close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Пространство аффинно-метрической связности.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (544)
2007
УДК 514.764
А.В. СТОЛЯРОВ
ПРОСТРАНСТВО АФФИННО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ
Двойственная теория оснащенных подмногообразий, вложенных в n-мерное пространство
проективной связности P (в проективное пространство P ), разработана достаточно полно
(см., напр., [1]). Но до настоящего времени вопросы изучения двойственной геометрии оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство аффинной связности A (аффинное
пространство A ), математиками не ставились и не рассматривались.
Следует также отметить, что в последнее время заметно оживились исследования геометрии
оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство проективно-метрической связности
K (напр., [2]{[4]), но в математической литературе отсутствовали исследования пространства
аффинно-метрической связности и геометрии подмногообразий, погруженных в это пространство.
Целью данной работы и является положить начало восполнению указанных выше пробелов
в дифференциальной геометрии обобщенных пространств.
На протяжении всего изложения индексы пробегают следующие значения:
i; j; k; l; s; t = 1; n; i; j; k; l; s; t = 0; n; a = 1; 2:
n;n
n
n;n
n
n;n
1. Предварительные сведения
Пусть задано пространство аффинной связности A системой n(n + 1) форм Пфаффа
f ; g, подчиненных структурным уравнениям [5]
1
1
D = ^ + r ^ ; D = ^ + r ^ ;
(1)
2
2
где
r
= 0; r = 0; ^ ^ ^ 6= 0;
при этом n независимых первых интегралов вполне интегрируемой системы = 0 являются локальными координатами точки A(u) базы B . С каждой точкой A(u) 2 B связывается локальное центроаффинное пространство A (слой), отнесенное к реперу R = fA (u); ~e (u); : : : ; ~e (u)g,
вершина A (u) которого условно отождествляется с точкой A(u) базы B . Формы , инвариантным образом определяют главную часть инфинитезимального аффинного отображения
соседнего локального пространства A (u + du) (слоя) на исходное A (u) при помощи отображения реперов:
~ u + du) ! A(
~ u; du) ~ u) + dA(
~ u) ~ u) + ~
A(
e (u);
= A(
= A(
~
e (u + du) ! ~
e (u) + d~
e (u) = ~e (u) + ~e (u):
В уравнениях (1) каждая из систем функций fr g, fr g представляет собой тензор | соответственно тензор кручения и тензор кривизны пространства аффинной связности A .
Известно [6], [7]: для того чтобы пространство аффинной связности A было аффинным
(локально), необходимо и достаточно, чтобы оно обладало нулевой кривизной (r 0) и нулевым кручением (r 0).
n;n
i
i
j
i
k
i
k
i
st
i
s
t
i
j
1
i
j (st)
(st)
k
j
i
k
2
i
jst
s
t
n
i
n
n
0
n
0
1
n
n
i
n
i
j
n
k
k
i
i
i
k
i
i
i
st
k
i
jst
n;n
n;n
i
jst
i
st
71
2. Двойственные пространства проективной связности
Возьмем систему из (n + 1) пфаффовых форм f! g, где
1 ; ! = ; 1 ; ! = 0;
(2)
! =; ! =;
n+1
n+1
формы этой системы в силу (1) удовлетворяют структурным уравнениям пространства проективной связности P ([8], с. 9)
1
D! = ! ^ ! + R ! ^ ! ; ! = 0; R
= 0;
(3)
2
где тензор кривизны-кручения R пространства P имеет строение
1 r ; R = 0; R = r ; 1 r :
R =r ; R =;
(4)
n+1
n+1
Доказана
Теорема 1. С пространством аффинной связности A
ассоциируется пространство проективной связности P , определяемое системой пфаффовых форм ! (см. (2)); тензор кривизныкручения пространства P
имеет строение (4).
Следствие 1. Тензоры кручения r
и R пространств A и P совпадают.
Следствие 2. Пространство проективной связности P
вырождается в проективное пространство P (R 0) тогда и только тогда, когда исходное пространство аффинной связности
A является аффинным A .
Следуя работе ([6], с. 210), пространство проективной связности P , индуцируемое пространством аффинной связности A , назовем нормализованным, если в нем задано поле гиперплоскостей c x ; x = 0, определяемое полем ковектора c (c = ;1):
dc + c ! ; c ! + ! ( 0) = c ! :
(5)
В силу (2), (5) нормализация пространства P равносильна нормализации соответствующего пространства аффинной связности A тем же полем ковектора c (c = ;1):
dc ; c = c ;
(6)
поле ковектора c в пространстве A определяет поле нормализующих гиперплоскостей
k
c X ; 1 = 0, где X = 0 | неоднородные координаты точек нормализующей гиперплоскости относительно репера R = fA ; ~e g.
Продолжение уравнений (5) с использованием (2), (3) приводит к дифференциальным уравнениям
rc + c ! = c ! ;
(7)
где
2c = c R ; c R + c R :
(8)
Будем считать, что нормализация пространства P (а следовательно, и пространства A )
является невырожденным; это равносильно тому, что тензор
a = c ; c c ; ra + a ! = a ! ;
(9)
2
i
j
i
0
0
i
0
k
k
i
j
i
j
i
j
k
k
0
j
n;n
i
k
i
i
j
j
k
j st
s
t
0
0
i
i
0
0st
i
st
i
j (st)
n;n
jst
0st
k
k
0
k
kst
i
jst
jst
i
jst
i
j
k
kst
n;n
i
n;n
j
n;n
i
st
i
0st
n;n
n;n
n;n
n
i
j st
n;n
n
n;n
0
n;n
0
k
k
0
0
0
i
0
0
i
i
0
0
0
k
i
k
0
0
i
ij
j
0
n;n
0
n;n
0
k
k
0
0
j
0
i
j
i
ij
0
0
j
n;n
i
0
i
k
x
x
0
k
0
i[jk]
0
0
ij
ij
0
0
0
k
ijk
0
s
0
s
ijk
i
0
0
0jk
0
is
s
0jk
n;n
0 def
0
0 0
0
0
ij
ij
i
ij
ij
j
72
n;n
0
0
0
ijk
k
0
невырожден: b = ja j 6= 0. Отметим, что в уравнениях (9) с учетом (8) справедливо
2a = c R ; c R + c R ; 2c a + 2a c :
(10)
Нормализацию пространства P с полем симметричного тензора a по аналогии с нормализованным Р (см. [6]) назовем гармонической.
Продолжая уравнения (9), получим
ra + 2a ! = a ! ;
(11)
2a = a R + a R ; 2a R + a R :
Существует поле взаимного тензора a , компоненты которого определяются из соотношений
a a =a a =
(12)
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
ra ; a ! = ;a a a ! :
(13)
Функция b есть относительный инвариант и в силу (3), (7), (9), (10) удовлетворяет дифференциальному уравнению
d ln b + 2(n + 1)! = b ! ; b = a a :
(14)
Продолжая последнее уравнение, имеем
rb + b ! = b ! ;
(15)
где
2b = ;2(n + 1)R + b R :
(16)
Следуя работе [1], возьмем систему форм f! g:
1 b ! ;
! = ! ; ! = ! + 2c ;
n + 1 1 ! = ! + a (a
; c a ) ; c + n + 1b ! ;
(17)
! = ! ( 0) + [;3c c + a c (a ; c a ) ; 2a ]! :
В силу соотношений (3), (5), (9){(16) формы системы (17) удовлетворяют структурным уравнениям Картана{Лаптева [9], [10]
1
(18)
D! = ! ^ ! + R ! ^ ! ; ! = 0:
2
Следовательно, ! являются структурными формами пространства проективной связности
P , компоненты тензора кривизны-кручения R которого имеют следующее строение:
def
0
ij
0
i[jk]
0
s
0
s
ijk
i
0
0jk
0
0
s
0jk
is
0
[jk]
i
0
0
i[j k]
0
n;n
ij
n
0
0
ij [ks]
0
il
0
0
ijk
0
l
lj
iks
ijk
l
jks
0
s
ijks
0
0
ij
0
0
0ks
0
l
0ks
ijl
jk
0
0
0
kj
0
ik
ij
0
i
0
0
k
0
ji
k
0
k
ijk
s
0
ks
0
0ks
[ks]
l
0
ksl
0
0
0
k
0
sj
ik
0
0
k
j
0
0
0
ij
0
jk
ki
l
0ks
l
i
j
i
i
j
0
0
i
0
0
i
j
is
0
0
0
0
0
0
0
sjk
s
kj
0
0
0 0
i
i
i
k
i
j
j
k
0
i
k
sl
0
k
i
k
0
s
lik
j st
i
j
j
0
i
0
k
k
s
l
0
0
[ik]
ki
t
0
k
0
k
k
0
k
0
k
i
j
i
n;n
j st
= a (c R ; c R ; c c R ); R = ;R + c (R + R );
= ;c R ; a a (R + c R ); R = c R + a R + c (R ; c R ):
i
R0st
i
Rjst
0
j
0
ik
0
0
0st
k
i
ik
0st
0
0
lj
0
l
l
kst
0 0
l
kst
k
0
k
l
0
l
0st
l
0st
0
jst
0
0st
0st
0
k
0
k
jst
kj
0
k
k
0st
k
k
0st
0
j
0st
0
0st
0
k
(19)
k
0st
Из выражений (19) следует, что если P P (т. е. R 0), то в силу R 0 имеем
P P ; справедливо и обратное. При этом образующим элементом тангенциального проективного пространства P является нормализующая гиперплоскость.
Таким образом, справедлива
n;n
n;n
n
n
n
73
i
jst
i
jst
Невырожденная нормализация пространства аффинной связности An;n
индуцирует
тангенциальное пространство проективной связности Pn;n , опреij
деляемое системой структурных форм f! ij g (см. (17)); при этом пространства Pn;n и Pn;n
могут быть проективными лишь одновременно.
Теорема 2.
(b = ja j 6= 0)
0
Согласно (5), (17) поле ковектора c (c = ;1) определено и в пространстве P
dc + c ! ; c ! + ! = c ! ; c = c ;
(20)
в силу (9), (20)
a =a :
(21)
Из соотношений (21) в силу ja j 6= 0 следует, что пространство P , как и P , нормализовано невырожденным образом, причем гармоничность нормализации одного из них влечет
гармоничность нормализации другого.
Согласно (17), (21) из дифференциальных уравнений (9) тензора a находим
ra + a ! = a ! ;
где
a
= ;a a a + a a a c + 4a c + 2a c + a c :
(22)
В силу соотношений (12), (14), (21), (22) справедливо равенство
b = ;b + 4(n + 1)c :
(23)
Теперь согласно соотношениям (21){(23) очевидно, что преобразование J : ! ! ! структурных форм пространства P по закону (17) является инволютивным, т. е. J J ; , т. к.
1
! = ! ; ! = ! + 2c ;
b ! ;
n + 1 1 ! = ! + a (a
; c a ) ; c + n + 1b ! ;
(24)
! ( 0) = ! + [;3c c + a c (a ; c a ) ; 2a ]! :
Имея в виду инволютивность преобразования J форм связности (ср. (17) с (24)), будем говорить [5], что нормализованные пространства P и P двойственны по отношению друг к
другу. Доказана
0
0
0
i
0
0
i
i
0
0
n;n
0
j
0
j
i
i
0
j
0
ij
0
0
ij
ji
ij
ji
0
n;n
ij
n;n
0
ij
0
0
ijk
li
ls
0
0
0
ij
ij
0
0
sjk
li
ls
0
k
0
0
0
k
0
ijk
0
0
0
0
0
0
0
0
kj
s
ji
k
ki
j
jk
i
0
k
k
i
i
j
n;n
i
i
j
0
0
i
0
0
i
j
is
0
0
0
0
0
0
0
sjk
s
kj
0
0
0 0
i
i
i
k
k
i
k
sl
0
k
0
i
j
j
0
0
0
s
lik
l
ki
j
k
0
k
0
k
0
1
0
[ik]
k
0
n;n
n;n
Теорема 3. Индуцируемое при невырожденной нормализации пространства аффинной связности An;n пространство проективной связности Pn;n является двойственным по отношению
к пространству Pn;n относительно инволютивного преобразования форм связности этих пространств по закону (17).
3. Двойственные пространства аффинной связности
Возьмем две системы пфаффовых форм:
1
ij
= ! ; ! + c
def
i
j
i
j
0
0
i
j
0
k
!0k
+c ! ;
0
j
i
0
2
ij
= ! ; ! + c
def
i
j
0
0
i
j
i
j
0
k
! k0
+c ! ;
0
j
i
0
(25)
согласно уравнениям (3), (5), (18), (20) каждая из двух систем форм f ; g, a = 1; 2, удовлетворяет структурным уравнениям Картана{Лаптева
1
1
(26)
D = ^ + r ^ ; D = ^ + r ^ ;
2
2
i
i
k
a
i
k
ai
s
a
t
st
74
i
j
a
k
j
a
i
k
ai
jst
s
a
t
i
j
в (26) тензоры r и r имеют строение
a
a
i
st
1
r ist
2
r ist
i
jst
=R
=R
1
0st ;
rijst
i
r ijst
i
2
0st ;
= R ; (R + 2a ; c R ) + 2a
= R ; (R + 2a ; c R ) + 2a
i
jst
i
j
0
0st
0
[st]
0
k
0st
i
i
0
0
k
jst
j
0
[st]
0st
0
i
j [s t]
k
0
i
j [s t]
0st
k
+c R ;
+c R :
0
i
j
0st
0
i
(27)
0st
j
Таким образом, каждая из систем форм f ; g определяет пространство с фундаментальногрупповой аффинной связностью. Эти пространства назовем соответственно первым и вторым
пространствами аффинной связности A и A , индуцированными невырожденной нормализацией данного пространства аффинной связности A ; при этом тензор кручения r пространства A совпадает с тензором кручения соответствующего пространства проективной связности
P или P .
В силу двойственности нормализованных пространств P и P соответствующие им пространства A и A также являются двойственными относительно инволютивного преобразования J .
С использованием соотношений (4), (19), (21), (27) компоненты тензоров кручения r и кривизны r (см. (27)) пространств A можно записать в виде
a
i
1
i
j
2
n;n
n;n
a
n;n
a
i
st
n;n
n;n
n;n
n;n
1
n;n
2
n;n
n;n
a
a
a
i
jst
i
st
n;n
= r ; r = r ; (2a ; c r ) + 2a + c r ;
r = ;a c (r + c r ); r = ;[a a (r + c r ) + r ; r ; c r ]:
Таким образом, справедлива
1
rist
2i
ik
0
st
0
l
1i
i
st
i
jst
jst
0
l
kst
k
0
[st]
i
j
2i
l
st
ik
0
jst
0
k
0
0
j [s
k
st
0
l
kst
lj
k
0
i
t]
j
1i
l
st
(28)
(29)
i
st
0
i
jst
jst
j
i
st
A
индуцируются два двойственных между собой пространства аффинной связности A и A
слоевые формы которых имеют строение (25); при этом тензоры кривизны r и кручения r
этих пространств имеют вид (28), (29).
Теорема 4.
При невырожденной нормализации пространства аффинной связности
1
a
Если A A (т. е. r = r 0), то пространства A
компоненты тензоров кривизны их имеют строения
r = ;r = 2(a ; a ):
Следствие.
n;n
i
st
n
1i
1
i
jst
2i
jst
0
j [s
jst
i
t]
i
j
n;n
i
st
странств A
n;n
и A без кручения и
n;n
0
[st]
В условиях данного следствия альтернированные тензоры Риччи r
имеют вид
r
= ;r = (n + 1)a ;
a
1
2
[st]
,
n;n
a
i
jst
2
n;n
Замечание 1.
a
n;n
2
[st]
про-
0
[st]
[st]
следовательно, условием эквиаффинности как первого A , так и второго A пространства
является гармоничность нормализации исходного аффинного пространства A .
Из соотношений (17), (25) находим
1
2
n;n
n;n
n
= ! ; ! + c ! + c ! ; = + a (a ; c a )! ; c ! ; 2 c ! :
(30)
В силу соотношений (30) дифференциальные уравнения (9) тензора a запишутся в виде
1
ij
i
j
i
j
0
0
i
j
0
k
k
0
0
j
i
0
2
1
i
j
i
j
il
0
0
0 0
ljk
l
kj
k
0
0
i
0
j
0
ij
da0ij
;a
0
ik
2
kj
;a
Из последнего вытекает
75
0
kj
1
ki
= 0:
i
j
0
k
k
0
Двойственные аффинные связности пространств An;n , индуцируемых невырожденной нормализацией пространства аффинной связности An;n , являются обобщенно сопряженными ([6], с. 214) относительно поля тензора a0ij .
a
Теорема 5.
Аффинная связность, являющаяся средней ([6], с. 129) по отношению к связностям пространств A и A , индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией
аффинного пространства A , является римановой с полем метрического тензора a .
Справедливость этого следствия непосредственно вытекает из теоремы 5 с учетом замечания 1.
Следствие.
1
2
n;n
n;n
0
n
ij
4. Пространство аффинно-метрической связности
Согласно [9], пространством проективно-метрической связности K называется пространство проективной связности P , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик
Q ; (локальных абсолютов). Критерием того, что P
есть пространство проективно-метрической
связности K с полем локальных абсолютов
1
a x x + (g x + cx ) = 0; a = a ; g = g ; c = const 6= 0;
(31)
n;n
n;n
n
1
n;n
n;n
ij
i
j
c
i0
0 2
i
ij
i0
ji
0i
отличных от сдвоенных гиперплоскостей, является выполнение уравнений [2]
dg ; g ! ; c! = a ! ;
1
da ; a ! ; a ! = ; (a g + a g )! ;
c
i0
ij
ik
k
j
k0
k
0
i
i
k
i
kj
при этом форма
!00
ik
j0
ik
= ; 1c g
k0
k
0
jk
i0
(32)
k
0
(33)
!0k
является главной.
Наличие инвариантного поля локальных гиперквадрик (31) приводит [2] к конечным соотношениям для компонент тензора кривизны-кручения пространства K
1
R + g R = 0; g R + a R + cR = 0;
c
(34)
1
a R + a R ; (a g + a g )R = 0;
c
n;n
0
0st
k
k0
ik
k
jst
k
k0
0st
k
ist
kj
ik
ist
ik
j0
0
k
0st
jk
ist
i0
k
0st
одновременное выполнение этих соотношений есть условие полной интегрируемости объединенной системы дифференциальных уравнений (32), (33).
Определение. Если пространство проективной связности P
, ассоциированное с исходным пространством аффинной связности A по схеме (2), является пространством проективнометрической связности K , то будем говорить, что A есть пространство аффинно-метрической
связности.
Ниже пространство аффинно-метрической связности обозначим через M .
В неоднородных координатах X = x : x уравнение локального абсолюта Q ; пространства
M согласно (31) имеет вид
1
a X X + (g X + c) = 0;
(35)
n;n
n;n
n;n
n;n
n;n
i
0
i
n
n;n
ij
i
j
c
i0
76
i
2
1
в силу (2), (32), (33) функции a , g удовлетворяют дифференциальным уравнениям
1
dg ; g = a ; g g
;
ij
i0
i0
daij
;a
k
ik j
k0
k
i
ik
= ; 1c (a
;a
k
kj i
i0
c
k
k0
+a
ik gj 0
jk gi0
+ 2a
(36)
)
k
ij gk0 :
Согласно (4), (34) компоненты тензоров кривизны r и кручения r пространства M
удовлетворяют конечным соотношениям
1 r = 1g r ; g r + a r = 1 g r ;
n+1
c
n+1
(37)
2
1
a r +a r =
a r + (a g + a g )r :
n+1
c
i
jst
k
kst
ik
k
jst
k0
kj
k
st
k
ist
k0
k
ist
ij
i
st
k
st
ik
i0
k
kst
ik
j0
jk
n;n
k
kst
i0
k
st
Замечание 2. Согласно уравнениям (35), (36) справедливо следующее: 1) обращение в нуль
тензора g приводит к c = 0, тогда как c 6= 0; 2) обращение в нуль тензора a приводит к вырождению локального абсолюта (35) в сдвоенную гиперплоскость, но это противоречит тому, что
локальный абсолют отличен [2] от сдвоенной гиперплоскости. В силу сказанного ниже предполагается, что в уравнении (35) тензоры g и a ненулевые.
Замечание 3. Пусть невырожденная нормализация пространства аффинно-метрической
связности M полем ковектора c является полярной относительно поля локального абсолюта (35), т. е. c = ; g ; в этом случае в силу соотношений (5), (9), (32), (33) имеет место
a = ; a , a
= 2 (a g + a g + 2a g ). Теперь из строения слоевых форм (30) следует,
что при невырожденной полярной нормализации пространства аффинно-метрической связности M
связности пространств A , A
совпадают, т. е. ; при этом нормализация
пространства M
является гармонической.
Если пространство M без кручения (r 0), то из тождеств Риччи r 0 непосредственно следует
r
= ;2r ;
(38)
i0
ij
i0
n;n
1
0
ij
c
ij
0
ij
0
i
1
0
i
c
1
ijk
i0
ik
c
j0
jk
i0
k0
ij
1
n;n
1
2
n;n
n;n
i
j
2
i
j
n;n
i
st
n;n
i
(jst)
k
kst
[st]
где r = r есть тензор Риччи пространства M . Из соотношений (37 ) и (38) находим r = 0.
Теорема 6. Пространство аффинно-метрической связности M
без кручения является
def
st
l
stl
1
n;n
[st]
n;n
эквиаффинным.
Уравнения (36 ) можно переписать в виде
da ; a ; a = 0;
2
ij
где
ik
k
j
= ; 1c ( g
i
j
i
j
i
j
k0
kj
k
i
k
+g
j0
(39)
)
i :
(40)
Система форм f ; g в силу (1), (36) удовлетворяет структурным уравнениям Картана{
Лаптева [9], [10]
1
D = ^ + < ^ ;
2
(41)
1
D = ^ + < ^ ;
2
i
i
j
i
i
j
k
k
j
i
i
j
st
i
k
77
s
i
jst
t
s
t
а следовательно, определяет новое пространство аффинной связности Ae . В структурных уравнениях (41) тензоры кручения < и кривизны < этого пространства имеют соответственно вид
(42)
< = r ; < = r ; 1 ( g r + g r + 2a ):
n;n
i
st
i
jst
i
i
i
i
i
st
st
jst
jst
k0
j
c
k
i
j0
st
i
j [s
st
t]
Строение форм (см. (40)) говорит о том, что пространство Ae индуцируется полярной относительно поля (35) нормализацией пространства аффинно-метрической
связности M ; следовательно, согласно замечанию 3 Ae A A .
Замечание 5. С использованием определения пространства M
(см. x4) и замечания 2
e
нетрудно показать, что A не может быть пространством аффинно-метрической связности.
Из соотношений (42 ) следует, что тензоры кручения пространств Ae и M совпадают.
При этом уравнения (39) говорят о том, что связность пространства Ae является метрической
(вообще говоря, с кручением) с полем метрического тензора a .
Для пространства Ae без кручения согласно соотношениям (38), (42) и теореме 6 справедливо
2< = ;< = ;r = 2r = 0:
Доказана
Теорема 7. Для пространства аффинно-метрической связности M
с полем локальных
абсолютов (35) система форм Пфаффа f ; g (см. (40)) определяет пространство аффинной
e , причем тензоры кручения пространств Ae и M совпадают. Связность
связности A
e является метрической (вообще говоря, с кручением) с полем метрического
пространства A
e имеет нулевое кручение, то оно есть пространство эквиаффинтензора a , причем если A
i
j
Замечание 4.
n;n
1
n;n
n;n
2
n;n
n;n
n;n
n;n
1
n;n
n;n
n;n
ij
n;n
k
kst
[st]
k
kst
[st]
n;n
i
i
j
n;n
n;n
n;n
n;n
ij
n;n
ной связности.
Если M есть пространство аффинно-метрической связности без кручения,
причем тензор a невырожден, то пространство Ae является римановым с полем метрического
тензора a .
В предположении невырожденности тензора a справедлива
Теорема 8. Пространство аффинно-метрической связности M
плоское (r = r 0)
e
тогда и только тогда, когда A
является римановым пространством постоянной кривизны
K=; .
Действительно, если пространство M плоское, то необходимость условия теоремы 8 непосредственно следует из соотношений (42) и следствия теоремы 7, т. к. при этом справедливо
равенство
< = ;2a ;
(43)
Следствие.
n;n
ij
n;n
ij
ij
n;n
i
st
i
jst
n;n
1
c
n;n
i
jst
c
j [s
i
t]
последнее согласно ([6], с. 171; [7], с. 593) характеризует риманово пространство постоянной кривизны K = ; .
Обратно, если Ae есть риманово пространство постоянной кривизны, то справедливы соотношения (43) и < = r = 0; поэтому из (42) следует r = 0, т. е. M есть плоское пространство.
Так как в условиях теоремы 8 справедливо < = ; ; a , т. е. тензор Риччи риманова пространства Ae постоянной кривизны пропорционален метрическому тензору с постоянным коэффициентом пропорциональности, то согласно ([11], с. 268) Ae является пространством Эйнштейна.
1
c
n;n
i
st
i
st
i
jst
js
n;n
1
n
c
js
n;n
n;n
78
5. Индуцированное пространство аффинно-метрической связности
Рассмотрим аффинно-метрическое пространство M , нормализованное невырожденным
образом полем ковектора c (см. (5), (6)); при этом согласно теореме 4 индуцируются два двойственных между собой пространства аффинной связности A . Задача | при некоторых предположениях найти условие, при котором хотя бы одно из пространств A также является
пространством аффинно-метрической связности. Здесь следует заметить, что ниже исключается из рассмотрения полярная нормализация пространства M ; в противном случае согласно
замечаниям 4, 5 поставленная задача не имеет положительного решения.
Согласно теореме 1 заключаем, что с пространством аффинной связности A ассоциируется
пространство проективной связности P , определяемое системой пфаффовых форм ! :
n;n
0
i
a
n;n
a
n;n
n;n
a
n;n
a
a
n;n
2
! i0
С использованием !
k
k
j
= ; n +1 1 = 0 (см. (3)), (14), (30) получим
= ;
a
1
i
a
! 00
i
i
= ; n +1 1 a
a
a
; !ij
k
k
i
j
i
j
a
k
k
a
; ! 0j
= 0:
= ; ! = ! ; c ! ; ! = ! + c ! ; ! = 0;
1 b ! ; ! = 0;
! = ; ! =! +c ! ;
n+1
1 b!:
! = ! + a (a ; c a )! ;
n+1
! i0
10
i
0
0
0
2i
2i
0
0
0
i
j
j
k
0
k
20
i
0
0
il
0
0
1i
i
0
j
j
j
k
0
k
0
0
ljk
l
kj
j
(44)
20
k
0
k
0
10
i
0
j
k
i
j
0
k
k
0
Каждая из систем форм ! удовлетворяет структурным уравнениям пространства проективной связности P :
1
D! = ! ^ ! + R ! ^ ! ;
(45)
2
a
i
j
a
n;n
a
ai
ak
ai
j
j
k
i
j st
as
at
0
0
где согласно (4) компоненты тензора кривизны-кручения R имеют строение
a
i
j st
a
Ri0st
=r
ai
st
a
; R00st
= ; n +1 1 r
a
ak
kst
; R0jst
= 0;
a
Rijst
= r ; n +1 1 r
ai
i ak
j kst
jst
Заметим, что в (46) тензоры кручения r и кривизны r пространства A
(29).
Из (44) с использованием ! = (см. (2)), (33) находим
1
! =; g ! ;
a
i
a
i
st
a
i
jst
n;n
(46)
:
имеют вид (28),
i
0
a
a
0
0
k0
c
где
(47)
ak
0
= g ; cc + n +c 1 b :
(48)
Продифференцировав соотношения (48), с использованием (5), (15), уравнения (32 ) и (44)
находим
1
g k0
= g + cc
0
k0
k
2
; g k0
k0
0
k
k
1
a
dg k0
;g
a
a
s0
! sk
; c! ( 0) = a
a
0
k
79
a
a
ks
! s0 ;
(49)
где
= a + 2cc c + ca ;
a = ;g a (a
; c a ) + a ; c(a + c c ) ; c g +
1
c
1
+ n + 1 (g b + g b ) + n + 1 b ; c b + n + 1 b b :
(50)
Чтобы A было пространством аффинно-метрической связности M , необходимо (но не достаточно), чтобы тензор a был симметричным. Найдем условие его симметричности.
С использованием соотношений (10), (16), (19), (27), (31), (50) находим
a
= ca ;
a
= cc r + g r ; 2ca :
Теорема 9. 1) Условием симметричности тензора a
является гармоничность нормализации пространства аффинно-метрической связности M ; 2) в случае, когда нормализация пространства M
индуцирует пространства аффинной связности A
без кручения
(r = r 0), условием симметричности тензора a является гармоничность данной нор1
aks
2
2
i0
ks
ij
0
k0
ks
0
0
0
jks
j
sk
s0
s
0 0
0
k
ks
s
ks
k
0
0 0
0
ks
k
k
0
ks
s
s
k
k
a
s0
s
a
n;n
n;n
a
ks
1
0
[ks]
[ks]
2
0 1i
[ks]
i
2
i0
ks
2i
0
[ks]
ks
1
ks
n;n
a
n;n
1i
n;n
2i
rs
2
ks
ks
мализации.
Ниже предполагается, что нормализация пространства аффинно-метрической связности
M гармоническая и индуцируемые при этом оба пространства A имеют нулевое кручение;
согласно соотношениям (28), (29), эти требования равносильны выполнению соотношений
r = 0; c r
= 0; a = 0 :
(51)
При этом согласно теореме 9 оба тензора a являются симметричными.
Продолжая уравнения (49), с использованием (45), (47) находим
da ; a ! ; a ! = a ! ;
(52)
где
2a = 2c a g + g R ;
(53)
при этом из уравнений (52) следует
a
= 0:
(54)
Симметричность тензора a равносильна тождеству
a ! ^ ! 0;
(55)
замыкая тождества (55), с использованием уравнений (45), (52) получим
2
a ! ^! ^! =; a g ! ^! ^! ;
a
n;n
n;n
0
i
st
0
[st]
l
kst
l
a
ks
a
a
ks
kl
al
a
ls
s
a
a
k[sl]
al
a
a
k [s
l
0
ksl
k
a
a
t0
l]0
t
ksl
a
[ks]l
a
ks
a
k
ks
a
l
ksl
что приводит к соотношениям
k
0
s
0
0
a
s
0
0
a
ls
c
l
k0
k
0
0
s
0
= ; 2c a g :
Из выражений (53), (54), (56) непосредственно следует
1
1
a = ; (a g + a g ) + g (R + R ):
c
3
a
a
a(ksl)
a
a
skl
a
kl
a
s0
a
(ls
a
sl
k)0
a
a
k0
80
t0
t
ksl
a
t
skl
(56)
В силу последних равенств уравнения (52) запишутся в виде
1
1
da ; a ! ; a ! = ; (a g + a g )! + g (R + R )! :
(57)
c
3
Уравнения (49), (57) показывают (сравни с (32)), что каждое из двух двойственных между
собой пространств аффинной связности A , индуцируемое гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности M , отличной от полярной, в предположениях (51)
(т. е. при r = r 0) является пространством аффинно-метрической связности тогда и только
тогда, когда
a
a
ks
kl
al
a
ls
s
al
a
a
a
s0
kl
k
a
a
a
l
k0
sl
t0
0
a
t
ksl
t
l
0
skl
a
n;n
n;n
1i
2i
st
st
(
a
a
g t0 Rtksl
+ R ) = 0;
a
a
t
skl
= 1; 2:
(58)
Покажем, что при указанных предположениях A не может быть пространством аффиннометрической связности. Действительно, условие (58) при a =1 с использованием (28), (37), (38),
(46), (48), (51) и теоремы 6 запишется в виде
a g + a g + c(a c + a c ) = 0:
Свернув последние соотношения с тензором a , имеем c = ; g , это противоречит тому, что
нормализация пространства M отлична от полярной.
Условие (58) при a =2 в силу (28), (29), (46), (48), (51) эквивалентно соотношению
1
n;n
0
k[s
0
s[k
l]0
0
l]0
k[s
0
l]
0
0
s[k l]
1
0
kl
0
s
c
s0
n;n
; cc + n +c 1 b [a (a r + a r ) + 2(a + a )] = 0:
Предполагая справедливость соотношений (59), свернем их с тензором a . Имеем
gt0
0
ti
0
t
t
0
j
0
j
jk
isl
js
ikl
0
k[s
t
l]
0
s[k
(59)
t
l]
ks
0
; cc + n +c 1 b [(n ; 1) ; a r ] = 0;
(60)
где r | тензор Риччи исходного пространства M .
В общем случае справедливо det k(n ; 1) ; a r k 6= 0. Последнее очевидно, например, в
случае, когда пространство M плоское. В силу этого из системы (60) следует
c
G = g ; cc +
b = 0:
(61)
n+1
gt0
0
t
l
t
t
il
ti
0
il
n;n
t
l
ti
0
il
n;n
t0
def
0
t0
t
t
Обратно, если обращается в нуль тензор G (см. (61)), то справедливо (59), т. е. A является
пространством аффинно-метрической связности.
Доказана
Теорема 10. Если каждое из двойственных между собой пространств A
, индуцируемых
гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности M , отличной
2
t0
n;n
a
n;n
n;n
от полярной, имеет нулевое кручение, то
1) A
2) A
1
n;n
не может быть пространством аффинно-метрической связности,
2
является пространством аффинно-метрической связности тогда и только тогда,
когда обращается в нуль тензор Gt0 (см. (61)).
n;n
Если в условиях теоремы 10 A есть пространство аффинно-метрической
связности, то оно остается двойственным пространству A , не являющемуся пространством
аффинно-метрической связности.
2
Замечание 6.
n;n
1
n;n
81
Литература
1. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. { Чебоксары: Изд-во Чувашск. гос. пед. ин-та, 1994. { 290 с.
2. Столяров А.В. Пространство проективно-метрической связности // Изв. вузов. Математика. { 2003. { Є 11. { С. 70{76.
3. Голубева Е.А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения, ассоциированные с регулярной неголономной гиперповерхностью. { Чувашск. гос. пед.
ун-т. { 2005. { 17 с. { Деп. в ВИНИТИ 28.12.2005, Є 1743-B2005.
4. Голубева Е.А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективнометрической связности // Изв. вузов. Математика. { 2006. { Є 1. { С. 73{75.
5. Лаптев Г.Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР. { 1943. { Т. 41. { Є 8. { С. 329{331.
6. Норден А.П. Пространства аффинной связности. { М.: Наука, 1976. { 432 с.
7. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. { М.: Наука, 1967. { 664 с.
8. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. { Paris, 1937.
9. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретикогрупповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва.
{ 1953. { Є 2. { С. 275{382.
10. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии. { М.:
ВИНИТИ, 1979. { Т. 9. { С. 5{246.
11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. { М.: Наука, 1981. {
344 с.
Чувашский государственный
педагогический университет
Поступила
28.03.2006
82
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
170 Кб
Теги
пространство, связность, аффинно, метрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа