B
, 1 − β, 1 − α : |t − t | δ → 0.
ε(δ) = sup 2
B
2
2
Поэтому
ω(x; δ)C ε(δ)xX ,
x ∈ X, 0 < δ 2,
(17)
где ω(x; δ)C — модуль непрерывности функции x(t) ∈ C[−1, 1] с шагом δ.
Из (16) и (17) с учетом критерия компактности Арцелла в пространстве C (напр., [12],
является вполне непрерывным как оператор из X в Y .
с. 29) следует, что оператор E
(1)
Теперь рассмотрим ситуацию, когда оператор Pn не является элементом семейства Pn .
В этом случае для вычислительной схемы (1), (2), (6) справедлива
40
М.Ю. ПЕРШАГИН
Теорема 2. Пусть выполнены условия
(2)
a) Pn = Pn = {Pn ∈ Pn : Pn Y →Y = ∞; Pn C→Y = O(1), n → ∞};
б) функции a(t), b(t), f (t) ∈ C[−1, 1];
в) весовая функция ρ(s) такова, что S : X → C — вполне непрерывный оператор;
г) уравнение (1) однозначно разрешимо в пространстве X при любой правой части из
пространства Y .
Тогда при всех n ∈ N, начиная с некоторого, уравнения (5) однозначно разрешимы. Приближенные решения x∗n сходятся к точному решению x∗ в пространстве X со скоростью,
определяемой неравенствами
x∗ − x∗n X = O{En−1 (x∗ )C } = O{En−1 (f )C + En−1 (T x∗ )C },
(18)
где En (g)C — наилучшее равномерное приближение функции g ∈ C[−1, 1] многочленами
степени не выше n.
(2)
Доказательство. В силу соотношений Pn2 = Pn и Pn C→Y = O(1), Pn ∈ Pn , для любого
f ∈ Y находим
f − Pn f Y = (E − Pn )(f − Qn )Y (EC + Pn C )f − Qn C (eY + 1)Pn C f − Qn C , (19)
где Qn ∈ Hn , E : C → Y — оператор вложения, а e(t) ≡ 1. Выбирая Qn из условия
минимальности правой части (19), получаем
En−1 (f )C δn ≡ f − Pn f C (eY + 1)Pn C En−1 (f )C = O{En−1 (f )C }.
(20)
Для любого xn ∈ Xn из формул (1), (5), (20) следует
n xn X ,
Kxn − Kn xn Y = T xn − Pn T xn Y µ
(21)
где
µ
n = sup T u − Pn T uC = sup u − Pn uC (eY + 1)Pn C→Y sup En−1 (u)C , (22)
u∈U ⊂X
u∈T U
u∈T U
здесь U = U (0, 1) — единичный шар пространства X с центром в нулевой точке.
Из условия в) теоремы множество T U = T U (0, 1) компактно в пространстве C. Тогда,
в силу теоремы Тимана ([14], теорема 3.1), заключаем, что µ
n → 0 при n → ∞. Поэтому
благодаря (21), (22) и условию a), имеем
n → 0,
εn ≡ K − Kn Xn →Y µ
n → ∞.
Используя условия в) и г), получаем, что оператор K : X → Y непрерывно обратим.
Далее, по аналогии с доказательством теоремы 1 показываем, что уравнения (4) и (5) однозначно разрешимы в подпространстве Xn . Для точного и приближенного решений справедливы неравенства (18).
Используя теорему 2 и результаты работы [13], можем установить, что в случае ρ(t) ≡ 1,
задача (1)–(2) может быть решена методом коллокации. Приближенное решение задачи
(1)–(2) будем искать в виде многочленов
xn (t) =
n
k=1
αk [tk − (−1)k ] =
n
k=1
βk [Qk (t) − Qk (−1)],
n ∈ N,
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
41
k
d
2 k — ортогональные многочлены Лежандра на отрезке [−1, 1]. Неизгде Qk (t) = dt
k (1 − t )
вестные коэффициенты будем определять из СЛАУ соответственно
n
αk K(ϕk ; tj ) = f (tj ),
j = 1, n;
(23)
k ; tj ) = f (tj ),
βk K(Q
j = 1, n,
(24)
k=1
n
k=1
k (t) = Qk (t) − Qk (−1), а tk = tk,n (k = 1, n; n ∈ N) — некоторые
где ϕk (t) = tk − (−1)k , Q
узлы из сегмента [−1, 1].
Следствие 2. Пусть выполнены условия
a) a(t), f (t) ∈ C[−1, 1], b(t) ∈ Hα (0 < α 1), b(1) = 0;
dn
2 n
б) узлы коллокации являются корнями многочлена Лежандра Qn (t) = dt
n (1 − t ) ;
∗
1
в) задача (1)–(2) имеет единственное решение x ∈ W2 [−1, 1] при любом f ∈ L2 [−1, 1].
Тогда при всех n ∈ N, начиная с некоторого, СЛАУ (23), (24) однозначно разрешимы.
Приближенные решения x∗n сходятся к точному решению x∗ в пространстве W21 [−1, 1] со
скоростью x∗ − x∗n W21 = O{En−1 (x∗ )C }, где En (g)C — наилучшее равномерное приближение функции g ∈ C[−1, 1] многочленами степени не выше n.
Замечание. В заключение отметим, что результаты, аналогичные только что приведенным, справедливы также при некоторых других способах выбора α, β для веса Якоби
ρ(t) = (1 − t)α (1 + t)β , например, при α − 12 , β − 12 ([10], с. 206).
Литература
[1] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
[2] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. – М.: Наука, 1968. – 511 с.
[3] Michlin S.G., Prößdorf S. Singuläre Integraloperatoren. – Berlin: Akademik-Verlag, 1980. – 514 S.
[4] Пыхтеев Г.Н. Общая и основная краевые задачи плоских струйных установившихся течений и соответствующие им нелинейные уравнения // ПМТФ. – 1966. – № 1. – С. 32–34.
[5] Пыхтеев Г.Н. Некоторые методы решения одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения
теории струй идеальной жидкости // ПМТФ. – 1966. – № 2. – С. 72–86.
[6] Пыхтеев Г.Н. О двух методах решения одной нелинейной краевой задачи теории струй тяжелой
жидкости // Динамика сплошной среды. – Новосибирск: Наука, 1969. – Вып. 2. – С. 134–144.
[7] Шокамолов И.Ш. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида и
решение одного сингулярного интегро-дифференциального уравнения с приложением к задачам теплопроводности: Дисс. . . . канд. физ-мат. наук. – Минск, 1973. – 140 с.
[8] Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения
особых интегральных и интегродифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Матем. анализ. – М.: Изд-во АН СССР. – 1980. – Вып. 18. – С. 251–307.
[9] Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. – Казань: Изд-во Казанск.
ун-та, 1980. – 232 с.
[10] Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. – 288 с.
[11] Самойлова Э.Н. Методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений на разомкнутых
контурах : Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. – Казань, 2004. – 114 с.
[12] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. – М.: Физматгиз, 1959. – 684 с.
[13] Самойлова Э.Н. Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегродифференциальных
уравнений // Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 7. – С. 48–53.
42
М.Ю. ПЕРШАГИН
[14] Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. –
624 с.
М.Ю. Першагин
старший преподаватель, кафедра теории функций и приближений,
Казанский государственный университет,
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18,
e-mail: Michael.Pershagin@ksu.ru
M.Yu. Pershagin
Senior lecturer, Chair of Theory of Functions and Approximations,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: Michael.Pershagin@ksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
185 Кб
Теги
решение, уравнения, метод, одного, проекционное, класс, интегродифференциальных, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа